甘肃省兰州市教育局第四片区2023-2024学年九年级上学期数学期中考试试卷

这是一份甘肃省兰州市教育局第四片区2023-2024学年九年级上学期数学期中考试试卷，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．方程 x2=3x 的解是（ )
A．x=3B．x1=0 ， x2=3
C．x1=0 ， x2=−3D．x1=1 ， x2=3
2．将方程 x2−2x−3=0化为(x−m)2=n 的形式，指出 m，n 分别是（ ）
A．1和3B．-1和3C．1和4D．-1和4
3．已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞PB），AB=4，那么AP的长是（ ）
A．25−2B．2−5C．25−1D．5−2
4．下列命题中，不正确的是（ ）
A．顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形
B．有一个角是直角的菱形是正方形
C．对角线相等且垂直的四边形是正方形
D．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
5．顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得四边形是（ ）
A．矩形B．平行四边形C．菱形D．任意四边形
6．若关于 x 的一元二次方程 (m−1)x2+5x+m2−3m+2=0 有一个根为0，则 m 的值（ ）
A．0B．1或2C．1D．2
7． 根据下列表格对应值：
判断关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个解x的范围是（ ）
A．x<3.24B．3.24C．3.258．一个不透明的盒子里有n个除颜色外其它完全相同的小球，其中有6个黄球．每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后在放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，那么可以推算出n大约是( )
A．6B．10C．18D．20
9．如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与△A1B1C1相似的是（ ）
A．B．
C．D．
10． 连续掷三枚质地均与的硬币，三枚硬币都是正面朝上的概率是（ ）
A．12B．14C．18D．19
11． 某钢铁厂今年1月份钢产量为5000吨，3月份上升到7200吨，设平均每月增长的百分率为x，据题意得方程（ ）
A．5000(1+x)+5000(1+x)2=7200B．5000(1+x2)=7200
C．5000(1+x)2=7200D．5000+5000(1+x)2=7200
12． 如图所示，将矩形ABCD纸对折，设折痕为MN，再把B点叠在折痕线MN上，（如图点B′），若AB=3，则折痕AE的长为（ ）
A．323B．343C．2D．23
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
13． 王芳抛一枚硬币10次，有8次正面朝上，当她抛第11次，正面朝上的概率 ．
14． 已知菱形一条对角线为长82cm，周长是24 cm，则这个菱形的面积是
15． 关于x的一元二次方程kx2+2x−3=0有实数根，则k的取值范围是
16． 如图，正方形ABCD的面积为16，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线BD上有一点P，使PC+PE的和最小，则这个最小值为 .
三、解答题（本大题共12小题，共72分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17． 解方程：(x+5)2=16
18． 解方程2x2=3−7x
19． 解方程：x2−7x+6=0．
20． 解方程：x2+(3+1)x+3=0
21． 如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，分别过C、D作BD、AC的平行线交于点E，求证：四边形OCED是菱形
22． 如图所示，要在20米宽，32米长的矩形耕地上修筑同样宽的三条小路（两条纵向，一条横向，横向与纵向互相垂直），把耕地分成大小不等的六块花田，要使花田面积为570m2，则道路应修多宽？
23． 小敏的爸爸买了某项体育比赛的一张门票，她和哥哥两人都很想去观看．可门票只有一张，读九年级的哥哥想了一个办法，拿了8张扑克牌，将数字为2，3，5，9的四张牌给小敏，将数字为4，6，7，8的四张牌留给自己，并按如下游戏规则进行：小敏和哥哥从各自的四张牌中随机抽出一张，然后将两人抽出的两张扑克牌数字相加，如果和为偶数，则小敏去；如果和为奇数，则哥哥去．
（1）请用画树形图或列表的方法求小敏去看比赛的概率；
（2）哥哥设计的游戏规则公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你设计一种公平的游戏规则．
24．在平面直角坐标系中，分别描出点A(−1，0)，B(0，2)，C(1，0)，D(0，−2)．
（1）试判断四边形ABCD的形状；
（2）若B、D两点不动，你能通过变动点A、C的位置使四边形ABCD成为正方形吗？若能，请写出变动后的点A、C的坐标．
25． 如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD上的点，且AE＝BF＝CG＝DH.
（1）求证：四边形EFGH是矩形；
（2）若E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD的中点，且DG⊥AC，OF＝2cm，求矩形ABCD的面积．
26． 某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销量减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
27．如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AB=6，CD=4，BD=14，点P在BD上移动，以P，C，D为顶点的三角形与△ABP相似时，求PB的长．
28．如图，平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB=1，BC=5．对角线AC，BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC，AD于点E，F．
（1）【问题解决】
证明：当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形；
（2）【类比探究】
试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；
（3）【拓展应用】
在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，说明理由并求出此时AC绕点O顺时针旋转的度数．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
x2=3x，
x2﹣3x=0，
x（x﹣3）=0，
x=0，x﹣3=0，
x1=0，x2=3，
故答案为：B．
【分析】利用因式分解法解方程。
2．【答案】C
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】移项得x2-2x=3，
配方得x2-2x+1=4，
即（x-1）2=4，
∴m=1，n=4．
故答案为：C．
【分析】先将常数项移到等号右边，然后在等号的左右两边加上一次项系数一半的平方，即可配方.
3．【答案】A
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】根据黄金比的定义得： APAB=5−12 ，得 AP=5−12×4=25−2 .
故答案为：A.
【分析】先求出APAB=5−12，再根据AB=4计算求解即可。
4．【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【分析】顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所得四边形是矩形；
既是矩形，又是菱形的四边形是正方形；
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
【解答】A、根据菱形的性质和矩形的判定，知正确；
B、根据正方形的判定，知正确；
C、根据正方形的判定，知必须在平行四边形的基础上，故错误；
D、根据等边三角形的判定，知正确。
故选C．
5．【答案】C
【知识点】中点四边形
【解析】【解答】解：顺次连接对角线相等的四边形各边中点，所得四边形是菱形，
如图所示：
已知：E，F，G，H分别为四边形ABCD各边的中点，且AC=BD，
求证：四边形EFGH为菱形，
证明：∵E，F，G，H分别为四边形ABCD各边的中点，
∴EH为△ABD的中位线，FG为△CBD的中位线，
∴EH∥BD，EH= 12 BD，FG∥BD，FG= 12 BD，
∴EH∥FG，EH=FG= 12 BD，
∴四边形EFGH为平行四边形，
又EF为△ABC的中位线，
∴EF= 12 AC，又EH= 12 BD，且AC=BD，
∴EF=EH，
∴四边形EFGH为菱形．
故答案为：C
【分析】根据三角形中位线定理得出EH∥BD，EH= 12 BD，FG∥BD，FG= 12 BD，故EH∥FG，EH=FG= 12 BD，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出：四边形EFGH为平行四边形，再根据三角形的中位线定理得出EF= 12 AC，又EH= 12 BD，又AC=BD，故EF=EH，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形得出：四边形EFGH为菱形．
6．【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程的根
【解析】【解答】解：根据题意，将x=0代入方程，得：m2-3m+2=0，
解得：m=1或m=2，
又m-1≠0，即m≠1，
∴m=2，
故答案为：D．
【分析】把x=0代入已知方程得到关于m的一元二次方程，通过解方程求得m的值；注意二次项系数不为零，即m-1≠0．
7．【答案】B
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
【解析】【解答】解：根据表格中的对应值可知图象经过（3.24，-0.02）和（3.25，0.01），∴抛物线与X轴的一个交点在点（3.24，-0.02）和（3.25，0.01）之间，
∴关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个解x的范围是 3.24＜x＜3.25.
故答案为：B。
【分析】根据抛物线与x轴交点的纵坐标为0，介于-0.02和0.01之间，且抛物线与x轴交点的横坐标的值就是方程的解，即可得出答案。
8．【答案】D
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．
【解答】由题意可得，6n×100%=30%，
解得，n=20（个)．
故估计n大约有20个．
故选：D．
【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据黄球的频率得到相应的等量关系．
9．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵△A1B1C1中有一个角是135°，
在各个选项中只有B选项中的三角形中有一个角是135°，
故答案为：B
【分析】观察图形可知△A1B1C1中有一个角是135°，观察各选项中的图形，只有B选项中的三角形中有一个角是135°，利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似，可得答案.
10．【答案】C
【知识点】列表法与树状图法；概率公式
【解析】【解答】解：
所有机会均等的结果有8种， 三枚硬币都是正面朝上 的情况有1种，所以 三枚硬币都是正面朝上的概率 P=18.
故答案为：C.
【分析】首先利用树状图分析所有机会均等的结果，以及三枚硬币都是正面朝上的结果，然后根据概率计算公式求得三枚硬币都是正面朝上的概率即可。
11．【答案】C
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：根据题意得：5000（1+x）2=7200.
故答案为：C.
【分析】根据1月份产量为5000吨，可得2月份产量为5000（1+x），3月份产量为：5000（1+x）（1+x）=5000(1+x）2，根据已知条件3月份上升到7200吨， 即可得出方程为5000(1+x）2=7200.
12．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；翻折变换（折叠问题）；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：延长EB'交AD于点F，
由折叠性质知：∠BAE=∠B'AE，∠B=∠AB'E=90°，
∵MN是对折的折痕，
∴EB=FB'，
∴AB'垂直平分EF，
∴AE=AF，
∴∠B'AE=∠B'AF，
∴∠BAE=∠B'AE=∠B'AF=30°，
在Rt△ABE中，由cs∠BAE=ABAE，得：AE=ABcs30°=332=2.
故答案为：C。
【分析】延长EB'交AD于点F，首先根据折叠性质得出∠BAE=∠B'AE，再根据垂直平分线的性质定理得出AE=AF，进一步根据等腰三角形的性质可得出∠BAE=∠B'AE=∠B'AF=30°，然后在Rt△ABE中，根据三角函数定义，即可求得AE的长度。
13．【答案】12
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：抛一杯硬币可能出现2种机会均等的结果：正面朝上和反面朝上，所以正面朝上的概率 =12.
故答案为：12。
【分析】根据概率计算公式，可直接求得正面朝上的概率 。
14．【答案】162cm2
【知识点】菱形的性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：如图，在菱形ABCD中，BD=82cm，
∴BO=42cm，AC⊥BD，
∵菱形ABCD周长是24 cm，
∴AB=6cm，
在Rt△AOB中：AO=AB2−OB2=62−422=2，
∴AC=4，
∴菱形ABCD的面积 =12×AC×BD=12×4×82=162（cm2）。
故答案为：162cm2
【分析】首先根据菱形的性质得出BO=42cm，AC⊥BD，AB=6cm，然后根据勾股定理求得AO=2，进而得出AC=4，然后根据菱形面积计算公式即可得出菱形ABCD的面积。
15．【答案】k≥−13且k≠0
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2+2x−3=0有实数根，
∴∆=22-4k×（-3）=4+12k≥0，且k≠0，
∴k≥−13且k≠0。
故答案为：k≥−13且k≠0
【分析】根据关于x的一元二次方程有实数根，可得根的判别式∆≥0，且k≠0，即可得出k≥−13且k≠0。
16．【答案】4
【知识点】等边三角形的性质；正方形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：连接AC，
∵正方形ABCD，
∴AC⊥BD，OA=OC，
∴C、A关于BD对称，
即C关于BD的对称点是A，
∴CP=AP，
∴EP+CP=EP+AP
连接AE交BD于P'， EP+AP的最小值为AE
即EP+CP的最小值为AE，
∵等边△ABE，
∴EP+CP=AE=AB，
∵正方形ABCD的面积为16，
∴AB=4，
∴EP+CP=4，
故答案为4．
【分析】首先根据正方形的对称性得出AE是 PC+PE 的最小值，然后根据等边三角形的性质得出AE=AB的长，再根据正方形的性质即可得出正方形的边长AB=4，从而得出 PC+PE 的最小值AE=4即可。
17．【答案】解：(x+5)2=16
∴x+5=±4
解得x1=−1，x2=−9．
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【分析】利用直接开平方法解方程，即可得出方程的解。
18．【答案】解：2x2=3−7x
2x2+7x−3=0
a=2，b=7，c=−3
∴Δ=b2−4ac=72−4×2×(−3)=73>0
∴x=−7±734
解得x1=−7+734，x2=−7−734．
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【分析】先明确各项的系数a，b，c的值，再求出根的判别式，根据根的判别式大于0，即可得出方程有两个不等的实数根，进一步根据求根公式求出方程的两个不等的实数根即可。
19．【答案】解：因式分解得(x−1)(x−6)=0，
∴x−1=0或x−6=0，
∴x1=1，x2=6．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】利用因式分解法解方程即可。
20．【答案】解：x2+(3+1)x+3=0
(x+1)(x+3)=0
∴x+1=0或x+3，
解得x1=−1，x2=−3．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】利用因式分解法即可解方程。
21．【答案】证明：∵OD∥CE，OC∥DE(已知)
∴四边形OCED为平行四边形
又∵AC=BD(矩形的对角线相等)
∴12AC=12BD．
即OC=OD．
∴四边形OCED为菱形．
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的性质
【解析】【分析】首先根据平行四边形的定义判定四边形OCED是平行四边形，再根据矩形的性质得出OC=OD，即可得出四边形OCED是菱形。
22．【答案】解：设道路应修xm宽，根据题意得：
(32−2x)(20−x)=570，
整理得：x2−36x+35=0，
解得：x1=1，x2=35（不合题意，舍去），
答：道路应修1m宽．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】 设道路应修xm宽，根据矩形面积计算公式可得：(32−2x)(20−x)=570， 解方程可得方程的解 x1=1，x2=35，根据耕地的长度为32米，故而得出x2不合题意，即可得出道路的宽为1米，作答即可。​​​​​​
23．【答案】（1）解：
从表格可知，所有可能出现的结果共有16种，这些结果出现的可能性相等，而和为偶数的结果共有6种，所以小敏去看比赛的概率P=616=38.
（2）解：不公平.
由（1）得哥哥去看比赛的概率P=1-38=58，
因为38<58，所以哥哥设计的游戏规则不公平.
设计的游戏规则：
规定数字之和小于等于10时小敏（哥哥）去，数字之和大于等于11时哥哥（小敏）去，则两人去看比赛的概率都为12.
【知识点】游戏公平性；概率公式
【解析】【分析】（1）根据列表法得出所有机会均等的结果一共有16种，可求得小敏去看比赛的概率P=616=38；
（2）由（1）知小敏去看比赛的概率P=38，即可求得 哥哥去看比赛的概率P=58， 故而得出游戏不公平，根据所得数据，只需把游戏规则更改为： 规定数字之和小于等于10时小敏（哥哥）去，数字之和大于等于11时哥哥（小敏）去即可，因为这样两人去看比赛的概率都为12.
24．【答案】（1）解：作出四个点的坐标如图所示：
由图可得：OA=OC=1，OB=OD=2，AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：能，
∵正方形也是菱形，当AC=BD时，菱形ABCD是正方形，
∴OA=OB=OC=OD=2，
∴变动后的A点坐标为(2，0)，C点坐标为(−2，0)或A点坐标为(−2，0)，C点坐标为(2，0)．
【知识点】点的坐标；菱形的判定；正方形的判定
【解析】【分析】（1）根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形，即可判定四边形ABCD是菱形；
（2）只需在（1）的条件下，变动A，C的位置，满足OA=OC=OB=OD即可，所以 变动后的A点坐标为(2，0)，C点坐标为(−2，0)或A点坐标为(−2，0)，C点坐标为(2，0) .
25．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OB＝OC＝OD.
∵AE＝BF＝CG＝DH，
∴AO－AE＝OB－BF＝CO－CG＝DO－DH，
即OE＝OF＝OG＝OH，
∴四边形EFGH是矩形．
（2）解：∵G是OC的中点，
∴GO＝GC.
又∵DG⊥AC，
∴CD＝OD
∵F是BO中点，OF＝2cm，
∴BO＝4cm.
∴DO＝BO＝4cm，
∴DC＝4cm，DB＝8cm，
∴CB＝DB2−DC2＝82−42＝43 (cm)，
∴矩形ABCD的面积为4×43＝163 (cm2)．
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；平行四边形的性质；矩形的判定与性质
【解析】【分析】（1）首先根据矩形的性质得出 OA＝OB＝OC＝OD ，然后再根据等式的性质得出 OE＝OF＝OG＝OH， 进一步根据矩形的判定即可得出 四边形EFGH是矩形 ；
（2）首先根据垂直平分线的性质得出CD=OD，在根据矩形的性质得出OD=OB，即可得出CD=2OF=4cm，DB=8cm。进一步根据勾股定理可求得BC=43，根据矩形的面积计算公式，即可得出矩形ABCD的面积为163（ cm2)
26．【答案】解：设每千克应涨价x元，由题意得：
(10+x)(500−20x)=6000，
解得x1=5，x2=10，
要使顾客得到实惠，应取x=5，
答：每千克应涨价5元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】 设每千克应涨价x元， 根据 若每千克涨价1元，日销量减少20千克， 可得出售价为（10+x），销量为（500-20x），再根据 该商场要保证每天盈利6000元 ，即可得出方程 (10+x)(500−20x)=6000，解方程可得出方程的解 x1=5，x2=10，应为要使顾客得到实惠，所以应取 x1=5，故而得出答案。
27．【答案】解：设DP=x，则BP=BD−PD=14−x，
∵AB⊥BD于B，CD⊥BD于D，
∴∠B=∠D=90°，
∴当ABCD=BPDP时，△ABP∽△CDP，即64=14−xx，
解得x=285
BP=14−285=8.4；
当ABDP=BPDC时，△ABP∽△PDC，即6x=14−x4，
整理得x2−14x+24=0，
解得x1=2，x2=12，
BP=14−2=12，BP=14−12=2，
∴当BP为8.4或2或12时，以C、D、P为顶点的三角形与以P、B、A为顶点的三角形相似．
故答案为：8.4或2或12．
【知识点】垂线；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】根据垂直求出 ∠B=∠D=90°， 再分类讨论，根据相似三角形的性质列方程计算求解即可。
28．【答案】（1）证明：当∠AOF=90°时，AB∥EF，
又∵AF∥BE，
∴四边形ABEF为平行四边形．
（2）解：证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AO=CO，∠FAO=∠ECO，∠AOF=∠COE．
∴△AOF≌△COE．
∴AF=EC
（3）解：四边形BEDF可以是菱形．
理由：如图，连接BF，DE，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BO=DO，
由（2）知△AOF≌△COE，得OE=OF，
∴EF与BD互相平分．
∴当EF⊥BD时，四边形BEDF是菱形．
在Rt△ABC中，AC=5−1=2，
∴OA=1=AB，又AB⊥AC，
∴∠AOB=45°，
∴∠AOF=45°，
∴AC绕点O顺时针旋转45°时，四边形BEDF为菱形．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；平行四边形的判定；菱形的判定；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1） 当∠AOF=90°时 ，根据平行四边形的定义，即可得出四边形 ABEF是平行四边形；
（2）根据ASA即可证得△AOF≌△COE，即可得出AF=EC；
（3）首先得出当EF⊥BD时，四边形 BEDF可能是菱 形，可以在Rt△ABC中。根据 AB=1，BC=5 ，由勾股定理求得AC=2，即可得出OA=1，故而得出△AOB是等腰直角三角形，那么∠AOB=45°，即可进一步得出旋转角∠AOF=90°-45°=45°。x
3.24
3.25
3.26
ax2+bx+c
-0.02
0.01
0.03
小敏
哥哥
2
3
5
9
4
（4，2）
（4，3）
（4，5）
（4，9）
6
（6，2）
（6，3）
（6，5）
（6，9）
7
（7，2）
（7，3）
（7，5）
（7，9）
8
（8，2）
（8，3）
（8，5）
（8，9）