2022-2023学年甘肃省兰州市教育局第四片区七年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年甘肃省兰州市教育局第四片区七年级（下）期中数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  有“新材料之王”称号的石墨烯在新能源、电子信息、航天航空、生物医药等领域具有广阔的应用前景石墨烯中每两个相邻碳原子间的键长为米，数用科学记数法表示是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  在计算时，最佳的方法是(    )

A. 运用多项式乘多项式法则 B. 运用平方差公式
C. 运用单项式乘多项式法则 D. 运用完全平方公式

4.  如图，给出了过直线外一点作已知直线的平行线的方法，其依据是(    )
 

A. 同位角相等，两直线平行 B. 内错角相等，两直线平行
C. 同旁内角互补，两直线平行 D. 两直线平行，同位角相等

5.  如图，已知，以点为圆心，以任意长为半径画弧，分别交，于点，，再以点为圆心，以长为半径画弧，交弧于点，画射线若，则的补角的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  若，则，的值分别是(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

7.  下列说法正确的是．(    )

A. 如果两个角相等，那么这两个角是对顶角
B. 内错角相等
C. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
D. 一个角的补角一定是钝角

8.  某地区用电量与应缴电费之间的关系如下表：则下列叙述错误的是(    )

A. 用电量每增加千瓦时，电费增加元
B. 若用电量为千瓦时，则应缴电费元
C. 若应缴电费为元，则用电量为千瓦时
D. 应缴电费随用电量的增加而增加

9.  如图，直线，被直线所截，现给出下列四个条件：；；；其中能判定的条件的个数有(    )

A. 个
B. 个
C. 个
D. 个

10.  已知，，，则、、的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D.

11.  一张长方形纸条按如图所示折叠，是折痕，若，则：；；；以上结论正确的有(    )

A.  B.  C.  D.

12.  如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”如，即，均为“和谐数”，在不超过的正整数中，所有的“和谐数”之和为(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

13.  已知，则 ______ ．

14.  如图，在四边形中，点在的延长线上，连接，如果添加一个条件，使，那么可添加的条件为______ 写出一个即可．

15.  计算： ______ ．

16.  若，那么的值为______．

17.  如图，点从的顶点出发，沿匀速运动到点，图是点运动时，线段的长度随时间变化的关系图象，其中为曲线部分的最低点，则边上的高长为______ ．

三、解答题（本大题共9小题，共69.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.  本小题分
计算题：
；
；
；
．

19.  本小题分
如图所示是一位病人的体温记录图，看图回答下列问题：
自变量是______，因变量是______．
这位病人的最高体温是______摄氏度，最低体温是______摄氏度．
他在月日时的体温是______摄氏度．

20.  本小题分
请把下列的证明过程补充完整：
已知：如图，，求证：．
证明：与是对顶角，
______
又已知．
，
______ ，
______
已知，
______ ，
______

21.  本小题分
阅读下面这位同学的计算过程，并完成任务．
先化简，再求值：，其中，．
解：原式，第一步
，第二步
，第三步
当，时，原式第四步
第一步运算用到了乘法公式______ 写出种即可；
以上步骤第______ 步出现了错误；
请写出正确的解答过程．

22.  本小题分
如图，梯形的上底长是，下底长是，当梯形的高由大变小时，梯形的面积也随之发生变化．
求梯形的面积与高之间的表达式．
当梯形的高由变化到时，则梯形的面积如何变化？

23.  本小题分
如图，某市有一块长为米，宽为米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像，则绿化的面积是多少平方米？并求出当，时的绿化面积．

24.  本小题分
如图为直线上一点，，平分，．
求的度数；
试判断是否平分，并说明理由；
的余角是______ ．

25.  本小题分
历史上的数学巨人欧拉最先把关于的多项式用记号来表示例如：
，当时，多项式的值用来表示例如时，多项式的值记为．
已知，求值；
已知，当，求的值；
已知为常数，若对于任意有理数，总有，求，的值．

26.  本小题分
问题情境：
我们知道，“如果两条平行被第三条直线所截，所截得的同位角相等，内错角相等，同旁内角互补”，所以在某些探究性度量中通过“构造平行线”可以起到转化角的作用．
已知三角板中，，，，长方形中，．
问题初探：
如图，若将三角板的顶点放在长方形的边上，与相交于点，于点则的度数是多少呢？若过点作，则，这样就将转化为，转化为，从而可以求得的度数为．
请你直接写出：______，______
类比再探：
若将三角板按图所示方式摆放与不垂直，请你猜想与的数量关系？并说明理由．
方法迁移：
请你总结，解决问题的思路，在图中探究与的数量关系？并说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
绝对值小于的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】
根据同底数幂的除法法则，合并同类项法则，单项式乘单项式法则和完全平方公式对每个选项的结论作出判断即可得出结论．
【解答】
解：，选项的计算正确；
，选项的计算不正确；
，选项的计算不正确；
，选项的计算不正确．
故选：．
【点评】
本题主要考查了同底数幂的除法法则，合并同类项法则，单项式乘单项式法则和完全平方公式，正确使用上述法则与公式进行运算是解题的关键．  

3.【答案】 

【解析】解：

，
即运用了平方差公式，
故选：．
根据平方差公式的特点得出即可．
本题考查了完全平方公式，单项式乘以多项式，多项式乘以多项式，平方差公式等知识点，能熟记平方差公式是解此题的关键，注意：．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了平行线的判定方法．这是以后做题的基础．要求学生熟练掌握．
判定两条直线是平行线的方法有：可以由内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补两直线平行等，应结合题意，具体情况，具体分析．
【解答】
解：图中所示过直线外一点作已知直线的平行线，则利用了同位角相等，两直线平行的判定方法．
故选：．  

5.【答案】 

【解析】解：由作图可知：，
，
的补角的度数，
故选：．
根据作一个角等于已知角的作法即可得出，求得，再根据补角的定义计算即可结论．
本题考查的是尺规作图和补角的定义，熟知作一个角等于已知角的步骤是解答此题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
，，
故选：．
直接利用多项式乘法计算得出答案．
此题主要考查了多项式乘多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：、如果两个角相等，那么这两个角不一定是对顶角，还要看这两个角的位置关系，不正确；
B、两直线平行，内错角相等，不正确；
C、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，正确；
D、一个角的补角可能是直角，也可能是锐角或钝角，不正确；
故选：．
根据对顶角的定义，平行线的性质，平行公理和互补的定义分别进行判断，即可求出答案．
此题考查了平行公理及推论，用到的知识点是对顶角的定义，平行线的性质，平行公理和互补的定义，熟练掌握公理和概念是解决本题的关键，是一道基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：用电量每增加千瓦时，电费增加元，故本选项正确；
B.若用电量为千瓦时，则应缴电费元，故本选项正确；
C.若所缴电费为元，则用电量为千瓦时，故本选项错误；
D.所缴电费随用电量的增加而增加，故本选项正确；
故选：．
根据用电量与应缴电费之间成正比例关系，即可得出结论．
本题考查了函数的表示方法，解决本题的关键是掌握函数的表示方法．
 

9.【答案】 

【解析】解：当同位角相等，则，故正确；
当内错角，则，故正确；
当同旁内角，，故正确；
与是邻补角，则，当不能判定两直线平行，故错误；
故选：．
分别利用平行线的判定方法：定理：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．简单说成：同位角相等，两直线平行．
定理：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行．
 定理：两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：同旁内角互补，两直线平行，进而得出答案．
此题主要考查了平行线的判定，正确把握平行线的判定方法是解题关键．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了幂的乘方与积的乘方，熟练掌握幂的乘方运算法则是解本题的关键．
先把，，转化为底数为的幂，再根据幂的乘方，底数不变，指数相乘化简．然后根据指数的大小即可比较大小．
【解答】
解：，
，
．
则．
故选：．  

11.【答案】 

【解析】解：四边形是长方形，
，
，
由折叠的性质可得，
故正确；
，
，
故正确；
，
，
故正确；
又，
由折叠的性质可得：，
故正确．
结论正确的有．
故选：．
先根据平行线的性质可得的度数，根据折叠的性质可得，进而可得，，即可判断；再利用平行线的性质可得的度数，即可判断；再根据折叠的性质可得的度数，进而可得的度数，即可判断．
本题主要考查平行线的性质和折叠的性质，解题关键是熟练掌握平行线的性质和折叠的性质．
 

12.【答案】 

【解析】解：，，，，，，
，，，，，，
和谐数”都是的倍数，
，
不超过的正整数中，最大的“和谐数”是，
在不超过的正整数中，所有的“和谐数”有，，，，，，，，一共有个，



．
故选：．
根据题意，不超过的正整数中，“和谐数”有，，，，，，再把它们相加，求出在不超过的正整数中，所有的“和谐数”之和即可．
此题主要考查了因式分解的应用，解答此题的关键是判断出在不超过的正整数中，“和谐数”有哪些．
 

13.【答案】 

【解析】解：当时，



．
故答案为：．
利用同底数幂的除法的法则进行运算即可．
本题主要考查同底数幂的除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

14.【答案】答案不唯一 

【解析】解：，
．
故答案为：答案不唯一．
内错角相等，两直线平行；据此即可求解．
本题主要考查了平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
 

15.【答案】 

【解析】解：




．
故答案为：．
根据积的乘方运算法则计算即可，积的乘方，等于每个因式乘方的积．
本题主要考查了积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：

，
当时，原式


，
故答案为：．
先去括号，再合并同类项，然后把代入化简后的式子进行计算即可解答．
本题考查了整式的混合运算化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：由图看到，点从运动到的过程中，先从开始增大，到达点时达到最大，对应图可得此时，即；
点从运动到的过程中，先减小，到达时达到最小，对应图可得此时；
而后又开始增大，到达点时达到最大，即，所以为等腰三角形．
由图形和图象可得，时，，
过点作于，则．

故AC边上的高长为．
故答案为：．
由图看到，点从运动到的过程中，先从开始增大，到达点时达到最大，对应图可得此时，即；点从运动到的过程中，先减小，到达时达到最小，对应图可得此时；而后又开始增大，到达点时达到最大，即，所以为等腰三角形．据此可得边上的高长为．
本题考查了函数图象的理解和应用，等腰三角形的性质．把图形和图象结合理解得到线段长度是解决本题的关键．
 

18.【答案】解：

；



；


；


． 

【解析】先算有理数的乘方、绝对值、负整数指数幂、零指数幂，然后计算加减法即可；
先算幂的乘方与积的乘方，再算单项式的乘法，最后合并同类项即可；
根据多项式乘单项式的方法计算即可；
根据多项式乘多项式计算即可．
本题考查整式的混合运算、实数的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
 

19.【答案】时间  温度       

【解析】解：自变量是时间，因变量是温度，
故答案为：时间，温度；
这位病人的最高体温是摄氏度，最低体温是摄氏度，
故答案为：，；
他在月日时的体温是摄氏度，
故答案为：．
根据折线统计图可知，体温随时间变化解答即可；
找出折线图中的最高点和最低点即可；
找出折线图中时间为时对应的温度即可．
此题主要考查了常量和变量以及折线统计图，准确的从统计图中获取信息是解答此题的关键．
 

20.【答案】对顶角相等  同旁内角互补，两直线平行  两直线平行，同位角相等  等量代换  内错角相等，两直线平行 

【解析】证明：与是对顶角，
对顶角相等．
已知．
等量代换．
同旁内角互补，两直线平行．
两直线平行，同位角相等．
又已知．
等量代换．
内错角相等，两直线平行．
故答案为：对顶角相等；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行．
围绕证题思路，结合图形，利用平行线的性质及判定逐步分析解答．
本题利用了平行线的判定和性质，还利用了对顶角相等，等量代换等知识．
 

21.【答案】或  一 

【解析】解：第一步运算用到了乘法公式或；
故答案为：或；
以上步骤第一步出现了错误，错误的原因是去括号时符号错误；
故答案为：一；




，
当，时，原式．
根据平方差公式，完全平方公式即可得出答案；
根据去括号法则可知第一步出现了错误；
根据整式的混合运算顺序解答即可．
本题考查了整式的混合运算，解题的关键是掌握相关运算法则．
 

22.【答案】解：由题意得：，
梯形的面积与高之间的关系式为：；
当时，，
当时，，
当梯形的高由变化到时，梯形的面积由变化到． 

【解析】根据梯形的面积公式即可解答；
把和分别代入中的关系式即可解答．
本题考查了函数关系式，常量与变量，熟练掌握梯形的面积计算公式是解题的关键．
 

23.【答案】解：阴影部分的面积

平方米
当，时，原式平方米． 

【解析】本题考查的是多项式乘多项式，多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
根据多项式乘多项式的法则求出阴影部分的面积，代入计算即可．
 

24.【答案】解：，平分，
，
；
是的平分线．理由如下：
，，
，
，
，
是的平分线；
和． 

【解析】解：见答案；
见答案；
，，
的余角是和．
故答案为：和．
直接利用角平分线的性质得出答案；
直接平角的定义结合角平分线的定义得出答案；
根据余角的定义解答即可．
此题主要考查了角平分线的定义，正确得出各角的度数是解题关键．
 

25.【答案】解：把代入得：；即；

把，代入得：，
解得：；

把，代入，得
．
整理，得

，为常数，对于任意有理数，总有，
，，
则，． 

【解析】把代入中进行计算；
把代入，使其值为，计算即可求出的值；
把，代入来求，的值．
本题考查了有理数的混合运算和新定义，关键是培养学生的阅读能力和理解能力，也培养学生的计算能力，题目比较典型，是一道比较好的题目．
 

26.【答案】；
，
证明：如图，过作，则，









，，
，
，
；
，
证明：如图，过作，则，
，，
，
，
． 

【解析】

解：由题可得，，
；
故答案为：，；
见答案
见答案
【分析】
过点作，则，这样就将转化为，转化为，从而可以求得的度数；
过作，依据平行线的性质，即可得到内错角相等，进而得出；
过作，依据平行线的性质，即可得到内错角相等，进而得出．
本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是作辅助线构造内错角，利用平行线的性质进行推算．