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（人教A版2019选择性必修第一册）数学 专题1.1 空间向量及其线性运算【八大题型】（举一反三）（原卷版+解析）
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这是一份（人教A版2019选择性必修第一册）数学 专题1.1 空间向量及其线性运算【八大题型】（举一反三）（原卷版+解析），共32页。
专题1.1 空间向量及其线性运算【八大题型】【人教A版（2019）】TOC \o "1-3" \h \u HYPERLINK \l "_Toc3026" 【题型1 空间向量概念的理解】 PAGEREF _Toc3026 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc15117" 【题型2 空间向量的加减运算】 PAGEREF _Toc15117 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc23021" 【题型3 空间向量的线性运算】 PAGEREF _Toc23021 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc900" 【题型4 由空间向量的线性运算求参数】 PAGEREF _Toc900 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc4164" 【题型5 向量共线的判定及应用】 PAGEREF _Toc4164 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc14570" 【题型6 由空间向量共线求参数】 PAGEREF _Toc14570 \h 8 HYPERLINK \l "_Toc20476" 【题型7 向量共面的判定及应用】 PAGEREF _Toc20476 \h 9 HYPERLINK \l "_Toc7846" 【题型8 由空间向量共面求参数】 PAGEREF _Toc7846 \h 10【知识点1 空间向量的概念】1．空间向量的概念(1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量．(2)长度或模：向量的大小．(3)表示方法：①几何表示法：空间向量用有向线段表示；②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作eq \o(AB,\s\up6(→))，其模记为|a|或|eq \o(AB,\s\up6(→))|.(4)几类特殊的空间向量【注】(1)空间中点的一个平移就是一个向量；(2)数学中讨论的向量与向量的起点无关，只与大小和方向有关，只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移，故我们称之为自由向量.【题型1 空间向量概念的理解】【例1】（2023春·高二课时练习）下列命题中是假命题的是（ ）A．任意向量与它的相反向量不相等B．和平面向量类似，任意两个空间向量都不能比较大小C．如果a=0，则a=0D．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同【变式1-1】（2023·江苏·高二专题练习）下列说法正确的是（ ）A．任一空间向量与它的相反向量都不相等B．不相等的两个空间向量的模必不相等C．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小D．将空间向量所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个圆【变式1-2】（2023秋·高二课时练习）给出下列命题：①若将空间中所有的单位向量的起点移到同一个点，则它们的终点构成一个圆；②若空间向量a，b满足|a|=|b|，则a=b；③若空间向量m，n，p满足m=n，n=p，则m=p；④空间中任意两个单位向量必相等；⑤零向量没有方向.其中假命题的个数是（ ）.A．1 B．2 C．3 D．4【变式1-3】（2023秋·高二课时练习）给出下列命题：①零向量没有方向；②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；③若空间向量a,b满足a=b，则a=b；④若空间向量m,n,p满足m=n,n=p，则m=p；⑤空间中任意两个单位向量必相等．其中正确命题的个数为（ ）A．4 B．3C．2 D．1【知识点2 空间向量的线性运算】1．空间向量的线性运算【注】(1)空间向量的运算是平面向量运算的延展，空间向量的加法运算仍然满足平行四边形法则和三角形法则，而且满足交换律、结合律，这样就可以自由结合运算，可以将向量合并.(2)向量的减法运算是向量加法运算的逆运算，满足三角形法则.(3)空间向量加法的运算的小技巧：①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量；②首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量.【题型2 空间向量的加减运算】【例2】（2023春·高二课时练习）在四面体OABC中，OA+AB−CB等于（ ）A．OA B．AB C．OC D．AC【变式2-1】（2023春·江苏连云港·高二校联考期中）正方体ABCD−A1B1C1D1中，化简AB+BD−AC1=（ ）A．C1B B．BC1 C．C1D D．DC1【变式2-2】（2023春·高二课时练习）在空间四边形ABCD 中，连接AC ，BD ，若△BCD 是正三角形，且E 为其重心，则AB+12BC−32DE−AD=（ ）A．AB B．2BD C．0 D．2DE【变式2-3】（2023·全国·高三专题练习）空间四边形ABCD中，若E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA边上的中点，则下列各式中成立的是A．EB+BF+EH+GH=0→ B．EB+FC+EH–EG=0→C．EF+FG+EH+GH=0→ D．EF–FB+CG+GH=0→【题型3 空间向量的线性运算】【例3】（2023春·高二单元测试）若A,B,C,D为空间不同的四点，则下列各式不一定为零向量的是（ ）A．AB+2BC+2CD+DCB．2AB+2BC+3CD+3DA+ACC．AB+DA+BDD．AB−CB+CD−AD【变式3-1】（2023秋·新疆昌吉·高二校考期末）已知正方体ABCD−A′B′C′D′，点E是A′C′的中点，点F是AE的三等分点，且AF=12EF，则AF等于（ ）．A．AA′+12AB+12AD B．12AA′+12AB+12ADC．12AA′+16AB+16AD D．13AA′+16AB+16AD【变式3-2】（2023秋·山东威海·高二统考期末）在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，点E满足AE=−13AA1+AB1+13AD1，则（ ）A．3B1E=B1C1 B．3B1E=2B1C1 C．B1E=3B1C1 D．2B1E=3B1C1【变式3-3】（2023秋·安徽黄山·高二统考期末）如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，E、F分别是BC、CC1的中点，G为△ABC的重心，则GF=（ ）A．−13AB+23AC+12AA1 B．13AB+23AC+12AA1C．−23AB+13AC−12AA1 D．13AB−23AC+12AA1【题型4 由空间向量的线性运算求参数】【例4】（2023春·湖南长沙·高二校考开学考试）如图所示，空间四边形OABC中，OA=a,OB=b,OC=c，点M在OA上，且OM=2MA,N为BC的中点，MN→=xa→+yb→+zc→，则x,y,z的值分别为（ ）A．12,−23,12 B．12,12,−23C．−23,12,12 D．23,23,−12【变式4-1】（2023秋·湖南娄底·高二校联考期末）在三棱柱ABC−A1B1C1中，D是CC1的中点，F是A1B的中点，且DF=αAB+βAC，则A．α=12, β=−1 B．α=−12, β=1C．α=1, β=−12 D．α=−1, β=12【变式4-2】（2023秋·山东泰安·高二校考期末）如图所示，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，点E为上底面对角线A1C1的中点，若BE=AA1+xAB+yAD，则（ ）A．x=−12,y=12 B．x=12,y=−12C．x=−12,y=−12 D．x=12,y=12【变式4-3】（2023春·高二课时练习）在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，点P在A1C上，且A1P=14A1C，若AP=xAA1+yAB+zAD，则x+y+z=（ ）A．34 B．1 C．54 D．74【知识点3 共线向量与共面向量】1．共线向量(1)空间两个向量共线的充要条件对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.(2)直线的方向向量在直线l上取非零向量a，我们把与向量a平行的非零向量称为直线 l 的方向向量．规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0//a.(3)共线向量定理的用途：①判定两条直线平行；②证明三点共线.【注】：证明平行时，先从两直线上取有向线段表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，这是证明平行问题的一种重要方法；证明三点共线问题，通常不用图形，直接利用向量的线性运算即可，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点.2．共面向量(1)共面向量如图，如果表示向量a的有向线段eq \o(OA,\s\up6(→))所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量a平行于直线l.如果直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量．(2)向量共面的充要条件如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.(3)共面向量定理的用途：①证明四点共面；②证明线面平行.【题型5 向量共线的判定及应用】【例5】（2023·江苏·高二专题练习）如图，四边形ABCD､ABEF都是平行四边形且不共面，M､N分别是AC､BF的中点，判断CE与MN是否共线？【变式5-1】（2023·江苏·高二专题练习）如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E在A1D1上，且A1E=2ED1，F在对角线A1C上，且A1F=23FC.若AB=a,AD=b,AA1=c.（1）用a,b,c表示EB.（2）求证：E，F，B三点共线.【变式5-2】（2023·江苏·高二专题练习）如图，已知空间四边形ABCD，点E，H分别是AB，AD的中点，点F，G分别是CB，CD上的点，且CF=23CB，CG=23CD.用向量法求证：四边形EFGH是梯形.【变式5-3】（2023春·高二课时练习）如图，已知O,A,B,C,D,E,F,G,H为空间的9个点，且OE=kOA，OF=kOB，OH=kOD，AC=AD+mAB，EG=EH+mEF，k≠0,m≠0.求证：（1）AC//EG；（2）OG=kOC.【题型6 由空间向量共线求参数】【例6】（2023春·福建龙岩·高二校联考期中）设向量e1，e2，e3不共面，已知AB=e1+e2+e3，BC=e1+λe2+e3，CD=4e1+8e2+4e3，若A，C，D三点共线，则λ=（ ）A．1 B．2 C．3 D．4【变式6-1】（2022秋·新疆阿勒泰·高二校联考期末）如果空间向量a,b不共线，且a−yb=xa+3b，那么x,y的值分别是（ ）A．x=−1,y=3 B．x=−1,y=−3C．x=1,y=−3 D．x=1,y=3【变式6-2】（2023春·江苏南京·高二校考阶段练习）已知{a,b,c}是空间的一个基底，若m=a+2b−3c，n=x(a+b)−y(b+c)+3(a+c)，若m∥n，则xy=（ ）A．−3 B．−13 C．3 D．13【变式6-3】（2023春·高二课时练习）已知非零向量a=3m−2n−4p，b=(x+1)m+8n+2yp，且m、n、p不共面．若a//b，则x+y=（ ） A．−13B．−5C．8D．13【题型7 向量共面的判定及应用】【例7】（2023春·高一课时练习）已知A,B,M三点不共线，对于平面ABM外的任意一点O，判断在下列各条件下的点P与点A,B,M是否共面．(1)OB+OM=3OP−OA；(2)OP=4OA−OB−OM．【变式7-1】（2023秋·高二课时练习）已知i,j,k是不共面向量，a=i−2j+k,b=−i+3j+2k,c=−3i+7j，证明这三个向量共面.【变式7-2】（2023春·高二课时练习）已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，求证：(1)E，F，G，H四点共面；(2)BD∥平面EFGH.【变式7-3】（2023秋·高二课时练习）已知平行四边形ABCD，从平面AC外一点O引向量OE=kOA，OF=kOB，OG=kOC，OH=kOD.(1)求证：E，F，G，H四点共面；(2)平面AC∥平面EG.【题型8 由空间向量共面求参数】【例8】（2023春·四川绵阳·高二校考阶段练习）已知O为空间任意一点，A,B,C,P四点共面，但任意三点不共线．如果BP=mOA+OB+OC，则m的值为（ ）A．-2 B．-1 C．1 D．2【变式8-1】（2023·全国·高二专题练习）已知点D在△ABC确定的平面内，O是平面ABC外任意一点，实数x,y满足OD=xOA+yOB−OC，则x2+y2的最小值为（ ）A．45 B．255 C．1 D．2【变式8-2】（2023春·高一课时练习）已知A,B,C三点不共线，O是平面ABC外任意一点，若OM=2λOA+25OB+16OC，则A,B,C,M四点共面的充要条件是（ ）A．λ=1360 B．λ=1760 C．λ=−1760 D．λ=−1360【变式8-3】（2023春·高二课时练习）如图,平面ABC内的小方格均为正方形,点P为平面ABC内的一点,O为平面ABC外一点,设OP=mOA+nOB+2OC,则m+n的值为（ ）A．1 B．−1 C．2 D．−2 专题1.1 空间向量及其线性运算【八大题型】【人教A版（2019）】TOC \o "1-3" \h \u HYPERLINK \l "_Toc3026" 【题型1 空间向量概念的理解】 PAGEREF _Toc3026 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc15117" 【题型2 空间向量的加减运算】 PAGEREF _Toc15117 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc23021" 【题型3 空间向量的线性运算】 PAGEREF _Toc23021 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc900" 【题型4 由空间向量的线性运算求参数】 PAGEREF _Toc900 \h 8 HYPERLINK \l "_Toc4164" 【题型5 向量共线的判定及应用】 PAGEREF _Toc4164 \h 11 HYPERLINK \l "_Toc14570" 【题型6 由空间向量共线求参数】 PAGEREF _Toc14570 \h 14 HYPERLINK \l "_Toc20476" 【题型7 向量共面的判定及应用】 PAGEREF _Toc20476 \h 16 HYPERLINK \l "_Toc7846" 【题型8 由空间向量共面求参数】 PAGEREF _Toc7846 \h 18【知识点1 空间向量的概念】1．空间向量的概念(1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量．(2)长度或模：向量的大小．(3)表示方法：①几何表示法：空间向量用有向线段表示；②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作eq \o(AB,\s\up6(→))，其模记为|a|或|eq \o(AB,\s\up6(→))|.(4)几类特殊的空间向量【注】(1)空间中点的一个平移就是一个向量；(2)数学中讨论的向量与向量的起点无关，只与大小和方向有关，只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移，故我们称之为自由向量.【题型1 空间向量概念的理解】【例1】（2023春·高二课时练习）下列命题中是假命题的是（ ）A．任意向量与它的相反向量不相等B．和平面向量类似，任意两个空间向量都不能比较大小C．如果a=0，则a=0D．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同【解题思路】由零向量的定义可判断AC，由向量的性质可判断BD.【解答过程】对于A，零向量0的相反向量是它本身，A错误；对于B，空间向量是有向线段，不能比较大小，B正确；对于C，如果a=0，则a=0，C正确；对于D，两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同，D正确.故选：A.【变式1-1】（2023·江苏·高二专题练习）下列说法正确的是（ ）A．任一空间向量与它的相反向量都不相等B．不相等的两个空间向量的模必不相等C．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小D．将空间向量所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个圆【解题思路】取零向量可判断A选项；利用任意一个非零向量与其相反向量可判断B选项；利用向量不能比大小可判断C选项；利用单位向量的概念可判断D选项.【解答过程】对于A选项，零向量与它的相反向量相等，A错；对于B选项，任意一个非零向量与其相反向量不相等，但它们的模相等，B错；对于C选项，同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小，C对；对于D选项，将空间向量所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个球，D错.故选：C.【变式1-2】（2023秋·高二课时练习）给出下列命题：①若将空间中所有的单位向量的起点移到同一个点，则它们的终点构成一个圆；②若空间向量a，b满足|a|=|b|，则a=b；③若空间向量m，n，p满足m=n，n=p，则m=p；④空间中任意两个单位向量必相等；⑤零向量没有方向.其中假命题的个数是（ ）.A．1 B．2 C．3 D．4【解题思路】根据单位向量的模长为1可判断①的真假；根据空间向量的相等的定义，可判断②③；由单位向量的定义可判断④的真假；根据零向量的规定可判断⑤的真假，即可得出结论.【解答过程】①假命题.若将空间中所有的单位向量的起点移到同一个点，则它们的终点将构成一个球面，而不是一个圆.②假命题.根据向量相等的定义，要保证两向量相等，不仅模要相等，而且方向还要相同，但②中向量a与b的方向不一定相同.③真命题.向量的相等具有传递性.④假命题.空间中任意两个单位向量的模长均为1，但方向不一定相同，以不一定相等.⑤假命题.零向量的方向是任意的.故选：D.【变式1-3】（2023秋·高二课时练习）给出下列命题：①零向量没有方向；②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；③若空间向量a,b满足a=b，则a=b；④若空间向量m,n,p满足m=n,n=p，则m=p；⑤空间中任意两个单位向量必相等．其中正确命题的个数为（ ）A．4 B．3C．2 D．1【解题思路】根据空间向量的有关定义判断可得答案.【解答过程】零向量的方向是任意的，但并不是没有方向，故①错误；当两个空间向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等．但两个向量相等，起点和终点不一定相同，故②错误；根据相等向量的定义，要保证两个向量相等，不仅模要相等，而且方向也要相同，但③中向量a与b的方向不一定相同，故③错误；命题④显然正确；对于命题⑤，空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同，故不一定相等，故⑤错误．故选：D.【知识点2 空间向量的线性运算】1．空间向量的线性运算【注】(1)空间向量的运算是平面向量运算的延展，空间向量的加法运算仍然满足平行四边形法则和三角形法则，而且满足交换律、结合律，这样就可以自由结合运算，可以将向量合并.(2)向量的减法运算是向量加法运算的逆运算，满足三角形法则.(3)空间向量加法的运算的小技巧：①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量；②首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量.【题型2 空间向量的加减运算】【例2】（2023春·高二课时练习）在四面体OABC中，OA+AB−CB等于（ ）A．OA B．AB C．OC D．AC【解题思路】利用空间向量线性运算法则化简.【解答过程】OA+AB−CB=OA+AB+BC=OB+BC=OC.故选：C.【变式2-1】（2023春·江苏连云港·高二校联考期中）正方体ABCD−A1B1C1D1中，化简AB+BD−AC1=（ ）A．C1B B．BC1 C．C1D D．DC1【解题思路】根据空间向量的线性运算求解即可.【解答过程】AB+BD−AC1=AD−AC1=C1D.故选：C.【变式2-2】（2023春·高二课时练习）在空间四边形ABCD 中，连接AC ，BD ，若△BCD 是正三角形，且E 为其重心，则AB+12BC−32DE−AD=（ ）A．AB B．2BD C．0 D．2DE【解题思路】根据向量的加减法运算法则即可求解.【解答过程】取BC的中点为F,则12BC=BF,又因为E 为△BCD的重心，即DF上靠近F的三等分点，32DE=DF,则AB+12BC−32DE−AD=AB+BF−DF−AD=AF+FD−AD=AD−AD=0.故选:C.【变式2-3】（2023·全国·高三专题练习）空间四边形ABCD中，若E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA边上的中点，则下列各式中成立的是A．EB+BF+EH+GH=0→ B．EB+FC+EH–EG=0→C．EF+FG+EH+GH=0→ D．EF–FB+CG+GH=0→【解题思路】根据空间向量的加减法运算法则即可求解.【解答过程】画出图形，如图所示，∵E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA边上的中点，∴FC=BF，GH=FE，对于A，EB+BF+EH+GH=EF+EH+GH=HG+EH+GH=EH；对于B，EB+FC+EH–EG=EB+BF+（EH–EG）=EF+GH=EF–EF=0→；对于C，EF+FG+EH+GH=EF+FG+GH+EH=EH+EH=2EH；对于D，EF–FB+CG+GH=EF+BF+CG+GH=EF+FC+CG+GH=EH．故选B．【题型3 空间向量的线性运算】【例3】（2023春·高二单元测试）若A,B,C,D为空间不同的四点，则下列各式不一定为零向量的是（ ）A．AB+2BC+2CD+DCB．2AB+2BC+3CD+3DA+ACC．AB+DA+BDD．AB−CB+CD−AD【解题思路】根据空间向量的线性运算逐一分析各个选项即可得出答案.【解答过程】对于A，AB+2BC+2CD+DC=AB+BC+BC+CD+CD+DC=AC+BD；对于B，2AB+2BC+3CD+3DA+AC=2AB+BC+3CD+DA+AC=3AC+3CA=0；对于C，AB+DA+BD=DA+AB+BD=DB+BD=0；对于D，AB−CB+CD−AD=AB−AD+CD−CB=DB+BD=0.故选：A.【变式3-1】（2023秋·新疆昌吉·高二校考期末）已知正方体ABCD−A′B′C′D′，点E是A′C′的中点，点F是AE的三等分点，且AF=12EF，则AF等于（ ）．A．AA′+12AB+12AD B．12AA′+12AB+12ADC．12AA′+16AB+16AD D．13AA′+16AB+16AD【解题思路】作图分析，根据空间向量的线性运算可得AF=13AE，AE=AA′+A′E，A′E=12A′C′，A′C′=A′D′+A′B′，A′D′=AD，A′B′=AB，代入AF=13AA′+12A′C′化简即可得出答案．【解答过程】如图所示，由于AF=12EF，故AF=13AE，AE=AA′+A′E，A′E=12A′C′，A′C′=A′D′+A′B′，A′D′=AD，A′B′=AB，∴AF=13AE=13AA′+12A′C′=13AA′+16(A′B′+A′D′)=13AA′+16AB+AD=13AA′+16AB+16AD，故选：D．【变式3-2】（2023秋·山东威海·高二统考期末）在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，点E满足AE=−13AA1+AB1+13AD1，则（ ）A．3B1E=B1C1 B．3B1E=2B1C1 C．B1E=3B1C1 D．2B1E=3B1C1【解题思路】利用向量的线性运算全部转化为用B1作为起点的向量来表示，然后整理即可.【解答过程】由AE=−13AA1+AB1+13AD1得B1E−B1A=−13B1A1−B1A−B1A+13B1D1−B1A，整理得3B1E=B1D1−B1A1=A1D1=B1C1.故选：A.【变式3-3】（2023秋·安徽黄山·高二统考期末）如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，E、F分别是BC、CC1的中点，G为△ABC的重心，则GF=（ ）A．−13AB+23AC+12AA1 B．13AB+23AC+12AA1C．−23AB+13AC−12AA1 D．13AB−23AC+12AA1【解题思路】根据向量的数乘及加、减运算求解即可.【解答过程】解：由题意可得：GF=GE+EF=13AE+12BC1=13×12(AB+AC)+12(BC+BB1)=16AB+16AC+12(AC−AB+BB1)=−13AB+23AC+12BB1=−13AB+23AC+12AA1.故选：A.【题型4 由空间向量的线性运算求参数】【例4】（2023春·湖南长沙·高二校考开学考试）如图所示，空间四边形OABC中，OA=a,OB=b,OC=c，点M在OA上，且OM=2MA,N为BC的中点，MN→=xa→+yb→+zc→，则x,y,z的值分别为（ ）A．12,−23,12 B．12,12,−23C．−23,12,12 D．23,23,−12【解题思路】利用空间向量的线性运算求解即可.【解答过程】MN=ON−OM=12OB+OC−23OA=−23a+12b+12c，所以x=−23,y=12,z=12，故选：C.【变式4-1】（2023秋·湖南娄底·高二校联考期末）在三棱柱ABC−A1B1C1中，D是CC1的中点，F是A1B的中点，且DF=αAB+βAC，则A．α=12, β=−1 B．α=−12, β=1C．α=1, β=−12 D．α=−1, β=12【解题思路】根据向量加法的多边形法则可得， DF=DC+CB+BF=12CC1+CB+12BA1=12A1A+AB−AC+12BA+12AA1=12AB−AC 从而可求α，β，【解答过程】根据向量加法的多边形法则以及已知可得，DF=DC+CB+BF=12CC1+CB+12BA1=12A1A+AB−AC+12BA+12AA1=12AB−AC， ∴α=12，β=﹣1，故选A．【变式4-2】（2023秋·山东泰安·高二校考期末）如图所示，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，点E为上底面对角线A1C1的中点，若BE=AA1+xAB+yAD，则（ ）A．x=−12,y=12 B．x=12,y=−12C．x=−12,y=−12 D．x=12,y=12【解题思路】根据空间向量的线性运算即可求解.【解答过程】根据题意，得；BE=BB1+12(BA+BC)=AA1+12BA+12BC=AA1−12AB+12AD,又∵BE=AA1+xAB+yAD∴x=−12,y=12,故选：A.【变式4-3】（2023春·高二课时练习）在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，点P在A1C上，且A1P=14A1C，若AP=xAA1+yAB+zAD，则x+y+z=（ ）A．34 B．1 C．54 D．74【解题思路】根据空间向量的加法、减法、数乘运算即可求解.【解答过程】如图，AP=AA1+A1P=AA1+14A1C=AA1+14(AC−AA1)=34AA1+14AB+AD=34AA1+14AB+14AD,所以x=34,y=14,z=14，所以x+y+z=54，故选:C.【知识点3 共线向量与共面向量】1．共线向量(1)空间两个向量共线的充要条件对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.(2)直线的方向向量在直线l上取非零向量a，我们把与向量a平行的非零向量称为直线 l 的方向向量．规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0//a.(3)共线向量定理的用途：①判定两条直线平行；②证明三点共线.【注】：证明平行时，先从两直线上取有向线段表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，这是证明平行问题的一种重要方法；证明三点共线问题，通常不用图形，直接利用向量的线性运算即可，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点.2．共面向量(1)共面向量如图，如果表示向量a的有向线段eq \o(OA,\s\up6(→))所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量a平行于直线l.如果直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量．(2)向量共面的充要条件如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.(3)共面向量定理的用途：①证明四点共面；②证明线面平行.【题型5 向量共线的判定及应用】【例5】（2023·江苏·高二专题练习）如图，四边形ABCD､ABEF都是平行四边形且不共面，M､N分别是AC､BF的中点，判断CE与MN是否共线？【解题思路】利用空间向量的线性运算，结合空间向量的共线定理，即可判断.【解答过程】因为M､N分别是AC､BF的中点，而四边形ABCD､ABEF都是平行四边形，所以MN=MA+AF+FN=12CA+AF+12FB.又MN=MC+CE+EB+BN=−12CA+CE−AF−12FB，所以12CA+AF+12FB=−12CA+CE−AF−12FB.所以CE=CA+2AF+FB=2MA+AF+FN=2MN，即CE=2MN，即CE与MN共线.【变式5-1】（2023·江苏·高二专题练习）如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E在A1D1上，且A1E=2ED1，F在对角线A1C上，且A1F=23FC.若AB=a,AD=b,AA1=c.（1）用a,b,c表示EB.（2）求证：E，F，B三点共线.【解题思路】（1）由已知得EB=EA1+A1A+AB=23D1A1+A1A+AB，由此可得答案；（2）由已知得FB =35EB，由此可得证.【解答过程】解：（1）因为A1E=2ED1， AB=a,AD=b,AA1=c，所以EB=EA1+A1A+AB=23D1A1+A1A+AB=−23b−c+a，所以EB=a−23b−c；（2）A1F=23FC.FB=FA1+A1A+AB=25CA1+A1A+AB=25(CB+BA+AA1)+A1A+AB=25(−b−a+c)−c+a=35a−25b−35c=35(a−23b−c)=35EB，又EB与FB相交于B，所以E，F，B三点共线.【变式5-2】（2023·江苏·高二专题练习）如图，已知空间四边形ABCD，点E，H分别是AB，AD的中点，点F，G分别是CB，CD上的点，且CF=23CB，CG=23CD.用向量法求证：四边形EFGH是梯形.【解题思路】根据题意得出EH∥BD，利用空间向量共线定理证明即可.【解答过程】证明：连接BD.∵点E，H分别是边AB，AD的中点，且CF=23CB，CG=23CD，∴ EH=12BD=12(CD−CB)=12(32CG−32CF)=34(CG−CF)=34FG，∴ EH∥FG且|EH|=34|FG|≠|FG|.又F不在EH上，∴四边形EFGH是梯形.【变式5-3】（2023春·高二课时练习）如图，已知O,A,B,C,D,E,F,G,H为空间的9个点，且OE=kOA，OF=kOB，OH=kOD，AC=AD+mAB，EG=EH+mEF，k≠0,m≠0.求证：（1）AC//EG；（2）OG=kOC.【解题思路】（1）由题意，EG=EH+mEF，转化EH=OH−OE,EF=OF−OE，代入结合题干条件运算即得证；（2）由题意，OG=OE+EG，又OE=kOA,EG=kAC，运算即得证【解答过程】证明：（1）EG=EH+mEF=OH−OE+m(OF−OE)=k(OD−OA)+km(OB−OA)=kAD+kmAB=kAD+mAB=kAC∴AC//EG.（2）OG=OE+EG=kOA+kAC=kOA+AC=kOC.【题型6 由空间向量共线求参数】【例6】（2023春·福建龙岩·高二校联考期中）设向量e1，e2，e3不共面，已知AB=e1+e2+e3，BC=e1+λe2+e3，CD=4e1+8e2+4e3，若A，C，D三点共线，则λ=（ ）A．1 B．2 C．3 D．4【解题思路】根据A，C，D三点共线，可得AC//CD，则存在唯一实数μ，使得AC=μCD，再根据空间向量共线定理即可得解.【解答过程】由AB=e1+e2+e3，BC=e1+λe2+e3，得AC=AB+BC=2e1+1+λe2+2e3，因为A，C，D三点共线，所以AC//CD，则存在唯一实数μ，使得AC=μCD，则2=4μ1+λ=8μ2=4μ，解得μ=12λ=3.故选：C.【变式6-1】（2022秋·新疆阿勒泰·高二校联考期末）如果空间向量a,b不共线，且a−yb=xa+3b，那么x,y的值分别是（ ）A．x=−1,y=3 B．x=−1,y=−3C．x=1,y=−3 D．x=1,y=3【解题思路】根据向量的相等,可得方程，即可求得答案.【解答过程】由题意可知空间向量a,b不共线，且a−yb=xa+3b，即(x−1)a−(y+3)b=0，则x−1=0,−(y+3)=0，即x=1,y=−3，故选：C.【变式6-2】（2023春·江苏南京·高二校考阶段练习）已知{a,b,c}是空间的一个基底，若m=a+2b−3c，n=x(a+b)−y(b+c)+3(a+c)，若m∥n，则xy=（ ）A．−3 B．−13 C．3 D．13【解题思路】由m∥n，可得存在实数λ，使n=λm，然后将m,n代入化简可求得结果【解答过程】m=a+2b−3c，n=x(a+b)−y(b+c)+3(a+c)=(x+3)a+(x−y)b+(3−y)c，因为m∥n，所以存在实数λ，使n=λm，所以(x+3)a+(x−y)b+(3−y)c=λ(a+2b−3c)，所以x+3=λx−y=2λ3−y=−3λ，所以x−y=2(x+3)3−y=−3(x+3)，得2x+2y=3x−y，x=3y，所以xy=3，故选：C.【变式6-3】（2023春·高二课时练习）已知非零向量a=3m−2n−4p，b=(x+1)m+8n+2yp，且m、n、p不共面．若a//b，则x+y=（ ） A．−13B．−5C．8D．13【解题思路】先由向量平行，得到b=λa，利用系数对应相等构建关系，即求得x，y，即得结果.【解答过程】∵a//b且a≠0，∴b=λa，即(x+1)m+8n+2yp=3λm−2λn−4λp，又m、n、p不共面，∴x+1=3λ8=−2λ2y=−4λ，解得x=−13，y=8，x+y=−5.故选：B.【题型7 向量共面的判定及应用】【例7】（2023春·高一课时练习）已知A,B,M三点不共线，对于平面ABM外的任意一点O，判断在下列各条件下的点P与点A,B,M是否共面．(1)OB+OM=3OP−OA；(2)OP=4OA−OB−OM．【解题思路】（1）根据空间向量的共面定理及推论，即可求解；（2）根据空间向量的共面定理及推论，即可求解；【解答过程】（1）解：因为A,B,M三点不共线，可得A,B,M三点共面，对于平面ABM外的任意一点O，若OB+OM=3OP−OA，即OP=13OA+13OB+13OM，又因为13+13+13=1，根据空间向量的共面定理，可得点P与A,B,M共面.（2）解：因为A,B,M三点不共线，可得A,B,M三点共面，对于平面ABM外的任意一点O，若OP=4OA−OB−OM，此时4−1−1=2≠1，根据空间向量的共面定理，可得点P与A,B,M不共面．【变式7-1】（2023秋·高二课时练习）已知i,j,k是不共面向量，a=i−2j+k,b=−i+3j+2k,c=−3i+7j，证明这三个向量共面.【解题思路】由空间向量基本定理可得答案.【解答过程】由i,j,k是不共面向量，得a与b不共线，设a=xb+yc，则i−2j+k=x−i+3j+2k+y−3i+7j，所以1=−x−3y−2=3x+7y1=2x，解得x=12y=−12，所以a=12b−12c，所以这三个向量共面.【变式7-2】（2023春·高二课时练习）已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，求证：(1)E，F，G，H四点共面；(2)BD∥平面EFGH.【解题思路】（1）要证E，F，G，H四点共面，只需证明向量EG，EF，EH共面，结合向量的线性运算及共面向量定理证明即可；（2）由向量共线结合线面平行的判定定理证明．【解答过程】（1）如图，连接EG，BG．因为EG＝EB＋BG＝EB＋12(BC＋BD)＝EB＋BF＋EH＝EF＋EH，由向量共面的充要条件可知，向量EG，EF，EH共面，又EG，EF，EH过同一点E，从而E，F，G，H四点共面．（2）因为EH＝AH－AE＝12AD－12AB＝12(AD－AB)＝12BD，又E，H，B，D四点不共线，所以EH∥BD，又EH⊂平面EFGH，BD⊄平面EFGH，所以BD∥平面EFGH．【变式7-3】（2023秋·高二课时练习）已知平行四边形ABCD，从平面AC外一点O引向量OE=kOA，OF=kOB，OG=kOC，OH=kOD.(1)求证：E，F，G，H四点共面；(2)平面AC∥平面EG.【解题思路】（1）根据向量的线性运算可得EG=EF+EH,由空间向量,可判断向量共面,进而可得点共面.（2）根据向量共线可得直线与直线平行,进而可证明线面平行,进而可证明面面平行.【解答过程】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC=AB+AD，∵EG=OG−OE，=k⋅OC−k⋅OA=kOC−OA=kAC=kAB+AD=kOB−OA+OD−OA=OF−OE+OH−OE=EF+EH∴E、F、G、H四点共面；（2）∵EF=OF−OE=kOB−OA=k⋅AB，∴EF∥AB又因为EF⊄平面ABCD,AB⊂平面ABCD,所以EF∥平面ABCD又∵EG=k⋅AC，∴EG∥AC，EG⊄平面ABCD,AC⊂平面ABCD,EG∥平面ABCD，又EF∩EG=E，EF,EG⊂平面EG所以，平面EG∥平面AC.【题型8 由空间向量共面求参数】【例8】（2023春·四川绵阳·高二校考阶段练习）已知O为空间任意一点，A,B,C,P四点共面，但任意三点不共线．如果BP=mOA+OB+OC，则m的值为（ ）A．-2 B．-1 C．1 D．2【解题思路】由题设条件推得OP=mOA+2OB+OC，再由四点共面可求得m=−2【解答过程】因为BP=OP−OB，所以由BP=mOA+OB+OC得OP−OB=mOA+OB+OC，即OP=mOA+2OB+OC，因为O为空间任意一点，A,B,C,P满足任意三点不共线，且四点共面，所以m+2+1=1，故m=−2.故选：A.【变式8-1】（2023·全国·高二专题练习）已知点D在△ABC确定的平面内，O是平面ABC外任意一点，实数x,y满足OD=xOA+yOB−OC，则x2+y2的最小值为（ ）A．45 B．255 C．1 D．2【解题思路】根据共面向量的性质，结合配方法进行求解即可.【解答过程】因为OD=xOA+yOB−OC，点D在△ABC确定的平面内，所以x+y−1=1，即x=2−y，所以x2+y2=(2−y)2+y2=2y2−4y+4=2(y−1)2+2≥2，所以当y=1时，x2+y2的有最小值2．故选：D.【变式8-2】（2023春·高一课时练习）已知A,B,C三点不共线，O是平面ABC外任意一点，若OM=2λOA+25OB+16OC，则A,B,C,M四点共面的充要条件是（ ）A．λ=1360 B．λ=1760 C．λ=−1760 D．λ=−1360【解题思路】根据向量共面定理，结合向量运算，整理可得系数的方程组，求得参数，可得答案.【解答过程】A,B,C,M四点共面的充要条件是AM=xBM+yCM，OM−OA=xOM−OB+yOM−OC，整理可得1−x−yOM=OA−xOB−yOC，由OM=2λOA+25OB+16OC，则1−x−y=z1=2λz−x=25z−y=16z，解得λ=1360，故选：A.【变式8-3】（2023春·高二课时练习）如图,平面ABC内的小方格均为正方形,点P为平面ABC内的一点,O为平面ABC外一点,设OP=mOA+nOB+2OC,则m+n的值为（ ）A．1 B．−1 C．2 D．−2【解题思路】先将OP写为OA+AP,再根据平面向量基本定理,将AP写为xAB+yAC,代入OP中,利用向量的加减,化为OA,OB,OC的形式,跟题中对比相等,即可得出结果.【解答过程】由题知OP=OA+AP，∵A,P,B,C四点共面,根据平面向量基本定理,不妨设AP=xAB+yAC,x,y∈R，则OP=OA+xAB+yAC=OA+x(OB−OA)+y(OC−OA)=1−x−yOA+xOB+yOC,∵OP=mOA+nOB+2OC，∴1−x−y=mx=ny=2,∴m+n=1−x−y+x =1−y=−1.故选:B. 名称定义及表示零向量长度为0的向量叫做零向量，记为0单位向量模为1的向量称为单位向量相反向量与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为 －a共线向量(平行向量)如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量a，都有0∥a相等向量方向相同且模相等的向量称为相等向量空间向量的线性运算加法a＋b＝eq \o(OA,\s\up6(→))＋ eq \o(AB,\s\up6(→)) ＝eq \o(OB,\s\up6(→))减法a－b＝eq \o(OA,\s\up6(→))－eq \o(OC,\s\up6(→))＝eq \o(CA,\s\up6(→))数乘当λ>0时，λa＝λeq \o(OA,\s\up6(→))＝eq \o(PQ,\s\up6(→))；当λ<0时，λa＝λeq \o(OA,\s\up6(→))＝eq \o(MN,\s\up6(→))；当λ＝0时，λa＝0运算律交换律：a＋b＝b＋a；结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a；分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.名称定义及表示零向量长度为0的向量叫做零向量，记为0单位向量模为1的向量称为单位向量相反向量与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为 －a共线向量(平行向量)如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量a，都有0∥a相等向量方向相同且模相等的向量称为相等向量空间向量的线性运算加法a＋b＝eq \o(OA,\s\up6(→))＋ eq \o(AB,\s\up6(→)) ＝eq \o(OB,\s\up6(→))减法a－b＝eq \o(OA,\s\up6(→))－eq \o(OC,\s\up6(→))＝eq \o(CA,\s\up6(→))数乘当λ>0时，λa＝λeq \o(OA,\s\up6(→))＝eq \o(PQ,\s\up6(→))；当λ<0时，λa＝λeq \o(OA,\s\up6(→))＝eq \o(MN,\s\up6(→))；当λ＝0时，λa＝0运算律交换律：a＋b＝b＋a；结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a；分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.
专题1.1 空间向量及其线性运算【八大题型】【人教A版（2019）】TOC \o "1-3" \h \u HYPERLINK \l "_Toc3026" 【题型1 空间向量概念的理解】 PAGEREF _Toc3026 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc15117" 【题型2 空间向量的加减运算】 PAGEREF _Toc15117 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc23021" 【题型3 空间向量的线性运算】 PAGEREF _Toc23021 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc900" 【题型4 由空间向量的线性运算求参数】 PAGEREF _Toc900 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc4164" 【题型5 向量共线的判定及应用】 PAGEREF _Toc4164 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc14570" 【题型6 由空间向量共线求参数】 PAGEREF _Toc14570 \h 8 HYPERLINK \l "_Toc20476" 【题型7 向量共面的判定及应用】 PAGEREF _Toc20476 \h 9 HYPERLINK \l "_Toc7846" 【题型8 由空间向量共面求参数】 PAGEREF _Toc7846 \h 10【知识点1 空间向量的概念】1．空间向量的概念(1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量．(2)长度或模：向量的大小．(3)表示方法：①几何表示法：空间向量用有向线段表示；②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作eq \o(AB,\s\up6(→))，其模记为|a|或|eq \o(AB,\s\up6(→))|.(4)几类特殊的空间向量【注】(1)空间中点的一个平移就是一个向量；(2)数学中讨论的向量与向量的起点无关，只与大小和方向有关，只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移，故我们称之为自由向量.【题型1 空间向量概念的理解】【例1】（2023春·高二课时练习）下列命题中是假命题的是（ ）A．任意向量与它的相反向量不相等B．和平面向量类似，任意两个空间向量都不能比较大小C．如果a=0，则a=0D．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同【变式1-1】（2023·江苏·高二专题练习）下列说法正确的是（ ）A．任一空间向量与它的相反向量都不相等B．不相等的两个空间向量的模必不相等C．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小D．将空间向量所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个圆【变式1-2】（2023秋·高二课时练习）给出下列命题：①若将空间中所有的单位向量的起点移到同一个点，则它们的终点构成一个圆；②若空间向量a，b满足|a|=|b|，则a=b；③若空间向量m，n，p满足m=n，n=p，则m=p；④空间中任意两个单位向量必相等；⑤零向量没有方向.其中假命题的个数是（ ）.A．1 B．2 C．3 D．4【变式1-3】（2023秋·高二课时练习）给出下列命题：①零向量没有方向；②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；③若空间向量a,b满足a=b，则a=b；④若空间向量m,n,p满足m=n,n=p，则m=p；⑤空间中任意两个单位向量必相等．其中正确命题的个数为（ ）A．4 B．3C．2 D．1【知识点2 空间向量的线性运算】1．空间向量的线性运算【注】(1)空间向量的运算是平面向量运算的延展，空间向量的加法运算仍然满足平行四边形法则和三角形法则，而且满足交换律、结合律，这样就可以自由结合运算，可以将向量合并.(2)向量的减法运算是向量加法运算的逆运算，满足三角形法则.(3)空间向量加法的运算的小技巧：①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量；②首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量.【题型2 空间向量的加减运算】【例2】（2023春·高二课时练习）在四面体OABC中，OA+AB−CB等于（ ）A．OA B．AB C．OC D．AC【变式2-1】（2023春·江苏连云港·高二校联考期中）正方体ABCD−A1B1C1D1中，化简AB+BD−AC1=（ ）A．C1B B．BC1 C．C1D D．DC1【变式2-2】（2023春·高二课时练习）在空间四边形ABCD 中，连接AC ，BD ，若△BCD 是正三角形，且E 为其重心，则AB+12BC−32DE−AD=（ ）A．AB B．2BD C．0 D．2DE【变式2-3】（2023·全国·高三专题练习）空间四边形ABCD中，若E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA边上的中点，则下列各式中成立的是A．EB+BF+EH+GH=0→ B．EB+FC+EH–EG=0→C．EF+FG+EH+GH=0→ D．EF–FB+CG+GH=0→【题型3 空间向量的线性运算】【例3】（2023春·高二单元测试）若A,B,C,D为空间不同的四点，则下列各式不一定为零向量的是（ ）A．AB+2BC+2CD+DCB．2AB+2BC+3CD+3DA+ACC．AB+DA+BDD．AB−CB+CD−AD【变式3-1】（2023秋·新疆昌吉·高二校考期末）已知正方体ABCD−A′B′C′D′，点E是A′C′的中点，点F是AE的三等分点，且AF=12EF，则AF等于（ ）．A．AA′+12AB+12AD B．12AA′+12AB+12ADC．12AA′+16AB+16AD D．13AA′+16AB+16AD【变式3-2】（2023秋·山东威海·高二统考期末）在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，点E满足AE=−13AA1+AB1+13AD1，则（ ）A．3B1E=B1C1 B．3B1E=2B1C1 C．B1E=3B1C1 D．2B1E=3B1C1【变式3-3】（2023秋·安徽黄山·高二统考期末）如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，E、F分别是BC、CC1的中点，G为△ABC的重心，则GF=（ ）A．−13AB+23AC+12AA1 B．13AB+23AC+12AA1C．−23AB+13AC−12AA1 D．13AB−23AC+12AA1【题型4 由空间向量的线性运算求参数】【例4】（2023春·湖南长沙·高二校考开学考试）如图所示，空间四边形OABC中，OA=a,OB=b,OC=c，点M在OA上，且OM=2MA,N为BC的中点，MN→=xa→+yb→+zc→，则x,y,z的值分别为（ ）A．12,−23,12 B．12,12,−23C．−23,12,12 D．23,23,−12【变式4-1】（2023秋·湖南娄底·高二校联考期末）在三棱柱ABC−A1B1C1中，D是CC1的中点，F是A1B的中点，且DF=αAB+βAC，则A．α=12, β=−1 B．α=−12, β=1C．α=1, β=−12 D．α=−1, β=12【变式4-2】（2023秋·山东泰安·高二校考期末）如图所示，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，点E为上底面对角线A1C1的中点，若BE=AA1+xAB+yAD，则（ ）A．x=−12,y=12 B．x=12,y=−12C．x=−12,y=−12 D．x=12,y=12【变式4-3】（2023春·高二课时练习）在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，点P在A1C上，且A1P=14A1C，若AP=xAA1+yAB+zAD，则x+y+z=（ ）A．34 B．1 C．54 D．74【知识点3 共线向量与共面向量】1．共线向量(1)空间两个向量共线的充要条件对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.(2)直线的方向向量在直线l上取非零向量a，我们把与向量a平行的非零向量称为直线 l 的方向向量．规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0//a.(3)共线向量定理的用途：①判定两条直线平行；②证明三点共线.【注】：证明平行时，先从两直线上取有向线段表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，这是证明平行问题的一种重要方法；证明三点共线问题，通常不用图形，直接利用向量的线性运算即可，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点.2．共面向量(1)共面向量如图，如果表示向量a的有向线段eq \o(OA,\s\up6(→))所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量a平行于直线l.如果直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量．(2)向量共面的充要条件如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.(3)共面向量定理的用途：①证明四点共面；②证明线面平行.【题型5 向量共线的判定及应用】【例5】（2023·江苏·高二专题练习）如图，四边形ABCD､ABEF都是平行四边形且不共面，M､N分别是AC､BF的中点，判断CE与MN是否共线？【变式5-1】（2023·江苏·高二专题练习）如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E在A1D1上，且A1E=2ED1，F在对角线A1C上，且A1F=23FC.若AB=a,AD=b,AA1=c.（1）用a,b,c表示EB.（2）求证：E，F，B三点共线.【变式5-2】（2023·江苏·高二专题练习）如图，已知空间四边形ABCD，点E，H分别是AB，AD的中点，点F，G分别是CB，CD上的点，且CF=23CB，CG=23CD.用向量法求证：四边形EFGH是梯形.【变式5-3】（2023春·高二课时练习）如图，已知O,A,B,C,D,E,F,G,H为空间的9个点，且OE=kOA，OF=kOB，OH=kOD，AC=AD+mAB，EG=EH+mEF，k≠0,m≠0.求证：（1）AC//EG；（2）OG=kOC.【题型6 由空间向量共线求参数】【例6】（2023春·福建龙岩·高二校联考期中）设向量e1，e2，e3不共面，已知AB=e1+e2+e3，BC=e1+λe2+e3，CD=4e1+8e2+4e3，若A，C，D三点共线，则λ=（ ）A．1 B．2 C．3 D．4【变式6-1】（2022秋·新疆阿勒泰·高二校联考期末）如果空间向量a,b不共线，且a−yb=xa+3b，那么x,y的值分别是（ ）A．x=−1,y=3 B．x=−1,y=−3C．x=1,y=−3 D．x=1,y=3【变式6-2】（2023春·江苏南京·高二校考阶段练习）已知{a,b,c}是空间的一个基底，若m=a+2b−3c，n=x(a+b)−y(b+c)+3(a+c)，若m∥n，则xy=（ ）A．−3 B．−13 C．3 D．13【变式6-3】（2023春·高二课时练习）已知非零向量a=3m−2n−4p，b=(x+1)m+8n+2yp，且m、n、p不共面．若a//b，则x+y=（ ） A．−13B．−5C．8D．13【题型7 向量共面的判定及应用】【例7】（2023春·高一课时练习）已知A,B,M三点不共线，对于平面ABM外的任意一点O，判断在下列各条件下的点P与点A,B,M是否共面．(1)OB+OM=3OP−OA；(2)OP=4OA−OB−OM．【变式7-1】（2023秋·高二课时练习）已知i,j,k是不共面向量，a=i−2j+k,b=−i+3j+2k,c=−3i+7j，证明这三个向量共面.【变式7-2】（2023春·高二课时练习）已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，求证：(1)E，F，G，H四点共面；(2)BD∥平面EFGH.【变式7-3】（2023秋·高二课时练习）已知平行四边形ABCD，从平面AC外一点O引向量OE=kOA，OF=kOB，OG=kOC，OH=kOD.(1)求证：E，F，G，H四点共面；(2)平面AC∥平面EG.【题型8 由空间向量共面求参数】【例8】（2023春·四川绵阳·高二校考阶段练习）已知O为空间任意一点，A,B,C,P四点共面，但任意三点不共线．如果BP=mOA+OB+OC，则m的值为（ ）A．-2 B．-1 C．1 D．2【变式8-1】（2023·全国·高二专题练习）已知点D在△ABC确定的平面内，O是平面ABC外任意一点，实数x,y满足OD=xOA+yOB−OC，则x2+y2的最小值为（ ）A．45 B．255 C．1 D．2【变式8-2】（2023春·高一课时练习）已知A,B,C三点不共线，O是平面ABC外任意一点，若OM=2λOA+25OB+16OC，则A,B,C,M四点共面的充要条件是（ ）A．λ=1360 B．λ=1760 C．λ=−1760 D．λ=−1360【变式8-3】（2023春·高二课时练习）如图,平面ABC内的小方格均为正方形,点P为平面ABC内的一点,O为平面ABC外一点,设OP=mOA+nOB+2OC,则m+n的值为（ ）A．1 B．−1 C．2 D．−2 专题1.1 空间向量及其线性运算【八大题型】【人教A版（2019）】TOC \o "1-3" \h \u HYPERLINK \l "_Toc3026" 【题型1 空间向量概念的理解】 PAGEREF _Toc3026 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc15117" 【题型2 空间向量的加减运算】 PAGEREF _Toc15117 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc23021" 【题型3 空间向量的线性运算】 PAGEREF _Toc23021 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc900" 【题型4 由空间向量的线性运算求参数】 PAGEREF _Toc900 \h 8 HYPERLINK \l "_Toc4164" 【题型5 向量共线的判定及应用】 PAGEREF _Toc4164 \h 11 HYPERLINK \l "_Toc14570" 【题型6 由空间向量共线求参数】 PAGEREF _Toc14570 \h 14 HYPERLINK \l "_Toc20476" 【题型7 向量共面的判定及应用】 PAGEREF _Toc20476 \h 16 HYPERLINK \l "_Toc7846" 【题型8 由空间向量共面求参数】 PAGEREF _Toc7846 \h 18【知识点1 空间向量的概念】1．空间向量的概念(1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量．(2)长度或模：向量的大小．(3)表示方法：①几何表示法：空间向量用有向线段表示；②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作eq \o(AB,\s\up6(→))，其模记为|a|或|eq \o(AB,\s\up6(→))|.(4)几类特殊的空间向量【注】(1)空间中点的一个平移就是一个向量；(2)数学中讨论的向量与向量的起点无关，只与大小和方向有关，只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移，故我们称之为自由向量.【题型1 空间向量概念的理解】【例1】（2023春·高二课时练习）下列命题中是假命题的是（ ）A．任意向量与它的相反向量不相等B．和平面向量类似，任意两个空间向量都不能比较大小C．如果a=0，则a=0D．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同【解题思路】由零向量的定义可判断AC，由向量的性质可判断BD.【解答过程】对于A，零向量0的相反向量是它本身，A错误；对于B，空间向量是有向线段，不能比较大小，B正确；对于C，如果a=0，则a=0，C正确；对于D，两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同，D正确.故选：A.【变式1-1】（2023·江苏·高二专题练习）下列说法正确的是（ ）A．任一空间向量与它的相反向量都不相等B．不相等的两个空间向量的模必不相等C．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小D．将空间向量所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个圆【解题思路】取零向量可判断A选项；利用任意一个非零向量与其相反向量可判断B选项；利用向量不能比大小可判断C选项；利用单位向量的概念可判断D选项.【解答过程】对于A选项，零向量与它的相反向量相等，A错；对于B选项，任意一个非零向量与其相反向量不相等，但它们的模相等，B错；对于C选项，同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小，C对；对于D选项，将空间向量所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个球，D错.故选：C.【变式1-2】（2023秋·高二课时练习）给出下列命题：①若将空间中所有的单位向量的起点移到同一个点，则它们的终点构成一个圆；②若空间向量a，b满足|a|=|b|，则a=b；③若空间向量m，n，p满足m=n，n=p，则m=p；④空间中任意两个单位向量必相等；⑤零向量没有方向.其中假命题的个数是（ ）.A．1 B．2 C．3 D．4【解题思路】根据单位向量的模长为1可判断①的真假；根据空间向量的相等的定义，可判断②③；由单位向量的定义可判断④的真假；根据零向量的规定可判断⑤的真假，即可得出结论.【解答过程】①假命题.若将空间中所有的单位向量的起点移到同一个点，则它们的终点将构成一个球面，而不是一个圆.②假命题.根据向量相等的定义，要保证两向量相等，不仅模要相等，而且方向还要相同，但②中向量a与b的方向不一定相同.③真命题.向量的相等具有传递性.④假命题.空间中任意两个单位向量的模长均为1，但方向不一定相同，以不一定相等.⑤假命题.零向量的方向是任意的.故选：D.【变式1-3】（2023秋·高二课时练习）给出下列命题：①零向量没有方向；②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；③若空间向量a,b满足a=b，则a=b；④若空间向量m,n,p满足m=n,n=p，则m=p；⑤空间中任意两个单位向量必相等．其中正确命题的个数为（ ）A．4 B．3C．2 D．1【解题思路】根据空间向量的有关定义判断可得答案.【解答过程】零向量的方向是任意的，但并不是没有方向，故①错误；当两个空间向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等．但两个向量相等，起点和终点不一定相同，故②错误；根据相等向量的定义，要保证两个向量相等，不仅模要相等，而且方向也要相同，但③中向量a与b的方向不一定相同，故③错误；命题④显然正确；对于命题⑤，空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同，故不一定相等，故⑤错误．故选：D.【知识点2 空间向量的线性运算】1．空间向量的线性运算【注】(1)空间向量的运算是平面向量运算的延展，空间向量的加法运算仍然满足平行四边形法则和三角形法则，而且满足交换律、结合律，这样就可以自由结合运算，可以将向量合并.(2)向量的减法运算是向量加法运算的逆运算，满足三角形法则.(3)空间向量加法的运算的小技巧：①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量；②首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量.【题型2 空间向量的加减运算】【例2】（2023春·高二课时练习）在四面体OABC中，OA+AB−CB等于（ ）A．OA B．AB C．OC D．AC【解题思路】利用空间向量线性运算法则化简.【解答过程】OA+AB−CB=OA+AB+BC=OB+BC=OC.故选：C.【变式2-1】（2023春·江苏连云港·高二校联考期中）正方体ABCD−A1B1C1D1中，化简AB+BD−AC1=（ ）A．C1B B．BC1 C．C1D D．DC1【解题思路】根据空间向量的线性运算求解即可.【解答过程】AB+BD−AC1=AD−AC1=C1D.故选：C.【变式2-2】（2023春·高二课时练习）在空间四边形ABCD 中，连接AC ，BD ，若△BCD 是正三角形，且E 为其重心，则AB+12BC−32DE−AD=（ ）A．AB B．2BD C．0 D．2DE【解题思路】根据向量的加减法运算法则即可求解.【解答过程】取BC的中点为F,则12BC=BF,又因为E 为△BCD的重心，即DF上靠近F的三等分点，32DE=DF,则AB+12BC−32DE−AD=AB+BF−DF−AD=AF+FD−AD=AD−AD=0.故选:C.【变式2-3】（2023·全国·高三专题练习）空间四边形ABCD中，若E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA边上的中点，则下列各式中成立的是A．EB+BF+EH+GH=0→ B．EB+FC+EH–EG=0→C．EF+FG+EH+GH=0→ D．EF–FB+CG+GH=0→【解题思路】根据空间向量的加减法运算法则即可求解.【解答过程】画出图形，如图所示，∵E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA边上的中点，∴FC=BF，GH=FE，对于A，EB+BF+EH+GH=EF+EH+GH=HG+EH+GH=EH；对于B，EB+FC+EH–EG=EB+BF+（EH–EG）=EF+GH=EF–EF=0→；对于C，EF+FG+EH+GH=EF+FG+GH+EH=EH+EH=2EH；对于D，EF–FB+CG+GH=EF+BF+CG+GH=EF+FC+CG+GH=EH．故选B．【题型3 空间向量的线性运算】【例3】（2023春·高二单元测试）若A,B,C,D为空间不同的四点，则下列各式不一定为零向量的是（ ）A．AB+2BC+2CD+DCB．2AB+2BC+3CD+3DA+ACC．AB+DA+BDD．AB−CB+CD−AD【解题思路】根据空间向量的线性运算逐一分析各个选项即可得出答案.【解答过程】对于A，AB+2BC+2CD+DC=AB+BC+BC+CD+CD+DC=AC+BD；对于B，2AB+2BC+3CD+3DA+AC=2AB+BC+3CD+DA+AC=3AC+3CA=0；对于C，AB+DA+BD=DA+AB+BD=DB+BD=0；对于D，AB−CB+CD−AD=AB−AD+CD−CB=DB+BD=0.故选：A.【变式3-1】（2023秋·新疆昌吉·高二校考期末）已知正方体ABCD−A′B′C′D′，点E是A′C′的中点，点F是AE的三等分点，且AF=12EF，则AF等于（ ）．A．AA′+12AB+12AD B．12AA′+12AB+12ADC．12AA′+16AB+16AD D．13AA′+16AB+16AD【解题思路】作图分析，根据空间向量的线性运算可得AF=13AE，AE=AA′+A′E，A′E=12A′C′，A′C′=A′D′+A′B′，A′D′=AD，A′B′=AB，代入AF=13AA′+12A′C′化简即可得出答案．【解答过程】如图所示，由于AF=12EF，故AF=13AE，AE=AA′+A′E，A′E=12A′C′，A′C′=A′D′+A′B′，A′D′=AD，A′B′=AB，∴AF=13AE=13AA′+12A′C′=13AA′+16(A′B′+A′D′)=13AA′+16AB+AD=13AA′+16AB+16AD，故选：D．【变式3-2】（2023秋·山东威海·高二统考期末）在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，点E满足AE=−13AA1+AB1+13AD1，则（ ）A．3B1E=B1C1 B．3B1E=2B1C1 C．B1E=3B1C1 D．2B1E=3B1C1【解题思路】利用向量的线性运算全部转化为用B1作为起点的向量来表示，然后整理即可.【解答过程】由AE=−13AA1+AB1+13AD1得B1E−B1A=−13B1A1−B1A−B1A+13B1D1−B1A，整理得3B1E=B1D1−B1A1=A1D1=B1C1.故选：A.【变式3-3】（2023秋·安徽黄山·高二统考期末）如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，E、F分别是BC、CC1的中点，G为△ABC的重心，则GF=（ ）A．−13AB+23AC+12AA1 B．13AB+23AC+12AA1C．−23AB+13AC−12AA1 D．13AB−23AC+12AA1【解题思路】根据向量的数乘及加、减运算求解即可.【解答过程】解：由题意可得：GF=GE+EF=13AE+12BC1=13×12(AB+AC)+12(BC+BB1)=16AB+16AC+12(AC−AB+BB1)=−13AB+23AC+12BB1=−13AB+23AC+12AA1.故选：A.【题型4 由空间向量的线性运算求参数】【例4】（2023春·湖南长沙·高二校考开学考试）如图所示，空间四边形OABC中，OA=a,OB=b,OC=c，点M在OA上，且OM=2MA,N为BC的中点，MN→=xa→+yb→+zc→，则x,y,z的值分别为（ ）A．12,−23,12 B．12,12,−23C．−23,12,12 D．23,23,−12【解题思路】利用空间向量的线性运算求解即可.【解答过程】MN=ON−OM=12OB+OC−23OA=−23a+12b+12c，所以x=−23,y=12,z=12，故选：C.【变式4-1】（2023秋·湖南娄底·高二校联考期末）在三棱柱ABC−A1B1C1中，D是CC1的中点，F是A1B的中点，且DF=αAB+βAC，则A．α=12, β=−1 B．α=−12, β=1C．α=1, β=−12 D．α=−1, β=12【解题思路】根据向量加法的多边形法则可得， DF=DC+CB+BF=12CC1+CB+12BA1=12A1A+AB−AC+12BA+12AA1=12AB−AC 从而可求α，β，【解答过程】根据向量加法的多边形法则以及已知可得，DF=DC+CB+BF=12CC1+CB+12BA1=12A1A+AB−AC+12BA+12AA1=12AB−AC， ∴α=12，β=﹣1，故选A．【变式4-2】（2023秋·山东泰安·高二校考期末）如图所示，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，点E为上底面对角线A1C1的中点，若BE=AA1+xAB+yAD，则（ ）A．x=−12,y=12 B．x=12,y=−12C．x=−12,y=−12 D．x=12,y=12【解题思路】根据空间向量的线性运算即可求解.【解答过程】根据题意，得；BE=BB1+12(BA+BC)=AA1+12BA+12BC=AA1−12AB+12AD,又∵BE=AA1+xAB+yAD∴x=−12,y=12,故选：A.【变式4-3】（2023春·高二课时练习）在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，点P在A1C上，且A1P=14A1C，若AP=xAA1+yAB+zAD，则x+y+z=（ ）A．34 B．1 C．54 D．74【解题思路】根据空间向量的加法、减法、数乘运算即可求解.【解答过程】如图，AP=AA1+A1P=AA1+14A1C=AA1+14(AC−AA1)=34AA1+14AB+AD=34AA1+14AB+14AD,所以x=34,y=14,z=14，所以x+y+z=54，故选:C.【知识点3 共线向量与共面向量】1．共线向量(1)空间两个向量共线的充要条件对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.(2)直线的方向向量在直线l上取非零向量a，我们把与向量a平行的非零向量称为直线 l 的方向向量．规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0//a.(3)共线向量定理的用途：①判定两条直线平行；②证明三点共线.【注】：证明平行时，先从两直线上取有向线段表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，这是证明平行问题的一种重要方法；证明三点共线问题，通常不用图形，直接利用向量的线性运算即可，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点.2．共面向量(1)共面向量如图，如果表示向量a的有向线段eq \o(OA,\s\up6(→))所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量a平行于直线l.如果直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量．(2)向量共面的充要条件如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.(3)共面向量定理的用途：①证明四点共面；②证明线面平行.【题型5 向量共线的判定及应用】【例5】（2023·江苏·高二专题练习）如图，四边形ABCD､ABEF都是平行四边形且不共面，M､N分别是AC､BF的中点，判断CE与MN是否共线？【解题思路】利用空间向量的线性运算，结合空间向量的共线定理，即可判断.【解答过程】因为M､N分别是AC､BF的中点，而四边形ABCD､ABEF都是平行四边形，所以MN=MA+AF+FN=12CA+AF+12FB.又MN=MC+CE+EB+BN=−12CA+CE−AF−12FB，所以12CA+AF+12FB=−12CA+CE−AF−12FB.所以CE=CA+2AF+FB=2MA+AF+FN=2MN，即CE=2MN，即CE与MN共线.【变式5-1】（2023·江苏·高二专题练习）如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E在A1D1上，且A1E=2ED1，F在对角线A1C上，且A1F=23FC.若AB=a,AD=b,AA1=c.（1）用a,b,c表示EB.（2）求证：E，F，B三点共线.【解题思路】（1）由已知得EB=EA1+A1A+AB=23D1A1+A1A+AB，由此可得答案；（2）由已知得FB =35EB，由此可得证.【解答过程】解：（1）因为A1E=2ED1， AB=a,AD=b,AA1=c，所以EB=EA1+A1A+AB=23D1A1+A1A+AB=−23b−c+a，所以EB=a−23b−c；（2）A1F=23FC.FB=FA1+A1A+AB=25CA1+A1A+AB=25(CB+BA+AA1)+A1A+AB=25(−b−a+c)−c+a=35a−25b−35c=35(a−23b−c)=35EB，又EB与FB相交于B，所以E，F，B三点共线.【变式5-2】（2023·江苏·高二专题练习）如图，已知空间四边形ABCD，点E，H分别是AB，AD的中点，点F，G分别是CB，CD上的点，且CF=23CB，CG=23CD.用向量法求证：四边形EFGH是梯形.【解题思路】根据题意得出EH∥BD，利用空间向量共线定理证明即可.【解答过程】证明：连接BD.∵点E，H分别是边AB，AD的中点，且CF=23CB，CG=23CD，∴ EH=12BD=12(CD−CB)=12(32CG−32CF)=34(CG−CF)=34FG，∴ EH∥FG且|EH|=34|FG|≠|FG|.又F不在EH上，∴四边形EFGH是梯形.【变式5-3】（2023春·高二课时练习）如图，已知O,A,B,C,D,E,F,G,H为空间的9个点，且OE=kOA，OF=kOB，OH=kOD，AC=AD+mAB，EG=EH+mEF，k≠0,m≠0.求证：（1）AC//EG；（2）OG=kOC.【解题思路】（1）由题意，EG=EH+mEF，转化EH=OH−OE,EF=OF−OE，代入结合题干条件运算即得证；（2）由题意，OG=OE+EG，又OE=kOA,EG=kAC，运算即得证【解答过程】证明：（1）EG=EH+mEF=OH−OE+m(OF−OE)=k(OD−OA)+km(OB−OA)=kAD+kmAB=kAD+mAB=kAC∴AC//EG.（2）OG=OE+EG=kOA+kAC=kOA+AC=kOC.【题型6 由空间向量共线求参数】【例6】（2023春·福建龙岩·高二校联考期中）设向量e1，e2，e3不共面，已知AB=e1+e2+e3，BC=e1+λe2+e3，CD=4e1+8e2+4e3，若A，C，D三点共线，则λ=（ ）A．1 B．2 C．3 D．4【解题思路】根据A，C，D三点共线，可得AC//CD，则存在唯一实数μ，使得AC=μCD，再根据空间向量共线定理即可得解.【解答过程】由AB=e1+e2+e3，BC=e1+λe2+e3，得AC=AB+BC=2e1+1+λe2+2e3，因为A，C，D三点共线，所以AC//CD，则存在唯一实数μ，使得AC=μCD，则2=4μ1+λ=8μ2=4μ，解得μ=12λ=3.故选：C.【变式6-1】（2022秋·新疆阿勒泰·高二校联考期末）如果空间向量a,b不共线，且a−yb=xa+3b，那么x,y的值分别是（ ）A．x=−1,y=3 B．x=−1,y=−3C．x=1,y=−3 D．x=1,y=3【解题思路】根据向量的相等,可得方程，即可求得答案.【解答过程】由题意可知空间向量a,b不共线，且a−yb=xa+3b，即(x−1)a−(y+3)b=0，则x−1=0,−(y+3)=0，即x=1,y=−3，故选：C.【变式6-2】（2023春·江苏南京·高二校考阶段练习）已知{a,b,c}是空间的一个基底，若m=a+2b−3c，n=x(a+b)−y(b+c)+3(a+c)，若m∥n，则xy=（ ）A．−3 B．−13 C．3 D．13【解题思路】由m∥n，可得存在实数λ，使n=λm，然后将m,n代入化简可求得结果【解答过程】m=a+2b−3c，n=x(a+b)−y(b+c)+3(a+c)=(x+3)a+(x−y)b+(3−y)c，因为m∥n，所以存在实数λ，使n=λm，所以(x+3)a+(x−y)b+(3−y)c=λ(a+2b−3c)，所以x+3=λx−y=2λ3−y=−3λ，所以x−y=2(x+3)3−y=−3(x+3)，得2x+2y=3x−y，x=3y，所以xy=3，故选：C.【变式6-3】（2023春·高二课时练习）已知非零向量a=3m−2n−4p，b=(x+1)m+8n+2yp，且m、n、p不共面．若a//b，则x+y=（ ） A．−13B．−5C．8D．13【解题思路】先由向量平行，得到b=λa，利用系数对应相等构建关系，即求得x，y，即得结果.【解答过程】∵a//b且a≠0，∴b=λa，即(x+1)m+8n+2yp=3λm−2λn−4λp，又m、n、p不共面，∴x+1=3λ8=−2λ2y=−4λ，解得x=−13，y=8，x+y=−5.故选：B.【题型7 向量共面的判定及应用】【例7】（2023春·高一课时练习）已知A,B,M三点不共线，对于平面ABM外的任意一点O，判断在下列各条件下的点P与点A,B,M是否共面．(1)OB+OM=3OP−OA；(2)OP=4OA−OB−OM．【解题思路】（1）根据空间向量的共面定理及推论，即可求解；（2）根据空间向量的共面定理及推论，即可求解；【解答过程】（1）解：因为A,B,M三点不共线，可得A,B,M三点共面，对于平面ABM外的任意一点O，若OB+OM=3OP−OA，即OP=13OA+13OB+13OM，又因为13+13+13=1，根据空间向量的共面定理，可得点P与A,B,M共面.（2）解：因为A,B,M三点不共线，可得A,B,M三点共面，对于平面ABM外的任意一点O，若OP=4OA−OB−OM，此时4−1−1=2≠1，根据空间向量的共面定理，可得点P与A,B,M不共面．【变式7-1】（2023秋·高二课时练习）已知i,j,k是不共面向量，a=i−2j+k,b=−i+3j+2k,c=−3i+7j，证明这三个向量共面.【解题思路】由空间向量基本定理可得答案.【解答过程】由i,j,k是不共面向量，得a与b不共线，设a=xb+yc，则i−2j+k=x−i+3j+2k+y−3i+7j，所以1=−x−3y−2=3x+7y1=2x，解得x=12y=−12，所以a=12b−12c，所以这三个向量共面.【变式7-2】（2023春·高二课时练习）已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，求证：(1)E，F，G，H四点共面；(2)BD∥平面EFGH.【解题思路】（1）要证E，F，G，H四点共面，只需证明向量EG，EF，EH共面，结合向量的线性运算及共面向量定理证明即可；（2）由向量共线结合线面平行的判定定理证明．【解答过程】（1）如图，连接EG，BG．因为EG＝EB＋BG＝EB＋12(BC＋BD)＝EB＋BF＋EH＝EF＋EH，由向量共面的充要条件可知，向量EG，EF，EH共面，又EG，EF，EH过同一点E，从而E，F，G，H四点共面．（2）因为EH＝AH－AE＝12AD－12AB＝12(AD－AB)＝12BD，又E，H，B，D四点不共线，所以EH∥BD，又EH⊂平面EFGH，BD⊄平面EFGH，所以BD∥平面EFGH．【变式7-3】（2023秋·高二课时练习）已知平行四边形ABCD，从平面AC外一点O引向量OE=kOA，OF=kOB，OG=kOC，OH=kOD.(1)求证：E，F，G，H四点共面；(2)平面AC∥平面EG.【解题思路】（1）根据向量的线性运算可得EG=EF+EH,由空间向量,可判断向量共面,进而可得点共面.（2）根据向量共线可得直线与直线平行,进而可证明线面平行,进而可证明面面平行.【解答过程】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC=AB+AD，∵EG=OG−OE，=k⋅OC−k⋅OA=kOC−OA=kAC=kAB+AD=kOB−OA+OD−OA=OF−OE+OH−OE=EF+EH∴E、F、G、H四点共面；（2）∵EF=OF−OE=kOB−OA=k⋅AB，∴EF∥AB又因为EF⊄平面ABCD,AB⊂平面ABCD,所以EF∥平面ABCD又∵EG=k⋅AC，∴EG∥AC，EG⊄平面ABCD,AC⊂平面ABCD,EG∥平面ABCD，又EF∩EG=E，EF,EG⊂平面EG所以，平面EG∥平面AC.【题型8 由空间向量共面求参数】【例8】（2023春·四川绵阳·高二校考阶段练习）已知O为空间任意一点，A,B,C,P四点共面，但任意三点不共线．如果BP=mOA+OB+OC，则m的值为（ ）A．-2 B．-1 C．1 D．2【解题思路】由题设条件推得OP=mOA+2OB+OC，再由四点共面可求得m=−2【解答过程】因为BP=OP−OB，所以由BP=mOA+OB+OC得OP−OB=mOA+OB+OC，即OP=mOA+2OB+OC，因为O为空间任意一点，A,B,C,P满足任意三点不共线，且四点共面，所以m+2+1=1，故m=−2.故选：A.【变式8-1】（2023·全国·高二专题练习）已知点D在△ABC确定的平面内，O是平面ABC外任意一点，实数x,y满足OD=xOA+yOB−OC，则x2+y2的最小值为（ ）A．45 B．255 C．1 D．2【解题思路】根据共面向量的性质，结合配方法进行求解即可.【解答过程】因为OD=xOA+yOB−OC，点D在△ABC确定的平面内，所以x+y−1=1，即x=2−y，所以x2+y2=(2−y)2+y2=2y2−4y+4=2(y−1)2+2≥2，所以当y=1时，x2+y2的有最小值2．故选：D.【变式8-2】（2023春·高一课时练习）已知A,B,C三点不共线，O是平面ABC外任意一点，若OM=2λOA+25OB+16OC，则A,B,C,M四点共面的充要条件是（ ）A．λ=1360 B．λ=1760 C．λ=−1760 D．λ=−1360【解题思路】根据向量共面定理，结合向量运算，整理可得系数的方程组，求得参数，可得答案.【解答过程】A,B,C,M四点共面的充要条件是AM=xBM+yCM，OM−OA=xOM−OB+yOM−OC，整理可得1−x−yOM=OA−xOB−yOC，由OM=2λOA+25OB+16OC，则1−x−y=z1=2λz−x=25z−y=16z，解得λ=1360，故选：A.【变式8-3】（2023春·高二课时练习）如图,平面ABC内的小方格均为正方形,点P为平面ABC内的一点,O为平面ABC外一点,设OP=mOA+nOB+2OC,则m+n的值为（ ）A．1 B．−1 C．2 D．−2【解题思路】先将OP写为OA+AP,再根据平面向量基本定理,将AP写为xAB+yAC,代入OP中,利用向量的加减,化为OA,OB,OC的形式,跟题中对比相等,即可得出结果.【解答过程】由题知OP=OA+AP，∵A,P,B,C四点共面,根据平面向量基本定理,不妨设AP=xAB+yAC,x,y∈R，则OP=OA+xAB+yAC=OA+x(OB−OA)+y(OC−OA)=1−x−yOA+xOB+yOC,∵OP=mOA+nOB+2OC，∴1−x−y=mx=ny=2,∴m+n=1−x−y+x =1−y=−1.故选:B. 名称定义及表示零向量长度为0的向量叫做零向量，记为0单位向量模为1的向量称为单位向量相反向量与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为 －a共线向量(平行向量)如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量a，都有0∥a相等向量方向相同且模相等的向量称为相等向量空间向量的线性运算加法a＋b＝eq \o(OA,\s\up6(→))＋ eq \o(AB,\s\up6(→)) ＝eq \o(OB,\s\up6(→))减法a－b＝eq \o(OA,\s\up6(→))－eq \o(OC,\s\up6(→))＝eq \o(CA,\s\up6(→))数乘当λ>0时，λa＝λeq \o(OA,\s\up6(→))＝eq \o(PQ,\s\up6(→))；当λ<0时，λa＝λeq \o(OA,\s\up6(→))＝eq \o(MN,\s\up6(→))；当λ＝0时，λa＝0运算律交换律：a＋b＝b＋a；结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a；分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.名称定义及表示零向量长度为0的向量叫做零向量，记为0单位向量模为1的向量称为单位向量相反向量与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为 －a共线向量(平行向量)如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量a，都有0∥a相等向量方向相同且模相等的向量称为相等向量空间向量的线性运算加法a＋b＝eq \o(OA,\s\up6(→))＋ eq \o(AB,\s\up6(→)) ＝eq \o(OB,\s\up6(→))减法a－b＝eq \o(OA,\s\up6(→))－eq \o(OC,\s\up6(→))＝eq \o(CA,\s\up6(→))数乘当λ>0时，λa＝λeq \o(OA,\s\up6(→))＝eq \o(PQ,\s\up6(→))；当λ<0时，λa＝λeq \o(OA,\s\up6(→))＝eq \o(MN,\s\up6(→))；当λ＝0时，λa＝0运算律交换律：a＋b＝b＋a；结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a；分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.
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