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高中数学8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系当堂达标检测题
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这是一份高中数学8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系当堂达标检测题，共77页。试卷主要包含了图形语言，三个基本事实及其推论，证明点共线问题，证明线共点问题，做截面与交线等内容，欢迎下载使用。
本节课知识点目录：
图形语言、文字语言、符号语言的相互转换；
三个基本事实及其推论。
点、线确定平面
证明点共线
证明线共点
做界面与交线
一、图形语言、文字语言、符号语言的相互转换
【典型例题】
【例1】用符号语言表示下列语句，正确的个数是（ ）
（1）点A在平面内，但不在平面内：，．
（2）直线a经过平面外的点A，且a不在平面内：，，．
（3）平面与平面相交于直线l，且l经过点P：，．
A．1B．2C．3D．0
【例2】若点在直线上，在平面内，则，，之间的关系可记作（ ）
A．B．C．D．
【例3】如图所示，点、线、面之间的数学符号语言关系为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【例4】下列关于点、线和面的关系表示错误的是（ ）
A．点平面B．直线平面
C．直线平面D．平面平面
【例5】“直线a经过平面外一点P”用符号表示为（ ）
A．，B．C．，D．，
【例6】将下列符号语言转化为图形语言：
(1)A∉α， a⊂α.
(2)α∩β＝a， P∉α且P∉β.
(3)aα， a∩α＝A
(4)α∩β＝a， α∩γ＝c， β∩γ＝b， a∩b∩c＝O.
【例7】根据下列条件画出图形：平面平面直线，直线，直线，，.
【对点实战】
1.如图所示，点，线，面之间的数学符号语言关系为（ ）
A．，B．，C．，D．，
2.基本事实2；如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．可用符号表示为（ ）
A．，，且，B．，，且，
C．，，且，D．，，且，
3.“点在直线上，在平面内”可表示为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
4.如图所示，用符号语言可表述为（ ）
A．，，B．，，
C．，，，D．，，，
5.画出满足下列条件的图形（其中A，B，M表示点，m，n，a，b表示直线，，表示平面）：
(1)，，，；
(2)，，，，；
(3)，，，．
二、三个基本事实及其推论
1．三个基本事实
2.三个推论
【典型例题】
【例1】给出下列判断，其中正确的是（ ）
A．三点唯一确定一个平面
B．一条直线和一个点唯一确定一个平面
C．两条平行直线与同一条直线相交，三条直线在同一平面内
D．空间两两相交的三条直线在同一平面内
【例2】下列说法正确的是（ ）
A．三点确定一个平面
B．四条首尾相连的线段确定一个平面
C．两条异面直线确定一个平面
D．两条相交直线确定一个平面
【例3】下列说法正确的是（ ）
A．三点可以确定一个平面B．一条直线和一个点可以确定一个平面
C．四边形一定是平面图形D．两条相交直线可以确定一个平面
西藏自治区拉萨中学2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题
【例4】下列命题正确的是（ ）
A．经过三点确定一个平面
B．经过一条直线和一个点确定一个平面
C．四边形确定一个平面
D．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面
【例5】下列说法中正确的是（ ）
A．四边相等的四边形确定一个平面
B．一条直线和一个点可以确定一个平面
C．空间任意两条直线可以确定一个平面
D．梯形确定一个平面
【例6】下列叙述中，正确的是（ ）．
A．因为，，所以
B．因为，，所以
C．因为，，，所以
D．因为，，所以
【例7】已知，，是平面，，，是直线，，，，若，则（ ）
A．B．
C．D．
【例8】正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是线段BC，CD1的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是（ ）
A．相交B．异面
C．平行D．垂直
【对点实战】
1.下列条件中能确定一个平面的是（ ）
A．空间任意三个点
B．空间相交于一点的三条直线
C．两条平行直线
D．一条直线和一个点
2.下列命题：
（1）若空间四点共面，则其中必有三点共线；
（2）若空间有三点共线，则此四点必共面；
（3）若空间四点中任意三点不共线，则此四点不共面；
（4）若空间四点不共面，则其中任意三点不共线.
其中正确的命题有（ ）个.
A．0B．1C．2D．3
3.自行车停放时将后轮旁边的撑子放下，自行车就停稳了，这里用到了（ ）
A．两条平行直线确定一个平面
B．两条相交直线确定一个平面
C．不共线的三点确定一个平面
D．三点确定一个平面
4.下列命题中正确的是（ ）
A．经过三点确定一个平面
B．经过两条平行直线确定一个平面
C．经过一条直线和一个点确定一个平面
D．四边形确定一个平面
5.．“平面内有一条直线，则这条直线上的一点必在这个平面内”用符号表述是（ ）
A．B．
C．D．
6.以下四个命题中，正确命题的个数是（ ）
①不共面的四点中，任意三点不共线；
②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则A，B，C，D，E共面；
③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；
④依次首尾相接的四条线段必共面．
A．0B．1C．2D．3
7.如图，平面平面，直线，过三点确定的平面为，则平面的交线必过（ ）
A．点B．点C．点，但不过点 D．点和点
三、点、线确定平面
证明点、线共面问题的常用方法
(1)先证部分点、线確定一平面，再整其余点、线属于该平面
(2)可以通过不同点、线确定两个平面，再用归谬法证明重合
【典型例题】
【例1】过空间任意一点引三条直线，它们所确定的平面个数是（ ）
A．1B．2C．3D．1或3
【例2】从同一点引出的4条直线可以确定个平面，则不可能取的值是（ ）
A．6B．4C．3D．1
【例3】已知空间中有五个点，如果点在同一个平面内，点在同一个平面内，那么这五个点（ ）
A．一定共面B．不一定共面C．一定不共面D．以上都不对
【例4】在空间内，可以确定一个平面的条件是（ ）
A．两两相交的三条直线，且有三个不同的交点
B．三条直线，其中的一条与另外两条直线分别相交
C．三个点
D．两条直线
【例5】下列条件中，能够确定一个平面的是（ ）
A．两个点B．三个点
C．一条直线和一个点D．两条相交直线
【例6】空间内不同的四个点，“无任何三点共线”是“四点不共面”的（ ）
A．充要条件B．充分非必要条件
C．必要非充分条件D．既非充分又非必要条件
【例7】如图，在正方体中，为正方形的中心，为直线与平面的交点.求证：三点共线.
【对点实战】
1.下列命题正确的是（ ）
A．一条直线和一个点确定一个平面
B．圆心和圆上两点可以确定一个平面
C．两个平面相交，存在特殊位置关系使它们只有一个公共点
D．如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合
2.下列命题正确的是（ ）
A．三点确定一个平面
B．一条直线和一个点确定一个平面
C．两条不平行的直线确定一个平面
D．梯形可确定一个平面
3.一个平面经过空间四点中的三点，这样的平面个数最多为（ ）
A．1B．3C．4D．6
4.经过同一条直线上的3个点的平面（ ）
A．有且仅有1个B．有无数个C．不存在D．有且仅有3个
5.空间的4个平面最多能将空间分成（ ）个区域．
A．13B．14C．15D．16
5.(1)不共面的四点可以确定几个平面？
(2)三条直线两两平行，但不共面，它们可以确定几个平面？
(3)共点的三条直线可以确定几个平面？
6.如图，在四棱锥中，底面，是直角梯形，，，，点是的中点.
（1）线段上是否存在一点，使得点，，，共面，存在请证明，不存在请说明理由；
（2）若，求三棱锥的体积.
四、证明点共线问题
证明多点共线通常用基本事实3，即两相交平面交线的唯一性．通过证明点分别在两个平面内，证明点在相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在其上．
【典型例题】
【例1】在三棱锥A-BCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，若EF∩HG=P，则点P（ ）
A．一定在直线BD上
B．一定在直线AC上
C．在直线AC或BD上
D．不在直线AC上，也不在直线BD上
【例2】在长方体中，是与的交点，长方体体对角线交截面于点P.求证：三点在同一条直线上.
【例3】如图，在空间四边形中，分别是的中点，分别在上，且
(1)求证：四点共面；
(2)设与交于点，求证：三点共线.
【例4】如图，已知D，E是△ABC的边AC，BC上的点，平面α经过D，E两点，若直线AB与平面α的交点是P，求证：点P在直线DE上.
【例5】如图所示，在四边形中，已知，直线，，，分别与平面相交于点，，，．求证：，，，四点共线．
【对点实战】
1.已知△ABC在平面α外，其三边所在的直线满足AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R，如图所示，求证：P，Q，R三点共线.
2.如图，在正方体中，为正方形的中心，为直线与平面的交点．求证：，，三点共线．
3.已知，正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD=P，A1C1∩EF=Q.求证：
（1）D，B，E，F四点共面.
（2）若A1C交平面BDEF于点R，则P，Q，R三点共线.
4.如图，在正方体中，为正方形的中心，为直线与平面的交点.求证：三点共线.
五、证明线共点问题
证明三线共点问题，可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然后再证两条直线的交点在此直线上，此外还可先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证点重合，从而得三线共点．
【典型例题】
【例1】在空间四边形中，在上分别取E，F，G，H四点，如果交于一点P，则（ ）
A．P一定在直线上
B．P一定在直线上
C．P在直线或上
D．P既不在直线上，也不在直线上
【例2】平面内条直线没有四条直线共点，最多三条直线平行，至少有几个交点（ ）
A．个B．个
C．个D．个
例3】如图，正方体中，，分别为，的中点．
（1）求证：，，，四点共面；
（2）若，，与平面交于点，求证：三点共线．
【例4】如图，在三棱锥中，E，F分别是PA，AB的中点，G，H分别是PC，BC上的点，且．
（1）证明：E，F，G，H四点共面．
（2）证明：三条直线EG，FH，AC交于一点．
【例5】如图，已知平面，，且.若梯形中，，且，.求证：，l共点（相交于一点）.
【例6】如图，设不全等的与不在同一个平面内，且、、，求证：、、三线共点．
【对点实战】
1.如图，在四面体ABCD中，E， G分别为BC， AB的中点，点F在CD上，点H在AD上，且有DF∶FC＝1∶3， DH∶HA＝1∶3.求证：EF， GH， BD交于一点．
2.空间四边形中，、、、分别是、、、上的点，已知和交于点，求证：、、三线共点．
3.如图所示，在空间四边形中，，分别为，的中点，，分别在，上，且．求证：
（1）、、、四点共面；
（2）与的交点在直线上．
（1）求证：、、、、、六点共面；
（2）求证：、、三线共点；
（3）求几何体的体积．
5.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是AB和AA1的中点．求证：
（1）E，C，D1，F四点共面；
（2）CE，D1F，DA三线共点．
六、做截面与交线
（1）平行线法
（2）相交直线法
【典型例题】
【例1】如图，在正方体中，若P为棱的中点，判断平面与平面ABCD是否相交．如果相交，作出这两个平面的交线．
【例2】已知正方体的棱长为2，若，分别是的中点，作出过，，三点的截面.
【例3】如图，在长方体中，P为棱的中点．
(1)画出平面PAC与平面ABCD的交线；
(2)画出平面与平面ABCD的交线．
【例4】已知正方体，，分别是棱，的中点．
（Ⅰ）画出平面与平面的交线，并说明理由；
（Ⅱ）设为直线与平面的交点，求证：，，三点共线．
【例5】如图，正方体的棱长为分别是的中点，设过三点的平面与交于点．
（1）画出过三点的平面与平面的交线，以及与平面的交线；
（2）求的长．
【例6】如图，在边长为1的正方体中，分别是的中点．
（1）作出过点与正方体的截面；（不必说明画法和理由）
（2）求点到平面的距离．
【例7】如图①，正方体的棱长为，为线段的中点，为线段上的动点，过点、、的平面截该正方体所得的截面记为.
（1）若，请在图①中作出截面（保留尺规作图痕迹）；
（2）若（如图②），试求截面将正方体分割所成的上半部分的体积与下半部分的体积之比.
【例8】如图，已知直三棱柱中，，，，，，分别为棱，的中点， 为线段的中点
（1）试在图中画出过，，三点的平面截该棱柱所得的多边形，并求出该多边形的周长；
（2）该截面分三棱柱成两部分，求其中较小那部分几何体的体积.
【对点实战】
1.在正方体中，试画出平面与平面的交线．
2.若α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，试画出平面ABC与平面α，β的交线.
3.在立体几何中，用一个平面去截一个几何体得到的平面图形叫截面. 如图，在棱长为1的正方体中，点分别是棱的中点.
（1）证明：共面；
（2）求截面的面积.
4.如图所示，正方体中，，分别为和的中点，画出平面和平面的交线．
5.如图，有一块正四棱柱的木料，E，F分别为，的中点，，．
（1）作出过B，E，F的平面与正四棱柱木料的截面，并求出该截面的周长；
（2）求点到平面BEF的距离．
6.如图，正四面体棱长为6．
（1）求正四面体的体积；
（2）若是侧面内的一点，过点作一个截面，使得与都与截面平行，作出截面与正四面体各面的交线，并写出作法．
结束
文字语言
符号语言
图形语言
A在l上
A∈l
A在l外
A∉l
A在α内
A∈α
A在α外
A∉α
l在α内
l⊂α
l在α外
l⊄α
l，m相交于A
l∩m＝A
l，α相交于A
l∩α＝A
α，β相交于l
α∩β＝l
基本事实
内容
图形
符号
基本事实1
过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面
A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α
基本事实2
如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内
A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α
基本事实3
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
P∈α且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l
推论
内容
图形
推论1
经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面
推论2
经过两条相交直线，有且只有一个平面
推论3
经过两条平行直线，有且只有一个平面
8.4.1平面
-----典例精讲
本节课知识点目录：
图形语言、文字语言、符号语言的相互转换；
三个基本事实及其推论。
点、线确定平面
证明点共线
证明线共点
做界面与交线
一、图形语言、文字语言、符号语言的相互转换
【典型例题】
【例1】用符号语言表示下列语句，正确的个数是（ ）
（1）点A在平面内，但不在平面内：，．
（2）直线a经过平面外的点A，且a不在平面内：，，．
（3）平面与平面相交于直线l，且l经过点P：，．
A．1B．2C．3D．0
【答案】B
【分析】根据点线面的位置关系结合表示方法可判断.
【详解】错误，点A在平面内应表示为：，点A不在平面内应表示为,故错误.
正确. 由题意点A在直线a上，不在平面内，直线a不在平面内.
故表示为：，，，所以表示正确.
正确. 平面与平面相交于直线l，表示为
l经过点P，点P在直线l上，.故正确.
故选：B.
【例2】若点在直线上，在平面内，则，，之间的关系可记作（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用空间中点、线、面之间关系的符号表示即可求解.
【详解】因为点Q(元素)在直线b(集合)上,所以.
又因为直线b(集合)在平面(集合)内,
所以.所以.
故选：B
【例3】如图所示，点、线、面之间的数学符号语言关系为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【分析】根据图形可将点、线、面之间的位置关系用数学符号语言表示出来.
【详解】由图可知，，，.
故选：B.
【例4】下列关于点、线和面的关系表示错误的是（ ）
A．点平面B．直线平面
C．直线平面D．平面平面
【答案】A
【分析】根据点，线，面的位置关系，结合符号语言，即可判断.
【详解】根据点，线，面的位置关系的符号表示，可知A.错误，应改为点平面；
BCD.正确.
故选：A
【例5】“直线a经过平面外一点P”用符号表示为（ ）
A．，B．C．，D．，
【答案】C
【分析】利用集合语言表示即可.
【详解】“直线a经过平面外一点P”用符号表示为，.
故选：C.
【例6】将下列符号语言转化为图形语言：
(1)A∉α， a⊂α.
(2)α∩β＝a， P∉α且P∉β.
(3)aα， a∩α＝A
(4)α∩β＝a， α∩γ＝c， β∩γ＝b， a∩b∩c＝O.
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
(3)答案见解析
(4)答案见解析
【分析】根据点线、点面、线面、面面的位置关系画出图形即可.
(1)
如图(1)所示．
(2)
如图(2)所示．
(3)
如图(3)所示．
(4)
如图(4)所示．
【例7】根据下列条件画出图形：平面平面直线，直线，直线，，.
【答案】图形见解析
【分析】根据，，得到画出图形.
【详解】图形如图所示.
【对点实战】
1.如图所示，点，线，面之间的数学符号语言关系为（ ）
A．，B．，C．，D．，
【答案】B
【分析】根据点与线、点与面的属于关系，结合线面包含关系进行判断即可.
【详解】由图可知：，
故选：B
2.基本事实2；如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．可用符号表示为（ ）
A．，，且，B．，，且，
C．，，且，D．，，且，
【答案】B
【分析】根据定义判断是元素与集合的关系还是集合与集合的关系决定符号的用法.
【详解】因为、是点，是元素，是直线、平面的元素，所以用“”，而是点的集合，和平面是集合与集合的关系，是平面的子集关系，所以用“”.
故选：B.
3.“点在直线上，在平面内”可表示为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【分析】根据点与线，线与面的关系书写即可.
【详解】解：因为点在直线上，在平面内。
所以符号语言为：，
故选：B
4.如图所示，用符号语言可表述为（ ）
A．，，B．，，
C．，，，D．，，，
【答案】A
【分析】利用图形，表示为点，线，面的符号语言.
【详解】由图形可知，，，或表示为，.
即A正确.
故选：A
5.画出满足下列条件的图形（其中A，B，M表示点，m，n，a，b表示直线，，表示平面）：
(1)，，，；
(2)，，，，；
(3)，，，．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】利用点、线、面的位置关系的图形表示，即可得到答案；
(1)
(2)
(3)
二、三个基本事实及其推论
1．三个基本事实
2.三个推论
【典型例题】
【例1】给出下列判断，其中正确的是（ ）
A．三点唯一确定一个平面
B．一条直线和一个点唯一确定一个平面
C．两条平行直线与同一条直线相交，三条直线在同一平面内
D．空间两两相交的三条直线在同一平面内
【答案】C
【分析】根据确定平面的条件可对每一个选项进行判断.
【详解】对A，如果三点在同一条直线上，则不能确定一个平面，故A错误；
对B，如果这个点在这条直线上，就不能确定一个平面，故B错误；
对C，两条平行直线确定一个平面，一条直线与这两条平行直线都相交，则这条直线就在这两条平行直线确定的一个平面内，故这三条直线在同一平面内，C正确；
对D，空间两两相交的三条直线可确定一个平面，也可确定三个平面，故D错误.
故选：C
【例2】下列说法正确的是（ ）
A．三点确定一个平面
B．四条首尾相连的线段确定一个平面
C．两条异面直线确定一个平面
D．两条相交直线确定一个平面
【答案】D
【分析】根据平面的基本性质判断各选项的正误.
【详解】A：不共线的三点确定一个平面，故A错误；
B：如空间四边形，四条首尾相连的线段不在一个平面，故B错误；
C：两条异面直线就不在一个平面内，故C错误；
D：两条相交直线确定一个平面，正确.
故选：D.
【例3】下列说法正确的是（ ）
A．三点可以确定一个平面B．一条直线和一个点可以确定一个平面
C．四边形一定是平面图形D．两条相交直线可以确定一个平面
西藏自治区拉萨中学2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题
【答案】D
【分析】根据确定平面的公理以及推论判断即可.
【详解】A错误，不共线的三点可以确定一个平面；
B错误，一条直线和直线外一个点可以确定一个平面；
C错误，四边形不一定是平面图形，比如空间四边形；
D正确，两条相交直线可以确定一个平面．
故选：D．
【例4】下列命题正确的是（ ）
A．经过三点确定一个平面
B．经过一条直线和一个点确定一个平面
C．四边形确定一个平面
D．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面
【答案】D
【分析】由平面的基本性质结合公理即可判断.
【详解】对于A，过不在一条直线上三点才能确定一个平面，故A不正确；
对于B，经过一条直线和直线外一个点确定一个平面，故B不正确；
对于C，空间四边形不能确定一个平面，故C不正确；
对于D，两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，故D正确.
故选：D
【例5】下列说法中正确的是（ ）
A．四边相等的四边形确定一个平面
B．一条直线和一个点可以确定一个平面
C．空间任意两条直线可以确定一个平面
D．梯形确定一个平面
【答案】D
【分析】对于A，利用空间四边形可判断；对于B，结合公理2判断；对于C，结合异面直线可判断，对于D，根据两平行线可以确定一个平面即可判断.
【详解】解：对于A选项，四边相等的空间四边形确定的平面不止一个，故错误；
对于B选项，一条直线和直线外一个点可以确定一个平面，故错误；
对于C选项，空间中的两条异面直线无法确定一个平面，故错误；
对于D选项，梯形的上底和下底是一对平行线，可以确定一个平面，故正确.
故选：D
【例6】下列叙述中，正确的是（ ）．
A．因为，，所以
B．因为，，所以
C．因为，，，所以
D．因为，，所以
【答案】D
【分析】根据公理1判断选项A、C，根据公理3判断选项B、D.
【详解】A：因为，所以，故A错误；
B：因为，所以或，故B错误；
C：因为，所以，故C错误；
D：因为，所以，故D正确.
故选：D
【例7】已知，，是平面，，，是直线，，，，若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据空间中点线面之间的位置关系结合平面的基本性质逐一判断四个选项的正误，即可得正确选项.
【详解】因为，，所以，，
由，可得且，
所以且，
因为，所以，故选项A正确，选项B不正确；
因为，，所以、有公共点，故选项C不正确；
因为，，所以，因为，所以与有公共点，故选项D不正确；
故选：A.
【例8】正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是线段BC，CD1的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是（ ）
A．相交B．异面
C．平行D．垂直
【答案】A
【分析】连接与交于点F，易得是平行四边形，根据平面的基本性质即可判断直线与直线的位置关系.
【详解】如图所示，连接与交于点F，
由题意，易得四边形是平行四边形，
在平行四边形中，E，F分别是线段的中点，
∴，又且共面，则直线与直线相交.
故选：A.
【对点实战】
1.下列条件中能确定一个平面的是（ ）
A．空间任意三个点
B．空间相交于一点的三条直线
C．两条平行直线
D．一条直线和一个点
【答案】C
【分析】根据空间中平面的确定方法依次判断各个选项即可.
【详解】对于A，若三点共线，则三点无法确定一个平面，A错误；
对于B，空间中相交于一点的三条直线，可能确定一个平面，也可能确定三个不同的平面，B错误；
对于C，两条平行直线可以确定唯一的一个平面，C正确；
对于D，若一个点在直线上，则无法确定一个平面，D错误.
故选：C.
2.下列命题：
（1）若空间四点共面，则其中必有三点共线；
（2）若空间有三点共线，则此四点必共面；
（3）若空间四点中任意三点不共线，则此四点不共面；
（4）若空间四点不共面，则其中任意三点不共线.
其中正确的命题有（ ）个.
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】对四个命题利用空间四个点的位置关系分别分析解答．
【详解】解：对于①，空间四点共面，如平面四边形，其中任何三点不共线；故①错误；
对于②，空间四点中有三点共线，根据不共线的三点确定一个平面，得到此四点必共面；故②正确；
对于③，空间四点中任何三点不共线，则此四点可能共面，如平面四边形；故③错误；
对于④，空间四点不共面，如果任意三点有共线的，那么此四个点就共面，与已知矛盾．故④正确，
所以正确的命题有2个.
故选：C.
3.自行车停放时将后轮旁边的撑子放下，自行车就停稳了，这里用到了（ ）
A．两条平行直线确定一个平面
B．两条相交直线确定一个平面
C．不共线的三点确定一个平面
D．三点确定一个平面
【答案】C
【分析】结合确定一个平面的方法确定正确选项.
【详解】自行车的前后轮与脚撑分别接触地面，使得自行车稳定，
此时自行车与地面的三个接触点不在同一条线上，即不共线的三点确定一个平面．
故选：C．
4.下列命题中正确的是（ ）
A．经过三点确定一个平面
B．经过两条平行直线确定一个平面
C．经过一条直线和一个点确定一个平面
D．四边形确定一个平面
【答案】B
【分析】根据平面的有关知识对选项逐一分析，由此确定正确选项.
【详解】对于选项A：经过不共线的三点确定一个平面，故选项A错误，
对于选项B：两条平行直线唯一确定一个平面，故选项B正确，
对于选项C：经过一条直线和直线外一个点确定一个平面，故选项C错误，
对于选项D：因为空间四边形不在一个平面内，故选项D错误.
故选：B
5.．“平面内有一条直线，则这条直线上的一点必在这个平面内”用符号表述是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据点与线、点与面、线与面关系的集合表示方法，结合排除法，即知正确选项.
【详解】由点线、点面关系用表示，线面关系用表示，排除A、C、D；
故选：B
6.以下四个命题中，正确命题的个数是（ ）
①不共面的四点中，任意三点不共线；
②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则A，B，C，D，E共面；
③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；
④依次首尾相接的四条线段必共面．
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【分析】结合点线面的空间位置关系逐项分析即可求出结果.
【详解】①假设任意三点共线，由于一条直线与直线外的一点确定一个平面，故四点共面，因此与不共面的四点矛盾，故假设不成立，即不共面的四点中，任意三点不共线，显然是正确的；②若A，B，C三点共线，则A，B，C，D，E五点不一定共面，故不正确；③构造长方体或正方体，如图，显然b，c异面，故不正确；④空间四边形中四条线段不共面，故不正确．故正确的个数为1.
故选：B.
7.如图，平面平面，直线，过三点确定的平面为，则平面的交线必过（ ）
A．点B．点C．点，但不过点 D．点和点
【答案】D
【分析】根据平面的基本性质及推论推导即可
【详解】由题意知，，，∴，又，
∴，即在平面与平面的交线上，又，，
∴点C在平面与平面的交线上，即平面的交线必过点和点
故选：D.
三、点、线确定平面
证明点、线共面问题的常用方法
(1)先证部分点、线確定一平面，再整其余点、线属于该平面
(2)可以通过不同点、线确定两个平面，再用归谬法证明重合
【典型例题】
【例1】过空间任意一点引三条直线，它们所确定的平面个数是（ ）
A．1B．2C．3D．1或3
【答案】D
【分析】根据三条直线是否在同一个平面内分两种情况讨论可得答案.
【详解】过空间任意一点引三条直线，当三条直线在同一个平面内时，它们所确定的平面个数是；
当三条直线不在同一个平面内时，它们所确定的平面个数是.
故选：D
【例2】从同一点引出的4条直线可以确定个平面，则不可能取的值是（ ）
A．6B．4C．3D．1
【答案】C
【分析】分当4条直线中任何三条都不共面时，当4条直线中由三条都共面时，当4条直线中共面时，三种情况讨论即可得出答案.
【详解】解：A：当4条直线中任何三条都不共面时，如四棱锥的四条侧棱，此时4条直线可以确定个平面，所以不选A．
B：当4条直线中有三条都共面时，此时4条直线可以确定个平面，所以不选B．
C条直线在空间中的位置关系有：任何三条都不共面；有三条都共面；4条直线共面，所以不存在其他的位置关系，所以选C．
D：当4条直线共面时，此时4条直线只可以确定1个平面，所以不选D．
故选：C．
【例3】已知空间中有五个点，如果点在同一个平面内，点在同一个平面内，那么这五个点（ ）
A．一定共面B．不一定共面C．一定不共面D．以上都不对
【答案】B
【分析】根据点、线、面关系，根据题意五点可以共面也可能不共面，即可得解.
【详解】设点在同一个平面内，
若，则五点共面，
若，且，这种情况五点不共面，
故选：B
【例4】在空间内，可以确定一个平面的条件是（ ）
A．两两相交的三条直线，且有三个不同的交点
B．三条直线，其中的一条与另外两条直线分别相交
C．三个点
D．两条直线
【答案】A
【分析】根据确定平面的依据，分别判断选项.
【详解】A. 两两相交的三条直线，且有三个不同的交点，可以确定一个平面，故A正确；
B.由两条直线异面，第三条直线与它们分别相交，这样就不能确定一个平面，故B错误；
C.只有不在同一条直线的三个点才能确定一个平面，故C错误；
D.两条相交直线或两条平行直线可以确定一个平面，如果是两条异面直线，就不能确定一个平面，故D错误.
故选：A
【例5】下列条件中，能够确定一个平面的是（ ）
A．两个点B．三个点
C．一条直线和一个点D．两条相交直线
【答案】D
【分析】两个点能确定一条直线，但一条直线不能确定一个平面，可判断A；若三个点共线，则不能确定一个平面，可判断B；若点在直线上，则一条直线和一个点不能确定一个平面，可判断C；两条直线能确定一个平面，可判断D.
【详解】解：对于A，两个点能确定一条直线，但一条直线不能确定一个平面，所以两个点不能确定一个平面；
对于B，三个不共线的点可以确定一个平面，若三个点共线，则不能确定一个平面，故B不能；
对于C，一条直线和这条直线外一点能确定一个平面，若这个点在直线上，则不能确定一个平面，故C不能；
对于D，两条相交直线能确定一个平面，故D能.
故选：D.
【例6】空间内不同的四个点，“无任何三点共线”是“四点不共面”的（ ）
A．充要条件B．充分非必要条件
C．必要非充分条件D．既非充分又非必要条件
【答案】C
【分析】根据充分，必要条件的定义，判断选项.
【详解】平行四边形中无任何三点共线，但是四点共面，反过来，若四点不共面，连结四点，构成空间四边形，无任何三点共线，所以“无任何三点共线”是“四点不共面”的必要不充分条件.
故选：C
【例7】如图，在正方体中，为正方形的中心，为直线与平面的交点.求证：三点共线.
【答案】证明见解析
【分析】根据平面与平面相交的性质,进而判断另外一个点在交线上,即可证明三点共线.
【详解】证明：如图,连接,则
∵∴四边形为平行四边形.又,平面
则平面∵平面平面∴故三点共线.
【对点实战】
1.下列命题正确的是（ ）
A．一条直线和一个点确定一个平面
B．圆心和圆上两点可以确定一个平面
C．两个平面相交，存在特殊位置关系使它们只有一个公共点
D．如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合
【答案】D
【分析】直接利用平面的定义和性质的应用，即可一一验证．
【详解】解：对于选项：若该点在直线上，则可以确定无数个平面，故错误，
对于选项：当圆心和圆上的两点满足三点共线时，确定的平面有无数个，故错误．
对于选项：如果两个平面相交有一个交点，则必有无数个公共点，故错误．
对于选项：不共线的三个点确定一个平面，因此两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合，正确.
故选：．
2.下列命题正确的是（ ）
A．三点确定一个平面
B．一条直线和一个点确定一个平面
C．两条不平行的直线确定一个平面
D．梯形可确定一个平面
【答案】D
【分析】根据已知条件，利用平面的基本性质，以及推论，逐一判断即可：
对选项A，取特殊位置，三点共线否定结论
对选项B：利用平面公理进行判断；
对选项C：取异面直线，否定结论；
对选项D，利用两条平行线确定一个平面，进行判断.
【详解】对选项A，当三点共线时，不能确定一个平面，故A错误；
对选项B：一条直线和直线外一个点确定一个平面，故B错误；
对选项C：如果这两条直线异面，则不可以确定一个平面，故C错误；
对选项D，梯形的上底和下底是一对平行线，可以确定一个平面，故D正确.
故选：D.
3.一个平面经过空间四点中的三点，这样的平面个数最多为（ ）
A．1B．3C．4D．6
【答案】C
【分析】根据题意讨论两种情况，由公理2以及推论、符合条件的几何体进行判断．
【详解】根据题意知，当空间四点中有三点共线时，则四个点确定1个平面；
当空间四点中没有三点共线时，，四点不共面，如三棱锥的顶点和底面上的顶点，则四个点确定4个平面．
所以这样的平面个数最多为4个.
故选：C．
4.经过同一条直线上的3个点的平面（ ）
A．有且仅有1个B．有无数个C．不存在D．有且仅有3个
【答案】B
【分析】以这条直线为轴心，任意旋转角度的无数个平面都满足这个条件．
【详解】解：∵空间中不在同一条直线上的三个点确定一个平面，
∴在同一直线上的三个点的平面，就是以这条直线为轴心，任意旋转角度的无数个平面都满足这个条件，
∴有无数个平面，
故选：B．
5.空间的4个平面最多能将空间分成（ ）个区域．
A．13B．14C．15D．16
【答案】C
【分析】根据平面的性质进行归纳推理．前三个平面与第4个平面相交，最多有三条交线，这三条交线把第四个平面，最多分成7部分，而每一部分就是第四个平面与前三个平面所分空间部分的截面，这个截面把所在空间部分一分为二，由此可得4个平面最多能将空间分成的区域数．
【详解】一个平面把空间分成2部分，两个平面最多把空间分面4部分，3个平面最多把空间分布8个部分，前三个平面与第4个平面相交，最多有三条交线，这三条交线把第四个平面，最多分成7部分，这里平面的每一部分就是第四个平面与前三个平面分空间部分的截面，这个截面把所在空间部分一分为二，这样所有空间部分的个数为．
故选：C．
5.(1)不共面的四点可以确定几个平面？
(2)三条直线两两平行，但不共面，它们可以确定几个平面？
(3)共点的三条直线可以确定几个平面？
【答案】4；3；1或3.
【分析】(1)不共面的四点就一定不存在三个点共线的情况，由于不共线的三个点确定一个平面，从4个点中任取3个点都可以确定一个平面，利用组合数写出结果；
(2)两条平行线可以确定一个平面，从而三条直线两两平行但不共面，三条直线中的两条即可确定一个平面；
(3)共交点的三条直线，当它们共面时可以确定1个平面，它们不共面时任意两条可以确定一个平面．
【详解】(1)不共线的三个点确定一个平面，不共面的四点就一定不存在三个点共线的情况，
从4个点中任取3个点都可以确定一个平面，共有种结果，
故不共面的四点可以确定4个平面；
(2)两条平行线可以确定一个平面，
三条直线两两平行但不共面，它们可以确定个平面；
(3)共交点的三条直线至少可以确定1个平面，最多可能确定个平面．
6.如图，在四棱锥中，底面，是直角梯形，，，，点是的中点.
（1）线段上是否存在一点，使得点，，，共面，存在请证明，不存在请说明理由；
（2）若，求三棱锥的体积.
【答案】（1）存在，证明见解析；（2）.
（1）根据四点共面的条件，直接判断点的位置；（2）利用点是的中点，转化，求三棱锥的体积.
【详解】证明：（1）存在的中点满足条件.
连接，，则是三角形的中位线，
所以，又由已知
所以，所以，，，四点共面.
（2）因为是的中点，所以
由（1）知，所以，
四、证明点共线问题
证明多点共线通常用基本事实3，即两相交平面交线的唯一性．通过证明点分别在两个平面内，证明点在相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在其上．
【典型例题】
【例1】在三棱锥A-BCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，若EF∩HG=P，则点P（ ）
A．一定在直线BD上
B．一定在直线AC上
C．在直线AC或BD上
D．不在直线AC上，也不在直线BD上
【答案】B
【分析】先说明点P在平面ABC，且在平面ACD上，进而得到答案.
【详解】如图，
∵EF⊂平面ABC，HG⊂平面ACD，EF∩HG=P，∴P∈平面ABC，P∈平面ACD．
又平面ABC∩平面ACD=AC，∴P∈AC.
故选：B．
【例2】在长方体中，是与的交点，长方体体对角线交截面于点P.求证：三点在同一条直线上.
【答案】证明见解析
【分析】根据公理3，进行判断三点共线；根据公理1可知∈平面，因此得到答案．
【详解】因为∈平面，∈平面，
∈平面，∈平面，
所以平面∩平面.
又因为∩平面，
所以直线平面，
所以平面，
所以直线，
即三点在同一条直线上．
【例3】如图，在空间四边形中，分别是的中点，分别在上，且
(1)求证：四点共面；
(2)设与交于点，求证：三点共线.
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据题意，利用中位线定理和线段成比例，先证明，进而证明问题；
（2）先证明平面，平面，进而证明点P在两个平面的交线上，然后证得结论.
(1)
连接分别是的中点，.在中，.所以四点共面.
(2)
，所以，
又平面平面，
同理：，平面平面，
为平面与平面的一个公共点.
又平面平面，即三点共线.
【例4】如图，已知D，E是△ABC的边AC，BC上的点，平面α经过D，E两点，若直线AB与平面α的交点是P，求证：点P在直线DE上.
【答案】证明见解析.
【分析】易证P∈平面ABC，又P∈α，可证面ABC∩平面α的交线为DE，进而求证
【详解】证明：
因为P∈AB，AB⊂平面ABC，
所以P∈平面ABC.又P∈α，平面ABC∩平面α＝DE，
所以P∈直线DE.
所以点P在直线DE上.
【例5】如图所示，在四边形中，已知，直线，，，分别与平面相交于点，，，．求证：，，，四点共线．
【答案】见解析
【分析】根据推论3及公理2可知，两条平行直线AB和CD可以确定一个平面ABCD，并且平面ABCD与平面α的所有的公共点应该在一条直线上，根据题意，这些公共点即E，G，H，F四点，所以这四点必定共线．
【详解】证明：∵，∴，确定一个平面．
又∵，，∴，，
即为平面与的一个公共点．
同理可证，，均为平面与的公共点．
∵两个平面有公共点，∴它们有且只有一条通过公共点的公共直线，
∴，，，四点共线．
【对点实战】
1.已知△ABC在平面α外，其三边所在的直线满足AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R，如图所示，求证：P，Q，R三点共线.
【答案】证明见解析
【分析】推导出P，Q，R都在平面ABC与平面α的交线上，即可证明.
【详解】证明：法一：∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α.
又AB⊂平面ABC，∴P∈平面ABC.∴由基本事实3可知：点P在平面ABC与平面α的交线上，同理可证Q，R也在平面ABC与平面α的交线上.∴P，Q，R三点共线.法二：∵AP∩AR＝A，
∴直线AP与直线AR确定平面APR.又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，
∴平面APR∩平面α＝PR.∵B∈平面APR，C∈平面APR，∴BC⊂平面APR.
∵Q∈BC，∴Q∈平面APR，又Q∈α，∴Q∈PR，∴P，Q，R三点共线.
2.如图，在正方体中，为正方形的中心，为直线与平面的交点．求证：，，三点共线．
【答案】证明见解析
将三点共线转化为证明两面的交线问题，利用两面相交有且只有一条交线，即两面的公共点都在交线上.
【详解】证明：如图，连接，，则，因为，，
所以四边形为平行四边形，又，平面，
则平面，因为平面平面，
所以．即，，三点共线．
3.已知，正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD=P，A1C1∩EF=Q.求证：
（1）D，B，E，F四点共面.
（2）若A1C交平面BDEF于点R，则P，Q，R三点共线.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；
【分析】（1）求证EF∥BD，再由两条平行线可以确定平面即可求证；
（2）利用公理2说明三点在两个平面的交线上即可.
【详解】（1）连接B1D1，如下图所示：
因为E，F分别为D1C1，C1B1的中点，
所以EF∥B1D1，又因为B1D1∥BD，
所以EF∥BD，
所以EF与BD共面，
所以E，F，B，D四点共面.即证.
（2）因为AC∩BD=P，所以P∈平面AA1C1C∩平面BDEF.
同理，Q∈平面AA1C1C∩平面BDEF，
因为A1C∩平面DBFE=R，
所以R∈平面AA1C1C∩平面BDEF，
所以P，Q，R三点共线，即证.
4.如图，在正方体中，为正方形的中心，为直线与平面的交点.求证：三点共线.
【答案】证明见解析
【分析】根据平面与平面相交的性质,进而判断另外一个点在交线上,即可证明三点共线.
【详解】证明：如图,连接,则
∵∴四边形为平行四边形.又,平面
则平面∵平面平面∴故三点共线.
五、证明线共点问题
证明三线共点问题，可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然后再证两条直线的交点在此直线上，此外还可先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证点重合，从而得三线共点．
【典型例题】
【例1】在空间四边形中，在上分别取E，F，G，H四点，如果交于一点P，则（ ）
A．P一定在直线上
B．P一定在直线上
C．P在直线或上
D．P既不在直线上，也不在直线上
【答案】B
【分析】由题设知面，结合已知条件有面、面，进而可判断P所在的位置.
【详解】由题意知：面，又交于一点P，
∴面，同理，面，又面面，
由公理3知：点P一定在直线上.
故选：B.
【例2】平面内条直线没有四条直线共点，最多三条直线平行，至少有几个交点（ ）
A．个B．个
C．个D．个
【答案】C
【分析】根据已知条件，可以有二组三条直线平行，再分析如何增加两条直线使交点最少，作图即可求解.
【详解】因为最多三条直线平行，可以有二组三条直线平行，
如图，，这条线共有个交点，
如图交点分别为，
若要使交点最少可以使过两组平行线的三个交点，此时没有增加新的交点，
因为平面内条直线没有四条直线共点，不能过三条线的公共点，
比如不能过图中的，
由于不能过点为了保证交点最少，可以过两条直线的交点，
最少增加个新的交点，如图点，
所以至少有个交点，
故选：C.
例3】如图，正方体中，，分别为，的中点．
（1）求证：，，，四点共面；
（2）若，，与平面交于点，求证：三点共线．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）证明EF∥BD即可得出结论；
（2）只需说明三点都是平面BDEF和平面ACC1A1的公共点即可得出结论．
【详解】证明：（1）连接，
在正方体中，∵，分别为，的中点，
∴是的中位线，∴，
又因为，∴
∴四边形为梯形，即，，，四点共面．
（2）在正方体中，，，
∴是平面与平面的交线，
又因为交平面于点，
∴是平面与平面的一个公共点．
因为两平面相交的所有公共点都在这两个平面的交线上，
∴三点共线．
【例4】如图，在三棱锥中，E，F分别是PA，AB的中点，G，H分别是PC，BC上的点，且．
（1）证明：E，F，G，H四点共面．
（2）证明：三条直线EG，FH，AC交于一点．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【分析】（1）利用三角形中对应边成比例，证得，，进而得到，即可得出结果．
（2）由，可知EG，FH必相交于一点，设为点O,平面平面，通过证明，即可．
【详解】证明：（1）在中，因为E，F分别是PA，AB的中点，
所以．
在中，因为，
所以，从而．
所以，即E，F，G，H四点共面．
（2）由（1）知，，，
所以EG，FH必相交于一点，设为点O．
因为平面PAC，所以平面PAC．
同理平面ABC，即O是平面PAC与平面ABC的公共点．
因为平面平面，
所以，即三直线EG，FH，AC交于一点．
【例5】如图，已知平面，，且.若梯形中，，且，.求证：，l共点（相交于一点）.
【答案】证明见解析.
【分析】利用平面公理2可以证明三线共点：设直线直线，先证明M为的公共点，再证明，从而可以证明，l共点.
【详解】因为梯形中，，所以是梯形的两腰.
所以直线必相交于一点.
设直线直线.
又因为，所以.
所以.
又因为，所以，
即，l共点（相交于一点）
【例6】如图，设不全等的与不在同一个平面内，且、、，求证：、、三线共点．
【答案】证明见解析
【分析】本题首先可根据题意设，则与相交，然后令交点为，根据平面、平面得出点在两平面的交线上，最后根据两平面的交线为即可证得结论.
【详解】因为与不在同一个平面内且不全等，
所以可设，则四边形为梯形，与相交，
令其交点为，则，，
因为平面，平面，
所以点在平面与平面的交线上，
因为平面与平面的交线为，
所以，、、三线共点.
【对点实战】
1.如图，在四面体ABCD中，E， G分别为BC， AB的中点，点F在CD上，点H在AD上，且有DF∶FC＝1∶3， DH∶HA＝1∶3.求证：EF， GH， BD交于一点．
【答案】证明见解析
【分析】利用基本事实4和基本事实2可证三线共点.
【详解】证明 连接GE， HF.
因为E， G分别为BC， AB中点， 所以.
因为DF∶FC＝1∶3， DH∶HA＝1∶3，所以.
从而GE∥HF且，故G， E， F， H四点共面且四边形为梯形，
因为EF与GH不能平行，设EF∩GH＝O，则O∈平面ABD， O∈平面BCD.
而平面ABD∩平面BCD＝BD，所以EF， GH， BD交于一点．
2.空间四边形中，、、、分别是、、、上的点，已知和交于点，求证：、、三线共点．
【答案】证明见解析
【分析】根据空间中点线面的公理证明即可
【详解】因为、相交于点，
则点，且．
又由题意，面，面
则点面，面，又平面平面，
则点必在面与面的交线上，即，
所以、、三线共点．
3.如图所示，在空间四边形中，，分别为，的中点，，分别在，上，且．求证：
（1）、、、四点共面；
（2）与的交点在直线上．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【分析】（1）由平行关系转化，可得，即可证明四点共面；（2）由条件证明与的交点既在平面上，又在平面上，即可证明.
【详解】证明（1）∵，∴．
∵，分别为，的中点，
∴，∴，∴，，，四点共面．
（2）∵，不是，的中点，
∴，且，故为梯形．
∴与必相交，设交点为，
∴平面，平面，
∴平面，且平面，
∴，即与的交点在直线上．
4.已知棱长为1的正方体，、、、、、分别相应棱的中点如图所示
（1）求证：、、、、、六点共面；
（2）求证：、、三线共点；
（3）求几何体的体积．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.
【分析】（1）连接，，证出，根据两条平行线确定一个平面，再证出，即证.
（2）利用线共点定理即可证明.
（3）利用棱台的体积公式，采用间接法即可求解.
【详解】（1）证明：连接，，有已知，
又
∴
设两线确定的平面为
即点，，，
在平面内延长交直线于点，
由与全等，可得
在平面内延长交直线于点，同理可得
∴，重合，∴，∴同理可证
综上、、、、、共面
（2）证明：设，则平面，平面，
∵平面平面，
∴，∴、、三线共点；
（3）解：∵，
∴
∴
5.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是AB和AA1的中点．求证：
（1）E，C，D1，F四点共面；
（2）CE，D1F，DA三线共点．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
（1）利用三角形的中位线证明，从而得到四点共面；
（2）根据平面的性质，证明点P∈平面ABCD，点P∈平面ADD1A1平面，从而证明CE，D1F，DA三线共点.
【详解】（1）证明：如图所示，连接EF，CD1，A1B.
E，F分别是AB，AA1的中点，EF∥BA1.
又A1B∥D1C，EF∥CD1，
E，C，D1，F四点共面．
（2）证明：EF∥CD1，EFCE与D1F必相交，设交点为P，如图所示．
则由P∈CE，CE⊂平面ABCD，P∈平面ABCD.
同理P∈平面ADD1A1.
又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，
P∈直线DA，CE，D1F，DA三线共点．
六、做截面与交线
（1）平行线法
（2）相交直线法
【典型例题】
【例1】如图，在正方体中，若P为棱的中点，判断平面与平面ABCD是否相交．如果相交，作出这两个平面的交线．
【答案】见解析
【分析】根据基本事实2可作两个平面的交线.
【详解】平面与平面ABCD相交，
如图，连接、并延长交于，连接，
则平面平面.
【例2】已知正方体的棱长为2，若，分别是的中点，作出过，，三点的截面.
【答案】图象见解析
【详解】
【例3】如图，在长方体中，P为棱的中点．
(1)画出平面PAC与平面ABCD的交线；
(2)画出平面与平面ABCD的交线．
【答案】(1)答案见解析；
(2)答案见解析.
【分析】(1)平面PAC与平面ABCD的交线为AC；
(2)延长交于点E，连接CE，则CE为平面与平面ABCD的交线.
(1)
平面PAC与平面ABCD的交线为AC，如图(1).
(2)
延长交于点E，连接CE，
则CE为平面与平面ABCD的交线，如图(2).
【例4】已知正方体，，分别是棱，的中点．
（Ⅰ）画出平面与平面的交线，并说明理由；
（Ⅱ）设为直线与平面的交点，求证：，，三点共线．
【答案】（Ⅰ）答案见解析；（Ⅱ）证明见解析.
【分析】（Ⅰ）利用平面的基本性质即可得到；
（Ⅱ）由题可知点平面，平面，即可证明.
【详解】（Ⅰ）如图所示，直线即为平面与平面的交线，
理由如下：
在正方体中，
∵，分别是棱，的中点，
平面，平面，且与不平行，
∴在平面内分别延长，，
则与必相交于一点，不妨设为点，
∴，，
∵平面，平面，
∴平面，平面，
即为平面和平面的公共点，
又∵为平面和平面的公共点，连接，
∴直线即为平面与平面的交线．
（Ⅱ）证明：如图所示，在正方体中，
∵，且，
∴四边形为平行四边形，
∵为直线与平面的交点，
∴，又∵平面，
∴平面，
又∵平面，平面平面，
∴，
∴，，三点共线．
【例5】如图，正方体的棱长为分别是的中点，设过三点的平面与交于点．
（1）画出过三点的平面与平面的交线，以及与平面的交线；
（2）求的长．
【答案】（1）答案见解析；（2）．
【分析】（1）根据两点确定一条直线，由题目所给交点，再确定一个交点即可得到面面交线；
（2）如图所示，根据所给数据利用勾股定理即可得解.
【详解】（1）设三点确定的平面为，则与平面的交线为直线，
设，则是与平面的交线，，连接，则是所要画的平面与平面的交线．
（2）正方体棱长为，
又，
所以．
在中，，
所以．
【例6】如图，在边长为1的正方体中，分别是的中点．
（1）作出过点与正方体的截面；（不必说明画法和理由）
（2）求点到平面的距离．
【答案】（1）图见解析；（2）
【分析】（1）根据平面与平面相交成线这一基本事实，作出过点与正方体
的截面；
（2）根据三棱锥体积公式，结合，利用线面平行的性质，根据勾股定理的逆定理，进行求解即可.
【详解】（1）截面如图所示．
（2）∵，平面，∴平面，
则点到平面的距离等于点到平面的距离．在中，，
所以，所以，∴．
∵，∴，∴，
∴，即点到平面的距离为．
【例7】如图①，正方体的棱长为，为线段的中点，为线段上的动点，过点、、的平面截该正方体所得的截面记为.
（1）若，请在图①中作出截面（保留尺规作图痕迹）；
（2）若（如图②），试求截面将正方体分割所成的上半部分的体积与下半部分的体积之比.
【答案】（1）答案见解析；（2）.
【分析】（1）根据平面的基本性质作出截面即可；
（2）由平面基本性质得出截面，再由锥体的体积公式得出，最后求出与之比.
【详解】（1）延长交延长线于点，此时，延长交于点
延长交延长线于点，连接，并延长交于点，连接
此时五边形就是截面
（2）当为的中点时，再由，可知，的延长线交于点，此时截面为四边形
因此
【例8】如图，已知直三棱柱中，，，，，，分别为棱，的中点， 为线段的中点
（1）试在图中画出过，，三点的平面截该棱柱所得的多边形，并求出该多边形的周长；
（2）该截面分三棱柱成两部分，求其中较小那部分几何体的体积.
【答案】（1）作图见解析，；（2）.
【分析】（1）取中点，连接、、，易知，得到截面为梯形求解；
（2）连接，，分别求得，，再比较即可.
【详解】（1）如图所示：
取中点，连接、、，
则，即四点共面，
则梯形为所求截面的多边形.
则，
，
，
，
所以该多边形的周长为.
（2）连接，，
，
，
而，
所以其中较小那部分几何体的体积为 .
【对点实战】
1.在正方体中，试画出平面与平面的交线．
【答案】答案见解析
【分析】找出两个平面的两个公共点，连线即可.
【详解】根据公理，只要找到两平面的两个公共点即可．
如图，设.
，平面，平面，
又，平面，平面，
所以，是平面与平面的公共点，
而点显然也是平面与平面的公共点．
连接，根据公理知是平面与平面的交线．
2.若α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，试画出平面ABC与平面α，β的交线.
【答案】答案见解析
【分析】延长BA交l于D，则AB是平面ABC与α的交线，CD是平面ABC与β的交线.
【详解】α∩β＝l，A，B∈α，
∴AB是平面ABC与α的交线，
延长BA交l于D，则D∈平面ABC，
∵C∈β，∴CD是平面ABC与β的交线，
则对应的图示如图.
3.在立体几何中，用一个平面去截一个几何体得到的平面图形叫截面. 如图，在棱长为1的正方体中，点分别是棱的中点.
（1）证明：共面；
（2）求截面的面积.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
（1）证明，利用两条平行线确定一个平面即可证明四点共面.
（2）由题意知截面为等腰梯形，求出高为，利用梯形的面积公式即可求解.
【详解】⑴证明：连结，在正方体中，，又，
四点共面.
⑵根据题意，结合线面面面平行的性质，得到满足条件的截面为等腰梯形，
由正方体的棱长为1，可求得该梯形的上底为，下底为，
高为，
利用梯形的面积公式可求得.
4.如图所示，正方体中，，分别为和的中点，画出平面和平面的交线．
【答案】见解析
【分析】找到交线上的两个公共点，根据公理三即可得到结果.
【详解】如图所示，在平面内延长，交的延长线于一点，则平面．因为平面，所以平面，所以是平面-与平面的一个公共点．又是两平面的一个公共点，所以为两平面的交线．
5.如图，有一块正四棱柱的木料，E，F分别为，的中点，，．
（1）作出过B，E，F的平面与正四棱柱木料的截面，并求出该截面的周长；
（2）求点到平面BEF的距离．
【答案】（1）作图见解析，；（2）.
【分析】（1）连接AC，过点B作直线MN，分别交直线DC，DA的延长线于N，M两点，连接EM，FN分别交，与P，Q两点，连接PB，BQ，则五边形EPBQF为所求截面.分别求出各边，即可求出五边形EPBQF周长
（2）利用等体积法求到平面BEF的距离.
【详解】（1）连接AC，过点B作直线MN，分别交直线DC，DA的延长线于N，M两点，连接EM，FN分别交，与P，Q两点，连接PB，BQ，则五边形EPBQF为所求截面.
在正方形中，，在中，，，故，，由，故，
故，，故，
同理，可求得，，故五边形EPBQF周长为：，
则截面周长为.
（2）分别取AD，DC的中点R，T，连接ER，FT，在中，
在，，同理
求得等腰的面积为，求得的面积为
设到平面BEF的距离为h，由，得，
故，故到平面BEF的距离为.
6.如图，正四面体棱长为6．
（1）求正四面体的体积；
（2）若是侧面内的一点，过点作一个截面，使得与都与截面平行，作出截面与正四面体各面的交线，并写出作法．
【答案】（1）；（2）答案见解析.
【分析】（1）本题可作中心，连接，，然后求出长以及的面积，即可求出四面体的体积；
（2）本题可借助作平行线的方式绘出截面.
【详解】（1）如图，作中心，连接，，则平面，
因为正四面体棱长为，所以，
则，
因为的面积，
所以四面体的体积为.
（2）如图，
在平面内过点作与平行的直线，分别与、相交于点、，
在平面内过点作与平行的直线，与相交于点，
在平面内过点作与平行的直线，与相交于点，连结，
则截面与正四面体各面的交线分别为、、、．
结束
文字语言
符号语言
图形语言
A在l上
A∈l
A在l外
A∉l
A在α内
A∈α
A在α外
A∉α
l在α内
l⊂α
l在α外
l⊄α
l，m相交于A
l∩m＝A
l，α相交于A
l∩α＝A
α，β相交于l
α∩β＝l
基本事实
内容
图形
符号
基本事实1
过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面
A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α
基本事实2
如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内
A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α
基本事实3
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
P∈α且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l
推论
内容
图形
推论1
经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面
推论2
经过两条相交直线，有且只有一个平面
推论3
经过两条平行直线，有且只有一个平面
本节课知识点目录：
图形语言、文字语言、符号语言的相互转换；
三个基本事实及其推论。
点、线确定平面
证明点共线
证明线共点
做界面与交线
一、图形语言、文字语言、符号语言的相互转换
【典型例题】
【例1】用符号语言表示下列语句，正确的个数是（ ）
（1）点A在平面内，但不在平面内：，．
（2）直线a经过平面外的点A，且a不在平面内：，，．
（3）平面与平面相交于直线l，且l经过点P：，．
A．1B．2C．3D．0
【例2】若点在直线上，在平面内，则，，之间的关系可记作（ ）
A．B．C．D．
【例3】如图所示，点、线、面之间的数学符号语言关系为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【例4】下列关于点、线和面的关系表示错误的是（ ）
A．点平面B．直线平面
C．直线平面D．平面平面
【例5】“直线a经过平面外一点P”用符号表示为（ ）
A．，B．C．，D．，
【例6】将下列符号语言转化为图形语言：
(1)A∉α， a⊂α.
(2)α∩β＝a， P∉α且P∉β.
(3)aα， a∩α＝A
(4)α∩β＝a， α∩γ＝c， β∩γ＝b， a∩b∩c＝O.
【例7】根据下列条件画出图形：平面平面直线，直线，直线，，.
【对点实战】
1.如图所示，点，线，面之间的数学符号语言关系为（ ）
A．，B．，C．，D．，
2.基本事实2；如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．可用符号表示为（ ）
A．，，且，B．，，且，
C．，，且，D．，，且，
3.“点在直线上，在平面内”可表示为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
4.如图所示，用符号语言可表述为（ ）
A．，，B．，，
C．，，，D．，，，
5.画出满足下列条件的图形（其中A，B，M表示点，m，n，a，b表示直线，，表示平面）：
(1)，，，；
(2)，，，，；
(3)，，，．
二、三个基本事实及其推论
1．三个基本事实
2.三个推论
【典型例题】
【例1】给出下列判断，其中正确的是（ ）
A．三点唯一确定一个平面
B．一条直线和一个点唯一确定一个平面
C．两条平行直线与同一条直线相交，三条直线在同一平面内
D．空间两两相交的三条直线在同一平面内
【例2】下列说法正确的是（ ）
A．三点确定一个平面
B．四条首尾相连的线段确定一个平面
C．两条异面直线确定一个平面
D．两条相交直线确定一个平面
【例3】下列说法正确的是（ ）
A．三点可以确定一个平面B．一条直线和一个点可以确定一个平面
C．四边形一定是平面图形D．两条相交直线可以确定一个平面
西藏自治区拉萨中学2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题
【例4】下列命题正确的是（ ）
A．经过三点确定一个平面
B．经过一条直线和一个点确定一个平面
C．四边形确定一个平面
D．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面
【例5】下列说法中正确的是（ ）
A．四边相等的四边形确定一个平面
B．一条直线和一个点可以确定一个平面
C．空间任意两条直线可以确定一个平面
D．梯形确定一个平面
【例6】下列叙述中，正确的是（ ）．
A．因为，，所以
B．因为，，所以
C．因为，，，所以
D．因为，，所以
【例7】已知，，是平面，，，是直线，，，，若，则（ ）
A．B．
C．D．
【例8】正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是线段BC，CD1的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是（ ）
A．相交B．异面
C．平行D．垂直
【对点实战】
1.下列条件中能确定一个平面的是（ ）
A．空间任意三个点
B．空间相交于一点的三条直线
C．两条平行直线
D．一条直线和一个点
2.下列命题：
（1）若空间四点共面，则其中必有三点共线；
（2）若空间有三点共线，则此四点必共面；
（3）若空间四点中任意三点不共线，则此四点不共面；
（4）若空间四点不共面，则其中任意三点不共线.
其中正确的命题有（ ）个.
A．0B．1C．2D．3
3.自行车停放时将后轮旁边的撑子放下，自行车就停稳了，这里用到了（ ）
A．两条平行直线确定一个平面
B．两条相交直线确定一个平面
C．不共线的三点确定一个平面
D．三点确定一个平面
4.下列命题中正确的是（ ）
A．经过三点确定一个平面
B．经过两条平行直线确定一个平面
C．经过一条直线和一个点确定一个平面
D．四边形确定一个平面
5.．“平面内有一条直线，则这条直线上的一点必在这个平面内”用符号表述是（ ）
A．B．
C．D．
6.以下四个命题中，正确命题的个数是（ ）
①不共面的四点中，任意三点不共线；
②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则A，B，C，D，E共面；
③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；
④依次首尾相接的四条线段必共面．
A．0B．1C．2D．3
7.如图，平面平面，直线，过三点确定的平面为，则平面的交线必过（ ）
A．点B．点C．点，但不过点 D．点和点
三、点、线确定平面
证明点、线共面问题的常用方法
(1)先证部分点、线確定一平面，再整其余点、线属于该平面
(2)可以通过不同点、线确定两个平面，再用归谬法证明重合
【典型例题】
【例1】过空间任意一点引三条直线，它们所确定的平面个数是（ ）
A．1B．2C．3D．1或3
【例2】从同一点引出的4条直线可以确定个平面，则不可能取的值是（ ）
A．6B．4C．3D．1
【例3】已知空间中有五个点，如果点在同一个平面内，点在同一个平面内，那么这五个点（ ）
A．一定共面B．不一定共面C．一定不共面D．以上都不对
【例4】在空间内，可以确定一个平面的条件是（ ）
A．两两相交的三条直线，且有三个不同的交点
B．三条直线，其中的一条与另外两条直线分别相交
C．三个点
D．两条直线
【例5】下列条件中，能够确定一个平面的是（ ）
A．两个点B．三个点
C．一条直线和一个点D．两条相交直线
【例6】空间内不同的四个点，“无任何三点共线”是“四点不共面”的（ ）
A．充要条件B．充分非必要条件
C．必要非充分条件D．既非充分又非必要条件
【例7】如图，在正方体中，为正方形的中心，为直线与平面的交点.求证：三点共线.
【对点实战】
1.下列命题正确的是（ ）
A．一条直线和一个点确定一个平面
B．圆心和圆上两点可以确定一个平面
C．两个平面相交，存在特殊位置关系使它们只有一个公共点
D．如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合
2.下列命题正确的是（ ）
A．三点确定一个平面
B．一条直线和一个点确定一个平面
C．两条不平行的直线确定一个平面
D．梯形可确定一个平面
3.一个平面经过空间四点中的三点，这样的平面个数最多为（ ）
A．1B．3C．4D．6
4.经过同一条直线上的3个点的平面（ ）
A．有且仅有1个B．有无数个C．不存在D．有且仅有3个
5.空间的4个平面最多能将空间分成（ ）个区域．
A．13B．14C．15D．16
5.(1)不共面的四点可以确定几个平面？
(2)三条直线两两平行，但不共面，它们可以确定几个平面？
(3)共点的三条直线可以确定几个平面？
6.如图，在四棱锥中，底面，是直角梯形，，，，点是的中点.
（1）线段上是否存在一点，使得点，，，共面，存在请证明，不存在请说明理由；
（2）若，求三棱锥的体积.
四、证明点共线问题
证明多点共线通常用基本事实3，即两相交平面交线的唯一性．通过证明点分别在两个平面内，证明点在相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在其上．
【典型例题】
【例1】在三棱锥A-BCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，若EF∩HG=P，则点P（ ）
A．一定在直线BD上
B．一定在直线AC上
C．在直线AC或BD上
D．不在直线AC上，也不在直线BD上
【例2】在长方体中，是与的交点，长方体体对角线交截面于点P.求证：三点在同一条直线上.
【例3】如图，在空间四边形中，分别是的中点，分别在上，且
(1)求证：四点共面；
(2)设与交于点，求证：三点共线.
【例4】如图，已知D，E是△ABC的边AC，BC上的点，平面α经过D，E两点，若直线AB与平面α的交点是P，求证：点P在直线DE上.
【例5】如图所示，在四边形中，已知，直线，，，分别与平面相交于点，，，．求证：，，，四点共线．
【对点实战】
1.已知△ABC在平面α外，其三边所在的直线满足AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R，如图所示，求证：P，Q，R三点共线.
2.如图，在正方体中，为正方形的中心，为直线与平面的交点．求证：，，三点共线．
3.已知，正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD=P，A1C1∩EF=Q.求证：
（1）D，B，E，F四点共面.
（2）若A1C交平面BDEF于点R，则P，Q，R三点共线.
4.如图，在正方体中，为正方形的中心，为直线与平面的交点.求证：三点共线.
五、证明线共点问题
证明三线共点问题，可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然后再证两条直线的交点在此直线上，此外还可先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证点重合，从而得三线共点．
【典型例题】
【例1】在空间四边形中，在上分别取E，F，G，H四点，如果交于一点P，则（ ）
A．P一定在直线上
B．P一定在直线上
C．P在直线或上
D．P既不在直线上，也不在直线上
【例2】平面内条直线没有四条直线共点，最多三条直线平行，至少有几个交点（ ）
A．个B．个
C．个D．个
例3】如图，正方体中，，分别为，的中点．
（1）求证：，，，四点共面；
（2）若，，与平面交于点，求证：三点共线．
【例4】如图，在三棱锥中，E，F分别是PA，AB的中点，G，H分别是PC，BC上的点，且．
（1）证明：E，F，G，H四点共面．
（2）证明：三条直线EG，FH，AC交于一点．
【例5】如图，已知平面，，且.若梯形中，，且，.求证：，l共点（相交于一点）.
【例6】如图，设不全等的与不在同一个平面内，且、、，求证：、、三线共点．
【对点实战】
1.如图，在四面体ABCD中，E， G分别为BC， AB的中点，点F在CD上，点H在AD上，且有DF∶FC＝1∶3， DH∶HA＝1∶3.求证：EF， GH， BD交于一点．
2.空间四边形中，、、、分别是、、、上的点，已知和交于点，求证：、、三线共点．
3.如图所示，在空间四边形中，，分别为，的中点，，分别在，上，且．求证：
（1）、、、四点共面；
（2）与的交点在直线上．
（1）求证：、、、、、六点共面；
（2）求证：、、三线共点；
（3）求几何体的体积．
5.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是AB和AA1的中点．求证：
（1）E，C，D1，F四点共面；
（2）CE，D1F，DA三线共点．
六、做截面与交线
（1）平行线法
（2）相交直线法
【典型例题】
【例1】如图，在正方体中，若P为棱的中点，判断平面与平面ABCD是否相交．如果相交，作出这两个平面的交线．
【例2】已知正方体的棱长为2，若，分别是的中点，作出过，，三点的截面.
【例3】如图，在长方体中，P为棱的中点．
(1)画出平面PAC与平面ABCD的交线；
(2)画出平面与平面ABCD的交线．
【例4】已知正方体，，分别是棱，的中点．
（Ⅰ）画出平面与平面的交线，并说明理由；
（Ⅱ）设为直线与平面的交点，求证：，，三点共线．
【例5】如图，正方体的棱长为分别是的中点，设过三点的平面与交于点．
（1）画出过三点的平面与平面的交线，以及与平面的交线；
（2）求的长．
【例6】如图，在边长为1的正方体中，分别是的中点．
（1）作出过点与正方体的截面；（不必说明画法和理由）
（2）求点到平面的距离．
【例7】如图①，正方体的棱长为，为线段的中点，为线段上的动点，过点、、的平面截该正方体所得的截面记为.
（1）若，请在图①中作出截面（保留尺规作图痕迹）；
（2）若（如图②），试求截面将正方体分割所成的上半部分的体积与下半部分的体积之比.
【例8】如图，已知直三棱柱中，，，，，，分别为棱，的中点， 为线段的中点
（1）试在图中画出过，，三点的平面截该棱柱所得的多边形，并求出该多边形的周长；
（2）该截面分三棱柱成两部分，求其中较小那部分几何体的体积.
【对点实战】
1.在正方体中，试画出平面与平面的交线．
2.若α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，试画出平面ABC与平面α，β的交线.
3.在立体几何中，用一个平面去截一个几何体得到的平面图形叫截面. 如图，在棱长为1的正方体中，点分别是棱的中点.
（1）证明：共面；
（2）求截面的面积.
4.如图所示，正方体中，，分别为和的中点，画出平面和平面的交线．
5.如图，有一块正四棱柱的木料，E，F分别为，的中点，，．
（1）作出过B，E，F的平面与正四棱柱木料的截面，并求出该截面的周长；
（2）求点到平面BEF的距离．
6.如图，正四面体棱长为6．
（1）求正四面体的体积；
（2）若是侧面内的一点，过点作一个截面，使得与都与截面平行，作出截面与正四面体各面的交线，并写出作法．
结束
文字语言
符号语言
图形语言
A在l上
A∈l
A在l外
A∉l
A在α内
A∈α
A在α外
A∉α
l在α内
l⊂α
l在α外
l⊄α
l，m相交于A
l∩m＝A
l，α相交于A
l∩α＝A
α，β相交于l
α∩β＝l
基本事实
内容
图形
符号
基本事实1
过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面
A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α
基本事实2
如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内
A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α
基本事实3
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
P∈α且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l
推论
内容
图形
推论1
经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面
推论2
经过两条相交直线，有且只有一个平面
推论3
经过两条平行直线，有且只有一个平面
8.4.1平面
-----典例精讲
本节课知识点目录：
图形语言、文字语言、符号语言的相互转换；
三个基本事实及其推论。
点、线确定平面
证明点共线
证明线共点
做界面与交线
一、图形语言、文字语言、符号语言的相互转换
【典型例题】
【例1】用符号语言表示下列语句，正确的个数是（ ）
（1）点A在平面内，但不在平面内：，．
（2）直线a经过平面外的点A，且a不在平面内：，，．
（3）平面与平面相交于直线l，且l经过点P：，．
A．1B．2C．3D．0
【答案】B
【分析】根据点线面的位置关系结合表示方法可判断.
【详解】错误，点A在平面内应表示为：，点A不在平面内应表示为,故错误.
正确. 由题意点A在直线a上，不在平面内，直线a不在平面内.
故表示为：，，，所以表示正确.
正确. 平面与平面相交于直线l，表示为
l经过点P，点P在直线l上，.故正确.
故选：B.
【例2】若点在直线上，在平面内，则，，之间的关系可记作（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用空间中点、线、面之间关系的符号表示即可求解.
【详解】因为点Q(元素)在直线b(集合)上,所以.
又因为直线b(集合)在平面(集合)内,
所以.所以.
故选：B
【例3】如图所示，点、线、面之间的数学符号语言关系为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【分析】根据图形可将点、线、面之间的位置关系用数学符号语言表示出来.
【详解】由图可知，，，.
故选：B.
【例4】下列关于点、线和面的关系表示错误的是（ ）
A．点平面B．直线平面
C．直线平面D．平面平面
【答案】A
【分析】根据点，线，面的位置关系，结合符号语言，即可判断.
【详解】根据点，线，面的位置关系的符号表示，可知A.错误，应改为点平面；
BCD.正确.
故选：A
【例5】“直线a经过平面外一点P”用符号表示为（ ）
A．，B．C．，D．，
【答案】C
【分析】利用集合语言表示即可.
【详解】“直线a经过平面外一点P”用符号表示为，.
故选：C.
【例6】将下列符号语言转化为图形语言：
(1)A∉α， a⊂α.
(2)α∩β＝a， P∉α且P∉β.
(3)aα， a∩α＝A
(4)α∩β＝a， α∩γ＝c， β∩γ＝b， a∩b∩c＝O.
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
(3)答案见解析
(4)答案见解析
【分析】根据点线、点面、线面、面面的位置关系画出图形即可.
(1)
如图(1)所示．
(2)
如图(2)所示．
(3)
如图(3)所示．
(4)
如图(4)所示．
【例7】根据下列条件画出图形：平面平面直线，直线，直线，，.
【答案】图形见解析
【分析】根据，，得到画出图形.
【详解】图形如图所示.
【对点实战】
1.如图所示，点，线，面之间的数学符号语言关系为（ ）
A．，B．，C．，D．，
【答案】B
【分析】根据点与线、点与面的属于关系，结合线面包含关系进行判断即可.
【详解】由图可知：，
故选：B
2.基本事实2；如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．可用符号表示为（ ）
A．，，且，B．，，且，
C．，，且，D．，，且，
【答案】B
【分析】根据定义判断是元素与集合的关系还是集合与集合的关系决定符号的用法.
【详解】因为、是点，是元素，是直线、平面的元素，所以用“”，而是点的集合，和平面是集合与集合的关系，是平面的子集关系，所以用“”.
故选：B.
3.“点在直线上，在平面内”可表示为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【分析】根据点与线，线与面的关系书写即可.
【详解】解：因为点在直线上，在平面内。
所以符号语言为：，
故选：B
4.如图所示，用符号语言可表述为（ ）
A．，，B．，，
C．，，，D．，，，
【答案】A
【分析】利用图形，表示为点，线，面的符号语言.
【详解】由图形可知，，，或表示为，.
即A正确.
故选：A
5.画出满足下列条件的图形（其中A，B，M表示点，m，n，a，b表示直线，，表示平面）：
(1)，，，；
(2)，，，，；
(3)，，，．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】利用点、线、面的位置关系的图形表示，即可得到答案；
(1)
(2)
(3)
二、三个基本事实及其推论
1．三个基本事实
2.三个推论
【典型例题】
【例1】给出下列判断，其中正确的是（ ）
A．三点唯一确定一个平面
B．一条直线和一个点唯一确定一个平面
C．两条平行直线与同一条直线相交，三条直线在同一平面内
D．空间两两相交的三条直线在同一平面内
【答案】C
【分析】根据确定平面的条件可对每一个选项进行判断.
【详解】对A，如果三点在同一条直线上，则不能确定一个平面，故A错误；
对B，如果这个点在这条直线上，就不能确定一个平面，故B错误；
对C，两条平行直线确定一个平面，一条直线与这两条平行直线都相交，则这条直线就在这两条平行直线确定的一个平面内，故这三条直线在同一平面内，C正确；
对D，空间两两相交的三条直线可确定一个平面，也可确定三个平面，故D错误.
故选：C
【例2】下列说法正确的是（ ）
A．三点确定一个平面
B．四条首尾相连的线段确定一个平面
C．两条异面直线确定一个平面
D．两条相交直线确定一个平面
【答案】D
【分析】根据平面的基本性质判断各选项的正误.
【详解】A：不共线的三点确定一个平面，故A错误；
B：如空间四边形，四条首尾相连的线段不在一个平面，故B错误；
C：两条异面直线就不在一个平面内，故C错误；
D：两条相交直线确定一个平面，正确.
故选：D.
【例3】下列说法正确的是（ ）
A．三点可以确定一个平面B．一条直线和一个点可以确定一个平面
C．四边形一定是平面图形D．两条相交直线可以确定一个平面
西藏自治区拉萨中学2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题
【答案】D
【分析】根据确定平面的公理以及推论判断即可.
【详解】A错误，不共线的三点可以确定一个平面；
B错误，一条直线和直线外一个点可以确定一个平面；
C错误，四边形不一定是平面图形，比如空间四边形；
D正确，两条相交直线可以确定一个平面．
故选：D．
【例4】下列命题正确的是（ ）
A．经过三点确定一个平面
B．经过一条直线和一个点确定一个平面
C．四边形确定一个平面
D．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面
【答案】D
【分析】由平面的基本性质结合公理即可判断.
【详解】对于A，过不在一条直线上三点才能确定一个平面，故A不正确；
对于B，经过一条直线和直线外一个点确定一个平面，故B不正确；
对于C，空间四边形不能确定一个平面，故C不正确；
对于D，两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，故D正确.
故选：D
【例5】下列说法中正确的是（ ）
A．四边相等的四边形确定一个平面
B．一条直线和一个点可以确定一个平面
C．空间任意两条直线可以确定一个平面
D．梯形确定一个平面
【答案】D
【分析】对于A，利用空间四边形可判断；对于B，结合公理2判断；对于C，结合异面直线可判断，对于D，根据两平行线可以确定一个平面即可判断.
【详解】解：对于A选项，四边相等的空间四边形确定的平面不止一个，故错误；
对于B选项，一条直线和直线外一个点可以确定一个平面，故错误；
对于C选项，空间中的两条异面直线无法确定一个平面，故错误；
对于D选项，梯形的上底和下底是一对平行线，可以确定一个平面，故正确.
故选：D
【例6】下列叙述中，正确的是（ ）．
A．因为，，所以
B．因为，，所以
C．因为，，，所以
D．因为，，所以
【答案】D
【分析】根据公理1判断选项A、C，根据公理3判断选项B、D.
【详解】A：因为，所以，故A错误；
B：因为，所以或，故B错误；
C：因为，所以，故C错误；
D：因为，所以，故D正确.
故选：D
【例7】已知，，是平面，，，是直线，，，，若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据空间中点线面之间的位置关系结合平面的基本性质逐一判断四个选项的正误，即可得正确选项.
【详解】因为，，所以，，
由，可得且，
所以且，
因为，所以，故选项A正确，选项B不正确；
因为，，所以、有公共点，故选项C不正确；
因为，，所以，因为，所以与有公共点，故选项D不正确；
故选：A.
【例8】正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是线段BC，CD1的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是（ ）
A．相交B．异面
C．平行D．垂直
【答案】A
【分析】连接与交于点F，易得是平行四边形，根据平面的基本性质即可判断直线与直线的位置关系.
【详解】如图所示，连接与交于点F，
由题意，易得四边形是平行四边形，
在平行四边形中，E，F分别是线段的中点，
∴，又且共面，则直线与直线相交.
故选：A.
【对点实战】
1.下列条件中能确定一个平面的是（ ）
A．空间任意三个点
B．空间相交于一点的三条直线
C．两条平行直线
D．一条直线和一个点
【答案】C
【分析】根据空间中平面的确定方法依次判断各个选项即可.
【详解】对于A，若三点共线，则三点无法确定一个平面，A错误；
对于B，空间中相交于一点的三条直线，可能确定一个平面，也可能确定三个不同的平面，B错误；
对于C，两条平行直线可以确定唯一的一个平面，C正确；
对于D，若一个点在直线上，则无法确定一个平面，D错误.
故选：C.
2.下列命题：
（1）若空间四点共面，则其中必有三点共线；
（2）若空间有三点共线，则此四点必共面；
（3）若空间四点中任意三点不共线，则此四点不共面；
（4）若空间四点不共面，则其中任意三点不共线.
其中正确的命题有（ ）个.
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】对四个命题利用空间四个点的位置关系分别分析解答．
【详解】解：对于①，空间四点共面，如平面四边形，其中任何三点不共线；故①错误；
对于②，空间四点中有三点共线，根据不共线的三点确定一个平面，得到此四点必共面；故②正确；
对于③，空间四点中任何三点不共线，则此四点可能共面，如平面四边形；故③错误；
对于④，空间四点不共面，如果任意三点有共线的，那么此四个点就共面，与已知矛盾．故④正确，
所以正确的命题有2个.
故选：C.
3.自行车停放时将后轮旁边的撑子放下，自行车就停稳了，这里用到了（ ）
A．两条平行直线确定一个平面
B．两条相交直线确定一个平面
C．不共线的三点确定一个平面
D．三点确定一个平面
【答案】C
【分析】结合确定一个平面的方法确定正确选项.
【详解】自行车的前后轮与脚撑分别接触地面，使得自行车稳定，
此时自行车与地面的三个接触点不在同一条线上，即不共线的三点确定一个平面．
故选：C．
4.下列命题中正确的是（ ）
A．经过三点确定一个平面
B．经过两条平行直线确定一个平面
C．经过一条直线和一个点确定一个平面
D．四边形确定一个平面
【答案】B
【分析】根据平面的有关知识对选项逐一分析，由此确定正确选项.
【详解】对于选项A：经过不共线的三点确定一个平面，故选项A错误，
对于选项B：两条平行直线唯一确定一个平面，故选项B正确，
对于选项C：经过一条直线和直线外一个点确定一个平面，故选项C错误，
对于选项D：因为空间四边形不在一个平面内，故选项D错误.
故选：B
5.．“平面内有一条直线，则这条直线上的一点必在这个平面内”用符号表述是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据点与线、点与面、线与面关系的集合表示方法，结合排除法，即知正确选项.
【详解】由点线、点面关系用表示，线面关系用表示，排除A、C、D；
故选：B
6.以下四个命题中，正确命题的个数是（ ）
①不共面的四点中，任意三点不共线；
②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则A，B，C，D，E共面；
③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；
④依次首尾相接的四条线段必共面．
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【分析】结合点线面的空间位置关系逐项分析即可求出结果.
【详解】①假设任意三点共线，由于一条直线与直线外的一点确定一个平面，故四点共面，因此与不共面的四点矛盾，故假设不成立，即不共面的四点中，任意三点不共线，显然是正确的；②若A，B，C三点共线，则A，B，C，D，E五点不一定共面，故不正确；③构造长方体或正方体，如图，显然b，c异面，故不正确；④空间四边形中四条线段不共面，故不正确．故正确的个数为1.
故选：B.
7.如图，平面平面，直线，过三点确定的平面为，则平面的交线必过（ ）
A．点B．点C．点，但不过点 D．点和点
【答案】D
【分析】根据平面的基本性质及推论推导即可
【详解】由题意知，，，∴，又，
∴，即在平面与平面的交线上，又，，
∴点C在平面与平面的交线上，即平面的交线必过点和点
故选：D.
三、点、线确定平面
证明点、线共面问题的常用方法
(1)先证部分点、线確定一平面，再整其余点、线属于该平面
(2)可以通过不同点、线确定两个平面，再用归谬法证明重合
【典型例题】
【例1】过空间任意一点引三条直线，它们所确定的平面个数是（ ）
A．1B．2C．3D．1或3
【答案】D
【分析】根据三条直线是否在同一个平面内分两种情况讨论可得答案.
【详解】过空间任意一点引三条直线，当三条直线在同一个平面内时，它们所确定的平面个数是；
当三条直线不在同一个平面内时，它们所确定的平面个数是.
故选：D
【例2】从同一点引出的4条直线可以确定个平面，则不可能取的值是（ ）
A．6B．4C．3D．1
【答案】C
【分析】分当4条直线中任何三条都不共面时，当4条直线中由三条都共面时，当4条直线中共面时，三种情况讨论即可得出答案.
【详解】解：A：当4条直线中任何三条都不共面时，如四棱锥的四条侧棱，此时4条直线可以确定个平面，所以不选A．
B：当4条直线中有三条都共面时，此时4条直线可以确定个平面，所以不选B．
C条直线在空间中的位置关系有：任何三条都不共面；有三条都共面；4条直线共面，所以不存在其他的位置关系，所以选C．
D：当4条直线共面时，此时4条直线只可以确定1个平面，所以不选D．
故选：C．
【例3】已知空间中有五个点，如果点在同一个平面内，点在同一个平面内，那么这五个点（ ）
A．一定共面B．不一定共面C．一定不共面D．以上都不对
【答案】B
【分析】根据点、线、面关系，根据题意五点可以共面也可能不共面，即可得解.
【详解】设点在同一个平面内，
若，则五点共面，
若，且，这种情况五点不共面，
故选：B
【例4】在空间内，可以确定一个平面的条件是（ ）
A．两两相交的三条直线，且有三个不同的交点
B．三条直线，其中的一条与另外两条直线分别相交
C．三个点
D．两条直线
【答案】A
【分析】根据确定平面的依据，分别判断选项.
【详解】A. 两两相交的三条直线，且有三个不同的交点，可以确定一个平面，故A正确；
B.由两条直线异面，第三条直线与它们分别相交，这样就不能确定一个平面，故B错误；
C.只有不在同一条直线的三个点才能确定一个平面，故C错误；
D.两条相交直线或两条平行直线可以确定一个平面，如果是两条异面直线，就不能确定一个平面，故D错误.
故选：A
【例5】下列条件中，能够确定一个平面的是（ ）
A．两个点B．三个点
C．一条直线和一个点D．两条相交直线
【答案】D
【分析】两个点能确定一条直线，但一条直线不能确定一个平面，可判断A；若三个点共线，则不能确定一个平面，可判断B；若点在直线上，则一条直线和一个点不能确定一个平面，可判断C；两条直线能确定一个平面，可判断D.
【详解】解：对于A，两个点能确定一条直线，但一条直线不能确定一个平面，所以两个点不能确定一个平面；
对于B，三个不共线的点可以确定一个平面，若三个点共线，则不能确定一个平面，故B不能；
对于C，一条直线和这条直线外一点能确定一个平面，若这个点在直线上，则不能确定一个平面，故C不能；
对于D，两条相交直线能确定一个平面，故D能.
故选：D.
【例6】空间内不同的四个点，“无任何三点共线”是“四点不共面”的（ ）
A．充要条件B．充分非必要条件
C．必要非充分条件D．既非充分又非必要条件
【答案】C
【分析】根据充分，必要条件的定义，判断选项.
【详解】平行四边形中无任何三点共线，但是四点共面，反过来，若四点不共面，连结四点，构成空间四边形，无任何三点共线，所以“无任何三点共线”是“四点不共面”的必要不充分条件.
故选：C
【例7】如图，在正方体中，为正方形的中心，为直线与平面的交点.求证：三点共线.
【答案】证明见解析
【分析】根据平面与平面相交的性质,进而判断另外一个点在交线上,即可证明三点共线.
【详解】证明：如图,连接,则
∵∴四边形为平行四边形.又,平面
则平面∵平面平面∴故三点共线.
【对点实战】
1.下列命题正确的是（ ）
A．一条直线和一个点确定一个平面
B．圆心和圆上两点可以确定一个平面
C．两个平面相交，存在特殊位置关系使它们只有一个公共点
D．如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合
【答案】D
【分析】直接利用平面的定义和性质的应用，即可一一验证．
【详解】解：对于选项：若该点在直线上，则可以确定无数个平面，故错误，
对于选项：当圆心和圆上的两点满足三点共线时，确定的平面有无数个，故错误．
对于选项：如果两个平面相交有一个交点，则必有无数个公共点，故错误．
对于选项：不共线的三个点确定一个平面，因此两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合，正确.
故选：．
2.下列命题正确的是（ ）
A．三点确定一个平面
B．一条直线和一个点确定一个平面
C．两条不平行的直线确定一个平面
D．梯形可确定一个平面
【答案】D
【分析】根据已知条件，利用平面的基本性质，以及推论，逐一判断即可：
对选项A，取特殊位置，三点共线否定结论
对选项B：利用平面公理进行判断；
对选项C：取异面直线，否定结论；
对选项D，利用两条平行线确定一个平面，进行判断.
【详解】对选项A，当三点共线时，不能确定一个平面，故A错误；
对选项B：一条直线和直线外一个点确定一个平面，故B错误；
对选项C：如果这两条直线异面，则不可以确定一个平面，故C错误；
对选项D，梯形的上底和下底是一对平行线，可以确定一个平面，故D正确.
故选：D.
3.一个平面经过空间四点中的三点，这样的平面个数最多为（ ）
A．1B．3C．4D．6
【答案】C
【分析】根据题意讨论两种情况，由公理2以及推论、符合条件的几何体进行判断．
【详解】根据题意知，当空间四点中有三点共线时，则四个点确定1个平面；
当空间四点中没有三点共线时，，四点不共面，如三棱锥的顶点和底面上的顶点，则四个点确定4个平面．
所以这样的平面个数最多为4个.
故选：C．
4.经过同一条直线上的3个点的平面（ ）
A．有且仅有1个B．有无数个C．不存在D．有且仅有3个
【答案】B
【分析】以这条直线为轴心，任意旋转角度的无数个平面都满足这个条件．
【详解】解：∵空间中不在同一条直线上的三个点确定一个平面，
∴在同一直线上的三个点的平面，就是以这条直线为轴心，任意旋转角度的无数个平面都满足这个条件，
∴有无数个平面，
故选：B．
5.空间的4个平面最多能将空间分成（ ）个区域．
A．13B．14C．15D．16
【答案】C
【分析】根据平面的性质进行归纳推理．前三个平面与第4个平面相交，最多有三条交线，这三条交线把第四个平面，最多分成7部分，而每一部分就是第四个平面与前三个平面所分空间部分的截面，这个截面把所在空间部分一分为二，由此可得4个平面最多能将空间分成的区域数．
【详解】一个平面把空间分成2部分，两个平面最多把空间分面4部分，3个平面最多把空间分布8个部分，前三个平面与第4个平面相交，最多有三条交线，这三条交线把第四个平面，最多分成7部分，这里平面的每一部分就是第四个平面与前三个平面分空间部分的截面，这个截面把所在空间部分一分为二，这样所有空间部分的个数为．
故选：C．
5.(1)不共面的四点可以确定几个平面？
(2)三条直线两两平行，但不共面，它们可以确定几个平面？
(3)共点的三条直线可以确定几个平面？
【答案】4；3；1或3.
【分析】(1)不共面的四点就一定不存在三个点共线的情况，由于不共线的三个点确定一个平面，从4个点中任取3个点都可以确定一个平面，利用组合数写出结果；
(2)两条平行线可以确定一个平面，从而三条直线两两平行但不共面，三条直线中的两条即可确定一个平面；
(3)共交点的三条直线，当它们共面时可以确定1个平面，它们不共面时任意两条可以确定一个平面．
【详解】(1)不共线的三个点确定一个平面，不共面的四点就一定不存在三个点共线的情况，
从4个点中任取3个点都可以确定一个平面，共有种结果，
故不共面的四点可以确定4个平面；
(2)两条平行线可以确定一个平面，
三条直线两两平行但不共面，它们可以确定个平面；
(3)共交点的三条直线至少可以确定1个平面，最多可能确定个平面．
6.如图，在四棱锥中，底面，是直角梯形，，，，点是的中点.
（1）线段上是否存在一点，使得点，，，共面，存在请证明，不存在请说明理由；
（2）若，求三棱锥的体积.
【答案】（1）存在，证明见解析；（2）.
（1）根据四点共面的条件，直接判断点的位置；（2）利用点是的中点，转化，求三棱锥的体积.
【详解】证明：（1）存在的中点满足条件.
连接，，则是三角形的中位线，
所以，又由已知
所以，所以，，，四点共面.
（2）因为是的中点，所以
由（1）知，所以，
四、证明点共线问题
证明多点共线通常用基本事实3，即两相交平面交线的唯一性．通过证明点分别在两个平面内，证明点在相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在其上．
【典型例题】
【例1】在三棱锥A-BCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，若EF∩HG=P，则点P（ ）
A．一定在直线BD上
B．一定在直线AC上
C．在直线AC或BD上
D．不在直线AC上，也不在直线BD上
【答案】B
【分析】先说明点P在平面ABC，且在平面ACD上，进而得到答案.
【详解】如图，
∵EF⊂平面ABC，HG⊂平面ACD，EF∩HG=P，∴P∈平面ABC，P∈平面ACD．
又平面ABC∩平面ACD=AC，∴P∈AC.
故选：B．
【例2】在长方体中，是与的交点，长方体体对角线交截面于点P.求证：三点在同一条直线上.
【答案】证明见解析
【分析】根据公理3，进行判断三点共线；根据公理1可知∈平面，因此得到答案．
【详解】因为∈平面，∈平面，
∈平面，∈平面，
所以平面∩平面.
又因为∩平面，
所以直线平面，
所以平面，
所以直线，
即三点在同一条直线上．
【例3】如图，在空间四边形中，分别是的中点，分别在上，且
(1)求证：四点共面；
(2)设与交于点，求证：三点共线.
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据题意，利用中位线定理和线段成比例，先证明，进而证明问题；
（2）先证明平面，平面，进而证明点P在两个平面的交线上，然后证得结论.
(1)
连接分别是的中点，.在中，.所以四点共面.
(2)
，所以，
又平面平面，
同理：，平面平面，
为平面与平面的一个公共点.
又平面平面，即三点共线.
【例4】如图，已知D，E是△ABC的边AC，BC上的点，平面α经过D，E两点，若直线AB与平面α的交点是P，求证：点P在直线DE上.
【答案】证明见解析.
【分析】易证P∈平面ABC，又P∈α，可证面ABC∩平面α的交线为DE，进而求证
【详解】证明：
因为P∈AB，AB⊂平面ABC，
所以P∈平面ABC.又P∈α，平面ABC∩平面α＝DE，
所以P∈直线DE.
所以点P在直线DE上.
【例5】如图所示，在四边形中，已知，直线，，，分别与平面相交于点，，，．求证：，，，四点共线．
【答案】见解析
【分析】根据推论3及公理2可知，两条平行直线AB和CD可以确定一个平面ABCD，并且平面ABCD与平面α的所有的公共点应该在一条直线上，根据题意，这些公共点即E，G，H，F四点，所以这四点必定共线．
【详解】证明：∵，∴，确定一个平面．
又∵，，∴，，
即为平面与的一个公共点．
同理可证，，均为平面与的公共点．
∵两个平面有公共点，∴它们有且只有一条通过公共点的公共直线，
∴，，，四点共线．
【对点实战】
1.已知△ABC在平面α外，其三边所在的直线满足AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R，如图所示，求证：P，Q，R三点共线.
【答案】证明见解析
【分析】推导出P，Q，R都在平面ABC与平面α的交线上，即可证明.
【详解】证明：法一：∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α.
又AB⊂平面ABC，∴P∈平面ABC.∴由基本事实3可知：点P在平面ABC与平面α的交线上，同理可证Q，R也在平面ABC与平面α的交线上.∴P，Q，R三点共线.法二：∵AP∩AR＝A，
∴直线AP与直线AR确定平面APR.又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，
∴平面APR∩平面α＝PR.∵B∈平面APR，C∈平面APR，∴BC⊂平面APR.
∵Q∈BC，∴Q∈平面APR，又Q∈α，∴Q∈PR，∴P，Q，R三点共线.
2.如图，在正方体中，为正方形的中心，为直线与平面的交点．求证：，，三点共线．
【答案】证明见解析
将三点共线转化为证明两面的交线问题，利用两面相交有且只有一条交线，即两面的公共点都在交线上.
【详解】证明：如图，连接，，则，因为，，
所以四边形为平行四边形，又，平面，
则平面，因为平面平面，
所以．即，，三点共线．
3.已知，正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD=P，A1C1∩EF=Q.求证：
（1）D，B，E，F四点共面.
（2）若A1C交平面BDEF于点R，则P，Q，R三点共线.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；
【分析】（1）求证EF∥BD，再由两条平行线可以确定平面即可求证；
（2）利用公理2说明三点在两个平面的交线上即可.
【详解】（1）连接B1D1，如下图所示：
因为E，F分别为D1C1，C1B1的中点，
所以EF∥B1D1，又因为B1D1∥BD，
所以EF∥BD，
所以EF与BD共面，
所以E，F，B，D四点共面.即证.
（2）因为AC∩BD=P，所以P∈平面AA1C1C∩平面BDEF.
同理，Q∈平面AA1C1C∩平面BDEF，
因为A1C∩平面DBFE=R，
所以R∈平面AA1C1C∩平面BDEF，
所以P，Q，R三点共线，即证.
4.如图，在正方体中，为正方形的中心，为直线与平面的交点.求证：三点共线.
【答案】证明见解析
【分析】根据平面与平面相交的性质,进而判断另外一个点在交线上,即可证明三点共线.
【详解】证明：如图,连接,则
∵∴四边形为平行四边形.又,平面
则平面∵平面平面∴故三点共线.
五、证明线共点问题
证明三线共点问题，可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然后再证两条直线的交点在此直线上，此外还可先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证点重合，从而得三线共点．
【典型例题】
【例1】在空间四边形中，在上分别取E，F，G，H四点，如果交于一点P，则（ ）
A．P一定在直线上
B．P一定在直线上
C．P在直线或上
D．P既不在直线上，也不在直线上
【答案】B
【分析】由题设知面，结合已知条件有面、面，进而可判断P所在的位置.
【详解】由题意知：面，又交于一点P，
∴面，同理，面，又面面，
由公理3知：点P一定在直线上.
故选：B.
【例2】平面内条直线没有四条直线共点，最多三条直线平行，至少有几个交点（ ）
A．个B．个
C．个D．个
【答案】C
【分析】根据已知条件，可以有二组三条直线平行，再分析如何增加两条直线使交点最少，作图即可求解.
【详解】因为最多三条直线平行，可以有二组三条直线平行，
如图，，这条线共有个交点，
如图交点分别为，
若要使交点最少可以使过两组平行线的三个交点，此时没有增加新的交点，
因为平面内条直线没有四条直线共点，不能过三条线的公共点，
比如不能过图中的，
由于不能过点为了保证交点最少，可以过两条直线的交点，
最少增加个新的交点，如图点，
所以至少有个交点，
故选：C.
例3】如图，正方体中，，分别为，的中点．
（1）求证：，，，四点共面；
（2）若，，与平面交于点，求证：三点共线．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）证明EF∥BD即可得出结论；
（2）只需说明三点都是平面BDEF和平面ACC1A1的公共点即可得出结论．
【详解】证明：（1）连接，
在正方体中，∵，分别为，的中点，
∴是的中位线，∴，
又因为，∴
∴四边形为梯形，即，，，四点共面．
（2）在正方体中，，，
∴是平面与平面的交线，
又因为交平面于点，
∴是平面与平面的一个公共点．
因为两平面相交的所有公共点都在这两个平面的交线上，
∴三点共线．
【例4】如图，在三棱锥中，E，F分别是PA，AB的中点，G，H分别是PC，BC上的点，且．
（1）证明：E，F，G，H四点共面．
（2）证明：三条直线EG，FH，AC交于一点．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【分析】（1）利用三角形中对应边成比例，证得，，进而得到，即可得出结果．
（2）由，可知EG，FH必相交于一点，设为点O,平面平面，通过证明，即可．
【详解】证明：（1）在中，因为E，F分别是PA，AB的中点，
所以．
在中，因为，
所以，从而．
所以，即E，F，G，H四点共面．
（2）由（1）知，，，
所以EG，FH必相交于一点，设为点O．
因为平面PAC，所以平面PAC．
同理平面ABC，即O是平面PAC与平面ABC的公共点．
因为平面平面，
所以，即三直线EG，FH，AC交于一点．
【例5】如图，已知平面，，且.若梯形中，，且，.求证：，l共点（相交于一点）.
【答案】证明见解析.
【分析】利用平面公理2可以证明三线共点：设直线直线，先证明M为的公共点，再证明，从而可以证明，l共点.
【详解】因为梯形中，，所以是梯形的两腰.
所以直线必相交于一点.
设直线直线.
又因为，所以.
所以.
又因为，所以，
即，l共点（相交于一点）
【例6】如图，设不全等的与不在同一个平面内，且、、，求证：、、三线共点．
【答案】证明见解析
【分析】本题首先可根据题意设，则与相交，然后令交点为，根据平面、平面得出点在两平面的交线上，最后根据两平面的交线为即可证得结论.
【详解】因为与不在同一个平面内且不全等，
所以可设，则四边形为梯形，与相交，
令其交点为，则，，
因为平面，平面，
所以点在平面与平面的交线上，
因为平面与平面的交线为，
所以，、、三线共点.
【对点实战】
1.如图，在四面体ABCD中，E， G分别为BC， AB的中点，点F在CD上，点H在AD上，且有DF∶FC＝1∶3， DH∶HA＝1∶3.求证：EF， GH， BD交于一点．
【答案】证明见解析
【分析】利用基本事实4和基本事实2可证三线共点.
【详解】证明 连接GE， HF.
因为E， G分别为BC， AB中点， 所以.
因为DF∶FC＝1∶3， DH∶HA＝1∶3，所以.
从而GE∥HF且，故G， E， F， H四点共面且四边形为梯形，
因为EF与GH不能平行，设EF∩GH＝O，则O∈平面ABD， O∈平面BCD.
而平面ABD∩平面BCD＝BD，所以EF， GH， BD交于一点．
2.空间四边形中，、、、分别是、、、上的点，已知和交于点，求证：、、三线共点．
【答案】证明见解析
【分析】根据空间中点线面的公理证明即可
【详解】因为、相交于点，
则点，且．
又由题意，面，面
则点面，面，又平面平面，
则点必在面与面的交线上，即，
所以、、三线共点．
3.如图所示，在空间四边形中，，分别为，的中点，，分别在，上，且．求证：
（1）、、、四点共面；
（2）与的交点在直线上．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【分析】（1）由平行关系转化，可得，即可证明四点共面；（2）由条件证明与的交点既在平面上，又在平面上，即可证明.
【详解】证明（1）∵，∴．
∵，分别为，的中点，
∴，∴，∴，，，四点共面．
（2）∵，不是，的中点，
∴，且，故为梯形．
∴与必相交，设交点为，
∴平面，平面，
∴平面，且平面，
∴，即与的交点在直线上．
4.已知棱长为1的正方体，、、、、、分别相应棱的中点如图所示
（1）求证：、、、、、六点共面；
（2）求证：、、三线共点；
（3）求几何体的体积．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.
【分析】（1）连接，，证出，根据两条平行线确定一个平面，再证出，即证.
（2）利用线共点定理即可证明.
（3）利用棱台的体积公式，采用间接法即可求解.
【详解】（1）证明：连接，，有已知，
又
∴
设两线确定的平面为
即点，，，
在平面内延长交直线于点，
由与全等，可得
在平面内延长交直线于点，同理可得
∴，重合，∴，∴同理可证
综上、、、、、共面
（2）证明：设，则平面，平面，
∵平面平面，
∴，∴、、三线共点；
（3）解：∵，
∴
∴
5.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是AB和AA1的中点．求证：
（1）E，C，D1，F四点共面；
（2）CE，D1F，DA三线共点．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
（1）利用三角形的中位线证明，从而得到四点共面；
（2）根据平面的性质，证明点P∈平面ABCD，点P∈平面ADD1A1平面，从而证明CE，D1F，DA三线共点.
【详解】（1）证明：如图所示，连接EF，CD1，A1B.
E，F分别是AB，AA1的中点，EF∥BA1.
又A1B∥D1C，EF∥CD1，
E，C，D1，F四点共面．
（2）证明：EF∥CD1，EF
则由P∈CE，CE⊂平面ABCD，P∈平面ABCD.
同理P∈平面ADD1A1.
又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，
P∈直线DA，CE，D1F，DA三线共点．
六、做截面与交线
（1）平行线法
（2）相交直线法
【典型例题】
【例1】如图，在正方体中，若P为棱的中点，判断平面与平面ABCD是否相交．如果相交，作出这两个平面的交线．
【答案】见解析
【分析】根据基本事实2可作两个平面的交线.
【详解】平面与平面ABCD相交，
如图，连接、并延长交于，连接，
则平面平面.
【例2】已知正方体的棱长为2，若，分别是的中点，作出过，，三点的截面.
【答案】图象见解析
【详解】
【例3】如图，在长方体中，P为棱的中点．
(1)画出平面PAC与平面ABCD的交线；
(2)画出平面与平面ABCD的交线．
【答案】(1)答案见解析；
(2)答案见解析.
【分析】(1)平面PAC与平面ABCD的交线为AC；
(2)延长交于点E，连接CE，则CE为平面与平面ABCD的交线.
(1)
平面PAC与平面ABCD的交线为AC，如图(1).
(2)
延长交于点E，连接CE，
则CE为平面与平面ABCD的交线，如图(2).
【例4】已知正方体，，分别是棱，的中点．
（Ⅰ）画出平面与平面的交线，并说明理由；
（Ⅱ）设为直线与平面的交点，求证：，，三点共线．
【答案】（Ⅰ）答案见解析；（Ⅱ）证明见解析.
【分析】（Ⅰ）利用平面的基本性质即可得到；
（Ⅱ）由题可知点平面，平面，即可证明.
【详解】（Ⅰ）如图所示，直线即为平面与平面的交线，
理由如下：
在正方体中，
∵，分别是棱，的中点，
平面，平面，且与不平行，
∴在平面内分别延长，，
则与必相交于一点，不妨设为点，
∴，，
∵平面，平面，
∴平面，平面，
即为平面和平面的公共点，
又∵为平面和平面的公共点，连接，
∴直线即为平面与平面的交线．
（Ⅱ）证明：如图所示，在正方体中，
∵，且，
∴四边形为平行四边形，
∵为直线与平面的交点，
∴，又∵平面，
∴平面，
又∵平面，平面平面，
∴，
∴，，三点共线．
【例5】如图，正方体的棱长为分别是的中点，设过三点的平面与交于点．
（1）画出过三点的平面与平面的交线，以及与平面的交线；
（2）求的长．
【答案】（1）答案见解析；（2）．
【分析】（1）根据两点确定一条直线，由题目所给交点，再确定一个交点即可得到面面交线；
（2）如图所示，根据所给数据利用勾股定理即可得解.
【详解】（1）设三点确定的平面为，则与平面的交线为直线，
设，则是与平面的交线，，连接，则是所要画的平面与平面的交线．
（2）正方体棱长为，
又，
所以．
在中，，
所以．
【例6】如图，在边长为1的正方体中，分别是的中点．
（1）作出过点与正方体的截面；（不必说明画法和理由）
（2）求点到平面的距离．
【答案】（1）图见解析；（2）
【分析】（1）根据平面与平面相交成线这一基本事实，作出过点与正方体
的截面；
（2）根据三棱锥体积公式，结合，利用线面平行的性质，根据勾股定理的逆定理，进行求解即可.
【详解】（1）截面如图所示．
（2）∵，平面，∴平面，
则点到平面的距离等于点到平面的距离．在中，，
所以，所以，∴．
∵，∴，∴，
∴，即点到平面的距离为．
【例7】如图①，正方体的棱长为，为线段的中点，为线段上的动点，过点、、的平面截该正方体所得的截面记为.
（1）若，请在图①中作出截面（保留尺规作图痕迹）；
（2）若（如图②），试求截面将正方体分割所成的上半部分的体积与下半部分的体积之比.
【答案】（1）答案见解析；（2）.
【分析】（1）根据平面的基本性质作出截面即可；
（2）由平面基本性质得出截面，再由锥体的体积公式得出，最后求出与之比.
【详解】（1）延长交延长线于点，此时，延长交于点
延长交延长线于点，连接，并延长交于点，连接
此时五边形就是截面
（2）当为的中点时，再由，可知，的延长线交于点，此时截面为四边形
因此
【例8】如图，已知直三棱柱中，，，，，，分别为棱，的中点， 为线段的中点
（1）试在图中画出过，，三点的平面截该棱柱所得的多边形，并求出该多边形的周长；
（2）该截面分三棱柱成两部分，求其中较小那部分几何体的体积.
【答案】（1）作图见解析，；（2）.
【分析】（1）取中点，连接、、，易知，得到截面为梯形求解；
（2）连接，，分别求得，，再比较即可.
【详解】（1）如图所示：
取中点，连接、、，
则，即四点共面，
则梯形为所求截面的多边形.
则，
，
，
，
所以该多边形的周长为.
（2）连接，，
，
，
而，
所以其中较小那部分几何体的体积为 .
【对点实战】
1.在正方体中，试画出平面与平面的交线．
【答案】答案见解析
【分析】找出两个平面的两个公共点，连线即可.
【详解】根据公理，只要找到两平面的两个公共点即可．
如图，设.
，平面，平面，
又，平面，平面，
所以，是平面与平面的公共点，
而点显然也是平面与平面的公共点．
连接，根据公理知是平面与平面的交线．
2.若α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，试画出平面ABC与平面α，β的交线.
【答案】答案见解析
【分析】延长BA交l于D，则AB是平面ABC与α的交线，CD是平面ABC与β的交线.
【详解】α∩β＝l，A，B∈α，
∴AB是平面ABC与α的交线，
延长BA交l于D，则D∈平面ABC，
∵C∈β，∴CD是平面ABC与β的交线，
则对应的图示如图.
3.在立体几何中，用一个平面去截一个几何体得到的平面图形叫截面. 如图，在棱长为1的正方体中，点分别是棱的中点.
（1）证明：共面；
（2）求截面的面积.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
（1）证明，利用两条平行线确定一个平面即可证明四点共面.
（2）由题意知截面为等腰梯形，求出高为，利用梯形的面积公式即可求解.
【详解】⑴证明：连结，在正方体中，，又，
四点共面.
⑵根据题意，结合线面面面平行的性质，得到满足条件的截面为等腰梯形，
由正方体的棱长为1，可求得该梯形的上底为，下底为，
高为，
利用梯形的面积公式可求得.
4.如图所示，正方体中，，分别为和的中点，画出平面和平面的交线．
【答案】见解析
【分析】找到交线上的两个公共点，根据公理三即可得到结果.
【详解】如图所示，在平面内延长，交的延长线于一点，则平面．因为平面，所以平面，所以是平面-与平面的一个公共点．又是两平面的一个公共点，所以为两平面的交线．
5.如图，有一块正四棱柱的木料，E，F分别为，的中点，，．
（1）作出过B，E，F的平面与正四棱柱木料的截面，并求出该截面的周长；
（2）求点到平面BEF的距离．
【答案】（1）作图见解析，；（2）.
【分析】（1）连接AC，过点B作直线MN，分别交直线DC，DA的延长线于N，M两点，连接EM，FN分别交，与P，Q两点，连接PB，BQ，则五边形EPBQF为所求截面.分别求出各边，即可求出五边形EPBQF周长
（2）利用等体积法求到平面BEF的距离.
【详解】（1）连接AC，过点B作直线MN，分别交直线DC，DA的延长线于N，M两点，连接EM，FN分别交，与P，Q两点，连接PB，BQ，则五边形EPBQF为所求截面.
在正方形中，，在中，，，故，，由，故，
故，，故，
同理，可求得，，故五边形EPBQF周长为：，
则截面周长为.
（2）分别取AD，DC的中点R，T，连接ER，FT，在中，
在，，同理
求得等腰的面积为，求得的面积为
设到平面BEF的距离为h，由，得，
故，故到平面BEF的距离为.
6.如图，正四面体棱长为6．
（1）求正四面体的体积；
（2）若是侧面内的一点，过点作一个截面，使得与都与截面平行，作出截面与正四面体各面的交线，并写出作法．
【答案】（1）；（2）答案见解析.
【分析】（1）本题可作中心，连接，，然后求出长以及的面积，即可求出四面体的体积；
（2）本题可借助作平行线的方式绘出截面.
【详解】（1）如图，作中心，连接，，则平面，
因为正四面体棱长为，所以，
则，
因为的面积，
所以四面体的体积为.
（2）如图，
在平面内过点作与平行的直线，分别与、相交于点、，
在平面内过点作与平行的直线，与相交于点，
在平面内过点作与平行的直线，与相交于点，连结，
则截面与正四面体各面的交线分别为、、、．
结束
文字语言
符号语言
图形语言
A在l上
A∈l
A在l外
A∉l
A在α内
A∈α
A在α外
A∉α
l在α内
l⊂α
l在α外
l⊄α
l，m相交于A
l∩m＝A
l，α相交于A
l∩α＝A
α，β相交于l
α∩β＝l
基本事实
内容
图形
符号
基本事实1
过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面
A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α
基本事实2
如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内
A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α
基本事实3
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
P∈α且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l
推论
内容
图形
推论1
经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面
推论2
经过两条相交直线，有且只有一个平面
推论3
经过两条平行直线，有且只有一个平面
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