甘肃省兰州市教育局第四片区2023-2024学年九年级上学期期末考试数学试题(含答案)

这是一份甘肃省兰州市教育局第四片区2023-2024学年九年级上学期期末考试数学试题(含答案)，共22页。试卷主要包含了单选题，四象限，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．的值等于( )
A．B．C．D．
2．菱形具有而矩形不具有的性质是（ ）
A．对边相等B．对角相等C．对角线互相平分D．对角线互相垂直
3．如图，已知ABCDEF，若AC＝6，CE＝3，DF＝2，则BD的长为（ ）
A．4B．4.5C．5.5D．6
4．如图所示的正三棱柱，它的主视图、左视图、俯视图的顺序是（ ）
A．②①③B．①②③C．③①②D．①③②
5．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．B．且C．D．且
6．在一个不透明的布袋中装有红色、白色玻璃球共40个，除颜色外其他完全相同，其中摸到白色球的概率是，则口袋中白色球可能有（ ）
A．12个B．24个C．32个D．28个
7．对于反比例函数y＝－，下列说法不正确的是( )
A．图象经过点(1，－3)
B．图象分布在第二、四象限
C．当x＞0时，y随x的增大而增大
D．点A(x1，y1)，B(x2，y2)都在反比例函数y＝－的图象上，若x1＜x2，则y1＜y2
8．如图，中，，，，分别在、上，将沿折叠，使点落在点处，若为的中点，则折痕长为（ ）
A．4B．3C．2D．1
9．如图，在平面直角坐标系中，P是第一象限内的点，其坐标是(3，m)，且OP与x轴正半轴的夹角α的正切值是，则sinα的值是( )
A．B．C．D．
10．将一元二次方程化成形如的形式，则的值为（ ）
A．3B．5C．7D．
11．函数与y＝kx+1（k≠0）在同一坐标系内的图象大致为图中的（ ）
A．B．
C．D．
12．如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，AE⊥EF，则下列结论正确的有（ ）
①∠BAE=30°；②CE2=AB·CF；③CF=CD；④△ABE∽△AEF
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题
13．若，则 ．
14．如果两个相似三角形的周长分别是、，小三角形的面积是，那么大三角形的面积是 ．
15．如图，河堤横断面迎水坡的坡比是，堤高，则坡面的长度为 m．
16．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，．若不改变矩形的形状和大小，当矩形顶点在轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点始终在轴的正半轴上随之上下移动．当点移动到某一位置时，则的最大值是 ．
三、解答题
17．解方程：．
18．用配方法解方程：
19．计算：
20．如图，网格中每个小正方形的边长均为，且点，，，均为格点．
(1)在网格中作图：以点为位似中心，将的各边长放大为原来的两倍，，，的对应点分别为；
(2)求的面积．
21．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P（千帕）是气体V（立方米）的反比例函数，其图象如图所示．
（1）求该反比例函数的关系式；
（2）当气球的体积是0.8立方米时，气球内的气压是多少千帕？
22．小明设计了一个摸球实验：在一个不透明的箱子里放入4个相同的小球，球上分别标有数字0，10，20和30，然后从箱子里先后摸出两个小球（第一次摸出后不放回）．
（1）摸出的两个小球上所标的数字之和至少为 ，最多为 ；
（2）请你用画树状图或列表的方法，求出摸出的两个小球上所标的数字之和不低于30的概率．
23．如图，在平行四边形中，过点D作于点F，点E在边上，，连接.求证：四边形是矩形.
24．如图，已知一次函数与反比例函数的图象交于点和．
(1)求反比例函数的解析式和点的坐标；
(2)根据图象回答，当在什么范围内时，一次函数的值大于反比例函数的值？
25．如图，一教学楼AB的高为20m，教学楼后面水塔CD的高为30m，已知BC＝30m，小张的身高EF为1.6m．当小张站在教学楼前E处时，刚好看到教学楼顶端A与水塔顶端D在一条直线上，求此时他与教学楼的距离BE．
26．用条长40厘米的绳子围成一个矩形，设其一边长为x厘米．
（1）若矩形的面积为96平方厘米，求x的值；
（2）矩形的面积是否可以为101平方厘米？如果能，请求x的值；如果不能，请说明理由．
27．如图，塔的高度为30m，塔的底部与桥位于同一水平直线上，由塔顶测得桥两端和的俯角分别为和，求桥的长．（参考数据：，）
28．如图，矩形中，，，点为边上一动点（不与点，重合），交于点．
(1)求证：；
(2)当时，求线段的长度；
(3)当点在线段的垂直平分线上时，求的值．
参考答案：
1．B
【分析】直接写出的值即可
【详解】解：，
故选：B
【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
2．D
【分析】根据菱形与矩形的性质，从边、角、对角线三方面，逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A、对边相等，是菱形和矩形都具有的性质，故选项A不符合题意；
B、对角相等，是矩形和菱形都具有的性质，故选项B不符合题意；
C、对角线互相平分，是矩形和菱形都具有的性质，故选项C不符合题意；
D、对角线互相垂直，是菱形具有而矩形不具有的性质，故选项D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了菱形与矩形的性质，熟练掌握菱形与矩形的性质是解题的关键．
3．A
【分析】根据平行线分线段成比例定理得到比例式，代入数值即可求出BD．
【详解】解：∵AB∥CD∥EF，
∴，
∵AC=6，CE=3，DF=2，
∴，
∴BD=4．
故选：A．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，熟记平行线分线段成比例“三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例“是解决问题的关键．
4．B
【分析】本题考查了简单几何体的三视图．根据简单几何体的三视图，可得答案．
【详解】解：主视图是三角形，左视图是一个长方形，俯视图是两个长方形，
故选：B．
5．B
【分析】根据根的判别式及一元二次方程的定义得出关于k的不等式组，即可求出结果．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
即，
解得：且，
故选：B．
【点睛】本题考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根和判别式的关系是解题的关键．
6．B
【分析】根据概率的意义和“频数=数据总数×频率”计算即可．
【详解】解：∵摸到白色球的频率是，
∴口袋中白色球可能有40×＝24个．
故选B．
【点睛】本题主要考查了概率的应用，掌握“频数=数据总数×频率”成为解答本题的关键．
7．D
【分析】根据反比例函数图象的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】A．∵﹣=﹣3，∴点（1，﹣3）在它的图象上，故本选项正确；
B．k=﹣3＜0，∴它的图象在第二、四象限，故本选项正确；
C．k=﹣3＜0，当x＞0时，y随x的增大而增大，故本选项正确；
D．点A（x1，y1）、B（x2、y2）都在反比例函数y=﹣的图象上，若x1<0y2，故本选项错误．
故选D．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，对于反比例函数y=（k≠0），（1）k＞0，反比例函数图象在一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小；（2）k＜0，反比例函数图象在第二、四象限内，在每一个象限内，y随x的增大而增大．
8．C
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，折叠的性质，现有折叠的性质得到，再由为的中点，得到三点共线，，，证明，即可得到．
【详解】解：由折叠的性质可得，
∵为的中点，
∴三点共线，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选C．
9．A
【详解】解：如图，过点P作PA⊥x轴于点A，则OA＝3．在Rt△POA中，
∵，
∴．
∴．
∴．
故选A．
10．C
【分析】本题考查了解一元二次方程配方法．先把常数项移到方程右边，再把方程两边计算加上4，接着把方程左边写成完全平方的形式，从而得到、的值，然后计算它们的和即可．
【详解】解：，
移项得，
配方得，即，
所以，，
所以．
故选：C．
11．C
【分析】根据反比例函数及一次函数的性质对四个选项进行逐一分析即可．
【详解】解：A、由此反比例函数的图象在二、四象限可知，k＜0；而一次函数的图象经过一、三象限k＞0，相矛盾，故本选项错误；
B、由此反比例函数的图象在一、三象限可知，k＞0；而一次函数的图象经过二、四象限，k＜0，相矛盾，故本选项错误；
C、由此反比例函数的图象在二、四象限可知，k＜0；而一次函数的图象经过一、三象限，k＜0，两结论一致，故本选项正确；
D、由此反比例函数的图象在一、三象限可知，k＞0；而一次函数的图象经过一、三象限，k＜0，因为1＞0，所以此一次函数的图象应经过一、二、三象限，故本选项错误．
故选：C．
【点睛】此题主要考查反比例函数与一次函数图象综合，解题的关键是熟知两函数的图象与性质特点．
12．B
【详解】图形中含有一线三等角模型，得 得 因为BE=CE,得CE2=AB·CF；由得 得△ABE∽△AEF，故②．CE2=AB·CF ④．△ABE∽△AEF正确.故选B.
13．
【分析】根据比例的合比性质计算即可；
【详解】∵，
∴；
故答案是．
【点睛】本题主要考查了比例的性质，准确计算是解题的关键．
14．54
【分析】先根据相似三角形的周长得出其相似比，再根据相似三角形的性质即可得出结论．
【详解】解：∵两个相似三角形的周长分别是10cm、15cm，
∴其相似比=，
∵小三角形的面积是24cm2，
∴，解得S大==54．
故答案为54．
【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．
15．20
【分析】本题考查直角三角形的应用，根据坡比等于铅直高比上水平宽，求出的长，勾股定理求出的长即可．
【详解】解：由题意，得：，，
∴，
∴；
故答案为：20．
16．16
【分析】取AD中点M，连接MC,OM，先求出OM,MC，然后根据三角形三边关系可知，当OMC在一条直线时OC取最大值，此时OC=MC+OM
【详解】如图，取 的中点，连接，，过点 作,如图所示：
矩形 的边，，为的中点，
,
,
在中，由勾股定理得
在中，，
当 不过点时， ,
当 共线时，点到点 的距离有最大值，最大为16．
故答案为：16．
【点睛】本题主要考查矩形的性质，勾股定理，三角形三边关系等知识点，能得到OCM三点共线时CO最大值是解题关键.
17．，
【分析】直接利用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】解：，
，
或，
，．
【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程，正确计算是解题的关键．
18．，；
【分析】本题考查配方法解一元二次方程，移项，配方，直接开平方即可得到答案；
【详解】解：移项得，
，
配方得，
，
即：，
直接开平方得，
，
∴，．
19．
【分析】本题考查了二次根式的混合运算以及特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质，直接利用二次根式的乘除运算法则以及特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质分别化简，进而得出答案．
【详解】解：原式
20．(1)见解析
(2)10
【分析】本题考查了画位似图形．画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心，②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．
（1）利用位似变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可；
（2）把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求．
（2）解：．
答：的面积为10．
21．（1）P=；（2）200千帕
【分析】（1）将已知点的坐标代入到反比例函数的一般形式中即可求得其解析式；
（2）代入V＝0.8求得压强即可；
【详解】解：（1）设表达式为P=，
∵图象经过点（2.5，64），
∴k=2.5×64=160，
所以表达式为P=；
（2）当V=0.8时，P=千帕．
【点睛】本题考查了反比例函数的实际应用．关键是根据图象建立函数关系式，并会运用函数式解答题目的问题．
22．（1）10，50；（2）
【分析】（1）根据题意最少可判断为0+10=10，最多为20+30=50，
（2）列表（见详解），不低于30的所有情况数除以总数即可求概率．
【详解】解：（1）根据题意最少可判断为0+10=10，最多为20+30=50，
故答案为：10，50；
（2）根据题意，列表如下：
从上表可以看出，共有12种等可能结果，其中大于或等于30的共有8种可能结果，因此P（不低于30）＝＝．
【点睛】此题考查概率的计算：列表或树状图求概率．
23．证明见解析
【分析】根据平行四边形的性质可得，，从而可得，即可证明四边形是平行四边形，再根据，即可证明结论．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴，
∴平行四边形是矩形．
【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质、矩形的判定，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
24．(1)，
(2)或
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，根据点的坐标求出反比例函数解析式是解题的关键．
（1）设反比例函数解析式为，把点的坐标代入解析式，利用待定系数法求反比例函数解析式即可，把点的坐标代入反比例函数解析式进行计算求出的值，从而得到点的坐标；
（2）写出一次函数图象在反比例函数图象上方的的取值范围即可．
【详解】（1）解：设反比例函数的解析式为，
反比例函数图象经过点，
，
，
∴反比例函数的解析式为，
在的图象上，
，
，
∴点的坐标为；
（2）解：根据图象得，当或时，一次函数的值大于反比例函数的值．
25．55.2 m
【分析】如图，过点F作FN⊥CD，交CD于点N，交AB于点M，构造相似三角形：△AMF∽△DNF，由该相似三角形的对应边成比例求得答案．
【详解】解：如图，过点F作FN⊥CD，交CD于点N，交AB于点M，
∵AM∥DN，
∴△AMF∽△DNF．
∴．
由题意知，BE=FM，BC=MN=30m，EF=BM=CN=1.6m，FN=FM+MN=BE+BC=（BE+30）m．
∴DN=CD-CN=30-1.6=28.4m，AM=AB-BM=20-1.6=18.4m．
∴．
解得BE=55.2m．
故此时他与教学楼的距离BE为55.2m．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，根据已知得出△AMF∽△DNF是解题关键．
26．(1) 8或12；(2)见解析.
【分析】首先设矩形的长为xcm，则宽为（20-x）cm，再利用矩形面积公式列出方程x（20-x）=96或x（20-x）=101，得出根据根的判别式的符号，进而得出答案．
【详解】解：（1）根据题意得：＝96，
解得：x＝8或12，
答：x＝8或12；
（2）矩形的面积不能为101平方厘米，
理由是：假设矩形的面积可以为101平方厘米，
则x（20﹣x）＝101，
x2﹣20x+101＝0，
△＝（﹣20）2﹣4×1×101＜0，
此方程无解，
所以矩形的面积不能为101平方厘米．
【点睛】本题考查的知识点是一元二次方程的应用，解题关键是熟练运用求根公式.
27．桥的长为21.9m
【分析】在直角中，先求得，然后利用三角函数求得的长，在直角中，先求得，然后利用三角函数求得的长，根据即可求解．
【详解】解：在中，m，，
由，得：
m，
在中，m，，
由，得
，
所以，
答：桥的长为21.9m．
【点睛】本题考查了解直角三角形，正确理解仰角的定义、理解直角三角形中的边和角的关系是解题的关键．
28．(1)证明见解析；
(2)；
(3)
【分析】本题考查的是相似三角形的判定和性质、矩形的性质、线段垂直平分线的性质以及锐角三角函数的定义，掌握相关的定理、性质、定义是解题的关键．
（1）根据矩形的性质和相似三角形的判定定理证明即可；
（2）根据垂直的定义、相似三角形的性质列出比例式，计算即可；
（3）连接，根据线段垂直平分线的性质得到，设，根据勾股定理列出关于的方程，解方程即可．
【详解】（1）证明：四边形是矩形，
∴，
，，
；
（2）解：，
，又，
，又，
，
，即，
解得，；
（3）解：连接，
点在线段的垂直平分线上，
，
设，则，，
由勾股定理得，，即，
解得，，
，
．
第一次
第二次
0
10
20
30
0
10
20
30
10
10
30
40
20
20
30
50
30
30
40
50