北师大版（2019）选择性必修二第二章 导数及其应用 章节测试题(含答案)

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北师大版（2019）选择性必修二第二章 导数及其应用 章节测试题学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．已知定义在R上的函数的导函数为,若,且,则不等式的解集是( )A. B. C. D.2．定义在R上的可导函数满足,且,当时,不等式的解集为( )A. B. C. D.3．已知奇函数满足,则=( )A. B. C.1 D.−14．已知函数是定义在上的可导函数,,且,则不等式的解集为( )A. B. C. D.5．已知a,b,,且,,,则a,b,c的大小关系为( )A. B. C. D.6．若函数在区间内有最小值,则实数m的取值范围是( )A. B. C. D.7．设函数的定义域为R，其导函数为，且满足，，则不等式（其中e为自然对数的底数）的解集是( )A. B. C. D.8．某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一件产品，成本增加100元，已知总收入R与年产量x的关系是则总利润（总利润=总收入-总成本）最大时，年产量应为( )A.100件 B.150件 C.200件 D.300件二、多项选择题9．已知定义在R上的奇函数满足，且当时，，则下列说法正确的是( )A.函数的一个周期为4B.当时，函数的解析式为C.当时，函数的最大值为D.函数在区间内有1011个零点10．已知定义在R上的函数满足,在下列不等关系中,一定成立的是( )A. B.C. D.11．函数的导函数的图象如图所示，则下列说法一定正确的有( )A.为函数的零点B.为函数的极小值点C.函数在上单调递减D.是函数的最小值12．在平面直角坐标系内，由A，B，C，D四点所确定的“N型函数”指的是三次函数，其图象过A，D两点，且的图象在点A处的切线经过点B，在点D处的切线经过点C.若将由，，，四点所确定的“N型函数”记为，则( )A.曲线在点D处的切线方程为B.C.函数的图象关于点对称D.当时，三、填空题13．已知函数,其中e是自然对数的底数,若,则实数a的取值范围是__________．14．已知函数,若为奇函数,则曲线在点处的切线方程为______________．15．已知是定义在上的奇函数,是的导函数,当时,,若,则不等式的解集是______________.16．已知是函数的一个零点,且,则的最小值为______________.四、解答题17．已知函数.(1)当时,求曲线在处的切线方程;(2)求函数的单调区间.18．已知函数.（1）若在上存在单调减区间,求实数的取值范围;（2）若在区间上有极小值,求实数的取值范围.19．已知函数,.(1)讨论函数的单调性;(2)当时,设,,函数有两个极值点、.①求m的取值范围;②若,求的取值范围.20．已知,其中.（1）求在处的切线方程;（2）若在上恒成立,求a的取值范围.21．如图，城市A正东方向的B地有一大型企业，A，B之间有一条的普通公路相连.现准备在A，B之间选择一点D（D不与A，B两点重合）修建一条高速公路，并同时将段普通公路进行提质.已知，且，高速公路的建造费用为40万元，普通公路的提质费用为24万元，设.（1）求公路与的费用之和y关于x的函数关系式；（2）如何选择点D的位置，可以使总费用y最小，并求出其最小值.22．某个体户计划销售A，B两种商品，据调查统计，当投资额为万元时，从销售A，B商品中所获得的收益分别为（单位：万元）与（单位：万元），其中，.已知投资额为0万元时，从销售A，B商品中所获得的收益均为0万元.（1）试求出a，b的值；（2）如果该个体户准备投入5万元销售这两种商品，请你帮他制定一个资金投入方案，使他能获得最大收益，并求出其收益的最大值（精确到0.1，参考数据：）.参考答案1．答案：A解析：设,则.因为,所以,即,所以在R上单调递减.不等式等价于不等式,即.因为,所以,所以.因为在R上单调递减,所以,解得故选：A.2．答案：D解析：令,则,在定义域R上是增函数,且,,可转化成,得到,又,可以得到.故选:D.3．答案：B解析：因为是奇函数,所以.故选:B.4．答案：A解析：由可得,设,则,,在上为减函数,又由,可得,.故选A.5．答案：D解析：由题知,,,记,则,当时,,单调递增,故比较a,b,c的大小关系,只需比较,,的大小关系,即比较,,的大小关系,记,则,记,则,所以在上单调递减,又,所以,当时,,单调递减,所以,即,所以,所以.故选：D.6．答案：C解析：由题得,.令,解得或;令,解得,所以在区间内单调递增,在区间内单调递减,在区间内单调递增,所以函数的极小值.若在区间内有最小值,则极小值即最小值,所以,解得,令,可得,可得,解得或1,由题得,综上.故选：C.7．答案：D解析：设.，即，，在R上单调递减，又，不等式，即，，原不等式的解集为.故选D.8．答案：D解析：由题意知，总成本为，所以总利润令，得.当时，，当时，.易知当年产量为300件时，总利润最大.9．答案：AC解析：由得，又因为为奇函数，，，，所以的周期为4，选项A正确；当时，，所以，选项B错误；当时，，，令，得时函数有最小值，又因为为奇函数，故时，函数在区间有最大值，，选项C正确；因为函数关于对称，，一个周期内两个零点，有505个周期，共1010个零点，总计1012个零点，选项D错误.故选AC.10．答案：AD解析：因,所以令,则,因为,,所以,所以在R上单调递减,,即,即,故A正确,B错;,即,即,故C错,D正确.故选:AD.11．答案：BC解析：由的图象可知，是的零点，但不一定是的零点，所以A错误；在和上单调递增，在和上单调递减，所以为的极小值点，所以B，C均正确；是函数的极小值，但不一定是最小值，所以D错误.12．答案：ABC解析：因为直线的斜率为，所以直线的方程为，即，故A正确.因为的图象过点及，所以有两个零点0，4，故可设（其中），则.又，，所以，，所以，，所以，故B正确.由选项B可知，，所以函数的图象关于点对称，故C正确.当时，有，，所以，故D错误.13．答案：.解析：易知,且,即为奇函数,又,当且仅当时取得等号,故为增函数,对于,所以,故答案为：.14．答案：解析：因为为奇函数,所以即,解得,则,所以切点,,所以切线斜率,切线方程为,故答案为：.15．答案：解析：构造函数,其中为奇函数且,则,所以,函数为奇函数,且,,当时,,所以,函数在上是单调递增函数,因为函数为奇函数,故函数在上是严格增函数,故,当时,,可得;当时,,可得.综上所述,不等式的解集为.故答案为：.16．答案：解析：由已知可得,.不妨设直线,则点是直线l上的一点,原点O到直线l的距离,则,设,,在上递减,在递增可得,所以的最小值为.故答案为：.17．答案：（1）（2）见解析解析：（1）当时,,,,所以,又,所以曲线在点处的切线方程为,即.（2）,当,令得,由得,由得,所以的单调递增区间为,单调递减区间为当,令得,当时,由得或,由得,所以的单调递增区间为和,单调递减区间为;当时,,所以的单调增区间为,无单调减区间;当时,由得或,由得,所以的单调增区间为和,单调递减区间为.18．答案：（1）（2）解析：（1）函数,求导得,因为函数在上存在单调减区间,则不等式在上有解,即在上成立,而函数在上递减,显然,于是,所以实数m的取值范围是.（2）由（1）知,,即,解得,,当或时,,当时,,即函数在,上单调递增,在上单调递减,因此函数在处取得,当时,不等式成立,当时,解得,则,所以实数m的取值范围是.19．答案：(1)答案见解析(2)①;②解析：（1）函数的定义域为,.①当时,,由可得或,由可得,此时函数的增区间为、,减区间为;②当时,且不恒为零,此时函数的增区间为;③当时,,由可得或,由可得,此时函数的增区间为、,减区间为.综上所述,当时,函数的增区间为、,减区间为;当时,函数的增区间为;当时,函数的增区间为、,减区间为.（2）①当时,,其中,因为函数有两个极值点,则有两个变号的零点,所以,直线与函数的图象有两个交点（非切点）,,当时,,函数单调递减,当时,,函数单调递增,则的极小值为,如下图所示：由图可知,当时,直线与函数的图象有两个交点（非切点）,因此,;②由于的两个变号零点分别为、,得,所以,令,把代入中可得,所以,令,,则,令,其中,则,所以,函数在上单调递增,则,则,所以,函数,设,则,其中,构造函数,其中,则,①当时,即当时,且不恒为零,所以,函数在上为增函数,则,合乎题意;②当时,则对任意的,,所以,函数在上为增函数,则,合乎题意;③当时,则,设方程的两根为、,且,则,所以,必有,当时,,此时函数单调递减,则,不合乎要求.综上,,所以,,故.20．答案：（1）（2）解析：（1）故,又,故在处的切线方程为:,即:;（2）一方面,由在上恒成立,则当,有,解得.另一方面,我们证明若,在上恒成立.注意到当时,由,,,则有恒成立,即恒成立,故只需证,其中,只需证,将上式左边看作关于a的函数,令,下面证明:当,时,.①若,则成立;②若,此时,.又为关于a的开口向下的二次函数,,故,③若,此时为关于的开口向上的二次函数,对称轴为(i)若对称轴,又,解得,此时在单调递减,所以,又由②知,,所以(ii)若对称轴,又,解得,则有,注意到此时对应的判别式故此时恒成立.综上,当,时,.故a的取值范围为.21．答案：（1），（2）当时，总费用y最小，为3680万元解析：（1）由勾股定理，得，，所以，.（2）由（1）得，.令，得，令，得，所以函数在上单调递减，在上单调递增，故当时，函数取得最小值，即，所以当时，总费用y最小，为3680万元.22．答案：（1），（2）12.6万元解析：（1）由题意，得，，所以，.（2）由（1），得，.设投入B商品的资金为万元，销售A，B两种商品所获得的总收益为（单位：万元），则投入A商品的资金为万元，故总收益，所以.令，得.当时，，单调递增；当时，，单调递减.所以是在区间上的唯一极大值点，此时取得最大值，为，且，因此该个体户可对A商品投入3万元，对B商品投入2万元，这样获得的收益最大，约为12.6万元.