人教A版 (2019)6.3 平面向量基本定理及坐标表示同步练习题

这是一份人教A版 (2019)6.3 平面向量基本定理及坐标表示同步练习题，共11页。试卷主要包含了D　2，BD　[，eq \f等内容，欢迎下载使用。


1．若{e1，e2}是平面内的一个基底，则下列四组向量中可以作为平面向量的基底的是( )
A．{e1－e2，e2－e1}
B.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(2e1－e2，e1－\f(1,2)e2))
C．{2e2－3e1,6e1－4e2}
D．{e1＋e2，e1＋3e2}
2.如图所示，在矩形ABCD中，eq \(BC,\s\up6(→))＝5e1，eq \(DC,\s\up6(→))＝3e2，则eq \(OC,\s\up6(→))等于( )
A.eq \f(1,2)(5e1＋3e2) B.eq \f(1,2)(5e1－3e2)
C.eq \f(1,2)(3e2－5e1) D.eq \f(1,2)(5e2－3e1)
3．设向量e1与e2不共线，若3xe1＋(10－y)e2＝(4y－7)e1＋2xe2，则实数x，y的值分别为( )
A．0,0 B．1,1 C．3,0 D．3,4
4．(多选)如果{e1，e2}是平面α内所有向量的一个基底，那么下列说法正确的是( )
A．若存在实数λ1，λ2使λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＝λ2＝0
B．对平面α内任一向量a都可以表示为a＝λ1e1＋λ2e2，其中λ1，λ2∈R
C．λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2∈R)不一定在平面α内
D．对于平面α内任一向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的实数λ1，λ2有无数对
5．在△ABC中，eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up6(→))，DE∥BC，且与边AC相交于点E，△ABC的中线AM与DE相交于点N，设eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AC,\s\up6(→))＝b，则eq \(DN,\s\up6(→))用a，b表示为( )
A.eq \f(1,4)(a－b) B.eq \f(1,4)(b－a)
C.eq \f(1,8)(a－b) D.eq \f(1,8)(b－a)
6.如图，在△ABC中，eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))，eq \(BP,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(BD,\s\up6(→))，若eq \(AP,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AC,\s\up6(→))，则eq \f(λ,μ)等于( )
A.eq \f(3,2) B.eq \f(2,3) C．3 D.eq \f(1,3)
7.如图，在△MAB中，C是边AB上的一点，且AC＝5CB，设eq \(MA,\s\up6(→))＝a，eq \(MB,\s\up6(→))＝b，则eq \(MC,\s\up6(→))＝______.(用a，b表示)
8．已知向量a在基底{e1，e2}下可以表示为a＝2e1＋3e2，若a在基底{e1＋e2，e1－e2}下可表示为a＝λ(e1＋e2)＋μ(e1－e2)，则λ＝______，μ＝______.
9.如图，在平行四边形ABCD中，设eq \(AC,\s\up6(→))＝a，eq \(BD,\s\up6(→))＝b，试用基底{a，b}表示eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→)).
10．设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2.
(1)证明：{a，b}可以作为一个基底；
(2)以{a，b}为基底表示向量c＝3e1－e2.
11．若eq \(OP1,\s\up6(——→))＝a，eq \(OP2,\s\up6(——→))＝b，eq \(P1P,\s\up6(——→))＝λeq \(PP2,\s\up6(——→))(λ≠－1)，则eq \(OP,\s\up6(→))等于( )
A．a＋λb B．λa＋(1－λ)b
C．λa＋b D.eq \f(1,1＋λ)a＋eq \f(λ,1＋λ)b
12.如图，AB是⊙O的直径，点C，D是半圆弧AB的两个三等分点，eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AC,\s\up6(→))＝b，则eq \(AD,\s\up6(→))等于( )
A．a－eq \f(1,2)b
B.eq \f(1,2)a－b
C．a＋eq \f(1,2)b
D.eq \f(1,2)a＋b
13．(多选)已知M为△ABC的重心，D为BC的中点，则下列等式成立的是( )
A．|eq \(MA,\s\up6(→))|＝|eq \(MB,\s\up6(→))|＝|eq \(MC,\s\up6(→))|
B.eq \(MA,\s\up6(→))＋eq \(MB,\s\up6(→))＋eq \(MC,\s\up6(→))＝0
C.eq \(BM,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(BD,\s\up6(→))
D．S△MBC＝eq \f(1,3)S△ABC
14．已知在平行四边形ABCD中，E为CD的中点，eq \(AP,\s\up6(→))＝yeq \(AD,\s\up6(→))，eq \(AQ,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))，其中x，y∈R，且均不为0.若eq \(PQ,\s\up6(→))∥eq \(BE,\s\up6(→))，则eq \f(x,y)＝________.
15.如图，平面内有三个向量eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))，eq \(OC,\s\up6(→))，其中eq \(OA,\s\up6(→))与eq \(OB,\s\up6(→))的夹角为120°，eq \(OA,\s\up6(→))与eq \(OC,\s\up6(→))的夹角为30°，且|eq \(OA,\s\up6(→))|＝|eq \(OB,\s\up6(→))|＝1，|eq \(OC,\s\up6(→))|＝2eq \r(3).若eq \(OC,\s\up6(→))＝λeq \(OA,\s\up6(→))＋μeq \(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝________.
16.如图所示，在▱ABCD中，eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AD,\s\up6(→))＝b，BM＝eq \f(2,3)BC，AN＝eq \f(1,4)AB.
(1)试用向量a，b来表示eq \(DN,\s\up6(→))，eq \(AM,\s\up6(→))；
(2)若AM交DN于点O，求AO∶OM的值．
6.3.1 平面向量基本定理
1.D 2.A 3.D 4.AB 5.D 6.A 7.eq \f(1,6)a＋eq \f(5,6)b 8.eq \f(5,2) －eq \f(1,2)
9.解 方法一 设AC，BD交于点O(图略)，
则有eq \(AO,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)a，
eq \(BO,\s\up6(→))＝eq \(OD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)b.
所以eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(AO,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \(AO,\s\up6(→))－eq \(BO,\s\up6(→))
＝eq \f(1,2)a－eq \f(1,2)b，
eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(BO,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b.
方法二 设eq \(AB,\s\up6(→))＝x，eq \(BC,\s\up6(→))＝y，
则eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))＝y，
又eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up6(→))＋\(BC,\s\up6(→))＝\(AC,\s\up6(→))，,\(AD,\s\up6(→))－\(AB,\s\up6(→))＝\(BD,\s\up6(→))，))
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝a，,y－x＝b，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(1,2)a－\f(1,2)b，,y＝\f(1,2)a＋\f(1,2)b，))
即eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)a－eq \f(1,2)b，eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b.
10.(1)证明 假设a＝λb(λ∈R)，
则e1－2e2＝λ(e1＋3e2).
由e1，e2不共线，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝1，,3λ＝－2，))方程组无解，
所以λ不存在.
故a与b不共线，可以作为一个基底.
(2)解 设c＝ma＋nb(m，n∈R)，
则3e1－e2＝m(e1－2e2)＋n(e1＋3e2)
＝(m＋n)e1＋(－2m＋3n)e2.
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＋n＝3，,－2m＋3n＝－1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝2，,n＝1.))
所以c＝2a＋b.
11.D
12.D [连接CD，OD(图略)，
∵点C，D是半圆弧AB的两个三等分点，
∴＝，
∴CD∥AB，∠CAD＝∠DAB＝30°，
∵OA＝OD，
∴∠ADO＝∠DAO＝30°，
∴∠CAD＝∠ADO＝30°，
∴AC∥DO，
∴四边形ACDO为平行四边形，eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AO,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)).
∵eq \(AO,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)a，eq \(AC,\s\up6(→))＝b，
∴eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)a＋b.]
13.BD [
如图，M为△ABC的重心，则eq \(MA,\s\up6(→))＋eq \(MB,\s\up6(→))＋eq \(MC,\s\up6(→))＝0，A错误，B正确；
eq \(BM,\s\up6(→))＝eq \(BD,\s\up6(→))＋eq \(DM,\s\up6(→))＝eq \(BD,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(DA,\s\up6(→))＝eq \(BD,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)(eq \(BA,\s\up6(→))－eq \(BD,\s\up6(→)))＝eq \f(1,3)eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(BD,\s\up6(→))，C错误；
由DM＝eq \f(1,2)AM＝eq \f(1,3)AD得S△MBC＝eq \f(1,3)S△ABC，D正确.]
14.eq \f(1,2)
解析 eq \(PQ,\s\up6(→))＝eq \(AQ,\s\up6(→))－eq \(AP,\s\up6(→))
＝xeq \(AB,\s\up6(→))－yeq \(AD,\s\up6(→))，
由eq \(PQ,\s\up6(→))∥eq \(BE,\s\up6(→))，可设eq \(PQ,\s\up6(→))＝λeq \(BE,\s\up6(→))(λ∈R)，
即xeq \(AB,\s\up6(→))－yeq \(AD,\s\up6(→))＝λ(eq \(CE,\s\up6(→))－eq \(CB,\s\up6(→)))
＝λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)\(AB,\s\up6(→))＋\(AD,\s\up6(→))))
＝－eq \f(λ,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋λeq \(AD,\s\up6(→))，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－\f(λ,2)，,y＝－λ，))则eq \f(x,y)＝eq \f(1,2).
15.6
解析 如图，以OA，OB所在射线为邻边，OC为对角线作▱OMCN，使得M在射线OA上，N在射线OB上，
∴eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \(OM,\s\up6(→))＋eq \(ON,\s\up6(→))，
又eq \(OC,\s\up6(→))＝λeq \(OA,\s\up6(→))＋μeq \(OB,\s\up6(→))，
∴eq \(OM,\s\up6(→))＝λeq \(OA,\s\up6(→))，eq \(ON,\s\up6(→))＝μeq \(OB,\s\up6(→)).
在Rt△OCM中，
∵|eq \(OC,\s\up6(→))|＝2eq \r(3)，
∠COM＝30°，∠OCM＝90°，
∴|eq \(MC,\s\up6(→))|＝2，|eq \(OM,\s\up6(→))|＝4，
∴eq \(OM,\s\up6(→))＝4eq \(OA,\s\up6(→))，
又|eq \(ON,\s\up6(→))|＝|eq \(MC,\s\up6(→))|＝2，∴eq \(ON,\s\up6(→))＝2eq \(OB,\s\up6(→))，
∴λ＝4，μ＝2，
∴λ＋μ＝6.
16.解 (1)因为AN＝eq \f(1,4)AB，
所以eq \(AN,\s\up6(→))＝eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \f(1,4)a，
所以eq \(DN,\s\up6(→))＝eq \(AN,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,4)a－b.
因为BM＝eq \f(2,3)BC，
所以eq \(BM,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)b，
所以eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BM,\s\up6(→))＝a＋eq \f(2,3)b.
(2)因为A，O，M三点共线，
所以eq \(AO,\s\up6(→))∥eq \(AM,\s\up6(→))，
设eq \(AO,\s\up6(→))＝λeq \(AM,\s\up6(→))，
则eq \(DO,\s\up6(→))＝eq \(AO,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→))＝λeq \(AM,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→))
＝λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋\f(2,3)b))－b
＝λa＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)λ－1))b.
因为D，O，N三点共线，
所以eq \(DO,\s\up6(→))∥eq \(DN,\s\up6(→))，存在实数μ使eq \(DO,\s\up6(→))＝μeq \(DN,\s\up6(→))，
则λa＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)λ－1))b＝μeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)a－b)).
由于向量a，b不共线，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝\f(1,4)μ，,\f(2,3)λ－1＝－μ，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝\f(3,14)，,μ＝\f(6,7).))
所以eq \(AO,\s\up6(→))＝eq \f(3,14)eq \(AM,\s\up6(→))，eq \(OM,\s\up6(→))＝eq \f(11,14)eq \(AM,\s\up6(→))，
所以AO∶OM＝3∶11.