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高中数学9.2 用样本估计总体同步达标检测题
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这是一份高中数学9.2 用样本估计总体同步达标检测题，共109页。试卷主要包含了5 mm，004等内容，欢迎下载使用。
本节课知识点目录：
制作频率分布直方图
频率分布直方图的应用。
折线图、条形图、扇形图及其应用。
百分位数的计算
众数、中位数、平均数的计算
频率分布直方图中的众数、中位数、平均数
方差、标准差的计算与应用
统计图表与方差、标准差的综合应用
、制作频率分布直方图
作频率分布直方图的步骤
(1)求极差：极差为一组数据中最大值与最小值的差．
(2)决定组距与组数
将数据分组时，一般取等长组距，并且组距应力求“取整”，组数应力求合适，以使数据的分布规律能较清楚地呈现出来．
(3)将数据分组
(4)列频率分布表
各小组的频率＝eq \f(小组频数,样本容量).
(5)画频率分布直方图
纵轴表示eq \f(频率,组距)，eq \f(频率,组距)实际上就是频率分布直方图中各小长方形的高度，小长方形的面积＝组距×eq \f(频率,组距)＝频率．
【典型例题】
【例1】为考查某校高二男生的体重，随机抽取44名高二男生，实测体重数据(单位：kg)如下：
57，61，57，57，58，57，61，54，68，51，49，64，50，48，65，52，56，46，54，49，51，47，55，55，54，42，51，56，55，51，54，51，60，62，43，55，56，61，52，69，64，46，54，48
将数据进行适当的分组，并画出相应的频率分布直方图．
【例2】从某校高一年级的1002名新生中用简单随机抽样的方法抽取一个容量为100的身高样本，数据(单位：cm)如下表所示：
试作出该样本的频率直方图.
【例3】，9；，11；，10；，5；，4.
【例4】通过抽样，我们获得了100位居民某年的月平均用水量（单位：t），如下表：
试用频率直方图分析该地居民月平均用水量的分布情况.
【对点实战】
1.某校从参加某次知识竞赛测试的学生中随机抽出名学生，将其成绩(百分制)(均为整数)分成六段，…后得到如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，求分数在内的频率，并补全这个频率分布直方图.
2.某校从全体教师中抽取了50位教师参加教育部门组织的知识竞赛，根据这50位教师的竞赛成绩（满分100分）制作了如图所示的频数分布表与部分频率分布直方图．
求a，b，
补全频率分布直方图；
3.生产过程中，测得纤维产品的纤度(表示纤细的一种量)，共有100个数据，将数据分组如下表：
完成频率分布表，
画出频率分布直方图；
二、频率分布直方图的应用
频率分布直方图的性质
①因为小矩形的面积＝组距×eq \f(频率,组距)＝频率，所以各小矩形的面积表示相应各组的频率．这样，频率分布直方图就以面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小．
②在频率分布直方图中，各小矩形的面积之和等于1.
③eq \f(频数,相应的频率)＝样本容量．
【典型例题】
【例1】为了了解高一年级学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图所示)，图中从左到右各小长方形面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小组的频数为12．
(1)第二小组的频率是多少？样本量是多少？
(2)若次数在110以上(含110次)为达标，则该校全体高一年级学生的达标率是多少？
(3)样本中不达标的学生人数是多少？
(4)第三组的频数是多少？
【例2】从某校500名12岁男孩中用简单随机抽样的方法抽取一个容量为120的身高(单位：cm)样本，具体数据如下表所示：
(1)列出频率分布表；(2)画出频率直方图；(3)画出频率折线图；
(4)估计身高小于134cm的人数占总人数的百分比.
【例3】根据中国银行的外汇牌价，第一季度的个工作日中，欧元的现汇买入价（欧元的外汇可兑换人民币）的分组和各组的频数如下：
，；，；，；，；，；，；，.
(1)列出欧元的现汇买入价的频率分布表；
(2)估计欧元的现汇买入价在内的频率；
(3)若欧元的现汇买入价不超过的频率的为，求.
【例4】某工厂对200个电子元件的使用寿命进行检查，按照使用寿命（单位：h），可以把这批电子元件分成第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，第六组.由于工作中不慎将部分数据丢失，现有以下部分图表：
(1)求图2中A的值；
(2)补全图2频率分布直方图，并求图2中阴影部分的面积；
(3)为了某次展销会，用分层抽样的方法在寿命位于内的产品中抽取5个作为样本，那么在内应抽取多少个？
【例5】某校为了解高一期末数学考试的情况，从高一的所有学生数学试卷中随机抽取n份试卷进行成绩分析，得到数学成绩频率分布直方图（如图所示），其中成绩在的学生人数为6.
（1）求直方图中的值；
（2）求的值；
（3）试根据样本估计“该校高一学生期末数学考试成绩70”的概率.
【对点实战】
1.某学校高三年级有400名学生参加某项体育测试，根据男女学生人数比例，使用分层随机抽样的方法从中抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：，，…，，整理得到如下频率分布直方图；
（1）若该样本中男生有55人，试估计该学校高三年级女生总人数；
（2）若规定小于60分为“不及格”，从该学校高三年级学生中随机抽取一人，估计该学生不及格的概率；
2.为了了解某地高中学生的体能状况，抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图如图．为提高本地学生的身体素质，教育主管部门要求，每分钟跳绳不超过120次的学生，需要增加平时体育锻炼的时间．
（1）求x值；
（2）若该地区有6000名高中学生，估计其中需要增加平时体育锻炼时间的人数．
3.某校从高一年级学生中随机抽取名学生作为样本，将他们的期中考试数学成绩（满分分，成绩均为不低于分的整数）分成六组：，，…，后得到如图的频率分布直方图．
（1）求图中实数的值；
（2）若该校高一年级共有学生人，试估计该校高一年级在考试中成绩不低于分的人数；
（3）样本中数学成绩在与两个分数段内的学生人数分别为多少？
4.一研究所为帮助某地脱贫致富，引进一种新的水果进行种植.该研究所随机抽取了高度在(单位：)的50棵水果进行研究，得到其高度的频率分布直方图(如图所示).
（1）求的值；.
（2）经研究，水果高度在的经济效益最好，若已知该地种植该水果约为10万棵，试根据直方图信息估计高度在的植物数量.
三、折线图、条形图、扇形图及应用
1.条形图是用一个单位长度表示一定的数量或频率，根据数量的多少或频率的大小画成长短不同的矩形条，条形图能清楚地表示出每个项目的具体数目或频率．
2.扇形图是用整个圆面积表示总数(100%)，用圆内的扇形面积表示各个部分所占总数的百分数．
3.在画折线图时，要注意明确横轴、纵轴的实际含义．
【典型例题】
【例1】郫都是中国农家乐旅游发源地、最美中国生态旅游目的地，是四川省乡村旅游的先行者，快工作慢生活，构成了安逸郫都最靓丽的风景线.郫都大部分农民都有自己的苗圃，也不断改进种植花卉苗木的技术．改进后，某种苗木在单位面积上的出苗数量增加了50%，且在同一生长周期内的高度（cm）变化的饼图如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．80cm以上优质苗木所占比例增加10%
B．改进后，80cm以上优质苗木产量实现了增加80%的目标
C．70cm-80cm的苗木产量没有变化
D．70cm以下次品苗木产量减少了
【例2】某食品公司为了调查消费者对某款新食品的认可情况，随机抽取了100位消费者进行食品认可度（共设，，，四个等级）的调查，每位被调查的消费者均对该食品认可度等级进行了评定，调查的结果如下图（表）：
男性消费者
(1)求，，的值，并求被调查者中，认可度等级为级的女性消费者人数；
(2)公司计划按性别采用分层抽样的方法从认可度等级为级或级的消费者中选取11人派送礼品，分别求被选中的男性消费者人数和女性消费者人数．
【例3】．如图所示是根据某市月日至月日的最低气温（单位：）的情况绘制的折线统计图，试根据折线统计图反映的信息，绘制该市月日到日最低气温（单位：）的扇形统计图和条形统计图.
【例4】小明同学因发热而住院，下图是根据护士为他测量的体温所绘制的体温折线图．
根据图中的信息，回答以下问题：
(1)护士每隔几小时给小明测量一次体温？
(2)近三天来，小明的最高体温、最低体温分别是多少？
(3)从体温看，小明的病情是在恶化还是在好转？
(4)如果连续36小时体温不超过37.2摄氏度的话，可认为基本康复，那么小明最快什么出院？
【例5】为了丰富校园文化生活，某校计划在午间校园广播台播放“百家讲坛”的部分内容．为了了解学生的喜好，抽取若干名学生进行问卷调查(每人只选一项内容)，整理调查结果，绘制统计图如图所示．
请根据统计图提供的信息回答以下问题：
(1)求抽取的学生数；
(2)若该校有3 000名学生，估计喜欢收听易中天《品三国》的学生人数；
(3)估计该校喜欢收听刘心武评《红楼梦》的女学生人数约占全校学生人数的百分比．
【例6】根据以往的成绩记录，甲射击击中目标靶的环数的频率分布情况如图所示．
(1)求图中a的值；
(2)求甲命中环数大于7的频率．
【例7】某手机店根据手机销售的相关数据绘制了两幅统计图．来自该店财务部的数据报告表明，该手机店 月的手机销售总额一共是万元.请根据图①、图②解答下列问题：
（1）该手机店三月份的销售额为多少万元？
（2）该店一月份音乐手机的销售额为多少万元?
（3）小刚观察图②后，认为四月份音乐手机的销售额比三月份减少了，你同意他的看法吗?请说明理由．
【对点实战】
1.200名学生参与研究性学习，每人仅参加1个课题组．其中参加文学类的有33人，参加理化类的有30人，参加数学类的有62人，参加社会科学类的有47人，参加信息类的有28人．
(1)列出学生参加各类课题组的频率分布表并作出相应的扇形统计图；
(2)画出条形统计图．
2.有140位选手参加高尔夫球赛，他们的成绩统计如下：
(1)列出频率分布表；
(2)画出条形统计图．
3.下面是从某镇抽取的50户家庭一年中12个月的用电量的统计图表，试根据图表说明：
(1)一年中这50户家庭月用电高峰是哪几个月？用电低谷是哪几个月？并解释可能的原因.
(2)有几个月用电总量为7000度？
4.高一年级期末考试成绩各分数段：，，，，的频率分布如下图．
（1）计算高一年级所有同学成绩的中位数；
（2）若高一年级有1000人，把成绩从低到高编号，用系统抽样的方法从中抽取一个容量为20的样本，其中一个个体的编号为63，请写出抽样在之间的个体的编号．
四、百分位数的计算
1．第p百分位数的定义：
一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值．
2．计算一组n个数据的第p百分位数的一般步骤如下：
第1步，按从小到大排列原始数据．
第2步，计算i＝n×p%.
第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数．
3．四分位数
25%,50%,75%这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数，其中第25百分位数也称为第一四分位数或下四分位数，第75百分位数也称为第三四分位数或上四分位数．
【典型例题】
【例1】数据1，2，3，4，5，6，7，8，9的70％分位数为（ ）
A．6B．7C．6.5D．6或7
【例2】已知一组数据：125，121，123，125，127，129，125，128，130，129，126，124，125，127，126.则这组数据的第25百分位数和第80百分位数分别是（ ）
A．125 128B．124 128C．125 129D．125 128.5
【例3】某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间[5,40]中，其频率分布直方图如图所示.估计棉花纤维的长度的样本数据的80%分位数是（ ）
A．28 mmB．28.5 mm
C．29 mmD．29.5 mm
【例4】下列关于分位数的说法正确的是 （ ）
A．分位数不是中位数
B．总体数据中的任意一个数小于它的可能性一定是
C．它是四分位数
D．它只适用于总体是离散型的数据
【例5】下表为12名毕业生的起始月薪：
根据表中所给的数据计算75%分位数为（ ）
A．2950B．3050C．3130D．3000
【例6】从800件产品中抽取6件进行质检，利用随机数表法抽取样本时，先将800件产品按001，002，…，800进行编号．如果从随机数表第8行第8列的数8开始往右读数（随机数表第7行至第9行的数如下），则抽取的6件产品的编号的75%分位数是（ ）
……
8442175331 5724550688 77047447672176335025 8392120676
6301637859 1695566711 69105671751286735807 4439523879
3321123429 7864560782 52420744381551001342 9966027954
A．105B．556C．671D．169
【对点实战】
1.某地区想实行阶梯电价，经调查发现，该地区居民用电量信息如下：
如果要求约70%的居民用电在第一阶梯内，约20%的居民用电在第二阶梯内，可确定第二阶梯电价的用电量范围为（ ）A．B．C．D．
2.以下数据为参加数学竞赛决赛的15人的成绩：56，70，72，78，79，80，81，83，84，86，88，90，91，94，98，则这15人成绩的70%分位数是（ ）
A．86B．87C．88D．89
辽宁省大连市2021-2022学年高一上学期期末数学试题
3.某地一年之内12个月的降水量从小到大分别为：46，48，51，53，53，56，56，56，58，64，66，71，则该地区的月降水量20%分位数和75%分位数为（ ）
A．51，58B．51，61C．52，58D．52，61
4.某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是，样本数据分组为，，，，．根据频率分布直方图，估计这200名学生每周的自习时间数据的第30百分位数为（ ）
A．22B．21.25C．22.5D．25
5.对某种电子元件使用寿命跟踪调查，所得样本的频率分布直方图如图.由图可知，这一批电子元件中寿命的分位数为（ ）
A．B．C．350D．
五、众数、中位数、平均数的计算
1．众数：一组数据中出现次数最多的数．
2．中位数：把一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，处在中间位置的数(或中间两个数的平均数)叫做这组数据的中位数．
3．平均数：如果n个数x1，x2，…，xn，那么eq \x\t(x)＝eq \f(1,n)(x1＋x2＋…＋xn)叫做这n个数的平均数．
【典型例题】
【例1】甲、乙两组数的数据如下所示，则这两组的平均数、极差及中位数相同的是（ ）
甲组：5，12，16，21，25，37；
乙组：1，6，14，18，38，39.
A．极差B．中位数
C．平均数D．都不相同
【例2】．位参加百米半决赛同学的成绩各不相同，按成绩取前位进入决赛.如果小刘知道了自己的成绩后，要判断他能否进入决赛.则其他位同学成绩的下列数据中，能使他得出结论的是（ ）
A．平均数B．极差
C．中位数D．以上都不对
【例3】某校组织全体学生参加了主题为“奋斗百年路，启航新征程”的知识竞赛，随机抽取了100名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组的取值区间均为左闭右开区间），画出频率分布直方图（如图），下列说法不正确的是（ ）
A．在被抽取的学生中，成绩在区间内的学生有10人
B．这100名学生成绩的众数为85
C．估计全校学生成绩的平均分数为75
D．这100名学生成绩的中位数为
【例4】如图所示的表格记录了高三（1）班第一组和第二组各五名学生在一次英语听力测试训练中的成绩（单位：分），若这两组数据的中位数均为15，平均值相等，则（ ）
A．36B．6C．26D．16
【例5】有4万个不小于70的两位数，从中随机抽取了3000个数据，统计如下：
请根据表格中的信息，估计这4万个数据的平均数为（ ）A．92.16B．85.23C．84.73D．77.97
【例6】已知样本，，，，的平均数为，样本，，，的平均数为（），若样本，，，，，，，的平均数，其中，则n，m的大小关系为（ ）
A．B．C．D．不能确定
【例7】为庆祝中国共产党成立100周年，甲、乙、丙三个小组进行党史知识竞赛，每个小组各派5位同学参赛，若该组所有同学的得分都不低于7分，则称该组为“优秀小组”（满分为10分且得分都是整数），以下为三个小组的成绩数据，据此判断，一定是“优秀小组”的是（ ）
甲：中位数为8，众数为7
乙：中位数为8，平均数为8.4
丙：平均数为8，方差小于2
A．甲B．乙C．丙D．无法确定
【对点实战】
1.已知数据：①18，32，，14，8，12；②21，4，7，14，，11；③5，4，6，5，4，3，1，4；④，3，1，0，0，．其中平均数与中位数相等的是数据（ ）
A．①B．②C．③D．①②③④
2.郑州地铁1号线的开通运营，极大方便了市民的出行．某时刻从二七广场站驶往博学路站的过程中，10个车站上车的人数统计如下：70，60，60，60，50，40，40，30，30，10．这组数据的平均数，众数，90%分位数的和为（ ）
A．125B．135C．165D．170
3.．已知一组数据10，30，50，50，60，70，80，其平均数、中位数和众数的大小关系是（ ）
A．平均数>中位数>众数B．平均数<中位数<众数
C．中位数<众数<平均数D．众数=中位数=平均数
4.已知一组数据为20，30，40，50，50，50，70，80，其平均数、第60百分位数和众数的大小关系是（ ）
A．平均数＝第60百分位数＞众数B．平均数＜第60百分位数＝众数
C．第60百分位数＝众数＜平均数D．平均数＝第60百分位数＝众数
5.已知数据x1，x2，x3，x4的平均数为4，则数据3x1＋2，3x2＋2，3x3＋2，3x4＋2的平均数为（ ）
A．4B．8C．12D．14
6.某校组织全体学生参加了主题为“建党百年，薪火相传”的知识竞赛，随机抽取了200名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．直方图中的值为0.004
B．在被抽取的学生中，成绩在区间[70，80）的学生数为15人
C．估计全校学生成绩的样本数据的80%分位数约为93分
D．估计全校学生的平均成绩为84分
7.已知一组数据10，5，4，2，2，2，，且这组数据的平均数与众数的和是中位数的2倍，则所有可能的取值为__________．
六、频率分布直方图中的众数、中位数、平均数的计算
1．样本平均数：可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形面积的乘积之和近似代替．
2．在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应相等．
3．将最高小矩形所在的区间中点作为众数的估计值．
【典型例题】
【例1】某公司为了解用户对其产品的满意程度，从A地区随机抽取了400名用户，从B地区随机抽取了100名用户，请用户根据满意程度对该公司产品评分，该公司将收集到的数据按照分组，绘制成评分频率分布直方图如图：
(1)求B地区用户对该公司产品的评分不低于60分的人数；
(2)求A地区用户对该公司产品的评分的众数、中位数；
(3)根据频率分布直方图，假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，估计A地区抽取的400名用户对该公司产品的评分的平均值为，B地区抽取的100名用户对该公司产品的评分的平均值为，以及A，B两个地区抽取的500名用户对该公司产品的评分的平均值为，试比较和的大小．（结论不要求证明）
【例2】新冠肺炎疫情期间，某市为了了解本地居民对当地防疫工作的满意度，从市居民中随机抽取若干居民进行评分（满分为100分），根据调查数据制成如下频率分布直方图，已知评分在的居民有2200人.
(1)求频率分布直方图中a的值及所调查的总人数；
(2)从频率分布直方图中，估计本次评测分数的众数和平均数（精确到0.1）；
(3)设该市居民为50万人，估计全市居民对当地防疫工作评分在85分以上的人数.
【例3】我国是世界上严重缺水的国家之一，为提倡节约用水，我市为了制定合理的节水方案，对家庭用水情况进行了调查，通过抽样，获得了2021年 100个家庭的月均用水量（单位：t），将数据按照[0，2），[2，4），[4，6），[6，8），[8，10]分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图.
(1)求全市家庭月均用水量不低于 4t的频率;
(2)假设同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替，求全市家庭月均用水量平均数的估计值（精确到0.01）;
(3)求全市家庭月均用水量的75%分位数的估计值（精确到0.01）.
【例4】从某学校随机抽取100名学生，测得他们的身高（单位：cm），按照区间，，，，分组，得到样本身高的频率分布直方图，如图所示.
(1)求频率分布直方图中x的值；
(2)估计该校学生身高的平均数（每组数据以区间中点值为代表）；
(3)估计该校学生身高的75%分位数.
【例5】治理沙漠离不开优质的树苗，现从苗圃中随机地抽测了200株树苗的高度（单位：cm），得到以下频率分布直方图.
(1)求直方图中a的值及众数､中位数；
(2)若树高185cm及以上是可以移栽的合格树苗.从样本中按分层抽样方法抽取20株树苗作进一步研究，不合格树苗､合格树苗分别应抽取多少株？
【对点实战】
1.为了了解高二学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数次测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图（如图），图中从左到右各小长方形面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3；第二小组频数为12.
(1)第二小组的频率是多少，样本容量是多少；
(2)若次数在110以上（含110次）为达标，试估计该学校全体高二学生的达标率是多少；
(3)在这次测试中，估计学生跳绳次数的众数和中位数､平均数各是多少.（结果均保留整数.）
2.对某校高三年级学生参加社区服务的次数进行统计，随机抽取M名学生，得到这M名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出如下频率分布表和频率分布直方图．
(1)求出表中，及图中a的值；
(2)若该校有高三学生人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间内的人数；
(3)估计该校高三学生参加社区服务次数的众数、中位数及平均数．
3.在技术人员的指导下，某棉花种植基地的棉花产量和质量均有大幅度地提升，已知该棉花种植基地今年产量为，技术人员随机抽取了棉花，测量其马克隆值（棉花的马克隆值是反映棉花纤维细度与成熟度的综合指标，是棉纤维重要的内在质量指标之一，与棉花价格关系密切），得到如下统计表及不完整的频率分布直方图．
(1)求表中的值，并补全频率分布直方图；
(2)根据频率分布直方图，估计样本的马克隆值的众数及中位数；
(3)根据马克隆值可将棉花分为三个等级，不同等级的棉花价格如下表所示：
用样本估计总体，估计该棉花种植基地今年的总产值．
4.某公司为了解员工对食堂的满意程度，对全体100名员工做了一次问卷调查，要求员工对食堂打分，将最终得分按，，，，，分成6段，并得到如图所示频率分布直方图.
（1）估计这100名员工打分的众数和中位数（保留一位小数）；
（2）现从，，这三组中用比例分配的分层随机抽样的方法抽取11个人，求这组抽取的人数.
七、方差、标准差的计算与应用
1．假设一组数据为x1，x2，…，xn，则这组数据的平均数eq \x\t(x)＝eq \f(x1＋x2＋…＋xn,n)，方差为s2＝eq \f(1,n)eq \i\su(i＝1,n, )(xi－eq \x\t(x))2，标准差s＝eq \r(\f(1,n)\i\su(i＝1,n, )xi－\x\t(x)2).
2．如果总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，总体平均数为eq \x\t(Y)，则称S2＝eq \f(1,N)eq \i\su(i＝1,N, )(Yi－eq \x\t(Y))2为总体方差，S＝eq \r(S2)为总体标准差．
如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi(i＝1,2，…，k)，则总体方差为S2＝eq \f(1,N)eq \i\su(i＝1,k,f)i(Yi－eq \x\t(Y))2.
3．如果一个样本中个体的变量值分别为y1，y2，…，yn，样本平均数为eq \x\t(y)，则称s2＝eq \f(1,n)eq \i\su(i＝1,n, )(yi－eq \x\t(y))2为样本方差，s＝eq \r(s2)为样本标准差．
4．标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小．
【典型例题】
【例1】．下列数字特征不能反映样本数据的分散程度、波动情况的是（ ）
A．极差B．平均数C．方差D．标准差
【例2】甲、乙两名同学参加了一次篮球比赛的全部7场比赛，平均每场得分都是16分，标准差分别为3.5和4.62，则甲、乙两名同学在这次篮球比赛中，发挥更稳定的是（ ）
A．甲B．乙C．甲、乙相同D．不能确定
【例3】在高一期中考试中，甲、乙两个班的数学成绩统计如下表：
其中，则两个班数学成绩的方差为（ ）A．3B．2
C．2.6D．2.5
【例4】设样本数据x1，x2，…，x2 020的方差为4，若yi＝2xi＋4(i＝1，2，…，2 020)，则y1，y2，…，y2 020的方差为（ ）
A．13B．14C．15D．16
【例5】某班有n位同学，统计一次数学测验的平均分与方差．在第一次计算时漏过了一位同学的成绩，算得位同学的平均分和方差分别为、，所以只好再算第二次，算得n位同学的平均分和方差分别为、，若已知该漏过了的同学的得分恰好为，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【例6】已知某5个数据的平均数为5，方差为3，现加入3、7两个数，此时这7个数据的平均数为，方差为，则（ ）
A．B．C．D．
【例7】如图所示是小王与小张二人参加某射击比赛的预赛的五次测试成绩的折线图，设小王与小张成绩的样本平均数分别为和，方差分别为和，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【例8】在某次测量中得到的样本数据如下：.若样本数据恰好是样本数据都加2后所得数据，则两样本的下列数字特征对应相同的是（ ）
A．众数B．平均数C．标准差D．中位数
【对点实战】
1.在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志是“连续10日，每天新增疑似病例不超过7人”，过去10日，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息如下：
甲地：总体平均数为3，中位数为4；
乙地：总体平均数为1，总体方差大于0；
丙地：总体平均数为2，总体方差为3；
丁地：中位数为2，众数为3；
则甲、乙、丙、丁四地中，一定没有发生大规模群体感染的是（ ）
A．甲地B．乙地C．丙地D．丁地
2.已知一组数据，，，…，的标准差为2，将这组数据，，，…，中的每个数先同时减去2，再同时乘以3，得到一组新数据，则这组新数据的标准差为（ ）
A．2B．4C．6D．
3.为庆祝中国共产党成立100周年，深入推进党史学习教育，某中学党支部组织学校初、高中两个学部的党员参加了全省教育系统的党史知识竞赛活动，其中初中部20名党员竞赛成绩的平均分为a，方差为2；高中部50名党员竞赛成绩的平均分为b，方差为．若a=b，则该学校全体参赛党员竞赛成绩的方差为（ ）
A．B．C．D．
4.若40个数据的平方和为56，平均数为，则这组数据的方差为________
5.设一组样本数据，，，的方差为0.01，则数据，，，的方差为______．
八、统计图表与方差、标准差的综合应用
【典型例题】
【例1】从甲、乙两名学生中选拔一人参加射击比赛，现对他们的射击水平进行测试，两人在相同条件下各射靶10次，每次命中的环数如下：
甲：7，8，6，8，6，5，9，10，7，4；
乙：9，5，7，8，7，6，8，6，7，7．你认为应该选哪名学生参加比赛？为什么？
【例2】从某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：
(1)根据上表补全所示的频率分布直方图；
(2)估计这种产品质量指标值的平均数、方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)及中位数(保留一位小数)；
(3)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？
【例3】某学校对高一某班的同学进行了身高（单位：）调查，将得到的数据进行适当分组后（每组为左闭右开区间），画出如图所示的频率分布直方图．
(1)求直方图中的值；
(2)估计全班同学身高的中位数；
(3)估计全班同学身高的平均数及方差．（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）
【例4】在一次高三年级统一考试中，数学试卷有一道满分为10分的选做题，学生可以从，两道题目中任选一题作答．某校有900名高三学生参加了本次考试，为了了解该校学生解答该选做题的得分情况，计划从900名学生的选做题成绩中随机抽取一个容量为10的样本，为此将900名学生的选做题的成绩随机编号为001，002，，900．
(1)若采用随机数法抽样，并按照以下随机数表，以方框内的数字5为起点，从左向右依次读数，每次读取三位随机数，一行数读完之后接下一行左端写出样本编号的中位数．
05 26 93 70 60 22 35 85 15 13 92 03 51 59 77
59 56 78 06 83 52 91 05 70 74 07 97 10 88 23
09 98 42 99 64 61 71 62 99 15 06 1 29 16 93
58 05 77 09 51 51 26 87 85 85 54 87 66 47 54
73 32 08 11 12 44 95 92 63 16 29 56 24 29 48
26 99 61 65 53 58 37 78 80 70 42 10 50 67 42
32 17 55 85 74 94 44 67 16 94 14 65 52 68 75
87 59 36 22 41 26 78 63 06 55 13 08 27 01 50
15 29 39 39 43
(2)若采用分层随机抽样，按照学生选择题目或题目，将成绩分为两层，且样本中选择题目的成绩有8个，平均数为7，方差为4；样本中选择题目的成绩有2个，平均数为8，方差为1．试用样本估计该校900名学生的选做题得分的平均数与方差．
【例5】为研究男女学生在生活费支出（单位：元）上的差异，某中学在高一年级400名学生（其中男生220人，女生180人）中随机抽取22名男生与18名女生，统计他们的生活费支出，得到下面的结果：
男生：，；
女生：，；
试根据以上数据估计该校高一学生生活费支出的总体均值、总体方差.
【例6】某电池厂有A，两条生产线制造同一型号可充电电池．A，生产线的产量比为4：5．现采用分层抽样的方法从某天两条生产线上的成品中随机抽取样本，并测量产品可充电次数的均值及方差，结果如下：
试根据以上数据计算由36个产品组成的样本的方差，并估计总体方差．
【例7】某大学为了解学生对两家餐厅的满意度情况，从在两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了100人，每人分别对这两家餐厅进行满意指数打分（满意指数是指学生对餐厅满意度情况的打分，分数设置为分.根据打分结果按，分组，得到如图所示的频率分布直方图，其中餐厅满意指数在中有30人.
(1)求餐厅满意指数频率分布直方图中的值；
(2)利用样本估计总体的思想，估计餐厅满意指数和餐厅满意指数的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间中点值作代表）；
参考公式：，其中为的平均数，分别为对应的频率.
(3)如果一名新来同学打算从两家餐厅中选择一个用餐，你建议选择哪个餐厅？说明理由.
9.2-用样本估计总体-
-----典例精讲
本节课知识点目录：
制作频率分布直方图
频率分布直方图的应用。
折线图、条形图、扇形图及其应用。
百分位数的计算
众数、中位数、平均数的计算
频率分布直方图中的众数、中位数、平均数
方差、标准差的计算与应用
统计图表与方差、标准差的综合应用
、制作频率分布直方图
作频率分布直方图的步骤
(1)求极差：极差为一组数据中最大值与最小值的差．
(2)决定组距与组数
将数据分组时，一般取等长组距，并且组距应力求“取整”，组数应力求合适，以使数据的分布规律能较清楚地呈现出来．
(3)将数据分组
(4)列频率分布表
各小组的频率＝eq \f(小组频数,样本容量).
(5)画频率分布直方图
纵轴表示eq \f(频率,组距)，eq \f(频率,组距)实际上就是频率分布直方图中各小长方形的高度，小长方形的面积＝组距×eq \f(频率,组距)＝频率．
【典型例题】
【例1】为考查某校高二男生的体重，随机抽取44名高二男生，实测体重数据(单位：kg)如下：
57，61，57，57，58，57，61，54，68，51，49，64，50，48，65，52，56，46，54，49，51，47，55，55，54，42，51，56，55，51，54，51，60，62，43，55，56，61，52，69，64，46，54，48
将数据进行适当的分组，并画出相应的频率分布直方图．
【答案】见解析
【分析】分析数据的极差，选择合适的组局，让组数在5－8组左右为宜，作出频率分布表，根据频率分布表作出频率分布直方图﹒
【详解】数据的极差为：69-42=27，所以可以4为组距，将数据分为8组，列表如下：
【例2】从某校高一年级的1002名新生中用简单随机抽样的方法抽取一个容量为100的身高样本，数据(单位：cm)如下表所示：
试作出该样本的频率直方图.
【答案】答案见解析
【分析】根据表中数据列出频率分布表，进而可作出频率直方图和频率折线图，即求.
【详解】由上表可知频率分布表如下：
频率直方图如图1所示：
【例3】，9；，11；，10；，5；，4.
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）根据已知数据可得频率分布表；
（2）根据频率分布表即可画出频率直方图
(1)
根据已知数据可得频率分布表如下：
(2)
频率分布直方图如下：
【例4】通过抽样，我们获得了100位居民某年的月平均用水量（单位：t），如下表：
试用频率直方图分析该地居民月平均用水量的分布情况.
【答案】答案见解析
【分析】根据数据计算极差确定组距和组数，再得到频率分布表，画出频率分布直方图，根据直方图得到答案.
【详解】计算极差：；将组距取为，则，取组数为；
将数据分为：，
则得到频率分布表：
画出频率分布直方图：
根据频率分布直方图：
用水量在的居民最少；
多数居民的用水量在之间；
用水量在的居民最多.
【对点实战】
1.某校从参加某次知识竞赛测试的学生中随机抽出名学生，将其成绩(百分制)(均为整数)分成六段，…后得到如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，求分数在内的频率，并补全这个频率分布直方图.
【答案】分数在内的频率为，频率分布直方图答案见解析.
【分析】根据频率分布直方图小矩形面积为即可求出x，则为矩形的高，进而补出图形.
【详解】设分数在内的频率为，根据频率分布直方图，则有：，解得，分数在内的频率为.
频率分布直方图如图所示：
2.某校从全体教师中抽取了50位教师参加教育部门组织的知识竞赛，根据这50位教师的竞赛成绩（满分100分）制作了如图所示的频数分布表与部分频率分布直方图．
求a，b，
补全频率分布直方图；
【答案】a＝13，b＝20，（2）．表格见解析；
【分析】由频率、频数与样本容量的关系易求得a，b的值，再利用表中数据即可补全频率分布直方图；
【详解】解：（1）由频率、频数与样本容量的关系易求得频数a＝50×0.026×10＝13，b＝50﹣2﹣9﹣13﹣6＝20，
补全的频率分布直方图如下：
3.生产过程中，测得纤维产品的纤度(表示纤细的一种量)，共有100个数据，将数据分组如下表：
完成频率分布表，
画出频率分布直方图；
【答案】（答案见解析；
【分析】根据题意，由频率与频数的关系，计算可得各组的频率，进而可以做出频率分布表，结合分布表，进而可以做出频率分步直方图；
【详解】频率分布表如下：
频率分布直方图如图所示.
二、频率分布直方图的应用
频率分布直方图的性质
①因为小矩形的面积＝组距×eq \f(频率,组距)＝频率，所以各小矩形的面积表示相应各组的频率．这样，频率分布直方图就以面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小．
②在频率分布直方图中，各小矩形的面积之和等于1.
③eq \f(频数,相应的频率)＝样本容量．
【典型例题】
【例1】为了了解高一年级学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图所示)，图中从左到右各小长方形面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小组的频数为12．
(1)第二小组的频率是多少？样本量是多少？
(2)若次数在110以上(含110次)为达标，则该校全体高一年级学生的达标率是多少？
(3)样本中不达标的学生人数是多少？
(4)第三组的频数是多少？
【答案】(1)0.08，150；
(2)88%；
(3)18；
(4)51.
【分析】频率分布直方图以面积的形式反映数据落在各小组内的频率大小，所以计算面积之比即为所求小组的频率.可用此方法计算（1），（2），由公式直接计算可得（1）中样本容量；根据（2）问中的达标率，可计算不达标率，从而求出不达标人数，可得（3）；单独计算第三组的频率，由公式计算频数，可求出（4）.
(1)
频率分布直方图以面积的形式反映数据落在各小组内的频率大小，因此第二小组的频率为＝0.08．
所以样本容量＝＝150.
(2)
由直方图可估计该校高一年级学生的达标率为×100%＝88%.
(3)
由（1）（2）知达标率为88%，样本量为150，不达标的学生频率为1－0.88＝0.12．
所以样本中不达标的学生人数为150×0.12＝18(人)．
(4)
第三小组的频率为＝0.34．
又因为样本量为150，
所以第三组的频数为150×0.34＝51．
【例2】从某校500名12岁男孩中用简单随机抽样的方法抽取一个容量为120的身高(单位：cm)样本，具体数据如下表所示：
(1)列出频率分布表；(2)画出频率直方图；(3)画出频率折线图；
(4)估计身高小于134cm的人数占总人数的百分比.
【答案】(1)频率分布表见解析(2)频率直方图见解析(3)频率折线图见解析(4)19%
【分析】(1)根据所给数据列出频率分布表；(2)由频率分布表画出频率分布直方图；
(3)由频率分布直方图画出频率分布折线图(4)由频率分布表可得身高小于134 cm的学生的频率；
(1)频率分布表如下表所示：
(2)
(3)
(4)
由频率分布表可知身高小于134cm的男孩出现的频率为0.04＋0.07＋0.08＝0.19，所以身高小于134cm的人数约占总人数的19%.
【例3】根据中国银行的外汇牌价，第一季度的个工作日中，欧元的现汇买入价（欧元的外汇可兑换人民币）的分组和各组的频数如下：
，；，；，；，；，；，；，.
(1)列出欧元的现汇买入价的频率分布表；
(2)估计欧元的现汇买入价在内的频率；
(3)若欧元的现汇买入价不超过的频率的为，求.
【答案】(1)频率分布表见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据题中信息可列出频率分布表；
（2）根据频率分布表可计算出欧元的现汇买入价在内的频率；
（3）分析得出，根据题意列出关于的等式，即可解得的值.
(1)
解：欧元的现汇买入价的频率分布表如下：
(2)
解：估计欧元的现汇买入价在内的频率约为.
(3)
解：因为，，
所以，，且有，解得.
【例4】某工厂对200个电子元件的使用寿命进行检查，按照使用寿命（单位：h），可以把这批电子元件分成第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，第六组.由于工作中不慎将部分数据丢失，现有以下部分图表：
(1)求图2中A的值；
(2)补全图2频率分布直方图，并求图2中阴影部分的面积；
(3)为了某次展销会，用分层抽样的方法在寿命位于内的产品中抽取5个作为样本，那么在内应抽取多少个？
【答案】(1)
(2)频率分布直方图答案见解析，阴影部分的面积为
(3)
【分析】（1）根据题意得到，解得答案.
（2）补全表格，画出频率分布直方图并计算面积得到答案.
（3）根据分层抽样的比例关系得到答案.
(1)
由题意可知，所以.
(2)
补全后的频率分布直方图如图所示，
阴影部分的面积为.
(3)
由分层抽样的性质，知在内应抽取.
【例5】某校为了解高一期末数学考试的情况，从高一的所有学生数学试卷中随机抽取n份试卷进行成绩分析，得到数学成绩频率分布直方图（如图所示），其中成绩在的学生人数为6.
（1）求直方图中的值；
（2）求的值；
（3）试根据样本估计“该校高一学生期末数学考试成绩70”的概率.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【分析】（1）由频率分布直方图的高之和为组距分之一，即可得出结果；
（2）根据样本容量、总体与频率之间的关系计算即可得出结果；
（3）用总面积1减去左边2个矩形的面积即可.
【详解】解：（1）由频率分布直方图的性质得：
，
解得.
（2）∵成绩在的学生人数为6，
由频率分布直方图得成绩在的学生所占频率为：，
∴.
（3）根据样本估计“该校高一学生期末数学考试成绩70”的概率：
.
【对点实战】
1.某学校高三年级有400名学生参加某项体育测试，根据男女学生人数比例，使用分层随机抽样的方法从中抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：，，…，，整理得到如下频率分布直方图；
（1）若该样本中男生有55人，试估计该学校高三年级女生总人数；
（2）若规定小于60分为“不及格”，从该学校高三年级学生中随机抽取一人，估计该学生不及格的概率；
【答案】（1）180；（2）该学生不及格的概率约为0.1.
【分析】（1）利用分层抽样的特点，即按比例抽取，求解即可；（2）由频率分布直方图，求出样本中及格的频率，进而得到不及格的频率即不及格概率的估值.
【详解】（1）样本的女生人数为：（人）
高三年级中女生人数为：（人）
（2）由直方图知，样本中及格的频率为：
样本中不及格的频率为
从高三年级中随机地抽取一人，该学生不及格的概率约为0.1
2.为了了解某地高中学生的体能状况，抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图如图．为提高本地学生的身体素质，教育主管部门要求，每分钟跳绳不超过120次的学生，需要增加平时体育锻炼的时间．
（1）求x值；
（2）若该地区有6000名高中学生，估计其中需要增加平时体育锻炼时间的人数．
【答案】（1）0.019；（2）2700．
【分析】（1）由所有频率之和为1计算出值；
（2）由频率分布直方图求出每分钟跳绳不超过120次的频率后可得人数．
【详解】（1）由题意，解得；
（2）由频率分布直方图求出每分钟跳绳不超过120次的频率为，
需要增加平时体育锻炼时间的人数为．
3.某校从高一年级学生中随机抽取名学生作为样本，将他们的期中考试数学成绩（满分分，成绩均为不低于分的整数）分成六组：，，…，后得到如图的频率分布直方图．
（1）求图中实数的值；
（2）若该校高一年级共有学生人，试估计该校高一年级在考试中成绩不低于分的人数；
（3）样本中数学成绩在与两个分数段内的学生人数分别为多少？
【答案】（1）；（2）人；（3）有2人，有4人.
【分析】（1）由各组的频率之和为1，列方程求参数a；
（2）将分以上各组频率加总乘以总人数500，即可求考试中成绩不低于分的人数；
（3）将与的频率乘以样本容量，即可得与两个分数段内的学生人数.
【详解】（1）由题意知：，解得；
（2）由（1）知：成绩不低于分的人数为人；
（3）由题设，的人数为人，的人数为人
4.一研究所为帮助某地脱贫致富，引进一种新的水果进行种植.该研究所随机抽取了高度在(单位：)的50棵水果进行研究，得到其高度的频率分布直方图(如图所示).
（1）求的值；.
（2）经研究，水果高度在的经济效益最好，若已知该地种植该水果约为10万棵，试根据直方图信息估计高度在的植物数量.
【答案】（1）；（2）棵.
【分析】（1）利用小矩形的面积之和等于即可求解.
（2）求出高度落在的植物的频率，根据频率与样本总量即可求解.
【详解】解：（1），
解得.
（2）高度落在的植物的频率为，
高度在的植物数量为棵.
三、折线图、条形图、扇形图及应用
1.条形图是用一个单位长度表示一定的数量或频率，根据数量的多少或频率的大小画成长短不同的矩形条，条形图能清楚地表示出每个项目的具体数目或频率．
2.扇形图是用整个圆面积表示总数(100%)，用圆内的扇形面积表示各个部分所占总数的百分数．
3.在画折线图时，要注意明确横轴、纵轴的实际含义．
【典型例题】
【例1】郫都是中国农家乐旅游发源地、最美中国生态旅游目的地，是四川省乡村旅游的先行者，快工作慢生活，构成了安逸郫都最靓丽的风景线.郫都大部分农民都有自己的苗圃，也不断改进种植花卉苗木的技术．改进后，某种苗木在单位面积上的出苗数量增加了50%，且在同一生长周期内的高度（cm）变化的饼图如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．80cm以上优质苗木所占比例增加10%
B．改进后，80cm以上优质苗木产量实现了增加80%的目标
C．70cm-80cm的苗木产量没有变化
D．70cm以下次品苗木产量减少了
【答案】B
【分析】设改进前某种苗木在单位面积上的出苗数量为，改进后它的出苗数量为，则单位面积80cm以上的增加量为，70cm-80cm的苗木产量增加，70cm以下次品苗木产量减少了，即可判断结果．
【详解】设改进前某种苗木在单位面积上的出苗数量为，改进后它的出苗数量为，
则80cm以上优质苗木所占比例增加了，即故A错；
80cm以上优质苗木产量实现了增加了，即的目标，故B正确；
单位面积上70cm-80cm的苗木产量增加了，故C错；
70cm以下次品苗木产量减少了，故D错
故选：B．
【例2】某食品公司为了调查消费者对某款新食品的认可情况，随机抽取了100位消费者进行食品认可度（共设，，，四个等级）的调查，每位被调查的消费者均对该食品认可度等级进行了评定，调查的结果如下图（表）：
男性消费者
(1)求，，的值，并求被调查者中，认可度等级为级的女性消费者人数；
(2)公司计划按性别采用分层抽样的方法从认可度等级为级或级的消费者中选取11人派送礼品，分别求被选中的男性消费者人数和女性消费者人数．
【答案】(1)；；；认可度等级为级的女性消费者人数为14；
(2)被选中的男性消费者人数为7，女性消费者人数为4.
【分析】（1）利用频率的概念及性质可求，，的值，进而可得女性消费者人数，再结合条件即得；
（2）由题可得认可度等级为级或级的男性消费者及女性消费者人数，再利用分层抽样的概念即求.
(1)
由表可知，，即．
由题可得男性消费者人数为，
所以，，
被调查者中，女性消费者人数为，
故认可度等级为级的女性消费者人数为.
所以，，，认可度等级为级的女性消费者人数为14；
(2)
由题可知认可度等级为级或级的男性消费者有人，认可度等级为级或级的女性消费者有人，
从中选取11人，则被选中的男性消费者人数为，女性消费者人数为．
【例3】．如图所示是根据某市月日至月日的最低气温（单位：）的情况绘制的折线统计图，试根据折线统计图反映的信息，绘制该市月日到日最低气温（单位：）的扇形统计图和条形统计图.
【答案】答案见解析
【分析】列出该城市月日至月日的最低气温表（单位：），可作出扇形统计图与条形统计图.
【详解】该城市月日至月日的最低气温（单位：）情况如下表所示：
其中最低气温为的有天，占；最低气温为的有天，占；
最低气温为的有天，占；最低气温为的有天，占；
最低气温为的有天，占；最低气温为的有天，占.
扇形统计图如下图所示：
条形统计图如下图所示：
【例4】小明同学因发热而住院，下图是根据护士为他测量的体温所绘制的体温折线图．
根据图中的信息，回答以下问题：
(1)护士每隔几小时给小明测量一次体温？
(2)近三天来，小明的最高体温、最低体温分别是多少？
(3)从体温看，小明的病情是在恶化还是在好转？
(4)如果连续36小时体温不超过37.2摄氏度的话，可认为基本康复，那么小明最快什么出院？
【答案】(1)每隔6小时给小明测量一次体温；
(2)最高体温是39.5摄氏度，最低体温是36.8摄氏度；
(3)病情在好转；
(4)最快可以在9月10凌晨6时出院.
【分析】根据折线图横轴和纵轴表示的意义可得（1），（2），（3）的结果，由9月8日18时小明的体温是37摄氏度，且其后体温未超过37.2摄氏度，可推断小明最快出院时间为9月8日18时起后推36小时.
(1)
根据横轴表示的意义，可知护士每隔6小时给小明测量一次体温．
(2)
从折线统计图中的最高点和最低点对应的纵轴意义，可知最高体温是39.5摄氏度，最低体温是36.8摄氏度．
(3)
从图中可知小明的体温已经下降，并趋于稳定，因此病情在好转．
(4)
9月8日18时小明的体温是37摄氏度．其后的体温未超过37.2摄氏度，自9月8日18时起计算，连续36小时后对应的时间为9月10日凌晨6时．因此小明最快可以在9月10凌晨6时出院．
【例5】为了丰富校园文化生活，某校计划在午间校园广播台播放“百家讲坛”的部分内容．为了了解学生的喜好，抽取若干名学生进行问卷调查(每人只选一项内容)，整理调查结果，绘制统计图如图所示．
请根据统计图提供的信息回答以下问题：
(1)求抽取的学生数；
(2)若该校有3 000名学生，估计喜欢收听易中天《品三国》的学生人数；
(3)估计该校喜欢收听刘心武评《红楼梦》的女学生人数约占全校学生人数的百分比．
【答案】(1)300
(2)1060
(3)15%
【分析】(1)统计图中小矩形上方标的为学生人数，将所有人数相加即可；
(2)统计样本中喜欢收听易中天《品三国》的人数，算出占样本总数的比值，用该比值乘以3 000；
(3)统计样本中喜欢收听刘心武评《红楼梦》的女学生人数，用该数据除以300即可﹒
(1)
从统计图上可以看出，
喜欢收听于丹析《庄子》的男生有20人，女生有10人；
喜欢收听《故宫博物院》的男生有30人，女生有15人；
喜欢收听于丹析《论语》的男生有30人，女生有38人；
喜欢收听易中天《品三国》的男生有64人，女生有42人；
喜欢收听刘心武评《红楼梦》的男生有6人，女生有45人．
所以抽取的学生数为20＋10＋30＋15＋30＋38＋64＋42＋6＋45＝300(人)．
(2)
喜欢收听易中天《品三国》的男生有64人，女生有42人，共有106人，占所抽取总人数的比例为，
由于该校有3 000名学生，因此可以估计喜欢收听易中天《品三国》的学生有×3 000＝1 060(人)．
(3)
该校喜欢收听刘心武评《红楼梦》的女学生人数约占全校学生人数的比例为×100%＝15%．
【例6】根据以往的成绩记录，甲射击击中目标靶的环数的频率分布情况如图所示．
(1)求图中a的值；
(2)求甲命中环数大于7的频率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据频率分布直方图求解参数即可；
（2）根据频率直方图中的数据计算频率即可得出答案.
(1)
由题图得，解得
即图中a的值为0.06.
(2)
环数大于7的频率为8，9，10环所对频率的总和
由图知，8，9，10环对应的频率分别为0.45，0.29和0.01，
所以环数大于7的频率为0.45+0.29+0.01=0.75.
【例7】某手机店根据手机销售的相关数据绘制了两幅统计图．来自该店财务部的数据报告表明，该手机店 月的手机销售总额一共是万元.请根据图①、图②解答下列问题：
（1）该手机店三月份的销售额为多少万元？
（2）该店一月份音乐手机的销售额为多少万元?
（3）小刚观察图②后，认为四月份音乐手机的销售额比三月份减少了，你同意他的看法吗?请说明理由．
【答案】（1）60万元；（2）19.55万元；（3）不同意，理由见解析.
【分析】（1）三月份的销售额为销售总额减去1月、2月和4月的销售额之和；
（2）一月份音乐手机的销售额为1月份的销售额乘以23%即可；
（3）通过两图求出3、4月份的音乐手机销售额，然后比较
【详解】（1）由已知及图1知，3月份手机销售额为万元
（2）由图1及图2知，1月份音乐手机销售额为万元
（3）由图1及图2知，3月份音乐手机销售额为：万元
4月份音乐手机销售额为：万元
，4月份音乐手机销售额比3月份音乐手机销售额增加了，
所以不同意小刚的看法.
【对点实战】
1.200名学生参与研究性学习，每人仅参加1个课题组．其中参加文学类的有33人，参加理化类的有30人，参加数学类的有62人，参加社会科学类的有47人，参加信息类的有28人．
(1)列出学生参加各类课题组的频率分布表并作出相应的扇形统计图；
(2)画出条形统计图．
【答案】(1)答案见详解
(2)答案见详解
【分析】（1）根据频率频数样本容量即可求解.
（2）根据（1）中所列数据，然后以课题组为横轴，频数为纵轴，画条形图即可.
(1)
频率分布表如下：
扇形统计图如图（1）
(2)条形统计图如图（2）
2.有140位选手参加高尔夫球赛，他们的成绩统计如下：
(1)列出频率分布表；
(2)画出条形统计图．
【答案】(1)答案见详解
(2)答案见详解
【分析】（1）根据表中数据求出频率即可得出列出频率分布表.
（2）根据条形图的画法即可得出答案.
(1)
频率分布表如下：
(2)
条形统计图如下：
3.下面是从某镇抽取的50户家庭一年中12个月的用电量的统计图表，试根据图表说明：
(1)一年中这50户家庭月用电高峰是哪几个月？用电低谷是哪几个月？并解释可能的原因.
(2)有几个月用电总量为7000度？
【答案】(1)答案见解析；(2)4
【分析】（1）根据图1，得到7月和8月份的用电量高峰，1月、3月和12月份的用电低谷；
（2）根据图表中的数据，即可得到有4个月的用电量为7000度.
(1)
解：根据图1，可得7月和8月份的用电量高峰，由于天气气温高，大多用户使用空调降温，所以用电出现高峰；
其中1月、3月和12月份的用电低谷，由于冬季进行供暖，大多数用户的用电量下降，造成用电低谷.
(2)
解：根据图2可知，有4个月的用电量为7000度，分别为5月、6月、9月和11月.
4.高一年级期末考试成绩各分数段：，，，，的频率分布如下图．
（1）计算高一年级所有同学成绩的中位数；
（2）若高一年级有1000人，把成绩从低到高编号，用系统抽样的方法从中抽取一个容量为20的样本，其中一个个体的编号为63，请写出抽样在之间的个体的编号．
【答案】（1）110；（2）413，463，513，563，613，663．
【分析】（1）计算每一段中的数据个数，可得中位数在分数段内从低到高处，即可得到答案；
（2）由题意，两个相邻样本的编号差为，则可得抽样在分数段之间的个体的编号，即可得到答案；
【详解】（1）由题图可知，和分数段内的人数占总人数的40%，故中位数在分数段内从低到高处，故中位数为
（2）由题图可得分数段内有150人，分数段内有250人，分数段内有300人，
则分数段内的编号是从401到700，由题意，两个相邻样本的编号差为，则抽样在分数段之间的个体的编号为413，463，513，563，613，663．
四、百分位数的计算
1．第p百分位数的定义：
一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值．
2．计算一组n个数据的第p百分位数的一般步骤如下：
第1步，按从小到大排列原始数据．
第2步，计算i＝n×p%.
第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数．
3．四分位数
25%,50%,75%这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数，其中第25百分位数也称为第一四分位数或下四分位数，第75百分位数也称为第三四分位数或上四分位数．
【典型例题】
【例1】数据1，2，3，4，5，6，7，8，9的70％分位数为（ ）
A．6B．7C．6.5D．6或7
【答案】B
【分析】根据百分位数的定义即可求解.
【详解】数据共有9个，，所以分位数为第7个数，即7，
故选：B
【例2】已知一组数据：125，121，123，125，127，129，125，128，130，129，126，124，125，127，126.则这组数据的第25百分位数和第80百分位数分别是（ ）
A．125 128B．124 128C．125 129D．125 128.5
【答案】D
【分析】根据百分位数的计算方法即可求解.
【详解】把这15个数据按从小到大排序，可得121，123，124，125，125，125，125，126，126，127，127，128，129，129，130，由25%×15＝3.75，80%×15＝12，可知数据的第25百分位数为第4项数据为125，第80百分位数为第12项与第13项数据的平均数，即×(128＋129)＝128.5.
故选：D
【例3】某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间[5,40]中，其频率分布直方图如图所示.估计棉花纤维的长度的样本数据的80%分位数是（ ）
A．28 mmB．28.5 mm
C．29 mmD．29.5 mm
【答案】C
【分析】根据给定的频率分布直方图，利用80%分位数的意义计算作答.
【详解】棉花纤维的长度在25 mm以下的比例为，
在30 mm以下的比例为，因此，80%分位数一定位于内，
因，所以估计棉花纤维的长度的样本数据的80%分位数是29 mm.
故选：C
【例4】下列关于分位数的说法正确的是 （ ）
A．分位数不是中位数
B．总体数据中的任意一个数小于它的可能性一定是
C．它是四分位数
D．它只适用于总体是离散型的数据
【答案】C
【分析】由百分位数的意义判断每个选项.
【详解】由百分位数的意义可知，将一组数据从小到大排序，并计算相应的累计百分位，则某一百分位所对应数据的值就称为这一百分位的百分位数；分位数是中位数，分位数表示至少有的数据项小于或等于这个值，且至少有的数据项大于或等于这个值，第50百分位数又称第二个四分位数，所以选项A，B，D错误.
故选：C
【例5】下表为12名毕业生的起始月薪：
根据表中所给的数据计算75%分位数为（ ）
A．2950B．3050C．3130D．3000
【答案】D
【分析】根据百分位数的定义计算即可.
【详解】由小到大排列12个数据为2710，2757,2850,2880,2880,2890,2920,2940,2950,3050,3130,3325；
因为，
所以75%分位数为，
故选：D
【例6】从800件产品中抽取6件进行质检，利用随机数表法抽取样本时，先将800件产品按001，002，…，800进行编号．如果从随机数表第8行第8列的数8开始往右读数（随机数表第7行至第9行的数如下），则抽取的6件产品的编号的75%分位数是（ ）
……
8442175331 5724550688 77047447672176335025 8392120676
6301637859 1695566711 69105671751286735807 4439523879
3321123429 7864560782 52420744381551001342 9966027954
A．105B．556C．671D．169
【答案】C
【分析】由随机表及编号规则确定抽取的6件产品编号，再从小到大排序，应用百分位数的求法求75%分位数.
【详解】由题设，依次读取的编号为，
根据编号规则易知：抽取的6件产品编号为，
所以将它们从小到大排序为，
故，所以75%分位数为.
故选：C
【对点实战】
1.某地区想实行阶梯电价，经调查发现，该地区居民用电量信息如下：
如果要求约70%的居民用电在第一阶梯内，约20%的居民用电在第二阶梯内，可确定第二阶梯电价的用电量范围为（ ）A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用百分位数的含义结合条件即得.
【详解】∵约70%的居民用电在第一阶梯内，约20%的居民用电在第二阶梯内，
∴由表中数据可得，第二阶梯电价的用电量范围为.
故选：C.
2.以下数据为参加数学竞赛决赛的15人的成绩：56，70，72，78，79，80，81，83，84，86，88，90，91，94，98，则这15人成绩的70%分位数是（ ）
A．86B．87C．88D．89
辽宁省大连市2021-2022学年高一上学期期末数学试题
【答案】C
【分析】根据百分位数的定义直接得出.
【详解】因为，所以这15人的70%分位数为第11位数：88.
故选：C.
3.某地一年之内12个月的降水量从小到大分别为：46，48，51，53，53，56，56，56，58，64，66，71，则该地区的月降水量20%分位数和75%分位数为（ ）
A．51，58B．51，61C．52，58D．52，61
【答案】B
【分析】先把每月的降水量从小到大排列,再根据分位数的定义求解.
【详解】把每月的降水量从小到大排列为: 46，48，51，53，53，56，56，56，58，64，66，71，
,
所以该地区的月降水量的分位数为;
所以该地区的月降水量的分位数为.
故选：B
4.某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是，样本数据分组为，，，，．根据频率分布直方图，估计这200名学生每周的自习时间数据的第30百分位数为（ ）
A．22B．21.25C．22.5D．25
【答案】C
【分析】由频率分布直方图计算，找出累计频率值为0.3处对应的自习时间值即可.
【详解】由频率分布直方图可知，区间在对应的频率为，区间在对应的频率为，，0.3处对应自习时间值恰为22.5，故这200名学生每周的自习时间数据的第30百分位数为22.5.
故选：C
5.对某种电子元件使用寿命跟踪调查，所得样本的频率分布直方图如图.由图可知，这一批电子元件中寿命的分位数为（ ）
A．B．C．350D．
【答案】B
【分析】根据频率分布直方图判断分位数位于，设为，再列出方程，由此能求出这一批电子元件中寿命的分位数．
【详解】解：由频率分布直方图得的频率为：，
的频率为：，
所以分位数位于之间，
设分位数为则，，解得
由图可知，这一批电子元件中寿命的分位数为．
故选：B．
五、众数、中位数、平均数的计算
1．众数：一组数据中出现次数最多的数．
2．中位数：把一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，处在中间位置的数(或中间两个数的平均数)叫做这组数据的中位数．
3．平均数：如果n个数x1，x2，…，xn，那么eq \x\t(x)＝eq \f(1,n)(x1＋x2＋…＋xn)叫做这n个数的平均数．
【典型例题】
【例1】甲、乙两组数的数据如下所示，则这两组的平均数、极差及中位数相同的是（ ）
甲组：5，12，16，21，25，37；
乙组：1，6，14，18，38，39.
A．极差B．中位数
C．平均数D．都不相同
【答案】C
【分析】根据已知数据分别求出两组的平均数、极差及中位数即可判断.
【详解】由题中数据可知甲的极差为，乙的极差为，
甲的中位数为，乙的中位数为，
，，
所以甲、乙的平均数相同.
故选：C.
【例2】．位参加百米半决赛同学的成绩各不相同，按成绩取前位进入决赛.如果小刘知道了自己的成绩后，要判断他能否进入决赛.则其他位同学成绩的下列数据中，能使他得出结论的是（ ）
A．平均数B．极差
C．中位数D．以上都不对
【答案】C
【分析】根据中位数的定义判断可得出结论.
【详解】判断是不是能进入决赛，只要判断是不是前名，
所以只要知道其他位同学的成绩中是不是有个高于他，
也就是把其他位同学的成绩排列后看第个的成绩即可，
小刘的成绩高于这个成绩就能进入决赛，低于这个成绩就不能进入决赛，
这个第名的成绩就是这位同学成绩的中位数.
故选：C.
【例3】某校组织全体学生参加了主题为“奋斗百年路，启航新征程”的知识竞赛，随机抽取了100名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组的取值区间均为左闭右开区间），画出频率分布直方图（如图），下列说法不正确的是（ ）
A．在被抽取的学生中，成绩在区间内的学生有10人
B．这100名学生成绩的众数为85
C．估计全校学生成绩的平均分数为75
D．这100名学生成绩的中位数为
【答案】C
【分析】A由直方图求区间上的样本数量；B由频率的大小确定众数的位置；C、D根据频率直方图求出平均数、中位数.
【详解】A：由直方图知：内的学生有人，正确；
B：由图知：内的学生频率最大，则众数为85，正确；
C：全校学生成绩的平均分数为，错误；
D：由，则中位数在区间内，令中位数为，则，可得，正确.
故选：C
【例4】如图所示的表格记录了高三（1）班第一组和第二组各五名学生在一次英语听力测试训练中的成绩（单位：分），若这两组数据的中位数均为15，平均值相等，则（ ）
A．36B．6C．26D．16
【答案】A
【分析】根据题意进行数据分析，分别求出x、y，即可求出.
【详解】因为这两组数据的中位数均为15，所以.
因为这两组数据的平均值相等，所以，解得，故.
故选：A.
【例5】有4万个不小于70的两位数，从中随机抽取了3000个数据，统计如下：
请根据表格中的信息，估计这4万个数据的平均数为（ ）A．92.16B．85.23C．84.73D．77.97
【答案】B
【分析】首先求出这3000个数据的平均数，即可得解；
【详解】解：这3000个数据的平均数为.用样本平均数估计总体平均数，可知这4万个数据的平均数约为.
故选：B.
【例6】已知样本，，，，的平均数为，样本，，，的平均数为（），若样本，，，，，，，的平均数，其中，则n，m的大小关系为（ ）
A．B．C．D．不能确定
【答案】A
【分析】利用平均数的定义求出与与的关系式，和题干中的对比，可得：，，结合，最终求出结果
【详解】由题意可得，，
，所以，.又，则
所以，故.
故选：A
【例7】为庆祝中国共产党成立100周年，甲、乙、丙三个小组进行党史知识竞赛，每个小组各派5位同学参赛，若该组所有同学的得分都不低于7分，则称该组为“优秀小组”（满分为10分且得分都是整数），以下为三个小组的成绩数据，据此判断，一定是“优秀小组”的是（ ）
甲：中位数为8，众数为7
乙：中位数为8，平均数为8.4
丙：平均数为8，方差小于2
A．甲B．乙C．丙D．无法确定
【答案】A
【分析】根据题意，结合“优秀小组”的定义依次分析选项，综合可得答案.
【详解】甲：中位数为8，众数为7，可知甲组的得分依次为：7、7、8、9、10，根据“优秀小组”的概念可知甲组一定是“优秀小组”
当乙组得分依次为：6、8、8、10、10时，中位数为8，平均数为8.4，但乙组不符合“优秀小组”的概念，
当丙组得分依次为：6、8、8、8、10时，丙：平均数为8，方差为，但丙组不符合“优秀小组”的概念.
故选：A.
【对点实战】
1.已知数据：①18，32，，14，8，12；②21，4，7，14，，11；③5，4，6，5，4，3，1，4；④，3，1，0，0，．其中平均数与中位数相等的是数据（ ）
A．①B．②C．③D．①②③④
【答案】D
【分析】把所给的四组数据都求出中位数和平均数，求中位数时，要把数据按照从小到大排列，最中间两个数字的平均数就是中位数，把两个数字进行比较得到结论.
【详解】①18，32，，14，8，12；
中位数是，平均数是13，两个数字相等；
②21，4，7，14，，11；
计算可得中位数是9，平均数是9，两个数字相等；
③5，4，6，5，4，3，1，4；
中位数是4，平均数是4，两个数字相等；
④，3，1，0，0，．
中位数是0，平均数是0，两个数字相等；
综上可知，①②③④都满足条件.
故选：D
2.郑州地铁1号线的开通运营，极大方便了市民的出行．某时刻从二七广场站驶往博学路站的过程中，10个车站上车的人数统计如下：70，60，60，60，50，40，40，30，30，10．这组数据的平均数，众数，90%分位数的和为（ ）
A．125B．135C．165D．170
【答案】D
【分析】利用公式可求平均数和90%分位数，再求出众数后可得所求的和.
【详解】这组数据的平均数为，
而，故90%分位数，
众数为，故三者之和为，
故选：D.
3.．已知一组数据10，30，50，50，60，70，80，其平均数、中位数和众数的大小关系是（ ）
A．平均数>中位数>众数B．平均数<中位数<众数
C．中位数<众数<平均数D．众数=中位数=平均数
【答案】D
【分析】根据已知数据求出平均数、中位数和众数后比较可得．
【详解】由题意平均数为，中位数是50，众数是50，
故选：D．
4.已知一组数据为20，30，40，50，50，50，70，80，其平均数、第60百分位数和众数的大小关系是（ ）
A．平均数＝第60百分位数＞众数B．平均数＜第60百分位数＝众数
C．第60百分位数＝众数＜平均数D．平均数＝第60百分位数＝众数
【答案】B
【分析】从数据为20，30，40，50，50，50，70，80中计算出平均数、第60百分位数和众数，进行比较即可.
【详解】解：平均数为，
，第5个数50即为第60百分位数.
又众数为50，
它们的大小关系是平均数第60百分位数众数.
故选：B.
5.已知数据x1，x2，x3，x4的平均数为4，则数据3x1＋2，3x2＋2，3x3＋2，3x4＋2的平均数为（ ）
A．4B．8C．12D．14
【答案】D
【分析】由题意可求得，可解决此题．
【详解】数据，，，的平均数为4，，
数据，，，的平均数为，
故选：．
6.某校组织全体学生参加了主题为“建党百年，薪火相传”的知识竞赛，随机抽取了200名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．直方图中的值为0.004
B．在被抽取的学生中，成绩在区间[70，80）的学生数为15人
C．估计全校学生成绩的样本数据的80%分位数约为93分
D．估计全校学生的平均成绩为84分
【答案】D
【分析】由概率总和为1可得，由百分位数定义计算80%分位数，由频率分布直方图的频率计算人数，均值判断各选项．
【详解】由得，A错；
成绩在区间[70，80）的频率为，人数为，B错；
低于90分的频率为，设样本数据的80%分位数约为分，
则，解得，C错；
平均成绩为，D正确．
故选：D．
7.已知一组数据10，5，4，2，2，2，，且这组数据的平均数与众数的和是中位数的2倍，则所有可能的取值为__________．
【答案】或3或17
求出这组数据的平均数与众数，分中位数进行讨论可得x的取值.
【详解】由题意可得这组数据的平均数为：，
众数为2，若，可得，可得；
若，则中位数为x，可得，可得；
若，则中位数为4，可得，可得，
故答案为：或3或17.
六、频率分布直方图中的众数、中位数、平均数的计算
1．样本平均数：可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形面积的乘积之和近似代替．
2．在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应相等．
3．将最高小矩形所在的区间中点作为众数的估计值．
【典型例题】
【例1】某公司为了解用户对其产品的满意程度，从A地区随机抽取了400名用户，从B地区随机抽取了100名用户，请用户根据满意程度对该公司产品评分，该公司将收集到的数据按照分组，绘制成评分频率分布直方图如图：
(1)求B地区用户对该公司产品的评分不低于60分的人数；
(2)求A地区用户对该公司产品的评分的众数、中位数；
(3)根据频率分布直方图，假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，估计A地区抽取的400名用户对该公司产品的评分的平均值为，B地区抽取的100名用户对该公司产品的评分的平均值为，以及A，B两个地区抽取的500名用户对该公司产品的评分的平均值为，试比较和的大小．（结论不要求证明）
【答案】(1)50
(2)70,65
(3)
【分析】（1）利用频率分布直方图求解；
（2）利用频率分布直方图，结合众数和中位数的定义求解；
（2）利用频率分布直方图，结合平均数的公式求解.
(1)
解：由频率分布直方图得：
B地区用户对该公司产品的评分不低于60分的人数为：；
(2)
由频率分布表得：
A地区用户对该公司产品的评分的众数是70，
设中位数为x，则 ，
解得；
(3)
，
，
所以 ，，
则.
【例2】新冠肺炎疫情期间，某市为了了解本地居民对当地防疫工作的满意度，从市居民中随机抽取若干居民进行评分（满分为100分），根据调查数据制成如下频率分布直方图，已知评分在的居民有2200人.
(1)求频率分布直方图中a的值及所调查的总人数；
(2)从频率分布直方图中，估计本次评测分数的众数和平均数（精确到0.1）；
(3)设该市居民为50万人，估计全市居民对当地防疫工作评分在85分以上的人数.
【答案】(1)0.025，4000人
(2)众数为85.0，平均数80.7
(3)212500
【分析】（1）首先根据频率和为1，求，再根据落在区间的居民有2200人，求调查的总人数；
（2）根据众数和平均数公式，即可求解；
（3）首先计算评分在85分以上的频率，再计算人数.
(1)
有频率分布直方图知
即，解得
设总共调查了人，则，
解得，即调查的总人数为4000人；
(2)
最高小矩形底边中点横坐标即为众数，可得众数为，
由频率分布直方图知各段的频率分别为：0.02､0.04､0.14､0.20､0.35､0.25，
所以设平均数为，
则
(3)
由频率分布直方图知评分在85分以上的频率为
所以估计该市居民评分在85分以上的人数为:
【例3】我国是世界上严重缺水的国家之一，为提倡节约用水，我市为了制定合理的节水方案，对家庭用水情况进行了调查，通过抽样，获得了2021年 100个家庭的月均用水量（单位：t），将数据按照[0，2），[2，4），[4，6），[6，8），[8，10]分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图.
(1)求全市家庭月均用水量不低于 4t的频率;
(2)假设同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替，求全市家庭月均用水量平均数的估计值（精确到0.01）;
(3)求全市家庭月均用水量的75%分位数的估计值（精确到0.01）.
【答案】(1)
(2)4.92 t.
(3)
【分析】（1）通过频率分布直方图求得的频率，由此求得的估计值.
（2）根据由频率分布直方图计算平均数的方法，计算出全市家庭月均用水量平均数的估计值.
（3）通过频率分布直方图，计算出累计频率为的位置，从而求得全市家庭月均用水量的75%分位数的估计值.
(1)
由直方图可知全市家庭月均用水量不低于 4t的频率为： .
(2)
因为.
因此全市家庭月均用水量的平均数估计值为4.92 t.
(3)
频率分布直方图中，用水量低于2 t的频率为.
用水量低于4 t的频率为.
用水量低于6 t的频率为.
用水量低于8 t的频率为.
故全市家庭月均用水量的75%分位数的估计值为 ，则
则，解得
所以全市家庭月均用水量的75%分位数的估计值为
【例4】从某学校随机抽取100名学生，测得他们的身高（单位：cm），按照区间，，，，分组，得到样本身高的频率分布直方图，如图所示.
(1)求频率分布直方图中x的值；
(2)估计该校学生身高的平均数（每组数据以区间中点值为代表）；
(3)估计该校学生身高的75%分位数.
【答案】(1)0.06
(2)172.25
(3)176.25
【分析】（1）利用频率分布直方图中长方形面积之和为1,易求出x；
（2）直接利用平均数公式求出平均数；
（3）可设该校100名生学身高的75%分位数为x,再利用频率分布直方图计算即得
(1)
由频率分布直方图可知5×(0.01+0.07+x+0.04+0.02+0.01)=1,解得x=0.06,
(2)
根据频率分布直方图，由平均数公式可得：
(3)
的人数占比为5×0.02=10%.
的人数占比为5×00.4=20%.
所以该校100名生学身高的75%分位数落在.
设该校100名生学身高的75%分位数为x，则,解得x=176.25.
故该校100名生学身高的75%分位数为176.25.
【例5】治理沙漠离不开优质的树苗，现从苗圃中随机地抽测了200株树苗的高度（单位：cm），得到以下频率分布直方图.
(1)求直方图中a的值及众数､中位数；
(2)若树高185cm及以上是可以移栽的合格树苗.从样本中按分层抽样方法抽取20株树苗作进一步研究，不合格树苗､合格树苗分别应抽取多少株？
【答案】(1)，众数为，中位数
(2)7株和13株
【分析】（1）利用频率分布直方图的性质及众数､中位数的求法即得；
（2）利用直方图及分层抽样方法即得.
(1)
∵，
∴，众数为，
设中位数为x，因为，
，
则，
，
∴
故，众数为，中位数.
(2)
由题可知合格树苗所占频率为，不合格树苗所占频率为，
不合格的抽取株，合格的抽取株，
故不合格树苗､合格树苗分别应抽取7株和13株.
【对点实战】
1.为了了解高二学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数次测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图（如图），图中从左到右各小长方形面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3；第二小组频数为12.
(1)第二小组的频率是多少，样本容量是多少；
(2)若次数在110以上（含110次）为达标，试估计该学校全体高二学生的达标率是多少；
(3)在这次测试中，估计学生跳绳次数的众数和中位数､平均数各是多少.（结果均保留整数.）
【答案】(1)0.08,150
(2)
(3)115,121,122
【分析】（1）根据长方形面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小组频数为12，利用频率公式和样本容量公式求解；
（2）由长方形面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3，根据题意由求解；
（2）根据长方形面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3，结合频率分布直方图，由众数，中位数和平均数公式求解.
(1)
解：因为；长方形面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小组频数为12.
所以第二小组的频率为，样本容量为；
(2)
高二学生的达标率是；
(3)
由频率分布直方图知：学生跳绳次数的众数为；
从左到右各组的频数为，
前3组的频数和为69，后3组的频数和为81，
所以中位数落在第四小组；
设中位数为，则，
解得；
.
2.对某校高三年级学生参加社区服务的次数进行统计，随机抽取M名学生，得到这M名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出如下频率分布表和频率分布直方图．
(1)求出表中，及图中a的值；
(2)若该校有高三学生人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间内的人数；
(3)估计该校高三学生参加社区服务次数的众数、中位数及平均数．
【答案】(1)，，
(2)人
(3)众数：，中位数：，平均数：
【分析】（1）由分组对应的频数是，频率是可求出的值，由此可求出和的值；
（2）由该校高三学生有人乘以内的频率即可求解；
（3）由频率分布直方图可直接求出众数、中位数及平均数.
(1)
由分组对应的频数是，频率是，知，所以，
所以，解得，
所以，；
(2)
估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间内的人数为；
(3)
估计该校高三学生参加社区服务次数的众数是．
因为，
所以估计该校高三学生参加社区服务次数的中位数x满足：，
解得，所以该校高三学生参加社区服务次数的中位数约为，
由，
所以估计该校高三学生参加社区服务次数的平均数是.
3.在技术人员的指导下，某棉花种植基地的棉花产量和质量均有大幅度地提升，已知该棉花种植基地今年产量为，技术人员随机抽取了棉花，测量其马克隆值（棉花的马克隆值是反映棉花纤维细度与成熟度的综合指标，是棉纤维重要的内在质量指标之一，与棉花价格关系密切），得到如下统计表及不完整的频率分布直方图．
(1)求表中的值，并补全频率分布直方图；
(2)根据频率分布直方图，估计样本的马克隆值的众数及中位数；
(3)根据马克隆值可将棉花分为三个等级，不同等级的棉花价格如下表所示：
用样本估计总体，估计该棉花种植基地今年的总产值．
【答案】(1)，，频率分布直方图见解析；
(2)众数为，中位数为；
(3)万元.
【分析】（1）由频率分布直方图和统计表可计算求得，由此可补全频率分布直方图；
（2）由频率分布直方图估计众数和中位数的方法直接求解即可；
（3）计算求得样本的产值，进而可得今年的总产值.
(1)
由题中频率分布直方图知：；
由统计表得：，
解得：．
补全的频率分布直方图如图所示：
(2)
由频率分布直方图知：马克隆值落在区间内的频率最大，故众数为．
，，中位数在区间内，
中位数为．
(3)
样本的产值为（万元），
估计该棉花种植基地今年的总产值为（万元）．
4.某公司为了解员工对食堂的满意程度，对全体100名员工做了一次问卷调查，要求员工对食堂打分，将最终得分按，，，，，分成6段，并得到如图所示频率分布直方图.
（1）估计这100名员工打分的众数和中位数（保留一位小数）；
（2）现从，，这三组中用比例分配的分层随机抽样的方法抽取11个人，求这组抽取的人数.
【答案】（1）众数为75，中位数为；（2）7人.
【分析】（1）根据中位数和众数的定义结合频率分布直方图即可得出答案；
（2）根据频率分布直方图分别求出，，的人数，任何根据分层抽样即可求出从抽取的人数.
【详解】解：（1）由题意得众数为75，
的频率为，
的频率为，
设中位数为a，，.
（2）的人数：，的人数：，的人数：，抽样比例为，
从抽取的人数：.
七、方差、标准差的计算与应用
1．假设一组数据为x1，x2，…，xn，则这组数据的平均数eq \x\t(x)＝eq \f(x1＋x2＋…＋xn,n)，方差为s2＝eq \f(1,n)eq \i\su(i＝1,n, )(xi－eq \x\t(x))2，标准差s＝eq \r(\f(1,n)\i\su(i＝1,n, )xi－\x\t(x)2).
2．如果总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，总体平均数为eq \x\t(Y)，则称S2＝eq \f(1,N)eq \i\su(i＝1,N, )(Yi－eq \x\t(Y))2为总体方差，S＝eq \r(S2)为总体标准差．
如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi(i＝1,2，…，k)，则总体方差为S2＝eq \f(1,N)eq \i\su(i＝1,k,f)i(Yi－eq \x\t(Y))2.
3．如果一个样本中个体的变量值分别为y1，y2，…，yn，样本平均数为eq \x\t(y)，则称s2＝eq \f(1,n)eq \i\su(i＝1,n, )(yi－eq \x\t(y))2为样本方差，s＝eq \r(s2)为样本标准差．
4．标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小．
【典型例题】
【例1】．下列数字特征不能反映样本数据的分散程度、波动情况的是（ ）
A．极差B．平均数C．方差D．标准差
【答案】B
【分析】利用平均数、极差、方差、标准差的定义直接求解．
【详解】对于A，极差表示一组数据最大值与最小值的差，极差越大数据越分散，极差越小数据越集中，故极差能反映样本数据的离散程度大小，故不选A；
对于B，平均数是表示一组数据集中趋势的量数，是指在一组数据中所有数据之和再除以这组数据的个数，它是描述数据集中位置的一个统计量，故平均数不能反映样本数据的分散程度、波动情况，故选B；
对于C，方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立，
即方差能反映样本数据的离散程度大小，故不选C；
对于D，标准差是方差的算术平方根，标准差也能反映样本数据的离散程度大小，故不选D．
故选：B．
【例2】甲、乙两名同学参加了一次篮球比赛的全部7场比赛，平均每场得分都是16分，标准差分别为3.5和4.62，则甲、乙两名同学在这次篮球比赛中，发挥更稳定的是（ ）
A．甲B．乙C．甲、乙相同D．不能确定
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用平均数、标准差的意义即可判断作答.
【详解】因甲、乙平均每场得分相同，都是16分，而甲的标准差3.5小于乙的标准差4.62，
即甲每场比赛的得分波动较乙的小，甲发挥更稳定.
故选：A
【例3】在高一期中考试中，甲、乙两个班的数学成绩统计如下表：
其中，则两个班数学成绩的方差为（ ）A．3B．2
C．2.6D．2.5
【答案】C
【分析】根据方差公式即可求出．
【详解】由题意可知两个班的数学成绩平均数为，则两个班数学成绩的方差为
．故选：C．
【例4】设样本数据x1，x2，…，x2 020的方差为4，若yi＝2xi＋4(i＝1，2，…，2 020)，则y1，y2，…，y2 020的方差为（ ）
A．13B．14C．15D．16
【答案】D
【分析】所有的数据同时加减一个常数，不改变方差的大小，所有的数据同时乘以一个常数c，方差变为原来c的平方倍.
或由方差的计算公式计算可得.
【详解】y1，y2，…，y2 020的方差为22×4＝16.
故选：D.
【例5】某班有n位同学，统计一次数学测验的平均分与方差．在第一次计算时漏过了一位同学的成绩，算得位同学的平均分和方差分别为、，所以只好再算第二次，算得n位同学的平均分和方差分别为、，若已知该漏过了的同学的得分恰好为，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】依据平均数和方差的定义分别计算出、、、，再进行大小比较即可.
【详解】设这个班n位同学的成绩分别是，，…，，…，，
第一次漏过了第i位同学的成绩，第一次计算时总分是，
方差是
第二次计算时，，
方差
故，
故选：C．
【例6】已知某5个数据的平均数为5，方差为3，现加入3、7两个数，此时这7个数据的平均数为，方差为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据平均数以及方差的计算公式，可得答案.
【详解】由题意可得：
， ，
故选：C
【例7】如图所示是小王与小张二人参加某射击比赛的预赛的五次测试成绩的折线图，设小王与小张成绩的样本平均数分别为和，方差分别为和，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】根据图中实线与虚线的走势，即可直接求解．
【详解】由题图可知，实线中的数据都大于或等于虚线中的数据，所以小王成绩的平均数大于小张成绩的平均数，，显然实线中的数据波动较大，所以小王成绩的方差大于小张成绩的方程，即.
故选：C．
【例8】在某次测量中得到的样本数据如下：.若样本数据恰好是样本数据都加2后所得数据，则两样本的下列数字特征对应相同的是（ ）
A．众数B．平均数C．标准差D．中位数
【答案】C
【分析】分别求两个样本的数字特征，再判断选项.
【详解】A样本数据是：，
样本数据是：，
A样本的众数是48，B样本的众数是50，故A错；
A样本的平均数是 ，
B样本的平均数是，故B错；
A样本的标准差
B样本的标准差，
，故C正确；
A样本的中位数是，B样本的中位数是，故D错.
故选：C
【对点实战】
1.在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志是“连续10日，每天新增疑似病例不超过7人”，过去10日，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息如下：
甲地：总体平均数为3，中位数为4；
乙地：总体平均数为1，总体方差大于0；
丙地：总体平均数为2，总体方差为3；
丁地：中位数为2，众数为3；
则甲、乙、丙、丁四地中，一定没有发生大规模群体感染的是（ ）
A．甲地B．乙地C．丙地D．丁地
【答案】C
【分析】取特例可判断ABD；当总体平均数是2，若有一个数据超过7，则方差就接近3，符合要求．
【详解】当连续10日新增疑似病例数为0,0,0,0,4,4,4,4,4,10时，显然总体平均数为3，中位数为4，故A错误；
当连续10日新增疑似病例数为0,0,0,0,0,0,0,0,0,10时，满足总体平均数为1，总体方差大于0，故B错误；
当连续10日新增疑似病例数为0,0,0,1,1,3,3,3,3,10时，满足中位数为2，众数为3，故D错误；
当总体平均数是2，若有一个数据超过7，则方差就超过3，故C正确；
故选：C．
2.已知一组数据，，，…，的标准差为2，将这组数据，，，…，中的每个数先同时减去2，再同时乘以3，得到一组新数据，则这组新数据的标准差为（ ）
A．2B．4C．6D．
【答案】C
【分析】利用数据的均值、方差的线性运算直接求得.
【详解】因为数据，，，…，的标准差为2，所以方差为4．
由题意知，得到的新数据为，，，…，，
这组新数据的方差为，标准差为6．
故选：C
3.为庆祝中国共产党成立100周年，深入推进党史学习教育，某中学党支部组织学校初、高中两个学部的党员参加了全省教育系统的党史知识竞赛活动，其中初中部20名党员竞赛成绩的平均分为a，方差为2；高中部50名党员竞赛成绩的平均分为b，方差为．若a=b，则该学校全体参赛党员竞赛成绩的方差为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设初中部20名党员、高中部50名党员竞赛成绩分别为，，得，，然后利用方差的计算公式可得答案.
【详解】设初中部20名党员竞赛成绩分别为，
高中部50名党员竞赛成绩的平均分，根据题意得
则，
，所以，
，由于，
所以该学校全体参赛党员竞赛成绩的平均分为，
则该学校全体参赛党员竞赛成绩的方差为
.故选：D.
4.若40个数据的平方和为56，平均数为，则这组数据的方差为________
【答案】##
【分析】根据方差的计算公式计算即可．
【详解】设这40个数据为（，2，…，40），平均数为，则
，
故答案为：
5.设一组样本数据，，，的方差为0.01，则数据，，，的方差为______．
【答案】1
【分析】根据新数据与原数据关系确定方差关系，即得结果.
【详解】根据题意，一组样本数据，，，的方差，
则数据，，，的方差为；
故答案为：.
八、统计图表与方差、标准差的综合应用
【典型例题】
【例1】从甲、乙两名学生中选拔一人参加射击比赛，现对他们的射击水平进行测试，两人在相同条件下各射靶10次，每次命中的环数如下：
甲：7，8，6，8，6，5，9，10，7，4；
乙：9，5，7，8，7，6，8，6，7，7．你认为应该选哪名学生参加比赛？为什么？
【答案】应该选乙参加比赛，理由见解析
【分析】计算甲、乙两人命中的环数的平均成绩及方差即可求解.
【详解】解：设甲、乙两人命中的环数的平均成绩分别为，，方差分别为，，
由数据得：，，
，，
因为甲乙两人平均成绩一样，乙的方差小于甲的方差，说明甲乙两人水平相当，但乙的成绩更稳定，
所以应该选乙参加比赛．
【例2】从某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：
(1)根据上表补全所示的频率分布直方图；
(2)估计这种产品质量指标值的平均数、方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)及中位数(保留一位小数)；
(3)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？
【答案】(1)频率分布直方图见解析；
(2)平均数为，方差为，中位数为99.7；
(3)不能认为该企业伸长的这种产品符合“质量指标不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定﹒
【分析】(1)根据频数求出，画出每一组的小矩形即可；
(2)根据平均数、方差、中位数的计算方法计算即可；
(3)求出[95，105)、[105，115)、[115，125]这三组的总频率，与80%比较即可．
(1)
补全后的频率分布直方图如图所示，
(2)
质量指标值的样本平均数为：
，
质量指标值的样本方差为：
，
∴这种产品质量指标值的平均数约为100，方差约为104．
第一组频率为：0.06，第二组频率为：0.26，第三组频率为：0.38，
∵0.06+0.26<0.5，0.06+0.26+0.38>0.5，
∴中位数落在第三组内，设中位数为x，
则，解得，
因此，中位数为99.7；
(3)
质量指标值不低于95的产品所占比例约为，
由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定．
【例3】某学校对高一某班的同学进行了身高（单位：）调查，将得到的数据进行适当分组后（每组为左闭右开区间），画出如图所示的频率分布直方图．
(1)求直方图中的值；
(2)估计全班同学身高的中位数；
(3)估计全班同学身高的平均数及方差．（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）
【答案】(1)
(2)中位数为171.25
(3)平均数为170；方差150
【分析】（1）根据所有矩形面积之和即频率之和为1，求得答案；
（2）根据中位数的求解方法列出方程，求得答案;
（3）分别利用平均数以及方差的计算方法，求得结果.
(1)
由图可得，解得．
(2)
设全班同学身高的中位数为，可知，得，解得，
故估计全班同学身高的中位数为171.25．
(3)
估计全班同学身高的平均数为，
估计全班同学身高的方差为
．
【例4】在一次高三年级统一考试中，数学试卷有一道满分为10分的选做题，学生可以从，两道题目中任选一题作答．某校有900名高三学生参加了本次考试，为了了解该校学生解答该选做题的得分情况，计划从900名学生的选做题成绩中随机抽取一个容量为10的样本，为此将900名学生的选做题的成绩随机编号为001，002，，900．
(1)若采用随机数法抽样，并按照以下随机数表，以方框内的数字5为起点，从左向右依次读数，每次读取三位随机数，一行数读完之后接下一行左端写出样本编号的中位数．
05 26 93 70 60 22 35 85 15 13 92 03 51 59 77
59 56 78 06 83 52 91 05 70 74 07 97 10 88 23
09 98 42 99 64 61 71 62 99 15 06 1 29 16 93
58 05 77 09 51 51 26 87 85 85 54 87 66 47 54
73 32 08 11 12 44 95 92 63 16 29 56 24 29 48
26 99 61 65 53 58 37 78 80 70 42 10 50 67 42
32 17 55 85 74 94 44 67 16 94 14 65 52 68 75
87 59 36 22 41 26 78 63 06 55 13 08 27 01 50
15 29 39 39 43
(2)若采用分层随机抽样，按照学生选择题目或题目，将成绩分为两层，且样本中选择题目的成绩有8个，平均数为7，方差为4；样本中选择题目的成绩有2个，平均数为8，方差为1．试用样本估计该校900名学生的选做题得分的平均数与方差．
【答案】(1)中位数为
(2)平均数约为7.2，方差约为3.56
【分析】（1）从随机数表中，抽取符合条件的编号，再由小到大排序，然后利用中位数定义求解；
（2）根据样本中选择题目的成绩有8个，平均数为7，方差为4；样本中选择题目的成绩有2个，平均数为8，方差为1，利用平均数和方差公式求解.
(1)
解：由题意知：读取的编号依次是512，805，770，687，858，554，876，647，547，332．
由小到大排序，得332，512，547，554，647，687，770，805，858，876，
样本编号的中位数为．
(2)
设样本中选择题目的成绩的平均数为，方差为；
样本中选择题目的成绩的平均数为，方差为，
则，，，．
样本的平均数为，
方差为,
,
该校900名学生的选做题得分的平均数约为7.2，方差约为3.56．
【例5】为研究男女学生在生活费支出（单位：元）上的差异，某中学在高一年级400名学生（其中男生220人，女生180人）中随机抽取22名男生与18名女生，统计他们的生活费支出，得到下面的结果：
男生：，；
女生：，；
试根据以上数据估计该校高一学生生活费支出的总体均值、总体方差.
【答案】总体平均值为511，总体方差为362.5
【分析】根据均值与方差的相关公式进行求解.
【详解】总体均值为，总体方差为.
【例6】某电池厂有A，两条生产线制造同一型号可充电电池．A，生产线的产量比为4：5．现采用分层抽样的方法从某天两条生产线上的成品中随机抽取样本，并测量产品可充电次数的均值及方差，结果如下：
试根据以上数据计算由36个产品组成的样本的方差，并估计总体方差．
【答案】13.
【分析】设A生产线产品可充电次数为，设B生产线产品可充电次数为，设A与B总共这36个产品可充电次数为，则.
【详解】设A生产线产品可充电次数为，，其均值，其方差，
设B生产线产品可充电次数为，，其均值，其方差.
设A与B总共这36个产品可充电次数为，，其均值为，其方差为，
则.
∵，
∴，，
∴.
故总体的方差为13.
【例7】某大学为了解学生对两家餐厅的满意度情况，从在两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了100人，每人分别对这两家餐厅进行满意指数打分（满意指数是指学生对餐厅满意度情况的打分，分数设置为分.根据打分结果按，分组，得到如图所示的频率分布直方图，其中餐厅满意指数在中有30人.
(1)求餐厅满意指数频率分布直方图中的值；
(2)利用样本估计总体的思想，估计餐厅满意指数和餐厅满意指数的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间中点值作代表）；
参考公式：，其中为的平均数，分别为对应的频率.
(3)如果一名新来同学打算从两家餐厅中选择一个用餐，你建议选择哪个餐厅？说明理由.
【答案】(1)，
(2)餐厅满意指数的平均数和方差分别为，；餐厅满意指数的平均数和方差分别为，
(3)答案见解析
【分析】（1）根据频率的含义和性质列方程，即可解得：，；
（2）根据平均数和方差的定义，然后运算即可；
（3）平均数和方差在实际生活中的应用，平均满意度越高，就越会受到欢迎.
(1)
因为餐厅满意指数在中有30人，则有：
解得：
根据总的频率和为1，则有：
解得：
综上可得：，
(2)
设餐厅满意指数的平均数和方差分别为餐厅满意指数的平均数和方差分别为，则有：
，
，
，
，
综上可得：餐厅满意指数的平均数和方差分别为，；餐厅满意指数的平均数和方差分别，
(3)
答案一：餐厅满意指数的平均数为，方差为，餐厅满意指数的平均数为，方差为，因为，所以推荐餐厅；
答案二：餐厅满意指数在的频率为，在的频率为，餐厅满意指数在和的频率都为，所以推荐餐厅；
（答案不唯一，符合实际情况即可）
结束
168
165
171
167
170
165
170
152
175
174
165
170
168
169
171
166
164
155
164
158
170
155
166
158
155
160
160
164
156
162
160
170
168
164
174
171
165
179
163
172
180
174
173
159
163
172
167
160
164
169
151
168
158
168
176
155
165
165
169
162
177
158
175
165
169
151
163
166
163
167
178
165
158
170
169
159
155
163
153
155
167
163
164
158
168
167
161
162
167
168
161
165
174
156
167
166
162
161
164
166
3.1
2.5
2.0
2.0
1.5
1.0
1.6
1.8
1.9
1.6
3.4
2.6
2.2
2.2
1.5
1.2
0.2
0.4
0.3
0.4
3.2
2.7
2.3
2.1
1.6
1.2
3.7
1.5
0.5
3.8
3.3
2.8
2.3
2.2
1.7
1.3
3.6
1.7
0.6
4.1
3.2
2.9
2.4
2.3
1.8
1.4
3.5
1.9
0.8
4.3
3.0
2.9
2.4
2.4
1.9
1.3
1.4
1.8
0.7
2.0
2.5
2.8
2.3
2.3
1.8
1.3
1.3
1.6
0.9
2.3
2.6
2.7
2.4
2.1
1.7
1.4
1.2
1.5
0.5
2.4
2.5
2.6
2.3
2.1
1.6
1.0
1.0
1.7
0.8
2.4
2.8
2.5
2.2
2.0
1.5
1.0
1.2
1.8
0.6
2.2
成绩/分
[50，60）
[60，70）
[70，80）
[80，90）
[90，100]
频数
2
9
a
b
6
分组
频数
频率
4
25
30
29
10
2
合计
100
分组
[122,126)
[126,130)
[130,134)
[134,138)
[138,142)
人数
5
8
10
22
33
分组
[142,146)
[146,150)
[150,154)
人数
20
11
6
5
使用
寿命
频数
30
20
频率
0.2
0.4
认可度等级
频数
频率
级
18
0.3
级
24
0.4
级
级
杆数
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
选手数
1
2
5
3
8
17
20
31
22
21
10
毕业生
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
起始月薪
2850
2950
3050
2880
2755
2710
2890
3130
2940
3325
2920
2880
分位数
50%分位数
70%分位数
80%分位数
90%分位数
用电量
160
176
215
230
学生成绩
第一组
8
12
15
26
第二组
9
14
18
26
数据%
70≤x≤79
80≤x≤89
90≤x≤99
个数
800
1300
900
平均数
78.1
85
91.9
分组
频数
频率
合计
马克隆值
质量/ t
0.04
0.06
0.12
0.16
b
a
0.06
0.03
0.01
马克隆值
或
级别
价格（万元/t）
1.6
1.52
1.44
班级
人数
平均分数
方差
甲
20
2
乙
30
3
质量指标值分组
[75，85)
[85，95)
[95，105)
[105，115)
[115，125]
频数
6
26
38
22
8
项目
抽取成品数
样本均值
样本方差
A生产线产品
16
215
8
B生产线产品
20
212
13
分组
频率累计
频数
频率
[41.5，45.5)
2
0.045 5
[45.5，49.5)
7
0.159 1
[49.5，53.5)
8
0.181 8
[53.5，57.5)
16
0.363 6
[57.5，61.5)
5
0.113 6
[61.5，65.5)
4
0.090 9
[65.5，69.5)
2
0.045 5
168
165
171
167
170
165
170
152
175
174
165
170
168
169
171
166
164
155
164
158
170
155
166
158
155
160
160
164
156
162
160
170
168
164
174
171
165
179
163
172
180
174
173
159
163
172
167
160
164
169
151
168
158
168
176
155
165
165
169
162
177
158
175
165
169
151
163
166
163
167
178
165
158
170
169
159
155
163
153
155
167
163
164
158
168
167
161
162
167
168
161
165
174
156
167
166
162
161
164
166
分 组
频数
频率
[150.5,153.5)
4
0.04
0.013
[153.5,156.5)
8
0.08
0.027
[156.5,159.5)
8
0.08
0.027
[159.5,162.5)
11
0.11
0.037
[162.5,165.5)
22
0.22
0.073
[165.5,168.5)
19
0.19
0.063
[168.5,171.5)
14
0.14
0.047
[171.5,174.5)
7
0.07
0.023
[174.5,177.5)
4
0.04
0.013
[177.5,180.5)
3
0.03
0.010
合 计
100
1
0.333
分组
频数
频率
3
0.06
8
0.16
9
0.18
11
0.22
10
0.2
5
0.1
4
0.08
合计
50
1
3.1
2.5
2.0
2.0
1.5
1.0
1.6
1.8
1.9
1.6
3.4
2.6
2.2
2.2
1.5
1.2
0.2
0.4
0.3
0.4
3.2
2.7
2.3
2.1
1.6
1.2
3.7
1.5
0.5
3.8
3.3
2.8
2.3
2.2
1.7
1.3
3.6
1.7
0.6
4.1
3.2
2.9
2.4
2.3
1.8
1.4
3.5
1.9
0.8
4.3
3.0
2.9
2.4
2.4
1.9
1.3
1.4
1.8
0.7
2.0
2.5
2.8
2.3
2.3
1.8
1.3
1.3
1.6
0.9
2.3
2.6
2.7
2.4
2.1
1.7
1.4
1.2
1.5
0.5
2.4
2.5
2.6
2.3
2.1
1.6
1.0
1.0
1.7
0.8
2.4
2.8
2.5
2.2
2.0
1.5
1.0
1.2
1.8
0.6
2.2
分组
频数
频率
4
0.04
8
0.08
15
0.15
22
0.22
25
0.25
14
0.14
6
0.06
4
0.04
2
0.02
合计
100
1.00
成绩/分
[50，60）
[60，70）
[70，80）
[80，90）
[90，100]
频数
2
9
a
b
6
分组
频数
频率
4
25
30
29
10
2
合计
100
分组
频数
频率
4
25
30
29
10
合计
分组
[122,126)
[126,130)
[130,134)
[134,138)
[138,142)
人数
5
8
10
22
33
分组
[142,146)
[146,150)
[150,154)
人数
20
11
6
5
分组
频数
频率
[122,126)
5
0.04
0.01
[126,130)
8
0.07
0.0175
[130,134)
10
0.08
0.02
[134,138)
22
0.18
0.045
[138,142)
33
0.28
0.07
[142,146)
20
0.17
0.0425
[146,150)
11
0.09
0.0225
[150,154)
6
0.05
0.0125
[154,158)
5
0.04
0.01
合计
120
1
0.25
分 组
频数
频率
合 计
使用
寿命
频数
30
20
频率
0.2
0.4
使用
寿命
频数
20
30
40
80
20
10
频率
0.1
0.15
0.2
0.4
0.1
0.05
认可度等级
频数
频率
级
18
0.3
级
24
0.4
级
级
日期
最低气温
分组
频数
频率
文学类
理化类
数学类
社会科学类
信息类
杆数
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
选手数
1
2
5
3
8
17
20
31
22
21
10
杆数
频数
频率
总计
毕业生
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
起始月薪
2850
2950
3050
2880
2755
2710
2890
3130
2940
3325
2920
2880
分位数
50%分位数
70%分位数
80%分位数
90%分位数
用电量
160
176
215
230
学生成绩
第一组
8
12
15
26
第二组
9
14
18
26
数据%
70≤x≤79
80≤x≤89
90≤x≤99
个数
800
1300
900
平均数
78.1
85
91.9
分组
频数
频率
合计
马克隆值
质量/ t
0.04
0.06
0.12
0.16
b
a
0.06
0.03
0.01
马克隆值
或
级别
价格（万元/t）
1.6
1.52
1.44
班级
人数
平均分数
方差
甲
20
2
乙
30
3
质量指标值分组
[75，85)
[85，95)
[95，105)
[105，115)
[115，125]
频数
6
26
38
22
8
质量指标值分组
[75，85)
[85，95)
[95，105)
[105，115)
[115，125]
频数
6
26
38
22
8
0.006
0.026
0.038
0.022
0.008
项目
抽取成品数
样本均值
样本方差
A生产线产品
16
215
8
B生产线产品
20
212
13
本节课知识点目录：
制作频率分布直方图
频率分布直方图的应用。
折线图、条形图、扇形图及其应用。
百分位数的计算
众数、中位数、平均数的计算
频率分布直方图中的众数、中位数、平均数
方差、标准差的计算与应用
统计图表与方差、标准差的综合应用
、制作频率分布直方图
作频率分布直方图的步骤
(1)求极差：极差为一组数据中最大值与最小值的差．
(2)决定组距与组数
将数据分组时，一般取等长组距，并且组距应力求“取整”，组数应力求合适，以使数据的分布规律能较清楚地呈现出来．
(3)将数据分组
(4)列频率分布表
各小组的频率＝eq \f(小组频数,样本容量).
(5)画频率分布直方图
纵轴表示eq \f(频率,组距)，eq \f(频率,组距)实际上就是频率分布直方图中各小长方形的高度，小长方形的面积＝组距×eq \f(频率,组距)＝频率．
【典型例题】
【例1】为考查某校高二男生的体重，随机抽取44名高二男生，实测体重数据(单位：kg)如下：
57，61，57，57，58，57，61，54，68，51，49，64，50，48，65，52，56，46，54，49，51，47，55，55，54，42，51，56，55，51，54，51，60，62，43，55，56，61，52，69，64，46，54，48
将数据进行适当的分组，并画出相应的频率分布直方图．
【例2】从某校高一年级的1002名新生中用简单随机抽样的方法抽取一个容量为100的身高样本，数据(单位：cm)如下表所示：
试作出该样本的频率直方图.
【例3】，9；，11；，10；，5；，4.
【例4】通过抽样，我们获得了100位居民某年的月平均用水量（单位：t），如下表：
试用频率直方图分析该地居民月平均用水量的分布情况.
【对点实战】
1.某校从参加某次知识竞赛测试的学生中随机抽出名学生，将其成绩(百分制)(均为整数)分成六段，…后得到如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，求分数在内的频率，并补全这个频率分布直方图.
2.某校从全体教师中抽取了50位教师参加教育部门组织的知识竞赛，根据这50位教师的竞赛成绩（满分100分）制作了如图所示的频数分布表与部分频率分布直方图．
求a，b，
补全频率分布直方图；
3.生产过程中，测得纤维产品的纤度(表示纤细的一种量)，共有100个数据，将数据分组如下表：
完成频率分布表，
画出频率分布直方图；
二、频率分布直方图的应用
频率分布直方图的性质
①因为小矩形的面积＝组距×eq \f(频率,组距)＝频率，所以各小矩形的面积表示相应各组的频率．这样，频率分布直方图就以面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小．
②在频率分布直方图中，各小矩形的面积之和等于1.
③eq \f(频数,相应的频率)＝样本容量．
【典型例题】
【例1】为了了解高一年级学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图所示)，图中从左到右各小长方形面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小组的频数为12．
(1)第二小组的频率是多少？样本量是多少？
(2)若次数在110以上(含110次)为达标，则该校全体高一年级学生的达标率是多少？
(3)样本中不达标的学生人数是多少？
(4)第三组的频数是多少？
【例2】从某校500名12岁男孩中用简单随机抽样的方法抽取一个容量为120的身高(单位：cm)样本，具体数据如下表所示：
(1)列出频率分布表；(2)画出频率直方图；(3)画出频率折线图；
(4)估计身高小于134cm的人数占总人数的百分比.
【例3】根据中国银行的外汇牌价，第一季度的个工作日中，欧元的现汇买入价（欧元的外汇可兑换人民币）的分组和各组的频数如下：
，；，；，；，；，；，；，.
(1)列出欧元的现汇买入价的频率分布表；
(2)估计欧元的现汇买入价在内的频率；
(3)若欧元的现汇买入价不超过的频率的为，求.
【例4】某工厂对200个电子元件的使用寿命进行检查，按照使用寿命（单位：h），可以把这批电子元件分成第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，第六组.由于工作中不慎将部分数据丢失，现有以下部分图表：
(1)求图2中A的值；
(2)补全图2频率分布直方图，并求图2中阴影部分的面积；
(3)为了某次展销会，用分层抽样的方法在寿命位于内的产品中抽取5个作为样本，那么在内应抽取多少个？
【例5】某校为了解高一期末数学考试的情况，从高一的所有学生数学试卷中随机抽取n份试卷进行成绩分析，得到数学成绩频率分布直方图（如图所示），其中成绩在的学生人数为6.
（1）求直方图中的值；
（2）求的值；
（3）试根据样本估计“该校高一学生期末数学考试成绩70”的概率.
【对点实战】
1.某学校高三年级有400名学生参加某项体育测试，根据男女学生人数比例，使用分层随机抽样的方法从中抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：，，…，，整理得到如下频率分布直方图；
（1）若该样本中男生有55人，试估计该学校高三年级女生总人数；
（2）若规定小于60分为“不及格”，从该学校高三年级学生中随机抽取一人，估计该学生不及格的概率；
2.为了了解某地高中学生的体能状况，抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图如图．为提高本地学生的身体素质，教育主管部门要求，每分钟跳绳不超过120次的学生，需要增加平时体育锻炼的时间．
（1）求x值；
（2）若该地区有6000名高中学生，估计其中需要增加平时体育锻炼时间的人数．
3.某校从高一年级学生中随机抽取名学生作为样本，将他们的期中考试数学成绩（满分分，成绩均为不低于分的整数）分成六组：，，…，后得到如图的频率分布直方图．
（1）求图中实数的值；
（2）若该校高一年级共有学生人，试估计该校高一年级在考试中成绩不低于分的人数；
（3）样本中数学成绩在与两个分数段内的学生人数分别为多少？
4.一研究所为帮助某地脱贫致富，引进一种新的水果进行种植.该研究所随机抽取了高度在(单位：)的50棵水果进行研究，得到其高度的频率分布直方图(如图所示).
（1）求的值；.
（2）经研究，水果高度在的经济效益最好，若已知该地种植该水果约为10万棵，试根据直方图信息估计高度在的植物数量.
三、折线图、条形图、扇形图及应用
1.条形图是用一个单位长度表示一定的数量或频率，根据数量的多少或频率的大小画成长短不同的矩形条，条形图能清楚地表示出每个项目的具体数目或频率．
2.扇形图是用整个圆面积表示总数(100%)，用圆内的扇形面积表示各个部分所占总数的百分数．
3.在画折线图时，要注意明确横轴、纵轴的实际含义．
【典型例题】
【例1】郫都是中国农家乐旅游发源地、最美中国生态旅游目的地，是四川省乡村旅游的先行者，快工作慢生活，构成了安逸郫都最靓丽的风景线.郫都大部分农民都有自己的苗圃，也不断改进种植花卉苗木的技术．改进后，某种苗木在单位面积上的出苗数量增加了50%，且在同一生长周期内的高度（cm）变化的饼图如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．80cm以上优质苗木所占比例增加10%
B．改进后，80cm以上优质苗木产量实现了增加80%的目标
C．70cm-80cm的苗木产量没有变化
D．70cm以下次品苗木产量减少了
【例2】某食品公司为了调查消费者对某款新食品的认可情况，随机抽取了100位消费者进行食品认可度（共设，，，四个等级）的调查，每位被调查的消费者均对该食品认可度等级进行了评定，调查的结果如下图（表）：
男性消费者
(1)求，，的值，并求被调查者中，认可度等级为级的女性消费者人数；
(2)公司计划按性别采用分层抽样的方法从认可度等级为级或级的消费者中选取11人派送礼品，分别求被选中的男性消费者人数和女性消费者人数．
【例3】．如图所示是根据某市月日至月日的最低气温（单位：）的情况绘制的折线统计图，试根据折线统计图反映的信息，绘制该市月日到日最低气温（单位：）的扇形统计图和条形统计图.
【例4】小明同学因发热而住院，下图是根据护士为他测量的体温所绘制的体温折线图．
根据图中的信息，回答以下问题：
(1)护士每隔几小时给小明测量一次体温？
(2)近三天来，小明的最高体温、最低体温分别是多少？
(3)从体温看，小明的病情是在恶化还是在好转？
(4)如果连续36小时体温不超过37.2摄氏度的话，可认为基本康复，那么小明最快什么出院？
【例5】为了丰富校园文化生活，某校计划在午间校园广播台播放“百家讲坛”的部分内容．为了了解学生的喜好，抽取若干名学生进行问卷调查(每人只选一项内容)，整理调查结果，绘制统计图如图所示．
请根据统计图提供的信息回答以下问题：
(1)求抽取的学生数；
(2)若该校有3 000名学生，估计喜欢收听易中天《品三国》的学生人数；
(3)估计该校喜欢收听刘心武评《红楼梦》的女学生人数约占全校学生人数的百分比．
【例6】根据以往的成绩记录，甲射击击中目标靶的环数的频率分布情况如图所示．
(1)求图中a的值；
(2)求甲命中环数大于7的频率．
【例7】某手机店根据手机销售的相关数据绘制了两幅统计图．来自该店财务部的数据报告表明，该手机店 月的手机销售总额一共是万元.请根据图①、图②解答下列问题：
（1）该手机店三月份的销售额为多少万元？
（2）该店一月份音乐手机的销售额为多少万元?
（3）小刚观察图②后，认为四月份音乐手机的销售额比三月份减少了，你同意他的看法吗?请说明理由．
【对点实战】
1.200名学生参与研究性学习，每人仅参加1个课题组．其中参加文学类的有33人，参加理化类的有30人，参加数学类的有62人，参加社会科学类的有47人，参加信息类的有28人．
(1)列出学生参加各类课题组的频率分布表并作出相应的扇形统计图；
(2)画出条形统计图．
2.有140位选手参加高尔夫球赛，他们的成绩统计如下：
(1)列出频率分布表；
(2)画出条形统计图．
3.下面是从某镇抽取的50户家庭一年中12个月的用电量的统计图表，试根据图表说明：
(1)一年中这50户家庭月用电高峰是哪几个月？用电低谷是哪几个月？并解释可能的原因.
(2)有几个月用电总量为7000度？
4.高一年级期末考试成绩各分数段：，，，，的频率分布如下图．
（1）计算高一年级所有同学成绩的中位数；
（2）若高一年级有1000人，把成绩从低到高编号，用系统抽样的方法从中抽取一个容量为20的样本，其中一个个体的编号为63，请写出抽样在之间的个体的编号．
四、百分位数的计算
1．第p百分位数的定义：
一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值．
2．计算一组n个数据的第p百分位数的一般步骤如下：
第1步，按从小到大排列原始数据．
第2步，计算i＝n×p%.
第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数．
3．四分位数
25%,50%,75%这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数，其中第25百分位数也称为第一四分位数或下四分位数，第75百分位数也称为第三四分位数或上四分位数．
【典型例题】
【例1】数据1，2，3，4，5，6，7，8，9的70％分位数为（ ）
A．6B．7C．6.5D．6或7
【例2】已知一组数据：125，121，123，125，127，129，125，128，130，129，126，124，125，127，126.则这组数据的第25百分位数和第80百分位数分别是（ ）
A．125 128B．124 128C．125 129D．125 128.5
【例3】某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间[5,40]中，其频率分布直方图如图所示.估计棉花纤维的长度的样本数据的80%分位数是（ ）
A．28 mmB．28.5 mm
C．29 mmD．29.5 mm
【例4】下列关于分位数的说法正确的是 （ ）
A．分位数不是中位数
B．总体数据中的任意一个数小于它的可能性一定是
C．它是四分位数
D．它只适用于总体是离散型的数据
【例5】下表为12名毕业生的起始月薪：
根据表中所给的数据计算75%分位数为（ ）
A．2950B．3050C．3130D．3000
【例6】从800件产品中抽取6件进行质检，利用随机数表法抽取样本时，先将800件产品按001，002，…，800进行编号．如果从随机数表第8行第8列的数8开始往右读数（随机数表第7行至第9行的数如下），则抽取的6件产品的编号的75%分位数是（ ）
……
8442175331 5724550688 77047447672176335025 8392120676
6301637859 1695566711 69105671751286735807 4439523879
3321123429 7864560782 52420744381551001342 9966027954
A．105B．556C．671D．169
【对点实战】
1.某地区想实行阶梯电价，经调查发现，该地区居民用电量信息如下：
如果要求约70%的居民用电在第一阶梯内，约20%的居民用电在第二阶梯内，可确定第二阶梯电价的用电量范围为（ ）A．B．C．D．
2.以下数据为参加数学竞赛决赛的15人的成绩：56，70，72，78，79，80，81，83，84，86，88，90，91，94，98，则这15人成绩的70%分位数是（ ）
A．86B．87C．88D．89
辽宁省大连市2021-2022学年高一上学期期末数学试题
3.某地一年之内12个月的降水量从小到大分别为：46，48，51，53，53，56，56，56，58，64，66，71，则该地区的月降水量20%分位数和75%分位数为（ ）
A．51，58B．51，61C．52，58D．52，61
4.某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是，样本数据分组为，，，，．根据频率分布直方图，估计这200名学生每周的自习时间数据的第30百分位数为（ ）
A．22B．21.25C．22.5D．25
5.对某种电子元件使用寿命跟踪调查，所得样本的频率分布直方图如图.由图可知，这一批电子元件中寿命的分位数为（ ）
A．B．C．350D．
五、众数、中位数、平均数的计算
1．众数：一组数据中出现次数最多的数．
2．中位数：把一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，处在中间位置的数(或中间两个数的平均数)叫做这组数据的中位数．
3．平均数：如果n个数x1，x2，…，xn，那么eq \x\t(x)＝eq \f(1,n)(x1＋x2＋…＋xn)叫做这n个数的平均数．
【典型例题】
【例1】甲、乙两组数的数据如下所示，则这两组的平均数、极差及中位数相同的是（ ）
甲组：5，12，16，21，25，37；
乙组：1，6，14，18，38，39.
A．极差B．中位数
C．平均数D．都不相同
【例2】．位参加百米半决赛同学的成绩各不相同，按成绩取前位进入决赛.如果小刘知道了自己的成绩后，要判断他能否进入决赛.则其他位同学成绩的下列数据中，能使他得出结论的是（ ）
A．平均数B．极差
C．中位数D．以上都不对
【例3】某校组织全体学生参加了主题为“奋斗百年路，启航新征程”的知识竞赛，随机抽取了100名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组的取值区间均为左闭右开区间），画出频率分布直方图（如图），下列说法不正确的是（ ）
A．在被抽取的学生中，成绩在区间内的学生有10人
B．这100名学生成绩的众数为85
C．估计全校学生成绩的平均分数为75
D．这100名学生成绩的中位数为
【例4】如图所示的表格记录了高三（1）班第一组和第二组各五名学生在一次英语听力测试训练中的成绩（单位：分），若这两组数据的中位数均为15，平均值相等，则（ ）
A．36B．6C．26D．16
【例5】有4万个不小于70的两位数，从中随机抽取了3000个数据，统计如下：
请根据表格中的信息，估计这4万个数据的平均数为（ ）A．92.16B．85.23C．84.73D．77.97
【例6】已知样本，，，，的平均数为，样本，，，的平均数为（），若样本，，，，，，，的平均数，其中，则n，m的大小关系为（ ）
A．B．C．D．不能确定
【例7】为庆祝中国共产党成立100周年，甲、乙、丙三个小组进行党史知识竞赛，每个小组各派5位同学参赛，若该组所有同学的得分都不低于7分，则称该组为“优秀小组”（满分为10分且得分都是整数），以下为三个小组的成绩数据，据此判断，一定是“优秀小组”的是（ ）
甲：中位数为8，众数为7
乙：中位数为8，平均数为8.4
丙：平均数为8，方差小于2
A．甲B．乙C．丙D．无法确定
【对点实战】
1.已知数据：①18，32，，14，8，12；②21，4，7，14，，11；③5，4，6，5，4，3，1，4；④，3，1，0，0，．其中平均数与中位数相等的是数据（ ）
A．①B．②C．③D．①②③④
2.郑州地铁1号线的开通运营，极大方便了市民的出行．某时刻从二七广场站驶往博学路站的过程中，10个车站上车的人数统计如下：70，60，60，60，50，40，40，30，30，10．这组数据的平均数，众数，90%分位数的和为（ ）
A．125B．135C．165D．170
3.．已知一组数据10，30，50，50，60，70，80，其平均数、中位数和众数的大小关系是（ ）
A．平均数>中位数>众数B．平均数<中位数<众数
C．中位数<众数<平均数D．众数=中位数=平均数
4.已知一组数据为20，30，40，50，50，50，70，80，其平均数、第60百分位数和众数的大小关系是（ ）
A．平均数＝第60百分位数＞众数B．平均数＜第60百分位数＝众数
C．第60百分位数＝众数＜平均数D．平均数＝第60百分位数＝众数
5.已知数据x1，x2，x3，x4的平均数为4，则数据3x1＋2，3x2＋2，3x3＋2，3x4＋2的平均数为（ ）
A．4B．8C．12D．14
6.某校组织全体学生参加了主题为“建党百年，薪火相传”的知识竞赛，随机抽取了200名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．直方图中的值为0.004
B．在被抽取的学生中，成绩在区间[70，80）的学生数为15人
C．估计全校学生成绩的样本数据的80%分位数约为93分
D．估计全校学生的平均成绩为84分
7.已知一组数据10，5，4，2，2，2，，且这组数据的平均数与众数的和是中位数的2倍，则所有可能的取值为__________．
六、频率分布直方图中的众数、中位数、平均数的计算
1．样本平均数：可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形面积的乘积之和近似代替．
2．在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应相等．
3．将最高小矩形所在的区间中点作为众数的估计值．
【典型例题】
【例1】某公司为了解用户对其产品的满意程度，从A地区随机抽取了400名用户，从B地区随机抽取了100名用户，请用户根据满意程度对该公司产品评分，该公司将收集到的数据按照分组，绘制成评分频率分布直方图如图：
(1)求B地区用户对该公司产品的评分不低于60分的人数；
(2)求A地区用户对该公司产品的评分的众数、中位数；
(3)根据频率分布直方图，假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，估计A地区抽取的400名用户对该公司产品的评分的平均值为，B地区抽取的100名用户对该公司产品的评分的平均值为，以及A，B两个地区抽取的500名用户对该公司产品的评分的平均值为，试比较和的大小．（结论不要求证明）
【例2】新冠肺炎疫情期间，某市为了了解本地居民对当地防疫工作的满意度，从市居民中随机抽取若干居民进行评分（满分为100分），根据调查数据制成如下频率分布直方图，已知评分在的居民有2200人.
(1)求频率分布直方图中a的值及所调查的总人数；
(2)从频率分布直方图中，估计本次评测分数的众数和平均数（精确到0.1）；
(3)设该市居民为50万人，估计全市居民对当地防疫工作评分在85分以上的人数.
【例3】我国是世界上严重缺水的国家之一，为提倡节约用水，我市为了制定合理的节水方案，对家庭用水情况进行了调查，通过抽样，获得了2021年 100个家庭的月均用水量（单位：t），将数据按照[0，2），[2，4），[4，6），[6，8），[8，10]分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图.
(1)求全市家庭月均用水量不低于 4t的频率;
(2)假设同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替，求全市家庭月均用水量平均数的估计值（精确到0.01）;
(3)求全市家庭月均用水量的75%分位数的估计值（精确到0.01）.
【例4】从某学校随机抽取100名学生，测得他们的身高（单位：cm），按照区间，，，，分组，得到样本身高的频率分布直方图，如图所示.
(1)求频率分布直方图中x的值；
(2)估计该校学生身高的平均数（每组数据以区间中点值为代表）；
(3)估计该校学生身高的75%分位数.
【例5】治理沙漠离不开优质的树苗，现从苗圃中随机地抽测了200株树苗的高度（单位：cm），得到以下频率分布直方图.
(1)求直方图中a的值及众数､中位数；
(2)若树高185cm及以上是可以移栽的合格树苗.从样本中按分层抽样方法抽取20株树苗作进一步研究，不合格树苗､合格树苗分别应抽取多少株？
【对点实战】
1.为了了解高二学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数次测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图（如图），图中从左到右各小长方形面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3；第二小组频数为12.
(1)第二小组的频率是多少，样本容量是多少；
(2)若次数在110以上（含110次）为达标，试估计该学校全体高二学生的达标率是多少；
(3)在这次测试中，估计学生跳绳次数的众数和中位数､平均数各是多少.（结果均保留整数.）
2.对某校高三年级学生参加社区服务的次数进行统计，随机抽取M名学生，得到这M名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出如下频率分布表和频率分布直方图．
(1)求出表中，及图中a的值；
(2)若该校有高三学生人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间内的人数；
(3)估计该校高三学生参加社区服务次数的众数、中位数及平均数．
3.在技术人员的指导下，某棉花种植基地的棉花产量和质量均有大幅度地提升，已知该棉花种植基地今年产量为，技术人员随机抽取了棉花，测量其马克隆值（棉花的马克隆值是反映棉花纤维细度与成熟度的综合指标，是棉纤维重要的内在质量指标之一，与棉花价格关系密切），得到如下统计表及不完整的频率分布直方图．
(1)求表中的值，并补全频率分布直方图；
(2)根据频率分布直方图，估计样本的马克隆值的众数及中位数；
(3)根据马克隆值可将棉花分为三个等级，不同等级的棉花价格如下表所示：
用样本估计总体，估计该棉花种植基地今年的总产值．
4.某公司为了解员工对食堂的满意程度，对全体100名员工做了一次问卷调查，要求员工对食堂打分，将最终得分按，，，，，分成6段，并得到如图所示频率分布直方图.
（1）估计这100名员工打分的众数和中位数（保留一位小数）；
（2）现从，，这三组中用比例分配的分层随机抽样的方法抽取11个人，求这组抽取的人数.
七、方差、标准差的计算与应用
1．假设一组数据为x1，x2，…，xn，则这组数据的平均数eq \x\t(x)＝eq \f(x1＋x2＋…＋xn,n)，方差为s2＝eq \f(1,n)eq \i\su(i＝1,n, )(xi－eq \x\t(x))2，标准差s＝eq \r(\f(1,n)\i\su(i＝1,n, )xi－\x\t(x)2).
2．如果总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，总体平均数为eq \x\t(Y)，则称S2＝eq \f(1,N)eq \i\su(i＝1,N, )(Yi－eq \x\t(Y))2为总体方差，S＝eq \r(S2)为总体标准差．
如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi(i＝1,2，…，k)，则总体方差为S2＝eq \f(1,N)eq \i\su(i＝1,k,f)i(Yi－eq \x\t(Y))2.
3．如果一个样本中个体的变量值分别为y1，y2，…，yn，样本平均数为eq \x\t(y)，则称s2＝eq \f(1,n)eq \i\su(i＝1,n, )(yi－eq \x\t(y))2为样本方差，s＝eq \r(s2)为样本标准差．
4．标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小．
【典型例题】
【例1】．下列数字特征不能反映样本数据的分散程度、波动情况的是（ ）
A．极差B．平均数C．方差D．标准差
【例2】甲、乙两名同学参加了一次篮球比赛的全部7场比赛，平均每场得分都是16分，标准差分别为3.5和4.62，则甲、乙两名同学在这次篮球比赛中，发挥更稳定的是（ ）
A．甲B．乙C．甲、乙相同D．不能确定
【例3】在高一期中考试中，甲、乙两个班的数学成绩统计如下表：
其中，则两个班数学成绩的方差为（ ）A．3B．2
C．2.6D．2.5
【例4】设样本数据x1，x2，…，x2 020的方差为4，若yi＝2xi＋4(i＝1，2，…，2 020)，则y1，y2，…，y2 020的方差为（ ）
A．13B．14C．15D．16
【例5】某班有n位同学，统计一次数学测验的平均分与方差．在第一次计算时漏过了一位同学的成绩，算得位同学的平均分和方差分别为、，所以只好再算第二次，算得n位同学的平均分和方差分别为、，若已知该漏过了的同学的得分恰好为，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【例6】已知某5个数据的平均数为5，方差为3，现加入3、7两个数，此时这7个数据的平均数为，方差为，则（ ）
A．B．C．D．
【例7】如图所示是小王与小张二人参加某射击比赛的预赛的五次测试成绩的折线图，设小王与小张成绩的样本平均数分别为和，方差分别为和，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【例8】在某次测量中得到的样本数据如下：.若样本数据恰好是样本数据都加2后所得数据，则两样本的下列数字特征对应相同的是（ ）
A．众数B．平均数C．标准差D．中位数
【对点实战】
1.在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志是“连续10日，每天新增疑似病例不超过7人”，过去10日，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息如下：
甲地：总体平均数为3，中位数为4；
乙地：总体平均数为1，总体方差大于0；
丙地：总体平均数为2，总体方差为3；
丁地：中位数为2，众数为3；
则甲、乙、丙、丁四地中，一定没有发生大规模群体感染的是（ ）
A．甲地B．乙地C．丙地D．丁地
2.已知一组数据，，，…，的标准差为2，将这组数据，，，…，中的每个数先同时减去2，再同时乘以3，得到一组新数据，则这组新数据的标准差为（ ）
A．2B．4C．6D．
3.为庆祝中国共产党成立100周年，深入推进党史学习教育，某中学党支部组织学校初、高中两个学部的党员参加了全省教育系统的党史知识竞赛活动，其中初中部20名党员竞赛成绩的平均分为a，方差为2；高中部50名党员竞赛成绩的平均分为b，方差为．若a=b，则该学校全体参赛党员竞赛成绩的方差为（ ）
A．B．C．D．
4.若40个数据的平方和为56，平均数为，则这组数据的方差为________
5.设一组样本数据，，，的方差为0.01，则数据，，，的方差为______．
八、统计图表与方差、标准差的综合应用
【典型例题】
【例1】从甲、乙两名学生中选拔一人参加射击比赛，现对他们的射击水平进行测试，两人在相同条件下各射靶10次，每次命中的环数如下：
甲：7，8，6，8，6，5，9，10，7，4；
乙：9，5，7，8，7，6，8，6，7，7．你认为应该选哪名学生参加比赛？为什么？
【例2】从某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：
(1)根据上表补全所示的频率分布直方图；
(2)估计这种产品质量指标值的平均数、方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)及中位数(保留一位小数)；
(3)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？
【例3】某学校对高一某班的同学进行了身高（单位：）调查，将得到的数据进行适当分组后（每组为左闭右开区间），画出如图所示的频率分布直方图．
(1)求直方图中的值；
(2)估计全班同学身高的中位数；
(3)估计全班同学身高的平均数及方差．（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）
【例4】在一次高三年级统一考试中，数学试卷有一道满分为10分的选做题，学生可以从，两道题目中任选一题作答．某校有900名高三学生参加了本次考试，为了了解该校学生解答该选做题的得分情况，计划从900名学生的选做题成绩中随机抽取一个容量为10的样本，为此将900名学生的选做题的成绩随机编号为001，002，，900．
(1)若采用随机数法抽样，并按照以下随机数表，以方框内的数字5为起点，从左向右依次读数，每次读取三位随机数，一行数读完之后接下一行左端写出样本编号的中位数．
05 26 93 70 60 22 35 85 15 13 92 03 51 59 77
59 56 78 06 83 52 91 05 70 74 07 97 10 88 23
09 98 42 99 64 61 71 62 99 15 06 1 29 16 93
58 05 77 09 51 51 26 87 85 85 54 87 66 47 54
73 32 08 11 12 44 95 92 63 16 29 56 24 29 48
26 99 61 65 53 58 37 78 80 70 42 10 50 67 42
32 17 55 85 74 94 44 67 16 94 14 65 52 68 75
87 59 36 22 41 26 78 63 06 55 13 08 27 01 50
15 29 39 39 43
(2)若采用分层随机抽样，按照学生选择题目或题目，将成绩分为两层，且样本中选择题目的成绩有8个，平均数为7，方差为4；样本中选择题目的成绩有2个，平均数为8，方差为1．试用样本估计该校900名学生的选做题得分的平均数与方差．
【例5】为研究男女学生在生活费支出（单位：元）上的差异，某中学在高一年级400名学生（其中男生220人，女生180人）中随机抽取22名男生与18名女生，统计他们的生活费支出，得到下面的结果：
男生：，；
女生：，；
试根据以上数据估计该校高一学生生活费支出的总体均值、总体方差.
【例6】某电池厂有A，两条生产线制造同一型号可充电电池．A，生产线的产量比为4：5．现采用分层抽样的方法从某天两条生产线上的成品中随机抽取样本，并测量产品可充电次数的均值及方差，结果如下：
试根据以上数据计算由36个产品组成的样本的方差，并估计总体方差．
【例7】某大学为了解学生对两家餐厅的满意度情况，从在两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了100人，每人分别对这两家餐厅进行满意指数打分（满意指数是指学生对餐厅满意度情况的打分，分数设置为分.根据打分结果按，分组，得到如图所示的频率分布直方图，其中餐厅满意指数在中有30人.
(1)求餐厅满意指数频率分布直方图中的值；
(2)利用样本估计总体的思想，估计餐厅满意指数和餐厅满意指数的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间中点值作代表）；
参考公式：，其中为的平均数，分别为对应的频率.
(3)如果一名新来同学打算从两家餐厅中选择一个用餐，你建议选择哪个餐厅？说明理由.
9.2-用样本估计总体-
-----典例精讲
本节课知识点目录：
制作频率分布直方图
频率分布直方图的应用。
折线图、条形图、扇形图及其应用。
百分位数的计算
众数、中位数、平均数的计算
频率分布直方图中的众数、中位数、平均数
方差、标准差的计算与应用
统计图表与方差、标准差的综合应用
、制作频率分布直方图
作频率分布直方图的步骤
(1)求极差：极差为一组数据中最大值与最小值的差．
(2)决定组距与组数
将数据分组时，一般取等长组距，并且组距应力求“取整”，组数应力求合适，以使数据的分布规律能较清楚地呈现出来．
(3)将数据分组
(4)列频率分布表
各小组的频率＝eq \f(小组频数,样本容量).
(5)画频率分布直方图
纵轴表示eq \f(频率,组距)，eq \f(频率,组距)实际上就是频率分布直方图中各小长方形的高度，小长方形的面积＝组距×eq \f(频率,组距)＝频率．
【典型例题】
【例1】为考查某校高二男生的体重，随机抽取44名高二男生，实测体重数据(单位：kg)如下：
57，61，57，57，58，57，61，54，68，51，49，64，50，48，65，52，56，46，54，49，51，47，55，55，54，42，51，56，55，51，54，51，60，62，43，55，56，61，52，69，64，46，54，48
将数据进行适当的分组，并画出相应的频率分布直方图．
【答案】见解析
【分析】分析数据的极差，选择合适的组局，让组数在5－8组左右为宜，作出频率分布表，根据频率分布表作出频率分布直方图﹒
【详解】数据的极差为：69-42=27，所以可以4为组距，将数据分为8组，列表如下：
【例2】从某校高一年级的1002名新生中用简单随机抽样的方法抽取一个容量为100的身高样本，数据(单位：cm)如下表所示：
试作出该样本的频率直方图.
【答案】答案见解析
【分析】根据表中数据列出频率分布表，进而可作出频率直方图和频率折线图，即求.
【详解】由上表可知频率分布表如下：
频率直方图如图1所示：
【例3】，9；，11；，10；，5；，4.
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）根据已知数据可得频率分布表；
（2）根据频率分布表即可画出频率直方图
(1)
根据已知数据可得频率分布表如下：
(2)
频率分布直方图如下：
【例4】通过抽样，我们获得了100位居民某年的月平均用水量（单位：t），如下表：
试用频率直方图分析该地居民月平均用水量的分布情况.
【答案】答案见解析
【分析】根据数据计算极差确定组距和组数，再得到频率分布表，画出频率分布直方图，根据直方图得到答案.
【详解】计算极差：；将组距取为，则，取组数为；
将数据分为：，
则得到频率分布表：
画出频率分布直方图：
根据频率分布直方图：
用水量在的居民最少；
多数居民的用水量在之间；
用水量在的居民最多.
【对点实战】
1.某校从参加某次知识竞赛测试的学生中随机抽出名学生，将其成绩(百分制)(均为整数)分成六段，…后得到如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，求分数在内的频率，并补全这个频率分布直方图.
【答案】分数在内的频率为，频率分布直方图答案见解析.
【分析】根据频率分布直方图小矩形面积为即可求出x，则为矩形的高，进而补出图形.
【详解】设分数在内的频率为，根据频率分布直方图，则有：，解得，分数在内的频率为.
频率分布直方图如图所示：
2.某校从全体教师中抽取了50位教师参加教育部门组织的知识竞赛，根据这50位教师的竞赛成绩（满分100分）制作了如图所示的频数分布表与部分频率分布直方图．
求a，b，
补全频率分布直方图；
【答案】a＝13，b＝20，（2）．表格见解析；
【分析】由频率、频数与样本容量的关系易求得a，b的值，再利用表中数据即可补全频率分布直方图；
【详解】解：（1）由频率、频数与样本容量的关系易求得频数a＝50×0.026×10＝13，b＝50﹣2﹣9﹣13﹣6＝20，
补全的频率分布直方图如下：
3.生产过程中，测得纤维产品的纤度(表示纤细的一种量)，共有100个数据，将数据分组如下表：
完成频率分布表，
画出频率分布直方图；
【答案】（答案见解析；
【分析】根据题意，由频率与频数的关系，计算可得各组的频率，进而可以做出频率分布表，结合分布表，进而可以做出频率分步直方图；
【详解】频率分布表如下：
频率分布直方图如图所示.
二、频率分布直方图的应用
频率分布直方图的性质
①因为小矩形的面积＝组距×eq \f(频率,组距)＝频率，所以各小矩形的面积表示相应各组的频率．这样，频率分布直方图就以面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小．
②在频率分布直方图中，各小矩形的面积之和等于1.
③eq \f(频数,相应的频率)＝样本容量．
【典型例题】
【例1】为了了解高一年级学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图所示)，图中从左到右各小长方形面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小组的频数为12．
(1)第二小组的频率是多少？样本量是多少？
(2)若次数在110以上(含110次)为达标，则该校全体高一年级学生的达标率是多少？
(3)样本中不达标的学生人数是多少？
(4)第三组的频数是多少？
【答案】(1)0.08，150；
(2)88%；
(3)18；
(4)51.
【分析】频率分布直方图以面积的形式反映数据落在各小组内的频率大小，所以计算面积之比即为所求小组的频率.可用此方法计算（1），（2），由公式直接计算可得（1）中样本容量；根据（2）问中的达标率，可计算不达标率，从而求出不达标人数，可得（3）；单独计算第三组的频率，由公式计算频数，可求出（4）.
(1)
频率分布直方图以面积的形式反映数据落在各小组内的频率大小，因此第二小组的频率为＝0.08．
所以样本容量＝＝150.
(2)
由直方图可估计该校高一年级学生的达标率为×100%＝88%.
(3)
由（1）（2）知达标率为88%，样本量为150，不达标的学生频率为1－0.88＝0.12．
所以样本中不达标的学生人数为150×0.12＝18(人)．
(4)
第三小组的频率为＝0.34．
又因为样本量为150，
所以第三组的频数为150×0.34＝51．
【例2】从某校500名12岁男孩中用简单随机抽样的方法抽取一个容量为120的身高(单位：cm)样本，具体数据如下表所示：
(1)列出频率分布表；(2)画出频率直方图；(3)画出频率折线图；
(4)估计身高小于134cm的人数占总人数的百分比.
【答案】(1)频率分布表见解析(2)频率直方图见解析(3)频率折线图见解析(4)19%
【分析】(1)根据所给数据列出频率分布表；(2)由频率分布表画出频率分布直方图；
(3)由频率分布直方图画出频率分布折线图(4)由频率分布表可得身高小于134 cm的学生的频率；
(1)频率分布表如下表所示：
(2)
(3)
(4)
由频率分布表可知身高小于134cm的男孩出现的频率为0.04＋0.07＋0.08＝0.19，所以身高小于134cm的人数约占总人数的19%.
【例3】根据中国银行的外汇牌价，第一季度的个工作日中，欧元的现汇买入价（欧元的外汇可兑换人民币）的分组和各组的频数如下：
，；，；，；，；，；，；，.
(1)列出欧元的现汇买入价的频率分布表；
(2)估计欧元的现汇买入价在内的频率；
(3)若欧元的现汇买入价不超过的频率的为，求.
【答案】(1)频率分布表见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据题中信息可列出频率分布表；
（2）根据频率分布表可计算出欧元的现汇买入价在内的频率；
（3）分析得出，根据题意列出关于的等式，即可解得的值.
(1)
解：欧元的现汇买入价的频率分布表如下：
(2)
解：估计欧元的现汇买入价在内的频率约为.
(3)
解：因为，，
所以，，且有，解得.
【例4】某工厂对200个电子元件的使用寿命进行检查，按照使用寿命（单位：h），可以把这批电子元件分成第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，第六组.由于工作中不慎将部分数据丢失，现有以下部分图表：
(1)求图2中A的值；
(2)补全图2频率分布直方图，并求图2中阴影部分的面积；
(3)为了某次展销会，用分层抽样的方法在寿命位于内的产品中抽取5个作为样本，那么在内应抽取多少个？
【答案】(1)
(2)频率分布直方图答案见解析，阴影部分的面积为
(3)
【分析】（1）根据题意得到，解得答案.
（2）补全表格，画出频率分布直方图并计算面积得到答案.
（3）根据分层抽样的比例关系得到答案.
(1)
由题意可知，所以.
(2)
补全后的频率分布直方图如图所示，
阴影部分的面积为.
(3)
由分层抽样的性质，知在内应抽取.
【例5】某校为了解高一期末数学考试的情况，从高一的所有学生数学试卷中随机抽取n份试卷进行成绩分析，得到数学成绩频率分布直方图（如图所示），其中成绩在的学生人数为6.
（1）求直方图中的值；
（2）求的值；
（3）试根据样本估计“该校高一学生期末数学考试成绩70”的概率.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【分析】（1）由频率分布直方图的高之和为组距分之一，即可得出结果；
（2）根据样本容量、总体与频率之间的关系计算即可得出结果；
（3）用总面积1减去左边2个矩形的面积即可.
【详解】解：（1）由频率分布直方图的性质得：
，
解得.
（2）∵成绩在的学生人数为6，
由频率分布直方图得成绩在的学生所占频率为：，
∴.
（3）根据样本估计“该校高一学生期末数学考试成绩70”的概率：
.
【对点实战】
1.某学校高三年级有400名学生参加某项体育测试，根据男女学生人数比例，使用分层随机抽样的方法从中抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：，，…，，整理得到如下频率分布直方图；
（1）若该样本中男生有55人，试估计该学校高三年级女生总人数；
（2）若规定小于60分为“不及格”，从该学校高三年级学生中随机抽取一人，估计该学生不及格的概率；
【答案】（1）180；（2）该学生不及格的概率约为0.1.
【分析】（1）利用分层抽样的特点，即按比例抽取，求解即可；（2）由频率分布直方图，求出样本中及格的频率，进而得到不及格的频率即不及格概率的估值.
【详解】（1）样本的女生人数为：（人）
高三年级中女生人数为：（人）
（2）由直方图知，样本中及格的频率为：
样本中不及格的频率为
从高三年级中随机地抽取一人，该学生不及格的概率约为0.1
2.为了了解某地高中学生的体能状况，抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图如图．为提高本地学生的身体素质，教育主管部门要求，每分钟跳绳不超过120次的学生，需要增加平时体育锻炼的时间．
（1）求x值；
（2）若该地区有6000名高中学生，估计其中需要增加平时体育锻炼时间的人数．
【答案】（1）0.019；（2）2700．
【分析】（1）由所有频率之和为1计算出值；
（2）由频率分布直方图求出每分钟跳绳不超过120次的频率后可得人数．
【详解】（1）由题意，解得；
（2）由频率分布直方图求出每分钟跳绳不超过120次的频率为，
需要增加平时体育锻炼时间的人数为．
3.某校从高一年级学生中随机抽取名学生作为样本，将他们的期中考试数学成绩（满分分，成绩均为不低于分的整数）分成六组：，，…，后得到如图的频率分布直方图．
（1）求图中实数的值；
（2）若该校高一年级共有学生人，试估计该校高一年级在考试中成绩不低于分的人数；
（3）样本中数学成绩在与两个分数段内的学生人数分别为多少？
【答案】（1）；（2）人；（3）有2人，有4人.
【分析】（1）由各组的频率之和为1，列方程求参数a；
（2）将分以上各组频率加总乘以总人数500，即可求考试中成绩不低于分的人数；
（3）将与的频率乘以样本容量，即可得与两个分数段内的学生人数.
【详解】（1）由题意知：，解得；
（2）由（1）知：成绩不低于分的人数为人；
（3）由题设，的人数为人，的人数为人
4.一研究所为帮助某地脱贫致富，引进一种新的水果进行种植.该研究所随机抽取了高度在(单位：)的50棵水果进行研究，得到其高度的频率分布直方图(如图所示).
（1）求的值；.
（2）经研究，水果高度在的经济效益最好，若已知该地种植该水果约为10万棵，试根据直方图信息估计高度在的植物数量.
【答案】（1）；（2）棵.
【分析】（1）利用小矩形的面积之和等于即可求解.
（2）求出高度落在的植物的频率，根据频率与样本总量即可求解.
【详解】解：（1），
解得.
（2）高度落在的植物的频率为，
高度在的植物数量为棵.
三、折线图、条形图、扇形图及应用
1.条形图是用一个单位长度表示一定的数量或频率，根据数量的多少或频率的大小画成长短不同的矩形条，条形图能清楚地表示出每个项目的具体数目或频率．
2.扇形图是用整个圆面积表示总数(100%)，用圆内的扇形面积表示各个部分所占总数的百分数．
3.在画折线图时，要注意明确横轴、纵轴的实际含义．
【典型例题】
【例1】郫都是中国农家乐旅游发源地、最美中国生态旅游目的地，是四川省乡村旅游的先行者，快工作慢生活，构成了安逸郫都最靓丽的风景线.郫都大部分农民都有自己的苗圃，也不断改进种植花卉苗木的技术．改进后，某种苗木在单位面积上的出苗数量增加了50%，且在同一生长周期内的高度（cm）变化的饼图如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．80cm以上优质苗木所占比例增加10%
B．改进后，80cm以上优质苗木产量实现了增加80%的目标
C．70cm-80cm的苗木产量没有变化
D．70cm以下次品苗木产量减少了
【答案】B
【分析】设改进前某种苗木在单位面积上的出苗数量为，改进后它的出苗数量为，则单位面积80cm以上的增加量为，70cm-80cm的苗木产量增加，70cm以下次品苗木产量减少了，即可判断结果．
【详解】设改进前某种苗木在单位面积上的出苗数量为，改进后它的出苗数量为，
则80cm以上优质苗木所占比例增加了，即故A错；
80cm以上优质苗木产量实现了增加了，即的目标，故B正确；
单位面积上70cm-80cm的苗木产量增加了，故C错；
70cm以下次品苗木产量减少了，故D错
故选：B．
【例2】某食品公司为了调查消费者对某款新食品的认可情况，随机抽取了100位消费者进行食品认可度（共设，，，四个等级）的调查，每位被调查的消费者均对该食品认可度等级进行了评定，调查的结果如下图（表）：
男性消费者
(1)求，，的值，并求被调查者中，认可度等级为级的女性消费者人数；
(2)公司计划按性别采用分层抽样的方法从认可度等级为级或级的消费者中选取11人派送礼品，分别求被选中的男性消费者人数和女性消费者人数．
【答案】(1)；；；认可度等级为级的女性消费者人数为14；
(2)被选中的男性消费者人数为7，女性消费者人数为4.
【分析】（1）利用频率的概念及性质可求，，的值，进而可得女性消费者人数，再结合条件即得；
（2）由题可得认可度等级为级或级的男性消费者及女性消费者人数，再利用分层抽样的概念即求.
(1)
由表可知，，即．
由题可得男性消费者人数为，
所以，，
被调查者中，女性消费者人数为，
故认可度等级为级的女性消费者人数为.
所以，，，认可度等级为级的女性消费者人数为14；
(2)
由题可知认可度等级为级或级的男性消费者有人，认可度等级为级或级的女性消费者有人，
从中选取11人，则被选中的男性消费者人数为，女性消费者人数为．
【例3】．如图所示是根据某市月日至月日的最低气温（单位：）的情况绘制的折线统计图，试根据折线统计图反映的信息，绘制该市月日到日最低气温（单位：）的扇形统计图和条形统计图.
【答案】答案见解析
【分析】列出该城市月日至月日的最低气温表（单位：），可作出扇形统计图与条形统计图.
【详解】该城市月日至月日的最低气温（单位：）情况如下表所示：
其中最低气温为的有天，占；最低气温为的有天，占；
最低气温为的有天，占；最低气温为的有天，占；
最低气温为的有天，占；最低气温为的有天，占.
扇形统计图如下图所示：
条形统计图如下图所示：
【例4】小明同学因发热而住院，下图是根据护士为他测量的体温所绘制的体温折线图．
根据图中的信息，回答以下问题：
(1)护士每隔几小时给小明测量一次体温？
(2)近三天来，小明的最高体温、最低体温分别是多少？
(3)从体温看，小明的病情是在恶化还是在好转？
(4)如果连续36小时体温不超过37.2摄氏度的话，可认为基本康复，那么小明最快什么出院？
【答案】(1)每隔6小时给小明测量一次体温；
(2)最高体温是39.5摄氏度，最低体温是36.8摄氏度；
(3)病情在好转；
(4)最快可以在9月10凌晨6时出院.
【分析】根据折线图横轴和纵轴表示的意义可得（1），（2），（3）的结果，由9月8日18时小明的体温是37摄氏度，且其后体温未超过37.2摄氏度，可推断小明最快出院时间为9月8日18时起后推36小时.
(1)
根据横轴表示的意义，可知护士每隔6小时给小明测量一次体温．
(2)
从折线统计图中的最高点和最低点对应的纵轴意义，可知最高体温是39.5摄氏度，最低体温是36.8摄氏度．
(3)
从图中可知小明的体温已经下降，并趋于稳定，因此病情在好转．
(4)
9月8日18时小明的体温是37摄氏度．其后的体温未超过37.2摄氏度，自9月8日18时起计算，连续36小时后对应的时间为9月10日凌晨6时．因此小明最快可以在9月10凌晨6时出院．
【例5】为了丰富校园文化生活，某校计划在午间校园广播台播放“百家讲坛”的部分内容．为了了解学生的喜好，抽取若干名学生进行问卷调查(每人只选一项内容)，整理调查结果，绘制统计图如图所示．
请根据统计图提供的信息回答以下问题：
(1)求抽取的学生数；
(2)若该校有3 000名学生，估计喜欢收听易中天《品三国》的学生人数；
(3)估计该校喜欢收听刘心武评《红楼梦》的女学生人数约占全校学生人数的百分比．
【答案】(1)300
(2)1060
(3)15%
【分析】(1)统计图中小矩形上方标的为学生人数，将所有人数相加即可；
(2)统计样本中喜欢收听易中天《品三国》的人数，算出占样本总数的比值，用该比值乘以3 000；
(3)统计样本中喜欢收听刘心武评《红楼梦》的女学生人数，用该数据除以300即可﹒
(1)
从统计图上可以看出，
喜欢收听于丹析《庄子》的男生有20人，女生有10人；
喜欢收听《故宫博物院》的男生有30人，女生有15人；
喜欢收听于丹析《论语》的男生有30人，女生有38人；
喜欢收听易中天《品三国》的男生有64人，女生有42人；
喜欢收听刘心武评《红楼梦》的男生有6人，女生有45人．
所以抽取的学生数为20＋10＋30＋15＋30＋38＋64＋42＋6＋45＝300(人)．
(2)
喜欢收听易中天《品三国》的男生有64人，女生有42人，共有106人，占所抽取总人数的比例为，
由于该校有3 000名学生，因此可以估计喜欢收听易中天《品三国》的学生有×3 000＝1 060(人)．
(3)
该校喜欢收听刘心武评《红楼梦》的女学生人数约占全校学生人数的比例为×100%＝15%．
【例6】根据以往的成绩记录，甲射击击中目标靶的环数的频率分布情况如图所示．
(1)求图中a的值；
(2)求甲命中环数大于7的频率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据频率分布直方图求解参数即可；
（2）根据频率直方图中的数据计算频率即可得出答案.
(1)
由题图得，解得
即图中a的值为0.06.
(2)
环数大于7的频率为8，9，10环所对频率的总和
由图知，8，9，10环对应的频率分别为0.45，0.29和0.01，
所以环数大于7的频率为0.45+0.29+0.01=0.75.
【例7】某手机店根据手机销售的相关数据绘制了两幅统计图．来自该店财务部的数据报告表明，该手机店 月的手机销售总额一共是万元.请根据图①、图②解答下列问题：
（1）该手机店三月份的销售额为多少万元？
（2）该店一月份音乐手机的销售额为多少万元?
（3）小刚观察图②后，认为四月份音乐手机的销售额比三月份减少了，你同意他的看法吗?请说明理由．
【答案】（1）60万元；（2）19.55万元；（3）不同意，理由见解析.
【分析】（1）三月份的销售额为销售总额减去1月、2月和4月的销售额之和；
（2）一月份音乐手机的销售额为1月份的销售额乘以23%即可；
（3）通过两图求出3、4月份的音乐手机销售额，然后比较
【详解】（1）由已知及图1知，3月份手机销售额为万元
（2）由图1及图2知，1月份音乐手机销售额为万元
（3）由图1及图2知，3月份音乐手机销售额为：万元
4月份音乐手机销售额为：万元
，4月份音乐手机销售额比3月份音乐手机销售额增加了，
所以不同意小刚的看法.
【对点实战】
1.200名学生参与研究性学习，每人仅参加1个课题组．其中参加文学类的有33人，参加理化类的有30人，参加数学类的有62人，参加社会科学类的有47人，参加信息类的有28人．
(1)列出学生参加各类课题组的频率分布表并作出相应的扇形统计图；
(2)画出条形统计图．
【答案】(1)答案见详解
(2)答案见详解
【分析】（1）根据频率频数样本容量即可求解.
（2）根据（1）中所列数据，然后以课题组为横轴，频数为纵轴，画条形图即可.
(1)
频率分布表如下：
扇形统计图如图（1）
(2)条形统计图如图（2）
2.有140位选手参加高尔夫球赛，他们的成绩统计如下：
(1)列出频率分布表；
(2)画出条形统计图．
【答案】(1)答案见详解
(2)答案见详解
【分析】（1）根据表中数据求出频率即可得出列出频率分布表.
（2）根据条形图的画法即可得出答案.
(1)
频率分布表如下：
(2)
条形统计图如下：
3.下面是从某镇抽取的50户家庭一年中12个月的用电量的统计图表，试根据图表说明：
(1)一年中这50户家庭月用电高峰是哪几个月？用电低谷是哪几个月？并解释可能的原因.
(2)有几个月用电总量为7000度？
【答案】(1)答案见解析；(2)4
【分析】（1）根据图1，得到7月和8月份的用电量高峰，1月、3月和12月份的用电低谷；
（2）根据图表中的数据，即可得到有4个月的用电量为7000度.
(1)
解：根据图1，可得7月和8月份的用电量高峰，由于天气气温高，大多用户使用空调降温，所以用电出现高峰；
其中1月、3月和12月份的用电低谷，由于冬季进行供暖，大多数用户的用电量下降，造成用电低谷.
(2)
解：根据图2可知，有4个月的用电量为7000度，分别为5月、6月、9月和11月.
4.高一年级期末考试成绩各分数段：，，，，的频率分布如下图．
（1）计算高一年级所有同学成绩的中位数；
（2）若高一年级有1000人，把成绩从低到高编号，用系统抽样的方法从中抽取一个容量为20的样本，其中一个个体的编号为63，请写出抽样在之间的个体的编号．
【答案】（1）110；（2）413，463，513，563，613，663．
【分析】（1）计算每一段中的数据个数，可得中位数在分数段内从低到高处，即可得到答案；
（2）由题意，两个相邻样本的编号差为，则可得抽样在分数段之间的个体的编号，即可得到答案；
【详解】（1）由题图可知，和分数段内的人数占总人数的40%，故中位数在分数段内从低到高处，故中位数为
（2）由题图可得分数段内有150人，分数段内有250人，分数段内有300人，
则分数段内的编号是从401到700，由题意，两个相邻样本的编号差为，则抽样在分数段之间的个体的编号为413，463，513，563，613，663．
四、百分位数的计算
1．第p百分位数的定义：
一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值．
2．计算一组n个数据的第p百分位数的一般步骤如下：
第1步，按从小到大排列原始数据．
第2步，计算i＝n×p%.
第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数．
3．四分位数
25%,50%,75%这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数，其中第25百分位数也称为第一四分位数或下四分位数，第75百分位数也称为第三四分位数或上四分位数．
【典型例题】
【例1】数据1，2，3，4，5，6，7，8，9的70％分位数为（ ）
A．6B．7C．6.5D．6或7
【答案】B
【分析】根据百分位数的定义即可求解.
【详解】数据共有9个，，所以分位数为第7个数，即7，
故选：B
【例2】已知一组数据：125，121，123，125，127，129，125，128，130，129，126，124，125，127，126.则这组数据的第25百分位数和第80百分位数分别是（ ）
A．125 128B．124 128C．125 129D．125 128.5
【答案】D
【分析】根据百分位数的计算方法即可求解.
【详解】把这15个数据按从小到大排序，可得121，123，124，125，125，125，125，126，126，127，127，128，129，129，130，由25%×15＝3.75，80%×15＝12，可知数据的第25百分位数为第4项数据为125，第80百分位数为第12项与第13项数据的平均数，即×(128＋129)＝128.5.
故选：D
【例3】某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间[5,40]中，其频率分布直方图如图所示.估计棉花纤维的长度的样本数据的80%分位数是（ ）
A．28 mmB．28.5 mm
C．29 mmD．29.5 mm
【答案】C
【分析】根据给定的频率分布直方图，利用80%分位数的意义计算作答.
【详解】棉花纤维的长度在25 mm以下的比例为，
在30 mm以下的比例为，因此，80%分位数一定位于内，
因，所以估计棉花纤维的长度的样本数据的80%分位数是29 mm.
故选：C
【例4】下列关于分位数的说法正确的是 （ ）
A．分位数不是中位数
B．总体数据中的任意一个数小于它的可能性一定是
C．它是四分位数
D．它只适用于总体是离散型的数据
【答案】C
【分析】由百分位数的意义判断每个选项.
【详解】由百分位数的意义可知，将一组数据从小到大排序，并计算相应的累计百分位，则某一百分位所对应数据的值就称为这一百分位的百分位数；分位数是中位数，分位数表示至少有的数据项小于或等于这个值，且至少有的数据项大于或等于这个值，第50百分位数又称第二个四分位数，所以选项A，B，D错误.
故选：C
【例5】下表为12名毕业生的起始月薪：
根据表中所给的数据计算75%分位数为（ ）
A．2950B．3050C．3130D．3000
【答案】D
【分析】根据百分位数的定义计算即可.
【详解】由小到大排列12个数据为2710，2757,2850,2880,2880,2890,2920,2940,2950,3050,3130,3325；
因为，
所以75%分位数为，
故选：D
【例6】从800件产品中抽取6件进行质检，利用随机数表法抽取样本时，先将800件产品按001，002，…，800进行编号．如果从随机数表第8行第8列的数8开始往右读数（随机数表第7行至第9行的数如下），则抽取的6件产品的编号的75%分位数是（ ）
……
8442175331 5724550688 77047447672176335025 8392120676
6301637859 1695566711 69105671751286735807 4439523879
3321123429 7864560782 52420744381551001342 9966027954
A．105B．556C．671D．169
【答案】C
【分析】由随机表及编号规则确定抽取的6件产品编号，再从小到大排序，应用百分位数的求法求75%分位数.
【详解】由题设，依次读取的编号为，
根据编号规则易知：抽取的6件产品编号为，
所以将它们从小到大排序为，
故，所以75%分位数为.
故选：C
【对点实战】
1.某地区想实行阶梯电价，经调查发现，该地区居民用电量信息如下：
如果要求约70%的居民用电在第一阶梯内，约20%的居民用电在第二阶梯内，可确定第二阶梯电价的用电量范围为（ ）A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用百分位数的含义结合条件即得.
【详解】∵约70%的居民用电在第一阶梯内，约20%的居民用电在第二阶梯内，
∴由表中数据可得，第二阶梯电价的用电量范围为.
故选：C.
2.以下数据为参加数学竞赛决赛的15人的成绩：56，70，72，78，79，80，81，83，84，86，88，90，91，94，98，则这15人成绩的70%分位数是（ ）
A．86B．87C．88D．89
辽宁省大连市2021-2022学年高一上学期期末数学试题
【答案】C
【分析】根据百分位数的定义直接得出.
【详解】因为，所以这15人的70%分位数为第11位数：88.
故选：C.
3.某地一年之内12个月的降水量从小到大分别为：46，48，51，53，53，56，56，56，58，64，66，71，则该地区的月降水量20%分位数和75%分位数为（ ）
A．51，58B．51，61C．52，58D．52，61
【答案】B
【分析】先把每月的降水量从小到大排列,再根据分位数的定义求解.
【详解】把每月的降水量从小到大排列为: 46，48，51，53，53，56，56，56，58，64，66，71，
,
所以该地区的月降水量的分位数为;
所以该地区的月降水量的分位数为.
故选：B
4.某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是，样本数据分组为，，，，．根据频率分布直方图，估计这200名学生每周的自习时间数据的第30百分位数为（ ）
A．22B．21.25C．22.5D．25
【答案】C
【分析】由频率分布直方图计算，找出累计频率值为0.3处对应的自习时间值即可.
【详解】由频率分布直方图可知，区间在对应的频率为，区间在对应的频率为，，0.3处对应自习时间值恰为22.5，故这200名学生每周的自习时间数据的第30百分位数为22.5.
故选：C
5.对某种电子元件使用寿命跟踪调查，所得样本的频率分布直方图如图.由图可知，这一批电子元件中寿命的分位数为（ ）
A．B．C．350D．
【答案】B
【分析】根据频率分布直方图判断分位数位于，设为，再列出方程，由此能求出这一批电子元件中寿命的分位数．
【详解】解：由频率分布直方图得的频率为：，
的频率为：，
所以分位数位于之间，
设分位数为则，，解得
由图可知，这一批电子元件中寿命的分位数为．
故选：B．
五、众数、中位数、平均数的计算
1．众数：一组数据中出现次数最多的数．
2．中位数：把一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，处在中间位置的数(或中间两个数的平均数)叫做这组数据的中位数．
3．平均数：如果n个数x1，x2，…，xn，那么eq \x\t(x)＝eq \f(1,n)(x1＋x2＋…＋xn)叫做这n个数的平均数．
【典型例题】
【例1】甲、乙两组数的数据如下所示，则这两组的平均数、极差及中位数相同的是（ ）
甲组：5，12，16，21，25，37；
乙组：1，6，14，18，38，39.
A．极差B．中位数
C．平均数D．都不相同
【答案】C
【分析】根据已知数据分别求出两组的平均数、极差及中位数即可判断.
【详解】由题中数据可知甲的极差为，乙的极差为，
甲的中位数为，乙的中位数为，
，，
所以甲、乙的平均数相同.
故选：C.
【例2】．位参加百米半决赛同学的成绩各不相同，按成绩取前位进入决赛.如果小刘知道了自己的成绩后，要判断他能否进入决赛.则其他位同学成绩的下列数据中，能使他得出结论的是（ ）
A．平均数B．极差
C．中位数D．以上都不对
【答案】C
【分析】根据中位数的定义判断可得出结论.
【详解】判断是不是能进入决赛，只要判断是不是前名，
所以只要知道其他位同学的成绩中是不是有个高于他，
也就是把其他位同学的成绩排列后看第个的成绩即可，
小刘的成绩高于这个成绩就能进入决赛，低于这个成绩就不能进入决赛，
这个第名的成绩就是这位同学成绩的中位数.
故选：C.
【例3】某校组织全体学生参加了主题为“奋斗百年路，启航新征程”的知识竞赛，随机抽取了100名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组的取值区间均为左闭右开区间），画出频率分布直方图（如图），下列说法不正确的是（ ）
A．在被抽取的学生中，成绩在区间内的学生有10人
B．这100名学生成绩的众数为85
C．估计全校学生成绩的平均分数为75
D．这100名学生成绩的中位数为
【答案】C
【分析】A由直方图求区间上的样本数量；B由频率的大小确定众数的位置；C、D根据频率直方图求出平均数、中位数.
【详解】A：由直方图知：内的学生有人，正确；
B：由图知：内的学生频率最大，则众数为85，正确；
C：全校学生成绩的平均分数为，错误；
D：由，则中位数在区间内，令中位数为，则，可得，正确.
故选：C
【例4】如图所示的表格记录了高三（1）班第一组和第二组各五名学生在一次英语听力测试训练中的成绩（单位：分），若这两组数据的中位数均为15，平均值相等，则（ ）
A．36B．6C．26D．16
【答案】A
【分析】根据题意进行数据分析，分别求出x、y，即可求出.
【详解】因为这两组数据的中位数均为15，所以.
因为这两组数据的平均值相等，所以，解得，故.
故选：A.
【例5】有4万个不小于70的两位数，从中随机抽取了3000个数据，统计如下：
请根据表格中的信息，估计这4万个数据的平均数为（ ）A．92.16B．85.23C．84.73D．77.97
【答案】B
【分析】首先求出这3000个数据的平均数，即可得解；
【详解】解：这3000个数据的平均数为.用样本平均数估计总体平均数，可知这4万个数据的平均数约为.
故选：B.
【例6】已知样本，，，，的平均数为，样本，，，的平均数为（），若样本，，，，，，，的平均数，其中，则n，m的大小关系为（ ）
A．B．C．D．不能确定
【答案】A
【分析】利用平均数的定义求出与与的关系式，和题干中的对比，可得：，，结合，最终求出结果
【详解】由题意可得，，
，所以，.又，则
所以，故.
故选：A
【例7】为庆祝中国共产党成立100周年，甲、乙、丙三个小组进行党史知识竞赛，每个小组各派5位同学参赛，若该组所有同学的得分都不低于7分，则称该组为“优秀小组”（满分为10分且得分都是整数），以下为三个小组的成绩数据，据此判断，一定是“优秀小组”的是（ ）
甲：中位数为8，众数为7
乙：中位数为8，平均数为8.4
丙：平均数为8，方差小于2
A．甲B．乙C．丙D．无法确定
【答案】A
【分析】根据题意，结合“优秀小组”的定义依次分析选项，综合可得答案.
【详解】甲：中位数为8，众数为7，可知甲组的得分依次为：7、7、8、9、10，根据“优秀小组”的概念可知甲组一定是“优秀小组”
当乙组得分依次为：6、8、8、10、10时，中位数为8，平均数为8.4，但乙组不符合“优秀小组”的概念，
当丙组得分依次为：6、8、8、8、10时，丙：平均数为8，方差为，但丙组不符合“优秀小组”的概念.
故选：A.
【对点实战】
1.已知数据：①18，32，，14，8，12；②21，4，7，14，，11；③5，4，6，5，4，3，1，4；④，3，1，0，0，．其中平均数与中位数相等的是数据（ ）
A．①B．②C．③D．①②③④
【答案】D
【分析】把所给的四组数据都求出中位数和平均数，求中位数时，要把数据按照从小到大排列，最中间两个数字的平均数就是中位数，把两个数字进行比较得到结论.
【详解】①18，32，，14，8，12；
中位数是，平均数是13，两个数字相等；
②21，4，7，14，，11；
计算可得中位数是9，平均数是9，两个数字相等；
③5，4，6，5，4，3，1，4；
中位数是4，平均数是4，两个数字相等；
④，3，1，0，0，．
中位数是0，平均数是0，两个数字相等；
综上可知，①②③④都满足条件.
故选：D
2.郑州地铁1号线的开通运营，极大方便了市民的出行．某时刻从二七广场站驶往博学路站的过程中，10个车站上车的人数统计如下：70，60，60，60，50，40，40，30，30，10．这组数据的平均数，众数，90%分位数的和为（ ）
A．125B．135C．165D．170
【答案】D
【分析】利用公式可求平均数和90%分位数，再求出众数后可得所求的和.
【详解】这组数据的平均数为，
而，故90%分位数，
众数为，故三者之和为，
故选：D.
3.．已知一组数据10，30，50，50，60，70，80，其平均数、中位数和众数的大小关系是（ ）
A．平均数>中位数>众数B．平均数<中位数<众数
C．中位数<众数<平均数D．众数=中位数=平均数
【答案】D
【分析】根据已知数据求出平均数、中位数和众数后比较可得．
【详解】由题意平均数为，中位数是50，众数是50，
故选：D．
4.已知一组数据为20，30，40，50，50，50，70，80，其平均数、第60百分位数和众数的大小关系是（ ）
A．平均数＝第60百分位数＞众数B．平均数＜第60百分位数＝众数
C．第60百分位数＝众数＜平均数D．平均数＝第60百分位数＝众数
【答案】B
【分析】从数据为20，30，40，50，50，50，70，80中计算出平均数、第60百分位数和众数，进行比较即可.
【详解】解：平均数为，
，第5个数50即为第60百分位数.
又众数为50，
它们的大小关系是平均数第60百分位数众数.
故选：B.
5.已知数据x1，x2，x3，x4的平均数为4，则数据3x1＋2，3x2＋2，3x3＋2，3x4＋2的平均数为（ ）
A．4B．8C．12D．14
【答案】D
【分析】由题意可求得，可解决此题．
【详解】数据，，，的平均数为4，，
数据，，，的平均数为，
故选：．
6.某校组织全体学生参加了主题为“建党百年，薪火相传”的知识竞赛，随机抽取了200名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．直方图中的值为0.004
B．在被抽取的学生中，成绩在区间[70，80）的学生数为15人
C．估计全校学生成绩的样本数据的80%分位数约为93分
D．估计全校学生的平均成绩为84分
【答案】D
【分析】由概率总和为1可得，由百分位数定义计算80%分位数，由频率分布直方图的频率计算人数，均值判断各选项．
【详解】由得，A错；
成绩在区间[70，80）的频率为，人数为，B错；
低于90分的频率为，设样本数据的80%分位数约为分，
则，解得，C错；
平均成绩为，D正确．
故选：D．
7.已知一组数据10，5，4，2，2，2，，且这组数据的平均数与众数的和是中位数的2倍，则所有可能的取值为__________．
【答案】或3或17
求出这组数据的平均数与众数，分中位数进行讨论可得x的取值.
【详解】由题意可得这组数据的平均数为：，
众数为2，若，可得，可得；
若，则中位数为x，可得，可得；
若，则中位数为4，可得，可得，
故答案为：或3或17.
六、频率分布直方图中的众数、中位数、平均数的计算
1．样本平均数：可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形面积的乘积之和近似代替．
2．在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应相等．
3．将最高小矩形所在的区间中点作为众数的估计值．
【典型例题】
【例1】某公司为了解用户对其产品的满意程度，从A地区随机抽取了400名用户，从B地区随机抽取了100名用户，请用户根据满意程度对该公司产品评分，该公司将收集到的数据按照分组，绘制成评分频率分布直方图如图：
(1)求B地区用户对该公司产品的评分不低于60分的人数；
(2)求A地区用户对该公司产品的评分的众数、中位数；
(3)根据频率分布直方图，假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，估计A地区抽取的400名用户对该公司产品的评分的平均值为，B地区抽取的100名用户对该公司产品的评分的平均值为，以及A，B两个地区抽取的500名用户对该公司产品的评分的平均值为，试比较和的大小．（结论不要求证明）
【答案】(1)50
(2)70,65
(3)
【分析】（1）利用频率分布直方图求解；
（2）利用频率分布直方图，结合众数和中位数的定义求解；
（2）利用频率分布直方图，结合平均数的公式求解.
(1)
解：由频率分布直方图得：
B地区用户对该公司产品的评分不低于60分的人数为：；
(2)
由频率分布表得：
A地区用户对该公司产品的评分的众数是70，
设中位数为x，则 ，
解得；
(3)
，
，
所以 ，，
则.
【例2】新冠肺炎疫情期间，某市为了了解本地居民对当地防疫工作的满意度，从市居民中随机抽取若干居民进行评分（满分为100分），根据调查数据制成如下频率分布直方图，已知评分在的居民有2200人.
(1)求频率分布直方图中a的值及所调查的总人数；
(2)从频率分布直方图中，估计本次评测分数的众数和平均数（精确到0.1）；
(3)设该市居民为50万人，估计全市居民对当地防疫工作评分在85分以上的人数.
【答案】(1)0.025，4000人
(2)众数为85.0，平均数80.7
(3)212500
【分析】（1）首先根据频率和为1，求，再根据落在区间的居民有2200人，求调查的总人数；
（2）根据众数和平均数公式，即可求解；
（3）首先计算评分在85分以上的频率，再计算人数.
(1)
有频率分布直方图知
即，解得
设总共调查了人，则，
解得，即调查的总人数为4000人；
(2)
最高小矩形底边中点横坐标即为众数，可得众数为，
由频率分布直方图知各段的频率分别为：0.02､0.04､0.14､0.20､0.35､0.25，
所以设平均数为，
则
(3)
由频率分布直方图知评分在85分以上的频率为
所以估计该市居民评分在85分以上的人数为:
【例3】我国是世界上严重缺水的国家之一，为提倡节约用水，我市为了制定合理的节水方案，对家庭用水情况进行了调查，通过抽样，获得了2021年 100个家庭的月均用水量（单位：t），将数据按照[0，2），[2，4），[4，6），[6，8），[8，10]分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图.
(1)求全市家庭月均用水量不低于 4t的频率;
(2)假设同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替，求全市家庭月均用水量平均数的估计值（精确到0.01）;
(3)求全市家庭月均用水量的75%分位数的估计值（精确到0.01）.
【答案】(1)
(2)4.92 t.
(3)
【分析】（1）通过频率分布直方图求得的频率，由此求得的估计值.
（2）根据由频率分布直方图计算平均数的方法，计算出全市家庭月均用水量平均数的估计值.
（3）通过频率分布直方图，计算出累计频率为的位置，从而求得全市家庭月均用水量的75%分位数的估计值.
(1)
由直方图可知全市家庭月均用水量不低于 4t的频率为： .
(2)
因为.
因此全市家庭月均用水量的平均数估计值为4.92 t.
(3)
频率分布直方图中，用水量低于2 t的频率为.
用水量低于4 t的频率为.
用水量低于6 t的频率为.
用水量低于8 t的频率为.
故全市家庭月均用水量的75%分位数的估计值为 ，则
则，解得
所以全市家庭月均用水量的75%分位数的估计值为
【例4】从某学校随机抽取100名学生，测得他们的身高（单位：cm），按照区间，，，，分组，得到样本身高的频率分布直方图，如图所示.
(1)求频率分布直方图中x的值；
(2)估计该校学生身高的平均数（每组数据以区间中点值为代表）；
(3)估计该校学生身高的75%分位数.
【答案】(1)0.06
(2)172.25
(3)176.25
【分析】（1）利用频率分布直方图中长方形面积之和为1,易求出x；
（2）直接利用平均数公式求出平均数；
（3）可设该校100名生学身高的75%分位数为x,再利用频率分布直方图计算即得
(1)
由频率分布直方图可知5×(0.01+0.07+x+0.04+0.02+0.01)=1,解得x=0.06,
(2)
根据频率分布直方图，由平均数公式可得：
(3)
的人数占比为5×0.02=10%.
的人数占比为5×00.4=20%.
所以该校100名生学身高的75%分位数落在.
设该校100名生学身高的75%分位数为x，则,解得x=176.25.
故该校100名生学身高的75%分位数为176.25.
【例5】治理沙漠离不开优质的树苗，现从苗圃中随机地抽测了200株树苗的高度（单位：cm），得到以下频率分布直方图.
(1)求直方图中a的值及众数､中位数；
(2)若树高185cm及以上是可以移栽的合格树苗.从样本中按分层抽样方法抽取20株树苗作进一步研究，不合格树苗､合格树苗分别应抽取多少株？
【答案】(1)，众数为，中位数
(2)7株和13株
【分析】（1）利用频率分布直方图的性质及众数､中位数的求法即得；
（2）利用直方图及分层抽样方法即得.
(1)
∵，
∴，众数为，
设中位数为x，因为，
，
则，
，
∴
故，众数为，中位数.
(2)
由题可知合格树苗所占频率为，不合格树苗所占频率为，
不合格的抽取株，合格的抽取株，
故不合格树苗､合格树苗分别应抽取7株和13株.
【对点实战】
1.为了了解高二学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数次测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图（如图），图中从左到右各小长方形面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3；第二小组频数为12.
(1)第二小组的频率是多少，样本容量是多少；
(2)若次数在110以上（含110次）为达标，试估计该学校全体高二学生的达标率是多少；
(3)在这次测试中，估计学生跳绳次数的众数和中位数､平均数各是多少.（结果均保留整数.）
【答案】(1)0.08,150
(2)
(3)115,121,122
【分析】（1）根据长方形面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小组频数为12，利用频率公式和样本容量公式求解；
（2）由长方形面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3，根据题意由求解；
（2）根据长方形面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3，结合频率分布直方图，由众数，中位数和平均数公式求解.
(1)
解：因为；长方形面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小组频数为12.
所以第二小组的频率为，样本容量为；
(2)
高二学生的达标率是；
(3)
由频率分布直方图知：学生跳绳次数的众数为；
从左到右各组的频数为，
前3组的频数和为69，后3组的频数和为81，
所以中位数落在第四小组；
设中位数为，则，
解得；
.
2.对某校高三年级学生参加社区服务的次数进行统计，随机抽取M名学生，得到这M名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出如下频率分布表和频率分布直方图．
(1)求出表中，及图中a的值；
(2)若该校有高三学生人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间内的人数；
(3)估计该校高三学生参加社区服务次数的众数、中位数及平均数．
【答案】(1)，，
(2)人
(3)众数：，中位数：，平均数：
【分析】（1）由分组对应的频数是，频率是可求出的值，由此可求出和的值；
（2）由该校高三学生有人乘以内的频率即可求解；
（3）由频率分布直方图可直接求出众数、中位数及平均数.
(1)
由分组对应的频数是，频率是，知，所以，
所以，解得，
所以，；
(2)
估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间内的人数为；
(3)
估计该校高三学生参加社区服务次数的众数是．
因为，
所以估计该校高三学生参加社区服务次数的中位数x满足：，
解得，所以该校高三学生参加社区服务次数的中位数约为，
由，
所以估计该校高三学生参加社区服务次数的平均数是.
3.在技术人员的指导下，某棉花种植基地的棉花产量和质量均有大幅度地提升，已知该棉花种植基地今年产量为，技术人员随机抽取了棉花，测量其马克隆值（棉花的马克隆值是反映棉花纤维细度与成熟度的综合指标，是棉纤维重要的内在质量指标之一，与棉花价格关系密切），得到如下统计表及不完整的频率分布直方图．
(1)求表中的值，并补全频率分布直方图；
(2)根据频率分布直方图，估计样本的马克隆值的众数及中位数；
(3)根据马克隆值可将棉花分为三个等级，不同等级的棉花价格如下表所示：
用样本估计总体，估计该棉花种植基地今年的总产值．
【答案】(1)，，频率分布直方图见解析；
(2)众数为，中位数为；
(3)万元.
【分析】（1）由频率分布直方图和统计表可计算求得，由此可补全频率分布直方图；
（2）由频率分布直方图估计众数和中位数的方法直接求解即可；
（3）计算求得样本的产值，进而可得今年的总产值.
(1)
由题中频率分布直方图知：；
由统计表得：，
解得：．
补全的频率分布直方图如图所示：
(2)
由频率分布直方图知：马克隆值落在区间内的频率最大，故众数为．
，，中位数在区间内，
中位数为．
(3)
样本的产值为（万元），
估计该棉花种植基地今年的总产值为（万元）．
4.某公司为了解员工对食堂的满意程度，对全体100名员工做了一次问卷调查，要求员工对食堂打分，将最终得分按，，，，，分成6段，并得到如图所示频率分布直方图.
（1）估计这100名员工打分的众数和中位数（保留一位小数）；
（2）现从，，这三组中用比例分配的分层随机抽样的方法抽取11个人，求这组抽取的人数.
【答案】（1）众数为75，中位数为；（2）7人.
【分析】（1）根据中位数和众数的定义结合频率分布直方图即可得出答案；
（2）根据频率分布直方图分别求出，，的人数，任何根据分层抽样即可求出从抽取的人数.
【详解】解：（1）由题意得众数为75，
的频率为，
的频率为，
设中位数为a，，.
（2）的人数：，的人数：，的人数：，抽样比例为，
从抽取的人数：.
七、方差、标准差的计算与应用
1．假设一组数据为x1，x2，…，xn，则这组数据的平均数eq \x\t(x)＝eq \f(x1＋x2＋…＋xn,n)，方差为s2＝eq \f(1,n)eq \i\su(i＝1,n, )(xi－eq \x\t(x))2，标准差s＝eq \r(\f(1,n)\i\su(i＝1,n, )xi－\x\t(x)2).
2．如果总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，总体平均数为eq \x\t(Y)，则称S2＝eq \f(1,N)eq \i\su(i＝1,N, )(Yi－eq \x\t(Y))2为总体方差，S＝eq \r(S2)为总体标准差．
如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi(i＝1,2，…，k)，则总体方差为S2＝eq \f(1,N)eq \i\su(i＝1,k,f)i(Yi－eq \x\t(Y))2.
3．如果一个样本中个体的变量值分别为y1，y2，…，yn，样本平均数为eq \x\t(y)，则称s2＝eq \f(1,n)eq \i\su(i＝1,n, )(yi－eq \x\t(y))2为样本方差，s＝eq \r(s2)为样本标准差．
4．标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小．
【典型例题】
【例1】．下列数字特征不能反映样本数据的分散程度、波动情况的是（ ）
A．极差B．平均数C．方差D．标准差
【答案】B
【分析】利用平均数、极差、方差、标准差的定义直接求解．
【详解】对于A，极差表示一组数据最大值与最小值的差，极差越大数据越分散，极差越小数据越集中，故极差能反映样本数据的离散程度大小，故不选A；
对于B，平均数是表示一组数据集中趋势的量数，是指在一组数据中所有数据之和再除以这组数据的个数，它是描述数据集中位置的一个统计量，故平均数不能反映样本数据的分散程度、波动情况，故选B；
对于C，方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立，
即方差能反映样本数据的离散程度大小，故不选C；
对于D，标准差是方差的算术平方根，标准差也能反映样本数据的离散程度大小，故不选D．
故选：B．
【例2】甲、乙两名同学参加了一次篮球比赛的全部7场比赛，平均每场得分都是16分，标准差分别为3.5和4.62，则甲、乙两名同学在这次篮球比赛中，发挥更稳定的是（ ）
A．甲B．乙C．甲、乙相同D．不能确定
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用平均数、标准差的意义即可判断作答.
【详解】因甲、乙平均每场得分相同，都是16分，而甲的标准差3.5小于乙的标准差4.62，
即甲每场比赛的得分波动较乙的小，甲发挥更稳定.
故选：A
【例3】在高一期中考试中，甲、乙两个班的数学成绩统计如下表：
其中，则两个班数学成绩的方差为（ ）A．3B．2
C．2.6D．2.5
【答案】C
【分析】根据方差公式即可求出．
【详解】由题意可知两个班的数学成绩平均数为，则两个班数学成绩的方差为
．故选：C．
【例4】设样本数据x1，x2，…，x2 020的方差为4，若yi＝2xi＋4(i＝1，2，…，2 020)，则y1，y2，…，y2 020的方差为（ ）
A．13B．14C．15D．16
【答案】D
【分析】所有的数据同时加减一个常数，不改变方差的大小，所有的数据同时乘以一个常数c，方差变为原来c的平方倍.
或由方差的计算公式计算可得.
【详解】y1，y2，…，y2 020的方差为22×4＝16.
故选：D.
【例5】某班有n位同学，统计一次数学测验的平均分与方差．在第一次计算时漏过了一位同学的成绩，算得位同学的平均分和方差分别为、，所以只好再算第二次，算得n位同学的平均分和方差分别为、，若已知该漏过了的同学的得分恰好为，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】依据平均数和方差的定义分别计算出、、、，再进行大小比较即可.
【详解】设这个班n位同学的成绩分别是，，…，，…，，
第一次漏过了第i位同学的成绩，第一次计算时总分是，
方差是
第二次计算时，，
方差
故，
故选：C．
【例6】已知某5个数据的平均数为5，方差为3，现加入3、7两个数，此时这7个数据的平均数为，方差为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据平均数以及方差的计算公式，可得答案.
【详解】由题意可得：
， ，
故选：C
【例7】如图所示是小王与小张二人参加某射击比赛的预赛的五次测试成绩的折线图，设小王与小张成绩的样本平均数分别为和，方差分别为和，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】根据图中实线与虚线的走势，即可直接求解．
【详解】由题图可知，实线中的数据都大于或等于虚线中的数据，所以小王成绩的平均数大于小张成绩的平均数，，显然实线中的数据波动较大，所以小王成绩的方差大于小张成绩的方程，即.
故选：C．
【例8】在某次测量中得到的样本数据如下：.若样本数据恰好是样本数据都加2后所得数据，则两样本的下列数字特征对应相同的是（ ）
A．众数B．平均数C．标准差D．中位数
【答案】C
【分析】分别求两个样本的数字特征，再判断选项.
【详解】A样本数据是：，
样本数据是：，
A样本的众数是48，B样本的众数是50，故A错；
A样本的平均数是 ，
B样本的平均数是，故B错；
A样本的标准差
B样本的标准差，
，故C正确；
A样本的中位数是，B样本的中位数是，故D错.
故选：C
【对点实战】
1.在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志是“连续10日，每天新增疑似病例不超过7人”，过去10日，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息如下：
甲地：总体平均数为3，中位数为4；
乙地：总体平均数为1，总体方差大于0；
丙地：总体平均数为2，总体方差为3；
丁地：中位数为2，众数为3；
则甲、乙、丙、丁四地中，一定没有发生大规模群体感染的是（ ）
A．甲地B．乙地C．丙地D．丁地
【答案】C
【分析】取特例可判断ABD；当总体平均数是2，若有一个数据超过7，则方差就接近3，符合要求．
【详解】当连续10日新增疑似病例数为0,0,0,0,4,4,4,4,4,10时，显然总体平均数为3，中位数为4，故A错误；
当连续10日新增疑似病例数为0,0,0,0,0,0,0,0,0,10时，满足总体平均数为1，总体方差大于0，故B错误；
当连续10日新增疑似病例数为0,0,0,1,1,3,3,3,3,10时，满足中位数为2，众数为3，故D错误；
当总体平均数是2，若有一个数据超过7，则方差就超过3，故C正确；
故选：C．
2.已知一组数据，，，…，的标准差为2，将这组数据，，，…，中的每个数先同时减去2，再同时乘以3，得到一组新数据，则这组新数据的标准差为（ ）
A．2B．4C．6D．
【答案】C
【分析】利用数据的均值、方差的线性运算直接求得.
【详解】因为数据，，，…，的标准差为2，所以方差为4．
由题意知，得到的新数据为，，，…，，
这组新数据的方差为，标准差为6．
故选：C
3.为庆祝中国共产党成立100周年，深入推进党史学习教育，某中学党支部组织学校初、高中两个学部的党员参加了全省教育系统的党史知识竞赛活动，其中初中部20名党员竞赛成绩的平均分为a，方差为2；高中部50名党员竞赛成绩的平均分为b，方差为．若a=b，则该学校全体参赛党员竞赛成绩的方差为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设初中部20名党员、高中部50名党员竞赛成绩分别为，，得，，然后利用方差的计算公式可得答案.
【详解】设初中部20名党员竞赛成绩分别为，
高中部50名党员竞赛成绩的平均分，根据题意得
则，
，所以，
，由于，
所以该学校全体参赛党员竞赛成绩的平均分为，
则该学校全体参赛党员竞赛成绩的方差为
.故选：D.
4.若40个数据的平方和为56，平均数为，则这组数据的方差为________
【答案】##
【分析】根据方差的计算公式计算即可．
【详解】设这40个数据为（，2，…，40），平均数为，则
，
故答案为：
5.设一组样本数据，，，的方差为0.01，则数据，，，的方差为______．
【答案】1
【分析】根据新数据与原数据关系确定方差关系，即得结果.
【详解】根据题意，一组样本数据，，，的方差，
则数据，，，的方差为；
故答案为：.
八、统计图表与方差、标准差的综合应用
【典型例题】
【例1】从甲、乙两名学生中选拔一人参加射击比赛，现对他们的射击水平进行测试，两人在相同条件下各射靶10次，每次命中的环数如下：
甲：7，8，6，8，6，5，9，10，7，4；
乙：9，5，7，8，7，6，8，6，7，7．你认为应该选哪名学生参加比赛？为什么？
【答案】应该选乙参加比赛，理由见解析
【分析】计算甲、乙两人命中的环数的平均成绩及方差即可求解.
【详解】解：设甲、乙两人命中的环数的平均成绩分别为，，方差分别为，，
由数据得：，，
，，
因为甲乙两人平均成绩一样，乙的方差小于甲的方差，说明甲乙两人水平相当，但乙的成绩更稳定，
所以应该选乙参加比赛．
【例2】从某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：
(1)根据上表补全所示的频率分布直方图；
(2)估计这种产品质量指标值的平均数、方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)及中位数(保留一位小数)；
(3)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？
【答案】(1)频率分布直方图见解析；
(2)平均数为，方差为，中位数为99.7；
(3)不能认为该企业伸长的这种产品符合“质量指标不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定﹒
【分析】(1)根据频数求出，画出每一组的小矩形即可；
(2)根据平均数、方差、中位数的计算方法计算即可；
(3)求出[95，105)、[105，115)、[115，125]这三组的总频率，与80%比较即可．
(1)
补全后的频率分布直方图如图所示，
(2)
质量指标值的样本平均数为：
，
质量指标值的样本方差为：
，
∴这种产品质量指标值的平均数约为100，方差约为104．
第一组频率为：0.06，第二组频率为：0.26，第三组频率为：0.38，
∵0.06+0.26<0.5，0.06+0.26+0.38>0.5，
∴中位数落在第三组内，设中位数为x，
则，解得，
因此，中位数为99.7；
(3)
质量指标值不低于95的产品所占比例约为，
由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定．
【例3】某学校对高一某班的同学进行了身高（单位：）调查，将得到的数据进行适当分组后（每组为左闭右开区间），画出如图所示的频率分布直方图．
(1)求直方图中的值；
(2)估计全班同学身高的中位数；
(3)估计全班同学身高的平均数及方差．（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）
【答案】(1)
(2)中位数为171.25
(3)平均数为170；方差150
【分析】（1）根据所有矩形面积之和即频率之和为1，求得答案；
（2）根据中位数的求解方法列出方程，求得答案;
（3）分别利用平均数以及方差的计算方法，求得结果.
(1)
由图可得，解得．
(2)
设全班同学身高的中位数为，可知，得，解得，
故估计全班同学身高的中位数为171.25．
(3)
估计全班同学身高的平均数为，
估计全班同学身高的方差为
．
【例4】在一次高三年级统一考试中，数学试卷有一道满分为10分的选做题，学生可以从，两道题目中任选一题作答．某校有900名高三学生参加了本次考试，为了了解该校学生解答该选做题的得分情况，计划从900名学生的选做题成绩中随机抽取一个容量为10的样本，为此将900名学生的选做题的成绩随机编号为001，002，，900．
(1)若采用随机数法抽样，并按照以下随机数表，以方框内的数字5为起点，从左向右依次读数，每次读取三位随机数，一行数读完之后接下一行左端写出样本编号的中位数．
05 26 93 70 60 22 35 85 15 13 92 03 51 59 77
59 56 78 06 83 52 91 05 70 74 07 97 10 88 23
09 98 42 99 64 61 71 62 99 15 06 1 29 16 93
58 05 77 09 51 51 26 87 85 85 54 87 66 47 54
73 32 08 11 12 44 95 92 63 16 29 56 24 29 48
26 99 61 65 53 58 37 78 80 70 42 10 50 67 42
32 17 55 85 74 94 44 67 16 94 14 65 52 68 75
87 59 36 22 41 26 78 63 06 55 13 08 27 01 50
15 29 39 39 43
(2)若采用分层随机抽样，按照学生选择题目或题目，将成绩分为两层，且样本中选择题目的成绩有8个，平均数为7，方差为4；样本中选择题目的成绩有2个，平均数为8，方差为1．试用样本估计该校900名学生的选做题得分的平均数与方差．
【答案】(1)中位数为
(2)平均数约为7.2，方差约为3.56
【分析】（1）从随机数表中，抽取符合条件的编号，再由小到大排序，然后利用中位数定义求解；
（2）根据样本中选择题目的成绩有8个，平均数为7，方差为4；样本中选择题目的成绩有2个，平均数为8，方差为1，利用平均数和方差公式求解.
(1)
解：由题意知：读取的编号依次是512，805，770，687，858，554，876，647，547，332．
由小到大排序，得332，512，547，554，647，687，770，805，858，876，
样本编号的中位数为．
(2)
设样本中选择题目的成绩的平均数为，方差为；
样本中选择题目的成绩的平均数为，方差为，
则，，，．
样本的平均数为，
方差为,
,
该校900名学生的选做题得分的平均数约为7.2，方差约为3.56．
【例5】为研究男女学生在生活费支出（单位：元）上的差异，某中学在高一年级400名学生（其中男生220人，女生180人）中随机抽取22名男生与18名女生，统计他们的生活费支出，得到下面的结果：
男生：，；
女生：，；
试根据以上数据估计该校高一学生生活费支出的总体均值、总体方差.
【答案】总体平均值为511，总体方差为362.5
【分析】根据均值与方差的相关公式进行求解.
【详解】总体均值为，总体方差为.
【例6】某电池厂有A，两条生产线制造同一型号可充电电池．A，生产线的产量比为4：5．现采用分层抽样的方法从某天两条生产线上的成品中随机抽取样本，并测量产品可充电次数的均值及方差，结果如下：
试根据以上数据计算由36个产品组成的样本的方差，并估计总体方差．
【答案】13.
【分析】设A生产线产品可充电次数为，设B生产线产品可充电次数为，设A与B总共这36个产品可充电次数为，则.
【详解】设A生产线产品可充电次数为，，其均值，其方差，
设B生产线产品可充电次数为，，其均值，其方差.
设A与B总共这36个产品可充电次数为，，其均值为，其方差为，
则.
∵，
∴，，
∴.
故总体的方差为13.
【例7】某大学为了解学生对两家餐厅的满意度情况，从在两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了100人，每人分别对这两家餐厅进行满意指数打分（满意指数是指学生对餐厅满意度情况的打分，分数设置为分.根据打分结果按，分组，得到如图所示的频率分布直方图，其中餐厅满意指数在中有30人.
(1)求餐厅满意指数频率分布直方图中的值；
(2)利用样本估计总体的思想，估计餐厅满意指数和餐厅满意指数的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间中点值作代表）；
参考公式：，其中为的平均数，分别为对应的频率.
(3)如果一名新来同学打算从两家餐厅中选择一个用餐，你建议选择哪个餐厅？说明理由.
【答案】(1)，
(2)餐厅满意指数的平均数和方差分别为，；餐厅满意指数的平均数和方差分别为，
(3)答案见解析
【分析】（1）根据频率的含义和性质列方程，即可解得：，；
（2）根据平均数和方差的定义，然后运算即可；
（3）平均数和方差在实际生活中的应用，平均满意度越高，就越会受到欢迎.
(1)
因为餐厅满意指数在中有30人，则有：
解得：
根据总的频率和为1，则有：
解得：
综上可得：，
(2)
设餐厅满意指数的平均数和方差分别为餐厅满意指数的平均数和方差分别为，则有：
，
，
，
，
综上可得：餐厅满意指数的平均数和方差分别为，；餐厅满意指数的平均数和方差分别，
(3)
答案一：餐厅满意指数的平均数为，方差为，餐厅满意指数的平均数为，方差为，因为，所以推荐餐厅；
答案二：餐厅满意指数在的频率为，在的频率为，餐厅满意指数在和的频率都为，所以推荐餐厅；
（答案不唯一，符合实际情况即可）
结束
168
165
171
167
170
165
170
152
175
174
165
170
168
169
171
166
164
155
164
158
170
155
166
158
155
160
160
164
156
162
160
170
168
164
174
171
165
179
163
172
180
174
173
159
163
172
167
160
164
169
151
168
158
168
176
155
165
165
169
162
177
158
175
165
169
151
163
166
163
167
178
165
158
170
169
159
155
163
153
155
167
163
164
158
168
167
161
162
167
168
161
165
174
156
167
166
162
161
164
166
3.1
2.5
2.0
2.0
1.5
1.0
1.6
1.8
1.9
1.6
3.4
2.6
2.2
2.2
1.5
1.2
0.2
0.4
0.3
0.4
3.2
2.7
2.3
2.1
1.6
1.2
3.7
1.5
0.5
3.8
3.3
2.8
2.3
2.2
1.7
1.3
3.6
1.7
0.6
4.1
3.2
2.9
2.4
2.3
1.8
1.4
3.5
1.9
0.8
4.3
3.0
2.9
2.4
2.4
1.9
1.3
1.4
1.8
0.7
2.0
2.5
2.8
2.3
2.3
1.8
1.3
1.3
1.6
0.9
2.3
2.6
2.7
2.4
2.1
1.7
1.4
1.2
1.5
0.5
2.4
2.5
2.6
2.3
2.1
1.6
1.0
1.0
1.7
0.8
2.4
2.8
2.5
2.2
2.0
1.5
1.0
1.2
1.8
0.6
2.2
成绩/分
[50，60）
[60，70）
[70，80）
[80，90）
[90，100]
频数
2
9
a
b
6
分组
频数
频率
4
25
30
29
10
2
合计
100
分组
[122,126)
[126,130)
[130,134)
[134,138)
[138,142)
人数
5
8
10
22
33
分组
[142,146)
[146,150)
[150,154)
人数
20
11
6
5
使用
寿命
频数
30
20
频率
0.2
0.4
认可度等级
频数
频率
级
18
0.3
级
24
0.4
级
级
杆数
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
选手数
1
2
5
3
8
17
20
31
22
21
10
毕业生
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
起始月薪
2850
2950
3050
2880
2755
2710
2890
3130
2940
3325
2920
2880
分位数
50%分位数
70%分位数
80%分位数
90%分位数
用电量
160
176
215
230
学生成绩
第一组
8
12
15
26
第二组
9
14
18
26
数据%
70≤x≤79
80≤x≤89
90≤x≤99
个数
800
1300
900
平均数
78.1
85
91.9
分组
频数
频率
合计
马克隆值
质量/ t
0.04
0.06
0.12
0.16
b
a
0.06
0.03
0.01
马克隆值
或
级别
价格（万元/t）
1.6
1.52
1.44
班级
人数
平均分数
方差
甲
20
2
乙
30
3
质量指标值分组
[75，85)
[85，95)
[95，105)
[105，115)
[115，125]
频数
6
26
38
22
8
项目
抽取成品数
样本均值
样本方差
A生产线产品
16
215
8
B生产线产品
20
212
13
分组
频率累计
频数
频率
[41.5，45.5)
2
0.045 5
[45.5，49.5)
7
0.159 1
[49.5，53.5)
8
0.181 8
[53.5，57.5)
16
0.363 6
[57.5，61.5)
5
0.113 6
[61.5，65.5)
4
0.090 9
[65.5，69.5)
2
0.045 5
168
165
171
167
170
165
170
152
175
174
165
170
168
169
171
166
164
155
164
158
170
155
166
158
155
160
160
164
156
162
160
170
168
164
174
171
165
179
163
172
180
174
173
159
163
172
167
160
164
169
151
168
158
168
176
155
165
165
169
162
177
158
175
165
169
151
163
166
163
167
178
165
158
170
169
159
155
163
153
155
167
163
164
158
168
167
161
162
167
168
161
165
174
156
167
166
162
161
164
166
分 组
频数
频率
[150.5,153.5)
4
0.04
0.013
[153.5,156.5)
8
0.08
0.027
[156.5,159.5)
8
0.08
0.027
[159.5,162.5)
11
0.11
0.037
[162.5,165.5)
22
0.22
0.073
[165.5,168.5)
19
0.19
0.063
[168.5,171.5)
14
0.14
0.047
[171.5,174.5)
7
0.07
0.023
[174.5,177.5)
4
0.04
0.013
[177.5,180.5)
3
0.03
0.010
合 计
100
1
0.333
分组
频数
频率
3
0.06
8
0.16
9
0.18
11
0.22
10
0.2
5
0.1
4
0.08
合计
50
1
3.1
2.5
2.0
2.0
1.5
1.0
1.6
1.8
1.9
1.6
3.4
2.6
2.2
2.2
1.5
1.2
0.2
0.4
0.3
0.4
3.2
2.7
2.3
2.1
1.6
1.2
3.7
1.5
0.5
3.8
3.3
2.8
2.3
2.2
1.7
1.3
3.6
1.7
0.6
4.1
3.2
2.9
2.4
2.3
1.8
1.4
3.5
1.9
0.8
4.3
3.0
2.9
2.4
2.4
1.9
1.3
1.4
1.8
0.7
2.0
2.5
2.8
2.3
2.3
1.8
1.3
1.3
1.6
0.9
2.3
2.6
2.7
2.4
2.1
1.7
1.4
1.2
1.5
0.5
2.4
2.5
2.6
2.3
2.1
1.6
1.0
1.0
1.7
0.8
2.4
2.8
2.5
2.2
2.0
1.5
1.0
1.2
1.8
0.6
2.2
分组
频数
频率
4
0.04
8
0.08
15
0.15
22
0.22
25
0.25
14
0.14
6
0.06
4
0.04
2
0.02
合计
100
1.00
成绩/分
[50，60）
[60，70）
[70，80）
[80，90）
[90，100]
频数
2
9
a
b
6
分组
频数
频率
4
25
30
29
10
2
合计
100
分组
频数
频率
4
25
30
29
10
合计
分组
[122,126)
[126,130)
[130,134)
[134,138)
[138,142)
人数
5
8
10
22
33
分组
[142,146)
[146,150)
[150,154)
人数
20
11
6
5
分组
频数
频率
[122,126)
5
0.04
0.01
[126,130)
8
0.07
0.0175
[130,134)
10
0.08
0.02
[134,138)
22
0.18
0.045
[138,142)
33
0.28
0.07
[142,146)
20
0.17
0.0425
[146,150)
11
0.09
0.0225
[150,154)
6
0.05
0.0125
[154,158)
5
0.04
0.01
合计
120
1
0.25
分 组
频数
频率
合 计
使用
寿命
频数
30
20
频率
0.2
0.4
使用
寿命
频数
20
30
40
80
20
10
频率
0.1
0.15
0.2
0.4
0.1
0.05
认可度等级
频数
频率
级
18
0.3
级
24
0.4
级
级
日期
最低气温
分组
频数
频率
文学类
理化类
数学类
社会科学类
信息类
杆数
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
选手数
1
2
5
3
8
17
20
31
22
21
10
杆数
频数
频率
总计
毕业生
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
起始月薪
2850
2950
3050
2880
2755
2710
2890
3130
2940
3325
2920
2880
分位数
50%分位数
70%分位数
80%分位数
90%分位数
用电量
160
176
215
230
学生成绩
第一组
8
12
15
26
第二组
9
14
18
26
数据%
70≤x≤79
80≤x≤89
90≤x≤99
个数
800
1300
900
平均数
78.1
85
91.9
分组
频数
频率
合计
马克隆值
质量/ t
0.04
0.06
0.12
0.16
b
a
0.06
0.03
0.01
马克隆值
或
级别
价格（万元/t）
1.6
1.52
1.44
班级
人数
平均分数
方差
甲
20
2
乙
30
3
质量指标值分组
[75，85)
[85，95)
[95，105)
[105，115)
[115，125]
频数
6
26
38
22
8
质量指标值分组
[75，85)
[85，95)
[95，105)
[105，115)
[115，125]
频数
6
26
38
22
8
0.006
0.026
0.038
0.022
0.008
项目
抽取成品数
样本均值
样本方差
A生产线产品
16
215
8
B生产线产品
20
212
13
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