数学必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示同步练习题

这是一份数学必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示同步练习题，共5页。
1．如图，在矩形ABCD中，若 eq \(BC,\s\up6(→))＝5e1， eq \(DC,\s\up6(→))＝3e2，则 eq \(OC,\s\up6(→))＝( )
A． eq \f(1,2)(5e1＋3e2)B． eq \f(1,2)(5e1－3e2)
C． eq \f(1,2)(3e2－5e1)D． eq \f(1,2)(5e2－3e1)
【答案】A
【解析】 eq \(OC,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2) eq \(AC,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2)( eq \(BC,\s\up6(→))＋ eq \(AB,\s\up6(→)))＝ eq \f(1,2)( eq \(BC,\s\up6(→))＋ eq \(DC,\s\up6(→)))＝ eq \f(1,2)(5e1＋3e2)．
2．已知非零向量 eq \(OA,\s\up6(→))， eq \(OB,\s\up6(→))不共线，且2 eq \(OP,\s\up6(→))＝x eq \(OA,\s\up6(→))＋y eq \(OB,\s\up6(→))，若 eq \(PA,\s\up6(→))＝λ eq \(AB,\s\up6(→))(λ∈R)，则x，y满足的关系是( )
A．x＋y－2＝0B．2x＋y－1＝0
C．x＋2y－2＝0D．2x＋y－2＝0
【答案】A
【解析】由 eq \(PA,\s\up6(→))＝λ eq \(AB,\s\up6(→))，得 eq \(OA,\s\up6(→))－ eq \(OP,\s\up6(→))＝λ( eq \(OB,\s\up6(→))－ eq \(OA,\s\up6(→)))，即 eq \(OP,\s\up6(→))＝(1＋λ) eq \(OA,\s\up6(→))－λ eq \(OB,\s\up6(→))．因为2 eq \(OP,\s\up6(→))＝x eq \(OA,\s\up6(→))＋y eq \(OB,\s\up6(→))，所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2＋2λ，,y＝－2λ，))消去λ，得x＋y－2＝0．
3．(多选)设e1，e2是平面内的一组基底，则下面的四组向量能作为基底的有( )
A．e1＋e2和e1－e2B．e1和e1＋e2
C．e1＋3e2和e2＋3e1D．3e1－2e2和4e2－6e1
【答案】ABC
【解析】∵e1，e2是平面内的一组基底，∴e1，e2不共线．而4e2－6e1＝－2(3e1－2e2)，则根据向量共线定理可得(4e2－6e1)∥(3e1－2e2)，根据基底的条件，选项D不符合题意．A，B，C均可．故选ABC．
4．(2023年重庆模拟)在△ABC中，D为BC的中点，E为边AC上靠近点C的三等分点，记 eq \(AD,\s\up6(→))＝a， eq \(BE,\s\up6(→))＝b，用a，b表示 eq \(BC,\s\up6(→))为( )
A． eq \f(1,3)a＋bB．－ eq \f(2,3)a＋2b
C．2a－bD． eq \f(2,5)a＋ eq \f(6,5)b
【答案】D
【解析】 eq \(BC,\s\up6(→))＝ eq \(BE,\s\up6(→))＋ eq \(EC,\s\up6(→))＝ eq \(BE,\s\up6(→))＋ eq \f(1,3) eq \(AC,\s\up6(→))＝ eq \(BE,\s\up6(→))＋ eq \f(1,3)( eq \(AD,\s\up6(→))＋ eq \(DC,\s\up6(→)))＝ eq \(BE,\s\up6(→))＋ eq \f(1,3) eq \(AD,\s\up6(→))＋ eq \f(1,3) eq \(DC,\s\up6(→))＝ eq \(BE,\s\up6(→))＋ eq \f(1,3) eq \(AD,\s\up6(→))＋ eq \f(1,3)· eq \f(1,2) eq \(BC,\s\up6(→))＝ eq \(BE,\s\up6(→))＋ eq \f(1,3) eq \(AD,\s\up6(→))＋ eq \f(1,6) eq \(BC,\s\up6(→))，∴ eq \f(5,6) eq \(BC,\s\up6(→))＝ eq \(BE,\s\up6(→))＋ eq \f(1,3) eq \(AD,\s\up6(→))，即 eq \(BC,\s\up6(→))＝ eq \f(2,5) eq \(AD,\s\up6(→))＋ eq \f(6,5) eq \(BE,\s\up6(→))＝ eq \f(2,5)a＋ eq \f(6,5)b．故选D．
5．如图，在正方形ABCD中，点E满足 eq \(AE,\s\up6(→))＝ eq \(ED,\s\up6(→))，点F满足 eq \(CF,\s\up6(→))＝2 eq \(FB,\s\up6(→))，那么 eq \(EF,\s\up6(→))＝( )
A． eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up6(→))－ eq \f(1,3) eq \(AD,\s\up6(→))B． eq \f(1,3) eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(1,2) eq \(AD,\s\up6(→))
C． eq \(AB,\s\up6(→))－ eq \f(1,6) eq \(AD,\s\up6(→))D． eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(1,6) eq \(AD,\s\up6(→))
【答案】C
【解析】 eq \(EF,\s\up6(→))＝ eq \(EA,\s\up6(→))＋ eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(BF,\s\up6(→))＝－ eq \f(1,2) eq \(AD,\s\up6(→))＋ eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(1,3) eq \(AD,\s\up6(→))＝－ eq \f(1,6) eq \(AD,\s\up6(→))＋ eq \(AB,\s\up6(→))．故选C．
6．(2023年新干一模)在△ABC中， eq \(AD,\s\up6(→))＝λ eq \(DB,\s\up6(→))，E为CD的中点， eq \(AE,\s\up6(→))＝－ eq \f(5,6) eq \(CA,\s\up6(→))＋ eq \f(1,3) eq \(CB,\s\up6(→))，则λ＝( )
A．2B．1
C． eq \f(1,2)D． eq \f(1,3)
【答案】A
【解析】根据题意， eq \(AD,\s\up6(→))＝λ eq \(DB,\s\up6(→))，E为CD的中点， eq \(AE,\s\up6(→))＝－ eq \f(5,6) eq \(CA,\s\up6(→))＋ eq \f(1,3) eq \(CB,\s\up6(→))，则 eq \(AE,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2)( eq \(AC,\s\up6(→))＋ eq \(AD,\s\up6(→)))＝ eq \f(1,2) eq \(AC,\s\up6(→))＋ eq \f(1,2)× eq \f(λ,λ＋1) eq \(AB,\s\up6(→))＝－ eq \f(1,2) eq \(CA,\s\up6(→))＋ eq \f(1,2)× eq \f(λ,λ＋1)( eq \(CB,\s\up6(→))－ eq \(CA,\s\up6(→)))＝ eq \f(λ,2(λ＋1)) eq \(CB,\s\up6(→))－ eq \f(2λ＋1,2(λ＋1)) eq \(CA,\s\up6(→))，由 eq \f(2λ＋1,2(λ＋1))＝ eq \f(5,6)，且 eq \f(λ,2(λ＋1))＝ eq \f(1,3)，得λ＝2．故选A．
7．若点D在三角形ABC的边BC上，且 eq \(CD,\s\up6(→))＝4 eq \(DB,\s\up6(→))＝r eq \(AB,\s\up6(→))＋s eq \(AC,\s\up6(→))，则3r＋s的值为( )
A． eq \f(16,5)B． eq \f(12,5)
C． eq \f(8,5)D． eq \f(4,5)
【答案】C
【解析】因为 eq \(CD,\s\up6(→))＝4 eq \(DB,\s\up6(→))＝r eq \(AB,\s\up6(→))＋s eq \(AC,\s\up6(→))，所以 eq \(CD,\s\up6(→))＝ eq \f(4,5) eq \(CB,\s\up6(→))＝ eq \f(4,5)( eq \(AB,\s\up6(→))－ eq \(AC,\s\up6(→)))＝r eq \(AB,\s\up6(→))＋s eq \(AC,\s\up6(→))．所以r＝ eq \f(4,5)，s＝－ eq \f(4,5)．所以3r＋s＝ eq \f(12,5)－ eq \f(4,5)＝ eq \f(8,5)．
8．(2023年南京模拟)已知向量a，b不共线，且向量a＋tb与(3t－2)a＋b的方向相反，则实数t的值为__________．
【答案】－ eq \f(1,3)
【解析】∵a＋tb与(3t－2)a＋b共线，∴a＋tb＝λ[(3t－2)a＋b]，∴(3tλ－2λ－1)a＋(λ－t)b＝0．∵a，b不共线，∴ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3tλ－2λ－1＝0，,λ－t＝0，))解得t＝λ＝1或t＝λ＝－ eq \f(1,3)．当t＝1时，a＋b与a＋b同向，不符合题意；当t＝－ eq \f(1,3)时，a－ eq \f(1,3)b与－3a＋b反向，符合题意．
9．已知O，A，B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2 eq \(AC,\s\up6(→))＋ eq \(CB,\s\up6(→))＝0，若 eq \(OA,\s\up6(→))＝a， eq \(OB,\s\up6(→))＝b，用a，b表示向量 eq \(OC,\s\up6(→))，则 eq \(OC,\s\up6(→))＝__________．
【答案】2a－b
【解析】 eq \(AC,\s\up6(→))＝ eq \(OC,\s\up6(→))－ eq \(OA,\s\up6(→))， eq \(CB,\s\up6(→))＝ eq \(OB,\s\up6(→))－ eq \(OC,\s\up6(→))，因为2 eq \(AC,\s\up6(→))＋ eq \(CB,\s\up6(→))＝0，所以2( eq \(OC,\s\up6(→))－ eq \(OA,\s\up6(→)))＋( eq \(OB,\s\up6(→))－ eq \(OC,\s\up6(→)))＝0，所以 eq \(OC,\s\up6(→))＝2 eq \(OA,\s\up6(→))－ eq \(OB,\s\up6(→))＝2a－b．
10．如图所示，D是BC边的一个四等分点．试用基底 eq \(AB,\s\up6(→))， eq \(AC,\s\up6(→))表示 eq \(AD,\s\up6(→))．
解：因为D是BC边的四等分点，
所以 eq \(BD,\s\up6(→))＝ eq \f(1,4) eq \(BC,\s\up6(→))＝ eq \f(1,4)( eq \(AC,\s\up6(→))－ eq \(AB,\s\up6(→)))．
所以 eq \(AD,\s\up6(→))＝ eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(BD,\s\up6(→))＝ eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(1,4)( eq \(AC,\s\up6(→))－ eq \(AB,\s\up6(→)))＝ eq \f(3,4) eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(1,4) eq \(AC,\s\up6(→))．
B级——能力提升练
11．(多选)如果e1，e2是平面内所有向量的一组基底，那么( )
A．若实数m，n使得me1＋ne2＝0，则m＝n＝0
B．空间任一向量a可以表示为a＝λ1e1＋λ2e2，其中λ1，λ2为实数
C．对于实数m，n，me1＋ne2一定在此平面上
D．对于平面内的某一向量a，存在两对以上的实数m，n，使a＝me1＋ne2
【答案】AC
【解析】选项B中应为“平面内任一向量”．选项D中，m，n应是唯一的．A，C正确．
12．(2023年济南模拟)已知等腰直角三角形ABC中，A＝ eq \f(π,2)，M，N分别是边AB，BC的中点，若 eq \(BC,\s\up6(→))＝s eq \(AN,\s\up6(→))＋t eq \(CM,\s\up6(→))，其中s，t为实数，则s＋t＝( )
A．－1B．1
C．2D．－2
【答案】D
【解析】如图，根据题意得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\(BC,\s\up6(→))＝\f(1,2)\(BA,\s\up6(→))－\(CM,\s\up6(→))①，,\(BC,\s\up6(→))＝2\(BA,\s\up6(→))＋2\(AN,\s\up6(→))②，))联立①②消去 eq \(BA,\s\up6(→))，得 eq \(BC,\s\up6(→))＝－ eq \f(2,3) eq \(AN,\s\up6(→))－ eq \f(4,3) eq \(CM,\s\up6(→))．又∵ eq \(BC,\s\up6(→))＝s eq \(AN,\s\up6(→))＋t eq \(CM,\s\up6(→))，∴根据平面向量基本定理，解得s＝－ eq \f(2,3)，t＝－ eq \f(4,3)，∴s＋t＝－2．故选D．
13．在△ABC中，D为AC上的一点，满足 eq \(AD,\s\up6(→))＝ eq \f(1,3) eq \(DC,\s\up6(→))．若P为BD上的一点，满足 eq \(AP,\s\up6(→))＝m eq \(AB,\s\up6(→))＋n eq \(AC,\s\up6(→))(m＞0，n＞0)，则mn的最大值为_________； eq \f(4,m)＋ eq \f(1,n)的最小值为_________．
【答案】 eq \f(1,16) 16
【解析】因为 eq \(AD,\s\up6(→))＝ eq \f(1,3) eq \(DC,\s\up6(→))，所以 eq \(AC,\s\up6(→))＝4 eq \(AD,\s\up6(→))．所以 eq \(AP,\s\up6(→))＝m eq \(AB,\s\up6(→))＋n eq \(AC,\s\up6(→))＝m eq \(AB,\s\up6(→))＋4n eq \(AD,\s\up6(→))．因为B，P，D三点共线，所以m＋4n＝1，则4mn≤ eq \f((m＋4n)2,4)＝ eq \f(1,4)，则mn≤ eq \f(1,16)，即mn最大值为 eq \f(1,16)，当且仅当m＝4n时取等号； eq \f(4,m)＋ eq \f(1,n)＝(m＋4n)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,m)＋\f(1,n)))＝ eq \f(16n,m)＋ eq \f(m,n)＋8≥2 eq \r(16)＋8＝16，当且仅当m＝4n时取等号．
14．已知平行四边形ABCD中，E为CD的中点， eq \(AP,\s\up6(→))＝y eq \(AD,\s\up6(→))， eq \(AQ,\s\up6(→))＝x eq \(AB,\s\up6(→))，其中x，y∈R，且均不为0．若 eq \(PQ,\s\up6(→))∥ eq \(BE,\s\up6(→))，则 eq \f(x,y)＝__________．
【答案】 eq \f(1,2)
【解析】因为 eq \(PQ,\s\up6(→))＝ eq \(AQ,\s\up6(→))－ eq \(AP,\s\up6(→))＝x eq \(AB,\s\up6(→))－y eq \(AD,\s\up6(→))，由 eq \(PQ,\s\up6(→))∥ eq \(BE,\s\up6(→))，可设 eq \(PQ,\s\up6(→))＝λ eq \(BE,\s\up6(→))，即x eq \(AB,\s\up6(→))－y eq \(AD,\s\up6(→))＝λ( eq \(CE,\s\up6(→))－ eq \(CB,\s\up6(→)))＝λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)\(AB,\s\up6(→))＋\(AD,\s\up6(→))))＝－ eq \f(λ,2) eq \(AB,\s\up6(→))＋λ eq \(AD,\s\up6(→))，所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－\f(1,2)λ，,y＝－λ，))则 eq \f(x,y)＝ eq \f(1,2)．
15．如图，在▱ABCD中， eq \(AB,\s\up6(→))＝a， eq \(AD,\s\up6(→))＝b，BM＝ eq \f(2,3)BC，AN＝ eq \f(1,4)AB．
(1)试用向量a，b来表示 eq \(DN,\s\up6(→))， eq \(AM,\s\up6(→))；
(2)AM交DN于点O，求AO∶OM的值．
解：(1)因为AN＝ eq \f(1,4)AB，
所以 eq \(AN,\s\up6(→))＝ eq \f(1,4) eq \(AB,\s\up6(→))＝ eq \f(1,4)a．
所以 eq \(DN,\s\up6(→))＝ eq \(AN,\s\up6(→))－ eq \(AD,\s\up6(→))＝ eq \f(1,4)a－b．
因为BM＝ eq \f(2,3)BC，
所以 eq \(BM,\s\up6(→))＝ eq \f(2,3) eq \(BC,\s\up6(→))＝ eq \f(2,3) eq \(AD,\s\up6(→))＝ eq \f(2,3)b．
所以 eq \(AM,\s\up6(→))＝ eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(BM,\s\up6(→))＝a＋ eq \f(2,3)b．
(2)因为A，O，M三点共线，所以 eq \(AO,\s\up6(→))∥ eq \(AM,\s\up6(→))．
设 eq \(AO,\s\up6(→))＝λ eq \(AM,\s\up6(→))，则 eq \(DO,\s\up6(→))＝ eq \(AO,\s\up6(→))－ eq \(AD,\s\up6(→))＝λ eq \(AM,\s\up6(→))－ eq \(AD,\s\up6(→))＝λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋\f(2,3)b))－b＝λa＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)λ－1))b．
因为D，O，N三点共线，所以 eq \(DO,\s\up6(→))∥ eq \(DN,\s\up6(→))．
所以存在实数μ，使 eq \(DO,\s\up6(→))＝μ eq \(DN,\s\up6(→))，则λa＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)λ－1))b＝μeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)a－b))．
由于向量a，b不共线，
则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝\f(1,4)μ，,\f(2,3)λ－1＝－μ，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝\f(3,14)，,μ＝\f(6,7)．))
所以 eq \(AO,\s\up6(→))＝ eq \f(3,14) eq \(AM,\s\up6(→))， eq \(OM,\s\up6(→))＝ eq \f(11,14) eq \(AM,\s\up6(→))．
所以AO∶OM＝3∶11＝ eq \f(3,11)．