高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示精品课时训练

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示精品课时训练，共6页。试卷主要包含了3　平面向量基本定理及坐标表示等内容，欢迎下载使用。

6.3.1 平面向量基本定理


6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示


课后篇巩固提升


基础巩固


1.设向量e1与e2不共线,若3xe1+(10-y)e2=(4y-7)e1+2xe2,则实数x,y的值分别为( )





A.0,0B.1,1C.3,0D.3,4


答案D


解析因为向量e1与e2不共线,


所以3x=4y-7,10-y=2x,解得x=3,y=4.


2.如图所示,在△ABC中,AD=23AB,BE=12BC,则DE=( )





A.13AC-12AB


B.13AC-16AB


C.12AC-13AB


D.12AC-16AB


答案D


解析DE=DB+BE=13AB+12(AC-AB)=12AC-16AB.


3.如图,平面内的两条相交直线OP1和OP2将该平面分割成四个部分Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ(不包含边界).设OP=mOP1+nOP2,且点P落在第Ⅲ部分,则实数m,n满足( )





A.m>0,n>0B.m>0,n<0


C.m<0,n>0D.m<0,n<0


答案B


解析如图所示,利用平行四边形法则,


将OP分解到OP1和OP2上,有OP=OA+OB,


则OA=mOP1,OB=nOP2,





很明显OA与OP1方向相同,则m>0;


OB与OP2方向相反,则n<0.


4.已知向量i=(1,0),j=(0,1),对于该坐标平面内的任一向量a,给出下列四个结论:


①存在唯一的一对实数x,y,使得a=(x,y);


②若x1,x2,y1,y2∈R,a=(x1,y1)≠(x2,y2),则x1≠x2,且y1≠y2;


③若x,y∈R,a=(x,y),且a≠0,则a的始点是原点O;


④若x,y∈R,a≠0,且a的终点坐标是(x,y),则a=(x,y).


其中正确结论的个数是( )


A.1B.2C.3D.4


答案A


解析由平面向量基本定理,知①正确;举反例,a=(1,0)≠(1,3),但1=1,故②错误;因为向量可以平移,所以a=(x,y)与a的始点是不是原点无关,故③错误;当a的终点坐标是(x,y)时,a=(x,y)是以a的始点是原点为前提的,故④错误.


5.已知a=xe1+2e2与b=3e1+ye2共线,且e1,e2不共线,则xy的值为 .


答案6


解析由已知得,存在λ∈R,使得a=λb,


即xe1+2e2=3λe1+λye2,


所以x=3λ,2=λy,故xy=3λ·2λ=6.


6.





如图,C,D是△AOB中边AB的三等分点,设OA=e1,OB=e2,以{e1,e2}为基底来表示OC= ,OD= .


答案23e1+13e2 13e1+23e2


解析OC=OA+AC=OA+13AB=e1+13(e2-e1)=23e1+13e2,


OD=OC+CD=OC+13AB


=23e1+13e2+13(e2-e1)=13e1+23e2.


7.设e1,e2是两个不共线的非零向量,且a=e1-2e2,b=e1+3e2.


(1)证明:{a,b}可以作为一个基底;


(2)以{a,b}为基底,求向量c=3e1-e2的分解式.


(1)证明假设a,b共线,则a=λb(λ∈R),


则e1-2e2=λ(e1+3e2).


由e1,e2不共线,得λ=1,3λ=-2,即λ=1,λ=-23.


所以λ不存在,故a,b不共线,


即{a,b}可以作为一个基底.


(2)解设c=ma+nb(m,n∈R),


则3e1-e2=m(e1-2e2)+n(e1+3e2)


=(m+n)e1+(-2m+3n)e2.


所以3=m+n,-1=-2m+3n,解得m=2,n=1.


故c=2a+b.


8.





如图,在△ABC中,D,F分别是BC,AC的中点,AE=23AD,AB=a,AC=b.


(1)用a,b表示AD,AE,AF,BE,BF;


(2)求证:B,E,F三点共线.





(1)解如图,延长AD到点G,使AG=2AD,连接BG,CG,得到平行四边形ABGC,则AG=a+b,AD=12AG=12(a+b),AE=23AD=13(a+b),


AF=12AC=12b,


BE=AE-AB=13(a+b)-a=13(b-2a),


BF=AF-AB=12b-a=12(b-2a).


(2)证明由(1)知,BE=23BF,∴BE,BF共线.


又BE,BF有公共点B,∴B,E,F三点共线.


能力提升


1.若O是平面内一定点,A,B,C是平面内不共线的三点,若点P满足OP=OB+OC2+λAP(λ∈(0,+∞)),则点P的轨迹一定通过△ABC的( )


A.外心B.内心


C.重心D.垂心


答案C


解析设线段BC的中点为D,则有OD=12(OB+OC),因此由已知得OP=OD+λAP,即OP-OD=λAP,于是DP=λAP,则DP∥AP,因此P点在直线AD上,又AD是△ABC的BC边上的中线,因此点P的轨迹一定经过三角形ABC的重心.


2.





如图,平面内有三个向量OA,OB,OC,其中OA与OB的夹角为120°,OA与OC的夹角为30°,且|OA|=|OB|=1,|OC|=23,若OC=λOA+μOB(λ,μ∈R),则λ+μ的值等于 .


答案6


解析如图,以OA,OB所在射线为邻边,OC为对角线作平行四边形ODCE,则OC=OD+OE.





在Rt△OCD中,因为|OC|=23,∠COD=30°,∠OCD=90°,所以|OD|=4,|CD|=2,


故OD=4OA,OE=2OB,


即λ=4,μ=2,


所以λ+μ=6.


3.如图,在△ABC中,点M是BC的中点,点N在边AC上,且AN=2NC,AM与BN交于点P,求AP∶PM的值.





解设BM=e1,CN=e2,则AM=AC+CM=-3e2-e1,BN=BC+CN=2e1+e2.∵A,P,M和B,P,N分别共线,∴存在实数λ,μ,使AP=λAM=-λe1-3λe2,


BP=μBN=2μe1+μe2,


∴BA=BP-AP=(λ+2μ)e1+(3λ+μ)e2.


又BA=BC+CA=2e1+3e2,


∴λ+2μ=2,3λ+μ=3,解得λ=45,μ=35.


∴AP=45AM,即AP∶PM=4∶1.


4.如图,已知△OAB,若正实数x,y满足x+y<1,且有OP=xOA+yOB.证明:点P必在△OAB内部.





证明由题意可设x+y=t,t∈(0,1),则xt+yt=1.设P'为平面内一点,且OP'=xtOA+ytOB,


则AP'=OP'-OA=xt-1OA+ytOB=yt(OB-OA)=ytAB,所以点P'在直线AB上.又yt∈(0,1),所以点P'在线段AB上(异于端点).


因为OP=xOA+yOB=t OP',t∈(0,1),


即点P在线段OP'上(异于端点),


所以点P必在△OAB内部.