78，甘肃省武威市凉州区武威第十六中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题

这是一份78，甘肃省武威市凉州区武威第十六中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题，共16页。试卷主要包含了选择题，计算题等内容，欢迎下载使用。

（满分：120分）
一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 下列方程中，一元二次方程有（ ）
①3x2+x＝20；②2x2﹣3xy+4＝0；③；④x2＝1；⑤
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
【答案】B
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
【详解】解：①符合一元二次方程定义，正确；
②方程含有两个未知数，错误；
③不是整式方程，错误；
④符合一元二次方程定义，正确；
⑤符合一元二次方程定义，正确．
故选B．
【点睛】判断一个方程是否是一元二次方程时，首先判断方程是整式方程，若是整式方程，再把方程进行化简，化简后是含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，在判断时，一定要注意二次项系数不是0．
2. 一元二次方程x（x﹣1）=0根是（ ）
A. 1B. 0C. 0或1D. 0或﹣1
【答案】C
【解析】
【分析】由x（x﹣1）=0可得x＝0或x﹣1＝0，即可求得方程的根．
【详解】解：x（x﹣1）=0，
可得x＝0或x﹣1＝0，
解得x1＝0，x2＝1，您看到的资料都源自我们平台，家威杏 MXSJ663 低至0.3元/份故选：C
【点睛】此题考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握因式分解法解一元二次方程的步骤是解题的关键．
3. 一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根
C. 只有一个实数根D. 没有实数根
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程根的情况与判别式的关系，根据题中的一元二次方程计算出，即可得到答案，熟记一元二次方程根的情况与判别式的关系是解决问题的关键．
【详解】解：，
，
一元二次方程没有实数根，
故选：D．
4. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．配方法的一般步骤：①把常数项移到等号的右边；②把二次项的系数化为1；③等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
【详解】解：由原方程移项，得
，
方程的两边同时加上一次项系数的一半的平方1，得
故选：C
5. 下列是几个汽车的标志，其中是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】A、中心对称图形，故本选项正确；
B、不是中心对称图形，故本选项错误；
C、不是中心对称图形，故本选项错误；
D、不是中心对称图形，故本选项错误．
故选A．
6. 下列函数中，是二次函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次函数的定义：形如( a≠0)的函数叫二次函数，直接判断即可．
【详解】解：A、符合二次函数的定义，本选项符合题意；
B、是一次函数，不符合题意；
C、是反比例函数，不符合题意；
D、不是二次函数，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．
7. 如果点在抛物线上，则这个抛物线的对称轴是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查二次函数图像与性质，涉及抛物线上点的坐标特征，根据点在抛物线上，由值相等即可得到对称轴为，熟记抛物线图像与性质是解决问题的关键．
【详解】解：点在抛物线上，
这个抛物线的对称轴是，
故选：A．
8. 如图，若一次函数的图象经过二、三、四象限，则二次函数的图象可能是
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据一次函数的性质判断出a、b的正负情况，再根据二次函数的性质判断出开口方向与对称轴，然后选择即可．
【详解】解：的图象经过二、三、四象限，
，，
抛物线开口方向向下，
抛物线对称轴为直线，
对称轴在y轴的左边，
纵观各选项，只有C选项符合．
故选C．
【点睛】本题考查了二次函数的图象，一次函数的图象与系数的关系，主要利用了二次函数的开口方向与对称轴，确定出a、b的正负情况是解题的关键．
9. 把二次函数的图象向右平移2个单位后，再向上平移3个单位，所得的函数图象顶点是( )
A. (－5，1)B. (1，－5)C. (－1，1)D. (－1，3)
【答案】C
【解析】
【分析】先将二次函数一般式化为顶点式，再根据平移的规则移动即可.
【详解】解：，
向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，，
故平移后抛物线顶点坐标为（-1,1）.
故选择C.
【点睛】本题考查了抛物线的平移，平移前要先将一般式化为顶点式.
10. 如图，三个顶点的坐标分别为，，，将绕点C按顺时针方向旋转，得到，则点D的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了旋转的性质，直接利用旋转的性质得出对应点位置进而得出答案；
【详解】解：∵，，，
∴，轴，
∵绕点C按顺时针方向旋转，得到，
∴，，
∴B，C，D三点在一条直线上，
∴，
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共30分）
11. 若方程是关于x的一元二次方程，则m的值是________．
【答案】
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义:只含有一个未知数,并且未知数的最高指数是2的整式方程,且二次项系数不等于0,即可进行求解,
【详解】由题意得:
解得:m=-2.
故答案为：
【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义,解决本题的关键是要熟练掌握一元二次方程的定义.
12. 关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m＝0的一个根为1，则方程的另一根为_____．
【答案】
【解析】
【详解】把代入，得，
所以方程为，
解这个方程，得.
故答案为：.
13. 当________时，代数式的值等于．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意列出方程，两边除以3变形后，再加上1配方后，开方即可求出解．
【详解】解：根据题意得：3x2-6x=12，即x2-2x=4，
配方得：x2-2x+1=5，即（x-1）2=5，
开方得：x-1=±，
解得：x=1±．
故答案为1±．
【点睛】此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
14. 菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程的一个根，则菱形ABCD的周长为_____
【答案】16
【解析】
【分析】边AB的长是方程x2-7x+12=0的一个根，解方程求得x的值，根据菱形ABCD的一条对角线长为6，根据三角形的三边关系可得出菱形的边长，即可求得菱形ABCD的周长．
【详解】∵解方程x2-7x+12=0得：x=3或4
∵对角线长为6，3+3=6，不能构成三角形；
∴菱形的边长为4．
∴菱形ABCD的周长为4×4=16．
故答案为：16
【点睛】本题考查菱形的性质，由于菱形的对角线和两边组成了一个三角形，根据三角形三边的关系来判断出菱形的边长是多少，然后根据题目中的要求进行解答即可．
15. 二次函数的图象的顶点坐标是_________________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数顶点式的性质，根据二次函数的图象的顶点坐标为求解即可．
【详解】解：根据二次函数的顶点式可得，二次函数的图象的顶点坐标为．
故答案为：．
16. 若抛物线y＝x2－2x－2的顶点为A，与y轴的交点为B，则过A，B两点的直线的解析式为____________．
【答案】y＝－x－2
【解析】
【分析】将抛物线一般式写为顶点式确定A的坐标，再令x=0确定B的坐标，设直线的一般式代入A、B两点即可求解.
【详解】解：y＝x2－2x－2= (x-1)2－3，则A（1，-3）；令x=0，则y=-2，即B（0，-2），
设直线解析式为y=kx+b，代入AB两点可得：
，解得，k=-1，b=-2，
则直线的解析式为：y＝－x－2.
故答案为y＝－x－2.
【点睛】本题结合一次函数解析式的求解考查了二次函数的顶点式相关概念.
17. 抛物线与直线的交点坐标是___________________．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查的是函数图象交点的求法，联立两函数的解析式，所得方程组的解，即为两个函数图象的交点坐标．
【详解】解：：联立两函数的解析式，
可得：，
解得：，，
故抛物线与直线的交点坐标是，，
故答案为：，．
18. 把二次函数y=2x2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后抛物线的解析式为____________．
【答案】或（答出这两种形式中任意一种均得分）
【解析】
【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答．
【详解】由“左加右减”的原则可知，将二次函数y=2x2的图象向左平移1个单位长度所得抛物线的解析式为：y=2（x+1）2，即y=2（x+1）2；由“上加下减”的原则可知，将抛物线y=2（x+1）2向下平移2个单位长度所得抛物线的解析式为：y=2（x+1）2﹣2，即y=2（x+1）2﹣2．
故答案为y=2（x+1）2﹣2．
考点：二次函数图象与几何变换．
19. 直线上有一点，则点关于原点的对称点为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查求一次函数的函数值，坐标与中心对称．先将代入解析式，求出的值，再根据关于原点对称的点的横纵坐标均互为相反数，求出的坐标即可．
【详解】解：把代入，得：，
∴，
∴点关于原点的对称点为；
故答案为：．
20. 如图，△DEC与△ABC关于点C成中心对称，AB＝3，AC＝1，∠D＝90°，则AE的长是_____．

【答案】
【解析】
【分析】根据中心对称图形性质可得，再利用勾股定理即可得.
【详解】与关于点C成中心对称
故答案为：.
【点睛】本题考查了中心对称图形的性质、勾股定理，熟记中心对称图形的性质是解题关键.
三、计算题（共60分）
21. 按要求解下列方程：
用配方法解：（1）x2﹣4x+1＝0．
用公式法解：（2）．
【答案】(1) x1＝2+，x2＝2﹣；(2) x1＝，x2＝．
【解析】
【分析】（1）利用配方法解一元二次方程，即可求出答案；
（2）利用公式法解一元二次方程，即可求出答案．
【详解】解：（1），
∵x2﹣4x＝﹣1，
∴x2﹣4x+4＝﹣1+4，即（x﹣2）2＝3，
则x﹣2＝，
∴x1＝2+，x2＝2﹣；
（2），
∵a＝1，b＝﹣，c＝﹣，
∴△＝（﹣）2﹣4×1×（﹣）＝3＞0，
则x＝，
即x1＝，x2＝．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握配方法和公式法解一元二次方程．
22. 已知关于x的方程的一个解与方程解相同．
（1）求k的值；
（2）求方程的另一个根．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】此题主要考查方程解的意义，及同解方程、解方程等知识．注意运用根与系数的关系使运算简便．
（1）分式方程较完整，可先求出分式方程的解，代入整式方程即可求得k的值；
（2）根据两根之积即可求得另一根．
【小问1详解】
解：由解得，
经检验是方程的解．
把代入方程，
得：，
解得：；
【小问2详解】
由（1）知方程化为：，
方程的一个根为2，则设它的另一根为，
则有：
．
23. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，三个顶点的坐标分别为A（2，2），B（1，0），C（3，1）．=
①将△ABC关于x轴作轴对称变换得△A1B1C1，则点C1的坐标为 ；
②将△ABC绕原点O按逆时针方向旋转90°得△A2B2C2，则点C2的坐标为 ；
③△A1B1C1与△A2B2C2成中心对称吗？若成中心对称，则对称中心的坐标为 ．
【答案】（1）（3，﹣1）（2）（﹣1，3）（3）（，）
【解析】
【详解】试题分析：（1）根据轴对称图形的性质可知点C的坐标为（3，-1）；
（2）根据旋转变换图形的性质也可求出点C2的坐标；
（3）成中心对称，连续各对称点，连线的交点就是对称中心，从而可以找出对称中心的坐标．
试题解析：根据题意作图：
（1）点C1的坐标为（3，﹣1）；
（2）点C2的坐标为（﹣1，3）；
（3）△A1B1C1与△A2B2C2成中心对称，
对称中心坐标为（，）．
24. 商场某种商品平均每天可销售40件，每件盈利50元，节日期间，为了尽快减少库存压力，尽可能的让利消费者，商场决定采取适当降价的措施进行促销．经市场调研发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．设每件商品降价x元．
（1）降价促销后商场每件商品盈利______元，平均每天日销售量增加______件；
（2）在上述条件不变的情况下，商场要实现日盈利额到2400元，则每件商品降价多少元？
【答案】（1）(50﹣x)，2x；（2）商场每件商品要降价20元
【解析】
【分析】（1）直接利用盈利-降价=降价后盈利，再结合每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件，进而得出答案；
（2）利用销量×每件利润=2400，进而得出等式求出答案．
【详解】解：（1）降价促销后商场每件商品盈利：（50﹣x）元，
平均每天日销售量增加：2x 元；
故答案为：（50﹣x），2x；
（2）由题意列方程为：（50﹣x）（40+2x）＝2400，
解得：x1＝20，x2＝10（不合题意，舍去），
答：商场每件商品要降价20元，即让利消费者又能实现2400元的日盈利．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，正确表示出销量与每件利润是解题关键．
25. 二次函数y=x2+bx+c的图象经过点（4，3），（3，0）．
（1）求b、c的值；
（2）求该二次函数图象的顶点坐标和对称轴．
【答案】（1） ；（2）顶点坐标为（2，﹣1），对称轴为直线x=2
【解析】
【详解】解：（1）∵二次函数y=x2+bx+c的图象经过点（4，3），（3，0），
∴ ，
解得 ；
（2）∵该二次函数为y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1．
∴该二次函数图象的顶点坐标为（2，﹣1），对称轴为直线x=2.
26. 已知抛物线与轴的两个交点分别为，且，，求此抛物线的解析式．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查求抛物线解析式，涉及解二元一次方程组、抛物线的图像与性质等知识，根据，，求出，由题意利用抛物线的解析式的交点式即可得到答案，熟练掌握求抛物线解析式的方法是解决问题的关键．
【详解】解：，
，
，
，解得，则，
，
抛物线与轴的两个交点分别为，
，即，
抛物线的解析式为．
27. 已知抛物线经过点，且经过直线与x轴的交点B及与y轴的交点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求抛物线的顶点坐标；
（3）若点M在第四象限内的抛物线上，且，垂足为D，求点M的坐标．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数综合，求二次函数解析式，求二次函数的顶点坐标，等腰直角三角形的性质与判定等等：
（1）先根据一次函数解析式求出B、C坐标，再把A、B、C坐标代入二次函数解析式中进行求解即可；
（2）把（1）所求解析式化为顶点式即可得到答案；
（3）过点D作轴于E，先求出，得到，再由 得到是等腰直角三角形，确定，求出直线解析式为，联立，求解即可．
【小问1详解】
解：在中，当时，，当时，，
∴，
把，代入中得：
∴，
∴抛物线解析式为
【小问2详解】
解；∵抛物线解析式为，
∴抛物线的顶点坐标为；
【小问3详解】
解：如图所示，过点D作轴于E，
∵，
∴，
∴，
∵，垂足为D，
∴是等腰直角三角形，
又∵，
∴，
∴，
设直线解析式为，则，
∴，
∴直线解析式为，
联立，解得或（舍去），
∴．