高中数学6.3 平面向量基本定理及坐标表示练习

6．3.1　平面向量基本定理

必备知识基础练　

1．已知向量a，b是平面内的一组基底，则下列四组向量中也能作为平面向量的一组基底的是(　　)

A．a－b，b－a

B．a，b－a

C．0，a

D．a＋b，2a＋2b

2．在△ABC中，D为BC上一点，满足BD＝2DC，则＝(　　)

A．＋    B．＋

C．＋    D．＋

3．如图所示，在平行四边形ABCD中，AE＝AB，CF＝CD，G为EF的中点，则＝(　　)

A．－    B．－

C．－    D．－

4．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若2＝，＝λ＋μ，则λ＝(　　)

A．　　　B．    C．－　　　D．－

5.如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，F为CE的中点，则＝(　　)

A．＋

B．－＋

C．＋

D．＋

6．如图，平行四边形ABCD中，＝a，＝b，M是DC的中点，以a，b为基底表示向量＝________.

7．已知△ABC中，点D满足＝2，若＝＋λ，则λ＝________．

8.如图所示，四边形OADB是以向量＝a，＝b为邻边的平行四边形．又BM＝BC，CN＝CD，试用a，b表示，，.

关键能力综合练　

1．已知△ABC中，点M是线段BC的中点，＝，则＝(　　)

A．－＋    B．－＋

C．－＋    D．－＋

2．向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示．若a＝λb＋μc(λ，μ∈R)，则＝(　　)

A．    B．C．2    D．3

3．已知点P为△ABC所在平面内一点，且满足＝－2，若＝x＋y，则x＋2y＝(　　)

A．1    B．2

C．3    D．4

4．在四边形ABCD中，＝，E为CD的中点，AE交BD于F，则＝(　　)

A．－    B．＋

C．＋    D．－

5.如图所示，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，若＝＋2μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝(　　)

A．1    B．－1

C．    D．

6.(多选)如图所示，已知P，Q，R分别是△ABC三边AB，BC，CA的四等分点，如果＝a，＝b，以下向量表示正确的是(　　)

A．＝－a－b    B．＝－a＋b

C．＝－a＋b    D．＝a－b

7．已知{e1，e2}是平面α内所有向量的一组基底，且a＝e1＋e2，b＝3e1－2e2，c＝2e1＋3e2，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝________．

8．已知在△ABC中，＝2，＝2，若＝m＋n，则m＋n＝________．

9.

如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AE＝FC＝AC，用向量方法证明：四边形DEBF是平行四边形．

10.

在△AOB中，∠AOB为直角，＝，＝，AD与BC相交于点M，＝a，＝b.

(1)试用a、b表示向量；

(2)在线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F，使得直线EF过M，设＝λ，＝μ，求＋的值．

核心素养升级练　

1．如图，△ABC是等边三角形，D在线段BC上，且＝2，E为线段AD上一点，若△ABE与△ACD的面积相等，则＝(　　)

A．－    B．＋

C．－    D．－＋

2．在△ABC中，点D是边BC上(不包含顶点)的动点，若＝x＋y，则＋的最小值为________．

3.

如图，已知点G是△ABC的重心，点P是△GBC内一点(包括边界)，设＝a，＝b.

(1)试用a，b表示，并求|＋＋|；

(2)若＝λa＋μb，求λ＋μ的取值范围．

6．3.1　平面向量基本定理

必备知识基础练

1．答案：B

解析：对于选项A，a－b＝－(b－a)，所以a－b，b－a共线，所以不能作为基底；对于选项B，b－a≠λa，所以a，b－a不共线，所以可以作为基底；对于选项C，0，a共线，所以不能作为基底；对于选项D，2a＋2b＝2(a＋b)，所以a＋b，2a＋2b共线，所以不能作为基底．故选B.

2．答案：D

解析：因为＝2，所以－＝2(－)，即＝＋.故选D.

3．答案：B

解析：＝＋＝(＋)＋·＝(－＋)＋＝－.故选B.

4．答案：A

解析：因为2＝，所以＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，所以λ＝，故选A.

5．答案：B

解析：因为在正方形ABCD中，E为AB的中点，F为CE的中点，所以＝，＝，所以＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝＋＝－.故选B.

6．答案：b＋a

解析：＝＋＝＋＝＋＝b＋a.

7．答案：

解析：

＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，又＝＋λ，所以λ＝.

8．解析：因为BM＝BC，CN＝CD且四边形OADB是平行四边形，

所以＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b，

＝＝(＋)＝a＋b，

＝－＝a－b.

关键能力综合练

1．答案：A

解析：

已知△ABC中，点M是线段BC的中点，＝，作图，如图所示，则＝＋＝－＋＝－＋＋＝－＋＋＝－＋＋－＝－＋，故选A.

2．答案：C

解析：在正方形网格中，设e1，e2分别是水平向右方向上、竖直向上方向上的单位向量，于是有b＝e1，c＝e1＋e2，a＝3e1＋e2，由a＝λb＋μc⇒3e1＋e2＝λe1＋μ(e1＋e2)＝(λ＋μ)e1＋μe2⇒⇒，所以＝2，故选C.

3．答案：C

解析：因为＝－2，所以＝，＝＋＝＋＝＋(－)＝－＋2，所以x＝－1，y＝2，x＋2y＝3.故选C.

4．答案：C

解析：

由题意可知，AB∥CD，∴△ABF∽△EDF，又E为CD的中点，则DE＝DC＝AB，故＝＝2，所以＝＝(＋)＝＋×＝＋，故选C.

5．答案：D

解析：因为E为AO的中点，所以＝＝(＋)，所以＝－＝(＋)－＝－，即，所以，λ＋μ＝，所以D正确．故选D.

6．答案：BC

解析：由已知可得＝－＝b－a，故D错误；因为P，Q，R分别是△ABC三边AB，BC，CA的四等分点，由＝－＝－＝－a－(b－a)＝－a－b，故A错误；＝－＝－＋＝－b＋(b－a)＝－a＋b，故B正确；＝－＝－＝－a＋b，故C正确．故选BC.

7．答案：

解析：因为c＝λa＋μb＝λ(e1＋e2)＋μ(3e1－2e2)＝(λ＋3μ)e1＋(λ－2μ)e2，又因为c＝2e1＋3e2，所以，解得，所以λ＋μ＝.

8．答案：

解析：因为＝2，所以－＝2(－)，即＝＋，而＝2，所以＝＋＝×＋＝＋，即m＝，n＝，所以m＋n＝.

9．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴＝＋，且＝，

∵AE＝FC＝AC，∴＝＝＝＋，

∴＝－＝＋－＝－，

＝＋＝＋－＝＋－＝－，

∴＝，

∴DE＝FB，DE∥FB，

∴四边形DEBF是平行四边形．

10．解析：(1)∵C、M、B三点共线，则＝x＋(1－x)＝x＋(1－x)，

又∵D、M、A三点共线，则＝y＋(1－y)

＝y＋(1－y)，

可得，解得，

∴＝＋＝a＋b.

(2)∵E、M、F三点共线，则＝m＋(1－m)＝λm＋μ(1－m)，

∴，整理得：＋＝8.

核心素养升级练

1．答案：D

解析：∵D在线段BC上，且＝2，∴S△ACD＝S△ABD，又E为线段AD上一点，若△ABE与△ACD的面积相等，∴S△ABE＝S△ABD，则E为AD的中点，又＝＋，＝＝＋，所以＝－＝－＋，故选D.

2．答案：3＋2

解析：

如图，可知x，y均为正，且x＋y＝1，∴＋＝(＋)(x＋y)＝3＋＋≥3＋ 2 ＝3＋2，当且仅当＝，即x＝－1，y＝2－时等号成立，则＋的最小值为3＋2.

3．解析：(1)如图所示，延长AG，交BC于点D，则D为BC的中点，

＝＝(＋)＝(＋)＝[＋(－)]＝[(＋)]＝a＋b.

同理可得：＝＋＝－a＋b，

＝＋＝a－b，所以|＋＋|＝|0|＝0.

(2)如图所示，连接GP并延长，交BC于点P′，设＝tGP′(0≤t≤1)，

＝＋＝a＋b＋tGP′＝a＋b＋t(＋BP′)＝a＋b＋t(＋m)＝a＋b＋t(a－b)＋tm(b－a)＝(＋t－tm)a＋(－t＋tm)b，(0≤m≤1)，

因为＝λa＋μb，所以λ＋μ＝＋t，

又因为0≤t≤1，所以λ＋μ∈[，1].