06，甘肃省兰州市城关区兰州市第四片区2023-2024学年九年级上学期期中数学试题

这是一份06，甘肃省兰州市城关区兰州市第四片区2023-2024学年九年级上学期期中数学试题，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 方程的解是（ ）
A. B. ，C. ，D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】
∴或
解得，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
2. 将方程的形式，指出分别是（ ）
A. 1和3 B. -1和3C. 1和4D. -1和4
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用，把左边配成完全平方式，右边化为常数．
【详解】移项得x2-2x=3，
配方得x2-2x+1=4，
即（x-1）2=4，
∴m=1，n=4．
故选C．
【点睛】用配方法解一元二次方程的步骤：
（1）形如x2+px+q=0型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．
（2）形如ax2+bx+c=0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x2+px+q=0，然后配方．
3. 已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞PB），AB=4，那么AP的长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】根据黄金比的定义得： ，得 .故选A.
4. 下列命题中，不正确的是（ ）
A. 顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形．
B. 有一个角是直角的菱形是正方形．
C. 对角线相等且垂直的四边形是正方形．
D. 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
【答案】C
【解析】
【分析】顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所得四边形是矩形；既是矩形，又是菱形的四边形是正方形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
【详解】A、根据菱形的性质和矩形的判定，知正确；
B、根据正方形的判定，知正确；
C、根据正方形的判定，知必须在平行四边形的基础上，故错误；
D、根据等边三角形的判定，知正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了特殊四边形的判定、等边三角形的判定．
5. 顺次连接对角线相等的四边形各边中点，所得四边形是( )
A. 矩形B. 平行四边形C. 菱形D. 任意四边形
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意画出四边形ABCD，E，F，G，H分别为各边中点，写出已知，求证，由E，H分别为AB，AD的中点，得到EH为三角形ABD的中位线，根据三角形的中位线定理得到EH平行于BD，且等于BD的一半，同理FG平行于BD，且等于BD的一半，可得出EH与FG平行且相等，根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形得出EFGH为平行四边形，再由EF为三角形ABC的中位线，得出EF等于AC的一半，由EH等于BD的一半，且AC=BD，可得出EH=EF，根据邻边相等的平行四边形为菱形可得证．
【详解】顺次连接对角线相等的四边形各边中点，所得四边形是菱形，
如图所示：

已知：E，F，G，H分别为四边形ABCD各边的中点，且AC=BD，
求证：四边形EFGH为菱形，
证明：∵E，F，G，H分别为四边形ABCD各边的中点，
∴EH为△ABD的中位线，FG为△CBD的中位线，
∴EH∥BD，EH=BD，FG∥BD，FG=BD，
∴EH∥FG，EH=FG=BD，
∴四边形EFGH为平行四边形，
又EF为△ABC的中位线，
∴EF=AC，又EH=BD，且AC=BD，
∴EF=EH，
∴四边形EFGH为菱形．
故选C
【点睛】此题考查了三角形的中位线定理，平行四边形的判定，以及菱形的判定，利用了数形结合及等量代换的思想，灵活运用三角形中位线定理是解本题的关键．
6. 若关于的一元二次方程有一个根为，则的值（ ）
A. B. 或C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意可得，且，再求解关于m的方程即可.
【详解】解：∵关于的一元二次方程有一个根为，
∴，且，
解得：；
故选：D.
【点睛】本题考查了一元二次方程的解、因式分解法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的基本知识是解题的关键，注意在求出m的值后，还要使方程的二次项系数不为0.
7. 根据下列表格对应值：
判断关于x的方程的一个解x的范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用和所对应的的值可判断关于x的方程的一个解x的范围．
【详解】解：∵当时，，当时，，
∴关于x的方程的一个解x的范围是．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程解的估算，解题的关键是根据表格中的数据，找出一元二次方程一个解的范围．
8. 一个不透明的盒子里有n个除颜色外其它完全相同的小球，其中有6个黄球．每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后在放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，那么可以推算出n大约是（ ）
A. 6B. 10C. 18D. 20
【答案】D
【解析】
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．
【详解】解：由题意可得，，
故估计n大约有20个．
故选D．
【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据黄球的频率得到相应的等量关系．
9. 如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与相似的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．根据相似三角形的判定方法一一判断即可．
【详解】解：设各个小正方形的边长为1，则已知的三角形的各边分别为1，，，
A、因为三边分别为：，，3，三边不能与已知三角形各边对应成比例，故两三角形不相似；
B、因为三边分别为：2，，，三边与已知三角形的各边对应成比例，，故两三角形相似；
C、因为三边分别为：1，，，三边不能与已知三角形各边对应成比例，故两三角形不相似；
D、因为三边分另为：2，，，三边不能与已知三角形各边对应成比例，故两三角形不相似，
故选：B．
10. 连续掷三枚质地均与的硬币，三枚硬币都是正面朝上的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先根据题意画出树状图，然后根据树状图求得所有等可能的结果与三次都是正面朝上的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】画树状图得：

∵共有8种等可能的结果，三次都是正面朝上的有1种情况，
∴三次都是正面朝上的概率是：．
故选C．
【点睛】此题考查的是用树状图法求概率的知识．注意树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．
11. 某钢铁厂今年1月份钢产量为5000吨，3月份上升到7200吨，设平均每月增长的百分率为，据题意得方程（ ）
A B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设平均每月增长的百分率为，根据1月份钢产量为5000吨，3月份上升到7200吨，列出方程即可．
【详解】解：设平均每月增长的百分率为，据题意得方程；
故选C．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用—增长率问题．找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键．
12. 如图所示，将矩形ABCD纸对折，设折痕为MN，再把B点叠在折痕线MN上，（如图点B′），若，则折痕AE的长为（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】C
【解析】
【分析】先作辅助线，然后根据折叠的性质和解直角三角形计算．
【详解】解：延长EB′与AD交于点F，
∵∠AB′E=∠B=90°，MN是对折折痕，
∴EB′=FB′，∠AB′E=∠AB′F，
在△AEB′和△AFB′中，，
∴△AEB′≌△AFB′，
∴AE=AF，
∴∠B′AE=∠B′AD，
∵∠BAE=∠B′AE=∠B′AD；
∴∠EAB=30°，
∴EB=EA，
设EB=x，AE=2x，
∴（2x）2=x2+AB2，x=1，
∴AE=2，
则折痕AE=2，
故选C．
【点睛】本题通过折叠变换考查学生的逻辑思维能力，解决此类问题，应结合题意，最好实际操作图形的折叠，易于找到图形间的关系．
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
13. 王芳抛一枚硬币10次，有8次正面朝上，当她抛第11次，正面朝上的概率__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据一枚硬币只有正反两面，抛掷硬币正反出现的概率是相同的即可得到答案．
【详解】解：一枚硬币只有正反两面，抛掷硬币正反出现的概率是相同的，
抛掷一枚硬币，硬币落地后，正面朝上的概率是，
当她抛第11次，正面朝上的概率，
故答案为：．
【点睛】本题考查是概率的公式，注意抛硬币只有两种情况，每次抛出的概率都是一致的，与次数无关．
14. 已知菱形一条对角线为长8cm，周长是24 cm，则这个菱形的面积是______
【答案】
【解析】
【分析】画出草图分析，因为周长是24，所以边长是6，根据对角线互相垂直平分得直角三角形，运用勾股定理求另一条对角线的长，最后根据菱形的面积等于对角线乘积的一半计算求解．
【详解】因为周长是24cm，所以边长是6cm，如图所示：
AB=10cm，AC=8cm，
根据菱形的性质，AC⊥BD，AO=4cm，AB=6cm，
在Rt△AOB中，BO==2cm，
∴BD=2BO=4cm，
∴面积S=×4×8=16（cm2）．
故答案为16．
【点睛】本题考查了菱形的四条边相等的性质，以及对角线互相垂直平分的性质，还考查了菱形面积的计算，对角线乘积的一半．
15. 关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是______
【答案】且
【解析】
【分析】根据方程根的情况可以判定其根的判别式的取值范围，进而可以得到关于的不等式，解不等式即可，同时还应注意二次项系数不能为0．
【详解】由题意可知：，
∴，
∵，
∴且，
故答案为：且．
【点睛】考查了一元二次方程根的判别式，解题关键是了解根的判别式如何决定一元二次方程根的情况．
16. 如图，正方形ABCD的面积为16，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线BD上有一点P，使PC+PE的和最小，则这个最小值为_______.
【答案】4
【解析】
【分析】根据正方形的性质，推出C、A关于BD对称，推出CP=AP，推出EP+CP=AE，根据等边三角形性质推出AE=AB=EP+CP，根据正方形面积公式求出AB即可．
【详解】连接AC，
∵正方形ABCD，
∴AC⊥BD，OA=OC，
∴C、A关于BD对称，
即C关于BD的对称点是A，
∴CP=AP，
∴EP+CP=EP+AP
连接AE交BD于P’， EP+AP的最小值为AE
即EP+CP的最小值为AE，
∵等边△ABE，
∴EP+CP=AE=AB，
∵正方形ABCD的面积为16，
∴AB=4，
∴EP+CP=4，
故答案为4．
【点睛】本题考查了正方形的性质，轴对称-最短问题，等边三角形的性质等知识点的应用，解此题的关键是确定P的位置和求出EP+CP的最小值是AE，题目比较典型，但有一定的难度，主要培养学生分析问题和解决问题的能力．
三、解答题（本大题共12小题，共72分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 解方程：
【答案】，
【解析】
【分析】利用直接开方法解一元二次方程即可．
【详解】
∴
解得，．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
18. 解方程
【答案】，
【解析】
【分析】利用公式法解一元二次方程即可．
【详解】
，，
∴
∴
解得，．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
19. 解方程：．
【答案】，
【解析】
【分析】用因式分解法解一元二次方程即可
【详解】解：因式分解得，
∴或，
∴，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，能够根据方程特点灵活选用不同的解法是解题关键．
20. 解方程：
【答案】，
【解析】
【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】
∴或，
解得，．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
21. 如图，矩形的对角线、交于点，分别过、作、的平行线交于点，求证：四边形是菱形
【答案】见解析
【解析】
【分析】先证四边形为平行四边形，再由矩形的性质得．从而即可证明四边形为菱形．
【详解】证明：∵已知
∴四边形为平行四边形
又∵矩形的对角线相等
∴．
即．
∴四边形为菱形．
【点睛】本题主要考查了菱形判定以及矩形的性质，熟练掌握菱形的判定是解题的关键．
22. 如图所示，要在米宽，米长的矩形耕地上修筑同样宽的三条小路（两条纵向，一条横向，横向与纵向互相垂直），把耕地分成大小不等的六块花田，要使花田面积为，则道路应修多宽？
【答案】1米
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用；设道路应修宽，根据花田面积为，建立方程，解方程结合题意取舍的值，即可求解．
【详解】解：设道路应修宽，根据题意得：
，
整理得：，
解得：（不合题意，舍去），
答：道路应修宽．
23. 小敏的爸爸买了某项体育比赛的一张门票，她和哥哥两人都很想去观看．可门票只有一张，读九年级的哥哥想了一个办法，拿了8张扑克牌，将数字为2，3，5，9的四张牌给小敏，将数字为4，6，7，8的四张牌留给自己，并按如下游戏规则进行：小敏和哥哥从各自的四张牌中随机抽出一张，然后将两人抽出的两张扑克牌数字相加，如果和为偶数，则小敏去；如果和为奇数，则哥哥去．
1.请用画树形图或列表的方法求小敏去看比赛的概率；
2.哥哥设计的游戏规则公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你设计一种公平的游戏规则．
【答案】【小题1】；【小题2】不公平；见详解.
【解析】
【分析】游戏是否公平，关键要看游戏双方获胜的机会是否相等，即判断双方取胜的概率是否相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等．
【详解】（1）
从表格可知，所有可能出现的结果共有16种，这些结果出现的可能性相等，而和为偶数的结果共有6种，所以小敏去看比赛的概率P==
（2）不公平.
由（1）得哥哥去看比赛的概率P=1-=，
因为<，所以哥哥设计的游戏规则不公平.
设计的游戏规则：
规定数字之和小于等于10时小敏（哥哥）去，数字之和大于等于11时哥哥（小敏）去，则两人去看比赛的概率都为.
24. 在平面直角坐标系中，分别描出点，，，．

（1）试判断四边形的形状；
（2）若两点不动，你能通过变动点的位置使四边形成为正方形吗？若能，请写出变动后的点的坐标．
【答案】（1）四边形是菱形
（2）能，点坐标为，点坐标为或点坐标为，点坐标为
【解析】
【分析】（1）作出四个点的坐标，结合图形以及菱形的判定分析即可得到答案；
（2）由正方形也是菱形，只要对角线相等即可得出菱形是正方形，从而得到答案．
【小问1详解】
解：作出四个点的坐标如图所示：

由图可得：，，，
四边形是菱形；
【小问2详解】
解：能，
正方形也是菱形，当时，菱形是正方形，
，
变动后的点坐标为，点坐标为或点坐标为，点坐标为．
【点睛】本题考查了坐标与图形、菱形的判定、正方形的判定，熟练掌握以上知识点，采用数形结合的思想是解此题的关键．
25. 如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD上的点，且AE＝BF＝CG＝DH.
(1)求证：四边形EFGH是矩形；
(2)若E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD的中点，且DG⊥AC，OF＝2cm，求矩形ABCD的面积．

【答案】(1)证明见解析；(2)矩形ABCD的面积为16(cm2)．
【解析】
【分析】（1）首先证明四边形EFGH是平行四边形，然后再证明HF=EG；
（2）根据题干求出矩形的边长CD和BC，然后根据矩形面积公式求得．
【详解】证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OB＝OC＝OD.
∵AE＝BF＝CG＝DH，
∴AO－AE＝OB－BF＝CO－CG＝DO－DH，
即OE＝OF＝OG＝OH，
∴四边形EFGH是矩形．
解：∵G是OC的中点，
∴GO＝GC.
又∵DG⊥AC，
∴CD＝OD.
∵F是BO中点，OF＝2cm，
∴BO＝4cm.
∴DO＝BO＝4cm，
∴DC＝4cm，DB＝8cm，
∴CB＝＝4 (cm)，
∴矩形ABCD的面积为4×4＝16 (cm2)．
【点睛】本题主要考查矩形的判定，首先要判定四边形是平行四边形，然后证明对角线相等．
26. 某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销量减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
【答案】每千克应涨价5元
【解析】
【分析】设每千克应涨价元，根据每千克涨价元，日销售量将减少千克，每天盈利元，列出方程，求解即可．
【详解】解：设每千克应涨价元，由题意得：
，
解得，，
要使顾客得到实惠，应取，
答：每千克应涨价5元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系．
27. 如图，，，，，，点在上移动，以，，为顶点的三角形与相似时，求的长．
【答案】8.4或2或12．
【解析】
【分析】设，则，根据垂直的定义得到，再根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，当时，，则；当时，，即；然后分别解方程求出即可．
【详解】解：设，则，
于，于，
，
当时，，即，
解得
；
当时，，即，
整理得，
解得，，
，，
当为8.4或2或12时，以、、为顶点的三角形与以、、为顶点的三角形相似．
故答案为：8.4或2或12．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
28. 如图，平行四边形中，，，．对角线相交于点，将直线绕点顺时针旋转，分别交于点．
【问题解决】
（1）证明：当旋转角为时，四边形是平行四边形；
【类比探究】
（2）试说明在旋转过程中，线段与总保持相等；
【拓展应用】
（3）在旋转过程中，四边形可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，说明理由并求出此时绕点顺时针旋转的度数．

【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）四边形可以是菱形．理由见详解，旋转角为45°
【解析】
【分析】（1）根据平行四边形的判定即可求证；
（2）根据三角形全等的性质即可求得其相等；
（3）根据菱形的判定及其性质求解即可．
【详解】（1）证明：当时，，
又，
四边形为平行四边形．
（2）证明：四边形为平行四边形，
．
．
（3）四边形可以是菱形．
理由：如图，连接，

∵四边形为平行四边形，
∴，
由（2）知，得，
与互相平分．
当时，四边形为菱形．
在中，，
，又，
，
，
绕点顺时针旋转时，四边形为菱形．
【点睛】本题主要考查平行四边形性质以及菱形的判定和性质，熟练掌握菱形的判定是解题的关键．
x
小敏
哥哥
2
3
5
9
4
（4，2）
（4，3）
（4，5）
（4，9）
6
（6，2）
（6，3）
（6，5）
（6，9）
7
（7，2）
（7，3）
（7，5）
（7，9）
8
（8，2）
（8，3）
（8，5）
（8，9）