2021-2022学年甘肃省兰州市教育局第四片区八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年甘肃省兰州市教育局第四片区八年级（下）期中数学试卷

副标题

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 已知，则下列不等式成立的是

A.  B.
C.  D.

2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称的图形是

A.  B.
C.  D.

3. 下列式子从左边到右边的变形中，是分解因式的是

A.  B.
C.  D.

4. 如图，是等边三角形，且，则是

A. 等边三角形
B. 等腰三角形
C. 钝角三角形
D. 直角三角形

5. 如图，四边形中，，连接，添加下列条件后仍不能判定与全等的是

A.
B.
C.
D.
 

6. 某校学生会组织七年级和八年级共名同学参加环保活动，七年级学生平均每人收集个废弃塑料瓶，八年级学生平均每人收集个废弃塑料瓶．为了保证所收集的塑料瓶总数不少于个，至少需要多少名八年级学生参加活动？设需要名八年级学生参加活动，则下列不等式正确的是

A.  B.
C.  D.

7. 如图，将沿直线向右平移后到达的位置，连接、，若的面积为，则的面积为

A.
B.
C.
D.

8. 把分解因式，结果正确的是

A.  B.  C.  D.

9. 如图所示，在中，平分，于，，，，则长是

A.  B.  C.  D.

10. 观察图，可以得出不等式组的解集是 

A.  B.  C.  D.

11. 在中，若三边长，，满足，，的周长是

A.  B.  C.  D.

12. 如图，和都是等腰直角三角形，，连结交于点，连结交于点，连结下列结论中，正确的结论有
    ；
    是等腰直角三角形；
    ；
    ；
    ．

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13. 分解因式：______．
14. 不等式的解集为______．
15. 如图，在中，是的垂直平分线，与交于点，，，则的长为______ ．
    
     

16. 如图，中，，把绕点顺时针旋转到的位置，交直线于点若，，当线段的长为______ 时，是等腰三角形．
    
    
     

三、解答题（本大题共12小题，共72.0分）

17. 解不等式组．
18. 分解因式：．
19. 如图，平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，平移到，其中点的对应点的坐标为．
    
    请在图中画出；
    若将到的过程看成两步平移，请描述平移过程：______．
    已知与关于原点中心对称，请在图中画出，此时与关于某点中心对称这一点的坐标为______．
20. 已知：如图，是的外角，，且．
    求证：．
     

21. 已知：，，求下列多项式的值．
    
     
22. 如图，在中，，，将沿方向向右平移得到．
    试求出的度数；
    若，请求出的长度．
23. 在平面直角坐标系中，直线：与直线：交于点．
    求的值；
    直接写出关于的不等式的解集．

24. 如图，在中，，是延长线上一点，是上的一点，且在的垂直平分线上，交于点，求证：点在的垂直平分线上．

25. 某公司保安部去商店购买同一品牌的应急灯和手电筒，查看定价后发现，购买一个应急灯和个手电筒共需元，购买个应急灯和个手电筒共需元．

求出该品牌应急灯、手电筒的定价分别是多少元

经商谈，商店给予该公司购买一个该品牌应急灯赠送一个该品牌手电筒的优惠，如果该公司需要手电筒的个数是应急灯个数的倍还多个，且该公司购买应急灯和手电筒的总费用不超过元，那么该公司最多可购买多少个该品牌应急灯

26. 阅读学习
    课堂上，老师带领同学们学习了“提公因式法、公式法”两种因式分解的方法．分解因式的方法还有许多，如分组分解法．它的定义是：将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫分组分解法．使用这种方法的关键在于分组适当，而在分组时，必须有预见性．能预见到下一步能继续分解．例如：
    ；
    ．
    学以致用
    请仿照上面的做法，将下列各式分解因式：
    ；
    ．
    拓展应用
    已知：，求：的值．
27. 如图，中，，，、在上，，为了探究、、之间的等量关系，现将绕顺时针旋转后成，连接，经探究，你所得到的、、之间的等量关系式是______ 无须证明
    
    如图，在中，，，、在上，、，试仿照的方法，利用图形的旋转变换，探究、、之间的等量关系，并证明你的结论．

如图，边长为的等边中，点、分别是边、上的动点端点除外，点从顶点，点从顶点同时出发，且它们的速度都为，连接，交于点，在点，运动的过程中．



求证：≌；
的大小是否发生变化？若无变化，求的度数；若有变化，请说明理由；
连接，当点，运动多少秒时，是直角三角形？
答案和解析

1.【答案】

【解析】解：、根据不等式的基本性质不等式两边加或减同一个数或式子，不等号的方向不变，故本选项错误；
B、不等式两边乘或除以同一个正数，不等号的方向不变，故本选项错误；
C、不等式两边乘或除以同一个负数，不等号的方向改变，正确；
D、不等式两边乘或除以同一个正数，等式两边加或减同一个数或式子，不等号方向不变．故本选项错误．
故选：．
根据不等式的性质分析判断．
本题主要考查不等式的性质：
不等式两边加或减同一个数或式子，不等号的方向不变；
不等式两边乘或除以同一个正数，不等号的方向不变；
不等式两边乘或除以同一个负数，不等号的方向改变．
 

2.【答案】

【解析】解：是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
C.不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
 

3.【答案】

【解析】解：等式的右边不是几个整式的积的形式，即从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B.是整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C.从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
D.等式的右边不是几个整式的积的形式，即从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
故选：．
把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，依据分解因式的定义进行判断即可．
本题考查了因式分解的定义，解题时注意因式分解与整式乘法是相反的过程，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式．
 

4.【答案】

【解析】解：为等边三角形，
，，
，
，
即，
在、和中，
，
≌≌，
，
为等边三角形，
故选：．
证≌≌，得，可得结论．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解答此题的关键．
 

5.【答案】

【解析】解：由题意可得，
，，
若，则≌，故选项A不符合题意；
若，则≌，故选项B不符合题意；
若，无法判定与全等，故选项C符合题意；
若，则≌，故选项D不符合题意；
故选：．
根据已知可得到，，然后根据各个选项中的条件，分别判断即可．
本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确全等三角形的判定方法：、、、．
 

6.【答案】

【解析】解：设八年级有名学生参加活动，则七年级参加活动的人数为，
根据题意，得：，
解得：，
答：至少需要名八年级学生参加活动．
故选：．
设至少需要个八年级学生参加活动，则参加活动的七年级学生为个，由收集塑料瓶总数不少于个建立不等式求出其解即可．
本题考查了列一元一次不等式解实际问题的运用和解一元一次不等式，解答时由收集塑料瓶总数不少于个建立不等式是解题的关键．
 

7.【答案】

【解析】解：沿直线向右平移后到达的位置，
，，
，
，
．
故选：．
根据平移的性质得到，，利用三角形面积公式得到，然后利用得到．
本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．
 

8.【答案】

【解析】解：，
，
．
故选：．
先添加带负号的括号，再利用完全平方公式进行因式分解．
主要考查完全平方公式的运用，熟练掌握公式结构是解题的关键．
 

9.【答案】

【解析】解：作于，如图，
平分，，，
，
，
，
．
故选：．
作于，如图，根据角平分线的性质得到，再利用面积法得，然后解关于的方程即可．
本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
 

10.【答案】

【解析】解：直线交轴于点，
的解集为：，
直线交轴于点，
的解集为：，
不等式组的解集是：．
故选：．
根据直线交轴于点，直线交轴于点，再结合图象即可得出两不等式的解集，进而得出答案．
本题考查了一次函数与一元一次不等式，属于基础题，关键是正确根据图象解题．
 

11.【答案】

【解析】解：，
．
．
．
．
故选：．
先因式分解已知等式，找到，，的关系，再求周长．
本题考查因式分解的应用，将已知等式移项后因式分解是求解本题的关键．
 

12.【答案】

【解析】解：，和都是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
在和中，，
≌，
，故正确；
，
，
在中，，
，
，故正确；
由勾股定理，在中，，
在中，，
，
在中，，
在中，，
，
，故正确；
只有时，，
，
无法说明，故错误；
≌，
，
与相等无法证明，
不一定成立，故错误；
综上所述，正确的结论有共个．
故选C
根据等腰直角三角形的性质可得，，然后求出，再利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，判断正确；根据全等三角形对应角相等可得，从而求出，再求出，从而得到，根据四边形的面积判断出正确；根据勾股定理表示出，，得到正确；再求出时，，判断出错误；与不一定相等判断出错误．
此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半的性质，熟记各性质是解题的关键．
 

13.【答案】

【解析】解：
．
故答案为：．
直接提取公因式，再利用公式法分解因式得出答案．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
 

14.【答案】

【解析】解：移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化为，得：，
故答案为：．
根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为可得．
本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
 

15.【答案】

【解析】解：是的垂直平分线，，
，
，
故答案为：．
根据线段垂直平分线的性质求出，结合图形计算，得到答案．
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
 

16.【答案】或或

【解析】解：三角形是等腰三角形，有如下三种情况：
当时，三角形是等腰三角形；

当时，
，，
，
．
，
时，三角形是等腰三角形；

当时，如图．过点作于．
的面积，
．
在中，，由勾股定理知，
．
在中，，由勾股定理知．
故当线段的长为或或时，是等腰三角形．
要使三角形是等腰三角形，可以有三种情况：
当时，三角形是等腰三角形；
当时，根据等角的余角相等得，则，即时，三角形是等腰三角形；
当时，首先过点作于，运用面积法求得上的高是然后在直角中由勾股定理求出的长度，从而求得的长度．最后在直角中，由勾股定理求出的长度．
注意此题的多种情况，运用旋转的性质得到对应的线段相等，对应的角相等，再进行分析．
 

17.【答案】解：不等式组整理得：，
解得：．

【解析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．
此题考查了解一元一次不等式，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键．
 

18.【答案】解：原式
．

【解析】根据完全平方公式进行计算即可．
本题考查运用公式法分解因式，掌握完全平方公式的结构特征是正确应用的前提．
 

19.【答案】将先向右平移个单位，再向下平移个单位得到 

【解析】解：如图，为所求；
将先向右平移个单位，再向下平移个单位得到．
故答案为：将先向右平移个单位，再向下平移个单位得到．

如图，为所求；与关于点中心对称，对称中心的坐标为．
故答案为：．
利用点和点的坐标特征得到平移的方向与距离，然后利用此平移规律得到、的坐标，然后描点即可；
由得到平移过程：
连接、、交于点，这个点为对称中心．
本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移变换．
 

20.【答案】证明：，
，，
，
，
．

【解析】根据，利用平行线的性质可得，，等量代换易得，进而可得．
本题考查了平行线的性质、等腰三角形的判定，解题的关键是充分利用平行的性质．
 

21.【答案】解：
将，，代入，
原式．
，
将，，代入，
原式．

【解析】分组分解后，变形得到，的形式即可；
分组分解后，变形得到，的形式即可．
本题考查了因式分解的应用，解题的关键是把原式进行分组分解后，变形得到两数和、两数积的形式．
 

22.【答案】解：在中，，，
，
由平移得，；
由平移得，，
，，
，
．

【解析】根据平移可得，对应角相等，由的度数可得的度数；
根据平移可得，对应点连线的长度相等，由的长可得的长．
本题主要考查了平移的性质，注意：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；连接各组对应点的线段平行且相等．
 

23.【答案】解：直线 ： 与直线 ： 交于点 ，
，
解得；
根据图象可知，不等式的解集为．

【解析】将点代入，即可求出；
根据图中即可确定不等式的解集．
本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，求出点坐标是解题的关键．
 

24.【答案】解：垂直平分，
，
，
，
，
，，
，
，
点在的垂直平分线上．

【解析】根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据平行线的性质得到，，等量代换得到，根据得到结论．
本题考查了线段的垂直平分线的性质平行线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
 

25.【答案】解：设购买应急灯的定价是元，购买手电筒的定价是元．
根据题意得，
解得．
答：购买应急灯的定价是元，购买手电筒的定价是元；

设公司购买应急灯的个数为，则还需要购买手电筒的个数是，
由题意得，
解得．
答：该公司最多可购买个该品牌的应急灯．

【解析】设购买该品牌应急灯的定价是元，购买手电筒的定价是元，根据等量关系：购买一个应急灯和个手电筒共需元；购买个应急灯和个手电筒共需元；列出方程组求解即可；
设公司购买应急灯的个数为，则还需要购买手电筒的个数是个，则根据“该公司购买应急灯和手电筒的总费用不超过元”列出不等式．
本题考查了一元一次不等式和二元一次方程组的应用．解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量不等量关系．
 

26.【答案】解：
．



．
【拓展应用】



，，
代入得：原式．

【解析】先分组，再分解．
分组分解．
拓展应用：分组分解后整体代换求值．
本题考查分组分解，正确分组是求解本题的关键．
 

27.【答案】；
仿照可证，≌，
故BF，≌，故FD，
，
，故，
在中，由勾股定理，得，
．

【解析】

【分析】
本题考查了旋转的性质，全等三角形的证明及勾股定理的运用．
将 绕 顺时针旋转 后成 ，可证 ≌ ，故 BF ，旋转角 ，又 ，故 ，易证 ≌ ，故 FD ，在 中，由勾股定理得线段 、 、 之间的等量关系式；
方法同 ，由 可得 ，故 ，斜边 ，直角边 ，由勾股定理建立等量关系．
【解答】
解： 线段 、 、 之间的等量关系式是： ；
理由： 中， ， ，
，由旋转的性质可知， ≌ ，
， ，
，旋转角 ，又 ，
故 ，
易证 ≌ ，故 FD ，
在 中，由勾股定理得： ；
即： ．
故答案为 ；   

28.【答案】证明：是等边三角形，
，，
点、的速度相同，
，
在和中，
，
≌；
解：的大小不发生变化，
≌，
，
；
解：设点，运动秒时，是直角三角形，
则，，
当时，
，
，即，
解得，，
当时，
，
，即，
解得，，
当点，运动秒或秒时，是直角三角形．

【解析】根据等边三角形的性质、三角形全等的判定定理证明；
根据全等三角形的性质得到，根据三角形的外角的性质解答；
分和两种情况，根据直角三角形的性质计算即可．
本题考查的是全等三角形的判定、直径三角形的性质，掌握等边三角形的性质、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．