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沪科版七年级数学上册专题特训 专题1.2 绝对值与相反数【九大题型】（原卷版+解析版）
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这是一份沪科版七年级数学上册专题特训 专题1.2 绝对值与相反数【九大题型】（原卷版+解析版），共18页。
专题1.2 绝对值与相反数【九大题型】【沪科版】TOC \o "1-3" \t "正文,1" \hTOC \o "1-1" \h \u HYPERLINK \l "_Toc14632" 【题型1 相反数的概念及表示】 PAGEREF _Toc14632 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc2818" 【题型2 相反数的性质运用】 PAGEREF _Toc2818 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc31667" 【题型3 绝对值的定义】 PAGEREF _Toc31667 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc23701" 【题型4 由绝对值的性质化简】 PAGEREF _Toc23701 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc12284" 【题型5 绝对值的非负性】 PAGEREF _Toc12284 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc26324" 【题型6 绝对值的几何意义】 PAGEREF _Toc26324 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc13713" 【题型7 利用法则比较有理数大小】 PAGEREF _Toc13713 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc7230" 【题型8 利用特殊值法比较有理数大小】 PAGEREF _Toc7230 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc10615" 【题型9 利用数轴比较有理数大小】 PAGEREF _Toc10615 \h 5【知识点1 相反数的概念及表示方法】相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．相反数的表示方法：一般地，a和-a互为相反数，这里的a表示任意一个数可以是正数、负数也可以是零，特别地，一个数的相反数等于它本身这个数是零.【题型1 相反数的概念及表示】【例1】（2021秋•安阳县月考）下列各对数中，互为相反数的有（ ）+（+1）与﹣1，（﹣1）与+（﹣1），﹣（﹣2）与+（﹣2），﹣（）与+（），+[﹣（+1）]与﹣[+（﹣1）]，﹣（+2）与﹣（﹣2）．A．6对 B．5对 C．4对 D．3对【变式1-1】（2021秋•义马市期中）下列各组数中：①﹣0.5与1.5；②与；③a与﹣（﹣a）；④a﹣2b与﹣a+2b；互为相反数的有（ ）A．1组 B．2组 C．3组 D．4组【变式1-2】（2021秋•武冈市期中）﹣a+b+c的相反数是（ ）A．a+b+c B．﹣a﹣b﹣c C．﹣a+b+c D．a﹣b﹣c【变式1-3】（2021秋•安阳县月考）若﹣{﹣[﹣（﹣x）]}＝﹣4，则x的相反数是 ．【知识点2 相反数的性质】若a与b互为相反数，那么a+b=0.【题型2 相反数的性质运用】【例2】（2021秋•宁远县期末）若a与b互为相反数，则代数式2021a+2021b﹣5＝ ．【变式2-1】（2022秋•凉州区期末）若4a﹣9与3a﹣5互为相反数，则a的值为 ．【变式2-2】（2021秋•江州区期中）已知x+2y与x+4互为相反数，则x+y的值为（ ）A．﹣4 B．﹣1 C．﹣2 D．2【变式2-3】（2022秋•路北区期末）已知a+2b+3c＝m，a+3b+4c＝m，则b和c的关系为（ ）A．互为相反数 B．互为倒数 C．相等 D．无法确定【知识点3 绝对值的定义】一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作.【题型3 绝对值的定义】【例3】（2021秋•谷城县期中）一个数的绝对值是，那么这个数为 ；若|﹣5|＝|﹣a|，则a＝ ．【变式3-1】（2021秋•鲤城区校级月考）已知a＝﹣4，|a|＝|b|，则b的值为（ ）A．+4 B．±4 C．0 D．﹣4【变式3-2】（2021秋•洛江区期末）已知，a，b是不为0的有理数，且|a|＝﹣a，|b|＝b，|a|＞|b|，那么用数轴上的点来表示a，b时，正确的是（ ）A． B． C． D．【变式3-3】（2021秋•东坡区期末）下列各式的结论成立的是（ ）A．若|m|＝|n|，则m＝n B．若|m|＞|n|，则m＞n C．若m＞n，则|m|＞|n| D．若m＜n＜0，则|m|＞|n|【知识点4 绝对值的性质】一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．【题型4 由绝对值的性质化简】【例4】（2021秋•长沙县期末）化简：|π﹣3.15|+π＝ ．【变式4-1】（2021秋•蔡甸区期末）若x的绝对值小于1，则化简|x﹣1|+|x+1|得 ．【变式4-2】（2021秋•青羊区校级月考）若x≤0，化简|2+|x﹣2||的结果为 ．【变式4-3】（2022秋•阜宁县月考）当1＜x＜5时，化简|x﹣1|﹣|5﹣x|+|x﹣6|＝ ．【知识点5 绝对值的非负性】根据绝对值的非负性“若几个非负数的和为0，则每一个非负数必为0”，即若，则=0且=0．【题型5 绝对值的非负性】【例5】（2021秋•顺德区月考）若|＝0，则x＝ ，y＝ ．【变式5-1】（2022春•东台市期中）|x﹣2|+9有最小值为 ．【变式5-2】（2022•东坡区校级模拟）下列各式x、x2、、x2+2、|x+2|中，值一定是正数的有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式5-3】（2021秋•渑池县期末）若|a﹣1|与|b﹣2|互为相反数，则a+b的值为（ ）A．3 B．﹣3 C．0 D．3或﹣3【题型6 绝对值的几何意义】【例6】（2021秋•遵义期末）在数轴上，点M、N分别表示数m，n．则点M、N之间的距离为|m﹣n|．已知点A，B，C，D在数轴上分别表示的数为a，b，c，d．且|a﹣c|＝|b﹣c|＝2，|d﹣a|＝1（a≠b），则线段BD的长度为（ ）A．4.5 B．1.5 C．6.5或1.5 D．4.5或1.5【变式6-1】（2021秋•芜湖期末）适合|a+5|+|a﹣3|＝8的整数a的值有（ ）A．4个 B．5个 C．7个 D．9个【变式6-2】（2021秋•西峡县期末）|x+8|+|x+1|+|x﹣3|+|x﹣5|的最小值等于（ ）A．10 B．11 C．17 D．21【变式6-3】（2021秋•绵竹市期末）代数式|x+1009|+|x+506|+|x﹣1012|的最小值是 ．【知识点7 有理数比较大小的法则】两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下： 【题型7 利用法则比较有理数大小】【例7】（2022春•泰山区校级月考）用“＞”“＜”或“＝”填空： ； ；﹣2 ﹣2.3．【变式7-1】（2021秋•旌阳区校级月考）下列四个式子：①；②；③|﹣2.5|＞﹣2.5；④．正确的是（ ）A．③④ B．①③ C．①② D．②③【变式7-2】（2021秋•双台子区校级期中）用“＜”号连接三个数：|﹣3.5|，，0.75，正确的是（ ）A．0.75＜|﹣3.5| B．|﹣3.5|＜0.75 C．|﹣3.5|0.75 D．0.75＜|﹣3.5|【变式7-3】（2021秋•靖西市期中）下列各组数中，比较大小正确的是（ ）A．||＜|| B．﹣|﹣3|＝﹣（﹣3） C．﹣|﹣8|＞7 D．【题型8 利用特殊值法比较有理数大小】【例8】（2021秋•姑苏区校级期末）如果实数﹣1＜a＜0，那么a，﹣a，a2，自小到大顺序排列正确的是（ ）A．a＜﹣a＜a2 B．﹣a＜a＜a2 C．a＜a2＜﹣a D．a2＜a＜﹣a【变式8-1】（2021秋•襄汾县期中）已知a是小于1的正数，则﹣a，﹣a2，，的大小关系为（ ）A．﹣aa2 B．﹣a2＞﹣a C．a2＞﹣a D．﹣a＞﹣a2【变式8-2】（2021秋•朝阳区期末）设a，b，c为非零有理数，a＞b＞c，则下列大小关系一定成立的是（ ）A．a﹣b＞b﹣c B． C．a2＞b2＞c2 D．a﹣c＞b﹣c【变式8-3】（2021秋•玄武区期末）已知﹣1＜x＜0，则x、x2、x3的大小关系是 ．（用“＜”连接）【知识点2 数轴法比较有理数大小】在数轴上表示出这两个有理数，左边的数总比右边的数小. 【题型9 利用数轴比较有理数大小】【例9】（2021秋•长春期末）如图，点A表示的有理数是x，则x，﹣x，1的大小顺序为（ ）A．x＜﹣x＜1 B．﹣x＜x＜1 C．x＜1＜﹣x D．1＜﹣x＜x【变式9-1】（2021秋•常宁市期末）有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示．把﹣a，b，0按照从小到大的顺序排列，正确的是（ ）A．0＜﹣a＜b B．﹣a＜0＜b C．b＜0＜﹣a D．b＜﹣a＜0【变式9-2】（2021秋•松滋市期末）有理数m，n在数轴上对应点的位置如图所示，则m，﹣m，n，﹣n，0的大小关系是（ ）A．n＜﹣n＜0＜﹣m＜m B．n＜﹣m＜0＜﹣n＜﹣m C．n＜﹣m＜0＜m＜﹣n D．n＜0＜﹣m＜m＜﹣n【变式9-3】若a＞0，b＜0，且|a|＞|b|，则a、﹣a、b、﹣b的大小关系是（ ）A．﹣b＜b＜a＜﹣a B．﹣a＜b＜﹣b＜a C．﹣b＜﹣a＜b＜a D．﹣a＜﹣b＜b＜a 专题1.2 绝对值与相反数【九大题型】【沪科版】TOC \o "1-3" \t "正文,1" \hTOC \o "1-1" \h \u HYPERLINK \l "_Toc14632" 【题型1 相反数的概念及表示】 PAGEREF _Toc14632 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc2818" 【题型2 相反数的性质运用】 PAGEREF _Toc2818 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc31667" 【题型3 绝对值的定义】 PAGEREF _Toc31667 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc23701" 【题型4 由绝对值的性质化简】 PAGEREF _Toc23701 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc12284" 【题型5 绝对值的非负性】 PAGEREF _Toc12284 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc26324" 【题型6 绝对值的几何意义】 PAGEREF _Toc26324 \h 7 HYPERLINK \l "_Toc13713" 【题型7 利用法则比较有理数大小】 PAGEREF _Toc13713 \h 9 HYPERLINK \l "_Toc7230" 【题型8 利用特殊值法比较有理数大小】 PAGEREF _Toc7230 \h 11 HYPERLINK \l "_Toc10615" 【题型9 利用数轴比较有理数大小】 PAGEREF _Toc10615 \h 13【知识点1 相反数的概念及表示方法】相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．相反数的表示方法：一般地，a和-a互为相反数，这里的a表示任意一个数可以是正数、负数也可以是零，特别地，一个数的相反数等于它本身这个数是零.【题型1 相反数的概念及表示】【例1】（2021秋•安阳县月考）下列各对数中，互为相反数的有（ ）+（+1）与﹣1，（﹣1）与+（﹣1），﹣（﹣2）与+（﹣2），﹣（）与+（），+[﹣（+1）]与﹣[+（﹣1）]，﹣（+2）与﹣（﹣2）．A．6对 B．5对 C．4对 D．3对【分析】分别化简每组中的两个数，再根据互为相反数的定义进行判断即可．【解答】解：+（+1）＝1，1与﹣1是互为相反数，因此+（+1）与﹣1是互为相反数；（﹣1）＝﹣1，+（﹣1）＝﹣1，因此（﹣1）与+（﹣1）不是互为相反数；﹣（﹣2）＝2，而+（﹣2）＝﹣2，2与﹣2是互为相反数，因此﹣（﹣2）与+（﹣2）是互为相反数；﹣（），而+（），因此﹣（）与+（）不是互为相反数；+[﹣（+1）]＝﹣1，而﹣[+（﹣1）]＝1，因此+[﹣（+1）]与﹣[+（﹣1）]是互为相反数；﹣（+2）＝﹣2而﹣（﹣2）＝2．因此﹣（+2）与﹣（﹣2）是互为相反数；综上所述，表示互为相反数的有4组，故选：C．【变式1-1】（2021秋•义马市期中）下列各组数中：①﹣0.5与1.5；②与；③a与﹣（﹣a）；④a﹣2b与﹣a+2b；互为相反数的有（ ）A．1组 B．2组 C．3组 D．4组【分析】直接根据相反数的定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数判断即可．【解答】解：①﹣0.5与1.5不是相反数；②与互为倒数，不是互为相反数；③a＝﹣（﹣a）不是互为相反数；④a﹣2b与﹣a+2b为相反数；故选：A．【变式1-2】（2021秋•武冈市期中）﹣a+b+c的相反数是（ ）A．a+b+c B．﹣a﹣b﹣c C．﹣a+b+c D．a﹣b﹣c【分析】相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．【解答】解：﹣a+b+c的相反数是﹣（﹣a+b+c）＝a﹣b﹣c．故选：D．【变式1-3】（2021秋•安阳县月考）若﹣{﹣[﹣（﹣x）]}＝﹣4，则x的相反数是 ．【分析】直接利用去括号法则以及结合相反数的定义分析得出答案．【解答】解：∵﹣{﹣[﹣（﹣x）]}＝﹣4，∴[﹣（﹣x）]＝﹣4，∴x＝﹣4，则x的相反数是：4．故答案为：4．【知识点2 相反数的性质】若a与b互为相反数，那么a+b=0.【题型2 相反数的性质运用】【例2】（2021秋•宁远县期末）若a与b互为相反数，则代数式2021a+2021b﹣5＝ ﹣5 ．【分析】根据相反数的性质解决此题．【解答】解：∵a与b互为相反数，∴a+b＝0．∴2021a+2021b﹣5＝2021（a+b）﹣5＝2021×0﹣5＝﹣5．故答案为：﹣5．【变式2-1】（2022秋•凉州区期末）若4a﹣9与3a﹣5互为相反数，则a的值为 ．【分析】根据题意可以得到一个关于a的方程，解方程就可以求得a的值．【解答】解：依题意有：4a﹣9+3a﹣5＝0，解得：a＝2．故答案为：2．【变式2-2】（2021秋•江州区期中）已知x+2y与x+4互为相反数，则x+y的值为（ ）A．﹣4 B．﹣1 C．﹣2 D．2【分析】直接利用相反数的定义得出答案．【解答】解：∵x+2y与x+4互为相反数，∴x+2y+x+4＝0，则2x+2y＝﹣4，故x+y＝﹣2．故选：C．【变式2-3】（2022秋•路北区期末）已知a+2b+3c＝m，a+3b+4c＝m，则b和c的关系为（ ）A．互为相反数 B．互为倒数 C．相等 D．无法确定【分析】由于a+2b+3c＝m，a+3b+4c＝m，则a+2b+3c＝a+3b+4c，则b与c的关系即可求出．【解答】解：由题意得，a+2b+3c＝m，a+3b+4c＝m，则a+2b+3c＝a+3b+4c，所以b+c＝0，所以b与c互为相反数．故选：A．【知识点3 绝对值的定义】一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作.【题型3 绝对值的定义】【例3】（2021秋•谷城县期中）一个数的绝对值是，那么这个数为 ；若|﹣5|＝|﹣a|，则a＝ ．【分析】根据绝对值的定义进行计算即可．【解答】解：∵一个数的绝对值是，∴这个数是±，∵|﹣5|＝|﹣a|＝5，∴a＝±5．故答案为：，±5．【变式3-1】（2021秋•鲤城区校级月考）已知a＝﹣4，|a|＝|b|，则b的值为（ ）A．+4 B．±4 C．0 D．﹣4【分析】根据绝对值的定义解决此题．【解答】解：根据绝对值的定义，得|a|＝|﹣4|＝4．∵|a|＝|b|，∴|b|＝4．∴b＝±4．故选：B．【变式3-2】（2021秋•洛江区期末）已知，a，b是不为0的有理数，且|a|＝﹣a，|b|＝b，|a|＞|b|，那么用数轴上的点来表示a，b时，正确的是（ ）A． B． C． D．【分析】根据绝对值的性质可得a≤0，b≥0，再根据|a|＞|b|可得a距离原点比b距离原点远，进而可得答案．【解答】解：∵|a|＝﹣a，|b|＝b，∴a≤0，b≥0，∵|a|＞|b|，∴表示数a的点到原点的距离比b到原点的距离大，故选：C．【变式3-3】（2021秋•东坡区期末）下列各式的结论成立的是（ ）A．若|m|＝|n|，则m＝n B．若|m|＞|n|，则m＞n C．若m＞n，则|m|＞|n| D．若m＜n＜0，则|m|＞|n|【分析】根据绝对值的性质逐一判断即可．【解答】解：A．若|m|＝|n|，则m＝n或m＝﹣n，故原说法错误，选项不符合题意；B．若|m|＞|n|，则﹣m＜n＜m，故原说法错误，选项不符合题意；C．若m＞n＞﹣m，则|m|＞|n|，故原说法错误，选项不符合题意；D．若m＜n＜0，则|m|＞|n|，正确，选项符合题意；故选：D．【知识点4 绝对值的性质】一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．【题型4 由绝对值的性质化简】【例4】（2021秋•长沙县期末）化简：|π﹣3.15|+π＝ ．【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数去掉绝对值号，然后解答即可．【解答】解：|π﹣3.15|+π，＝3.15﹣π+π，＝3.15．故答案为：3.15．【变式4-1】（2021秋•蔡甸区期末）若x的绝对值小于1，则化简|x﹣1|+|x+1|得 ．【分析】直接利用已知得出x的取值范围，进而结合绝对值的性质化简得出答案．【解答】解：∵x的绝对值小于1，∴﹣1＜x＜1，∴|x﹣1|+|x+1|＝1﹣x+x+1＝2．故答案为：2．【变式4-2】（2021秋•青羊区校级月考）若x≤0，化简|2+|x﹣2||的结果为 ．【分析】根据一个负数的绝对值等于它的相反数解答即可．【解答】解：因为x≤0，所以x﹣2＜0，4﹣x＞0所以|2+|x﹣2||＝|2﹣（x﹣2）|＝|2﹣x+2|＝|4﹣x|＝4﹣x．故答案为：4﹣x．【变式4-3】（2022秋•阜宁县月考）当1＜x＜5时，化简|x﹣1|﹣|5﹣x|+|x﹣6|＝ ．【分析】由已知1＜x＜5，得：x﹣1＞0，5﹣x＞0，x﹣6＜0，再根据绝对值的性质进行化简．【解答】解：∵1＜x＜5，∴x﹣1＞0，5﹣x＞0，x﹣6＜0，∴|x﹣1|﹣|5﹣x|+|x﹣6|＝x﹣1﹣（5﹣x）+（6﹣x）＝x﹣1﹣5+x+6﹣x＝x，故答案为：x．【知识点5 绝对值的非负性】根据绝对值的非负性“若几个非负数的和为0，则每一个非负数必为0”，即若，则=0且=0．【题型5 绝对值的非负性】【例5】（2021秋•顺德区月考）若|＝0，则x＝ ，y＝ ．【分析】根据绝对值的非负性解答即可．【解答】解：根据题意可得：x﹣2＝0，y0，可得：x＝2，y．故答案为：2；．【变式5-1】（2022春•东台市期中）|x﹣2|+9有最小值为 ．【分析】根据绝对值的非负性即可得出答案．【解答】解：∵|x﹣2|≥0，∴|x﹣2|+9≥9，∴|x﹣2|+9有最小值为9．故答案为：9．【变式5-2】（2022•东坡区校级模拟）下列各式x、x2、、x2+2、|x+2|中，值一定是正数的有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据有理数的乘方、绝对值的性质进行解答即可．【解答】解：x不一定是正数；x2不一定是正数；一定是正数；x2+2一定是正数；|x+2|不一定是正数；所以值一定是正数的有2个，故选：B．【变式5-3】（2021秋•渑池县期末）若|a﹣1|与|b﹣2|互为相反数，则a+b的值为（ ）A．3 B．﹣3 C．0 D．3或﹣3【分析】根据非负数互为相反数，可得这两个数为零，可得a、b的值，根据有理数的加法，可得答案．【解答】解：∵|a﹣1|与|b﹣2|互为相反数，∴|a﹣1|+|b﹣2|＝0，又∵|a﹣1|≥0，|b﹣2|≥0，∴a﹣1＝0，b﹣2＝0，解得a＝1，b＝2，a+b＝1+2＝3．故选：A．【题型6 绝对值的几何意义】【例6】（2021秋•遵义期末）在数轴上，点M、N分别表示数m，n．则点M、N之间的距离为|m﹣n|．已知点A，B，C，D在数轴上分别表示的数为a，b，c，d．且|a﹣c|＝|b﹣c|＝2，|d﹣a|＝1（a≠b），则线段BD的长度为（ ）A．4.5 B．1.5 C．6.5或1.5 D．4.5或1.5【分析】根据绝对值的几何意义，可以知道C是AB的中点，且到A、B的距离均为2．又D、A的距离为2.5，结合数轴可以快速得出答案．【解答】解：依题意可知AC＝BC＝2，AD＝2.5，所以AB＝4，当B、D在A的同侧时，BD＝AB﹣AD＝1.5．当B、D在A的异侧时，BD＝AB+AD＝6．故选：C．【变式6-1】（2021秋•芜湖期末）适合|a+5|+|a﹣3|＝8的整数a的值有（ ）A．4个 B．5个 C．7个 D．9个【分析】此方程可理解为a到﹣5和3的距离的和，由此可得出a的值，继而可得出答案．【解答】解：|a+5|表示a到﹣5点的距离，|a﹣3|表示a到3点的距离，由﹣5到3点的距离为8，故﹣5到3之间的所有点均满足条件，即﹣5≤a≤3，又由a为整数，故满足条件的a有：﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3共9个，故选：D．【变式6-2】（2021秋•西峡县期末）|x+8|+|x+1|+|x﹣3|+|x﹣5|的最小值等于（ ）A．10 B．11 C．17 D．21【分析】由|x+8|+|x+1|+|x﹣3|+|x﹣5|所表示的意义，得出当﹣1≤x≤3时，这个距离之和最小，再根据数轴表示数的特点进行计算即可．【解答】解：|x+8|+|x+1|+|x﹣3|+|x﹣5|表示数轴上表示数x的点，到表示数﹣8，﹣1，3，5的点的距离之和，由数轴表示数的意义可知，当﹣1≤x≤3时，这个距离之和最小，最小值为|5﹣（﹣8）|+|3﹣（﹣1）|＝13+4＝17，故选：C．【变式6-3】（2021秋•绵竹市期末）代数式|x+1009|+|x+506|+|x﹣1012|的最小值是 ．【分析】利用绝对值的定义，结合数轴可知最小值为1012到﹣1009的距离．【解答】解：∵|x+1009|＝|x﹣（﹣1009）|，|x+506|＝|x﹣（﹣506）|，由绝对值的定义可知：|x+1009|代表x到﹣1009的距离；|x+506|代表x到﹣506的距离；|x﹣1012|代表x到1012的距离；结合数轴可知：当x在﹣1009与1012之间，且x＝﹣506时，距离之和最小，∴最小值＝1012﹣（﹣1009）＝2021，故答案为：2021．【知识点7 有理数比较大小的法则】两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下： 【题型7 利用法则比较有理数大小】【例7】（2022春•泰山区校级月考）用“＞”“＜”或“＝”填空： ； ；﹣2 ﹣2.3．【分析】有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．【解答】解：||，||，∵，∴；∵，，∴；|﹣2|＝2，|﹣2.3|＝2.3，∵22.3，∴﹣22.3．故答案为：＞、＞、＜．【变式7-1】（2021秋•旌阳区校级月考）下列四个式子：①；②；③|﹣2.5|＞﹣2.5；④．正确的是（ ）A．③④ B．①③ C．①② D．②③【分析】根据有理数的大小关系、绝对值、相反数解决此题．【解答】解：①由3.75，根据有理数的大小关系，得，那么①不正确．②由，，根据有理数的大小关系，得，即，那么②正确．③由|﹣2.5|＝2.5，根据有理数的关系，得2.5＞﹣2.5，即|﹣2.5|＞﹣2.5，那么③正确．④由，，根据有理数大小关系，得，即，那么④不正确．综上：正确的有②③．故选：D．【变式7-2】（2021秋•双台子区校级期中）用“＜”号连接三个数：|﹣3.5|，，0.75，正确的是（ ）A．0.75＜|﹣3.5| B．|﹣3.5|＜0.75 C．|﹣3.5|0.75 D．0.75＜|﹣3.5|【分析】根据有理数大小比较的法则：①正数都大于0； ②负数都小于0； ③两个负数绝对值大的反而小进行分析即可．【解答】解：∵|﹣3.5|＝3.5，∴0.75＜|﹣3.5|，故选：A．【变式7-3】（2021秋•靖西市期中）下列各组数中，比较大小正确的是（ ）A．||＜|| B．﹣|﹣3|＝﹣（﹣3） C．﹣|﹣8|＞7 D．【分析】先化简各数，然后再进行比较即可．【解答】解：A．∵||，||，∴||＞||，故A错误；B．∵﹣||，﹣（），∴﹣||＜﹣（），故B错误；C．∵﹣|﹣8|＝﹣8，∴﹣|﹣8|＜7，故C错误；D．∵||，||，∴，∴，故D正确；故选：D．【题型8 利用特殊值法比较有理数大小】【例8】（2021秋•姑苏区校级期末）如果实数﹣1＜a＜0，那么a，﹣a，a2，自小到大顺序排列正确的是（ ）A．a＜﹣a＜a2 B．﹣a＜a＜a2 C．a＜a2＜﹣a D．a2＜a＜﹣a【分析】用特殊值法比较大小即可．【解答】解：若a，﹣a，a2，2，∵﹣2，∴a＜a2＜﹣a，故选：C．【变式8-1】（2021秋•襄汾县期中）已知a是小于1的正数，则﹣a，﹣a2，，的大小关系为（ ）A．﹣aa2 B．﹣a2＞﹣a C．a2＞﹣a D．﹣a＞﹣a2【分析】根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小，据此判断即可．【解答】解：∵0＜a＜1，∴，∴，故选：B．【变式8-2】（2021秋•朝阳区期末）设a，b，c为非零有理数，a＞b＞c，则下列大小关系一定成立的是（ ）A．a﹣b＞b﹣c B． C．a2＞b2＞c2 D．a﹣c＞b﹣c【分析】根据等式的性质和反例，结合有理数大小比较的方法即可求解．【解答】解：A、当a＝0，b＝﹣2，c＝﹣5时，a﹣b＜b﹣c，不符合题意；B、当a＝1，b＝﹣2，c＝﹣5时，，不符合题意；C、当a＝1，b＝﹣2，c＝﹣5时，a2＜b2＜c2，不符合题意；D、∵a＞b，∴a﹣c＞b﹣c，符合题意．故选：D．【变式8-3】（2021秋•玄武区期末）已知﹣1＜x＜0，则x、x2、x3的大小关系是 ．（用“＜”连接）【分析】直接利用x的取值范围进而得出答案．【解答】解：∵﹣1＜x＜0，∴x＜x3＜x2．故答案为：x＜x3＜x2．【知识点2 数轴法比较有理数大小】在数轴上表示出这两个有理数，左边的数总比右边的数小. 【题型9 利用数轴比较有理数大小】【例9】（2021秋•长春期末）如图，点A表示的有理数是x，则x，﹣x，1的大小顺序为（ ）A．x＜﹣x＜1 B．﹣x＜x＜1 C．x＜1＜﹣x D．1＜﹣x＜x【分析】根据互为相反数的两数的几何意义：在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，并且与原点的距离相等，数轴上右边表示的数总大于左边表示的数进行解答即可．【解答】解：因为﹣1＜x＜0，所以0＜﹣x＜1，可得：x＜﹣x＜1．故选：A．【变式9-1】（2021秋•常宁市期末）有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示．把﹣a，b，0按照从小到大的顺序排列，正确的是（ ）A．0＜﹣a＜b B．﹣a＜0＜b C．b＜0＜﹣a D．b＜﹣a＜0【分析】根据数轴确定a，b的符号和绝对值的大小，根据实数的大小比较法则解答．【解答】解：由数轴可知，a＜0＜b，|a|＜|b|，∴0＜﹣a＜b，故选：A．【变式9-2】（2021秋•松滋市期末）有理数m，n在数轴上对应点的位置如图所示，则m，﹣m，n，﹣n，0的大小关系是（ ）A．n＜﹣n＜0＜﹣m＜m B．n＜﹣m＜0＜﹣n＜﹣m C．n＜﹣m＜0＜m＜﹣n D．n＜0＜﹣m＜m＜﹣n【分析】先在数轴上把m，n，0，﹣m，﹣n表示出来，再比较即可．【解答】解：从数轴可知n＜0＜m，|n|＞|m|，如图：，则n＜﹣m＜0＜m＜﹣n．故选：C．【变式9-3】若a＞0，b＜0，且|a|＞|b|，则a、﹣a、b、﹣b的大小关系是（ ）A．﹣b＜b＜a＜﹣a B．﹣a＜b＜﹣b＜a C．﹣b＜﹣a＜b＜a D．﹣a＜﹣b＜b＜a【分析】根据已知和有理数的大小比较法则比较即可．【解答】解：∵a、b为有理数，且a＞0，b＜0，|a|＞|b|，∴a、﹣a、b、﹣b的大小关系是﹣a＜b＜﹣b＜a，故选：B．
专题1.2 绝对值与相反数【九大题型】【沪科版】TOC \o "1-3" \t "正文,1" \hTOC \o "1-1" \h \u HYPERLINK \l "_Toc14632" 【题型1 相反数的概念及表示】 PAGEREF _Toc14632 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc2818" 【题型2 相反数的性质运用】 PAGEREF _Toc2818 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc31667" 【题型3 绝对值的定义】 PAGEREF _Toc31667 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc23701" 【题型4 由绝对值的性质化简】 PAGEREF _Toc23701 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc12284" 【题型5 绝对值的非负性】 PAGEREF _Toc12284 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc26324" 【题型6 绝对值的几何意义】 PAGEREF _Toc26324 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc13713" 【题型7 利用法则比较有理数大小】 PAGEREF _Toc13713 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc7230" 【题型8 利用特殊值法比较有理数大小】 PAGEREF _Toc7230 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc10615" 【题型9 利用数轴比较有理数大小】 PAGEREF _Toc10615 \h 5【知识点1 相反数的概念及表示方法】相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．相反数的表示方法：一般地，a和-a互为相反数，这里的a表示任意一个数可以是正数、负数也可以是零，特别地，一个数的相反数等于它本身这个数是零.【题型1 相反数的概念及表示】【例1】（2021秋•安阳县月考）下列各对数中，互为相反数的有（ ）+（+1）与﹣1，（﹣1）与+（﹣1），﹣（﹣2）与+（﹣2），﹣（）与+（），+[﹣（+1）]与﹣[+（﹣1）]，﹣（+2）与﹣（﹣2）．A．6对 B．5对 C．4对 D．3对【变式1-1】（2021秋•义马市期中）下列各组数中：①﹣0.5与1.5；②与；③a与﹣（﹣a）；④a﹣2b与﹣a+2b；互为相反数的有（ ）A．1组 B．2组 C．3组 D．4组【变式1-2】（2021秋•武冈市期中）﹣a+b+c的相反数是（ ）A．a+b+c B．﹣a﹣b﹣c C．﹣a+b+c D．a﹣b﹣c【变式1-3】（2021秋•安阳县月考）若﹣{﹣[﹣（﹣x）]}＝﹣4，则x的相反数是 ．【知识点2 相反数的性质】若a与b互为相反数，那么a+b=0.【题型2 相反数的性质运用】【例2】（2021秋•宁远县期末）若a与b互为相反数，则代数式2021a+2021b﹣5＝ ．【变式2-1】（2022秋•凉州区期末）若4a﹣9与3a﹣5互为相反数，则a的值为 ．【变式2-2】（2021秋•江州区期中）已知x+2y与x+4互为相反数，则x+y的值为（ ）A．﹣4 B．﹣1 C．﹣2 D．2【变式2-3】（2022秋•路北区期末）已知a+2b+3c＝m，a+3b+4c＝m，则b和c的关系为（ ）A．互为相反数 B．互为倒数 C．相等 D．无法确定【知识点3 绝对值的定义】一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作.【题型3 绝对值的定义】【例3】（2021秋•谷城县期中）一个数的绝对值是，那么这个数为 ；若|﹣5|＝|﹣a|，则a＝ ．【变式3-1】（2021秋•鲤城区校级月考）已知a＝﹣4，|a|＝|b|，则b的值为（ ）A．+4 B．±4 C．0 D．﹣4【变式3-2】（2021秋•洛江区期末）已知，a，b是不为0的有理数，且|a|＝﹣a，|b|＝b，|a|＞|b|，那么用数轴上的点来表示a，b时，正确的是（ ）A． B． C． D．【变式3-3】（2021秋•东坡区期末）下列各式的结论成立的是（ ）A．若|m|＝|n|，则m＝n B．若|m|＞|n|，则m＞n C．若m＞n，则|m|＞|n| D．若m＜n＜0，则|m|＞|n|【知识点4 绝对值的性质】一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．【题型4 由绝对值的性质化简】【例4】（2021秋•长沙县期末）化简：|π﹣3.15|+π＝ ．【变式4-1】（2021秋•蔡甸区期末）若x的绝对值小于1，则化简|x﹣1|+|x+1|得 ．【变式4-2】（2021秋•青羊区校级月考）若x≤0，化简|2+|x﹣2||的结果为 ．【变式4-3】（2022秋•阜宁县月考）当1＜x＜5时，化简|x﹣1|﹣|5﹣x|+|x﹣6|＝ ．【知识点5 绝对值的非负性】根据绝对值的非负性“若几个非负数的和为0，则每一个非负数必为0”，即若，则=0且=0．【题型5 绝对值的非负性】【例5】（2021秋•顺德区月考）若|＝0，则x＝ ，y＝ ．【变式5-1】（2022春•东台市期中）|x﹣2|+9有最小值为 ．【变式5-2】（2022•东坡区校级模拟）下列各式x、x2、、x2+2、|x+2|中，值一定是正数的有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式5-3】（2021秋•渑池县期末）若|a﹣1|与|b﹣2|互为相反数，则a+b的值为（ ）A．3 B．﹣3 C．0 D．3或﹣3【题型6 绝对值的几何意义】【例6】（2021秋•遵义期末）在数轴上，点M、N分别表示数m，n．则点M、N之间的距离为|m﹣n|．已知点A，B，C，D在数轴上分别表示的数为a，b，c，d．且|a﹣c|＝|b﹣c|＝2，|d﹣a|＝1（a≠b），则线段BD的长度为（ ）A．4.5 B．1.5 C．6.5或1.5 D．4.5或1.5【变式6-1】（2021秋•芜湖期末）适合|a+5|+|a﹣3|＝8的整数a的值有（ ）A．4个 B．5个 C．7个 D．9个【变式6-2】（2021秋•西峡县期末）|x+8|+|x+1|+|x﹣3|+|x﹣5|的最小值等于（ ）A．10 B．11 C．17 D．21【变式6-3】（2021秋•绵竹市期末）代数式|x+1009|+|x+506|+|x﹣1012|的最小值是 ．【知识点7 有理数比较大小的法则】两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下： 【题型7 利用法则比较有理数大小】【例7】（2022春•泰山区校级月考）用“＞”“＜”或“＝”填空： ； ；﹣2 ﹣2.3．【变式7-1】（2021秋•旌阳区校级月考）下列四个式子：①；②；③|﹣2.5|＞﹣2.5；④．正确的是（ ）A．③④ B．①③ C．①② D．②③【变式7-2】（2021秋•双台子区校级期中）用“＜”号连接三个数：|﹣3.5|，，0.75，正确的是（ ）A．0.75＜|﹣3.5| B．|﹣3.5|＜0.75 C．|﹣3.5|0.75 D．0.75＜|﹣3.5|【变式7-3】（2021秋•靖西市期中）下列各组数中，比较大小正确的是（ ）A．||＜|| B．﹣|﹣3|＝﹣（﹣3） C．﹣|﹣8|＞7 D．【题型8 利用特殊值法比较有理数大小】【例8】（2021秋•姑苏区校级期末）如果实数﹣1＜a＜0，那么a，﹣a，a2，自小到大顺序排列正确的是（ ）A．a＜﹣a＜a2 B．﹣a＜a＜a2 C．a＜a2＜﹣a D．a2＜a＜﹣a【变式8-1】（2021秋•襄汾县期中）已知a是小于1的正数，则﹣a，﹣a2，，的大小关系为（ ）A．﹣aa2 B．﹣a2＞﹣a C．a2＞﹣a D．﹣a＞﹣a2【变式8-2】（2021秋•朝阳区期末）设a，b，c为非零有理数，a＞b＞c，则下列大小关系一定成立的是（ ）A．a﹣b＞b﹣c B． C．a2＞b2＞c2 D．a﹣c＞b﹣c【变式8-3】（2021秋•玄武区期末）已知﹣1＜x＜0，则x、x2、x3的大小关系是 ．（用“＜”连接）【知识点2 数轴法比较有理数大小】在数轴上表示出这两个有理数，左边的数总比右边的数小. 【题型9 利用数轴比较有理数大小】【例9】（2021秋•长春期末）如图，点A表示的有理数是x，则x，﹣x，1的大小顺序为（ ）A．x＜﹣x＜1 B．﹣x＜x＜1 C．x＜1＜﹣x D．1＜﹣x＜x【变式9-1】（2021秋•常宁市期末）有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示．把﹣a，b，0按照从小到大的顺序排列，正确的是（ ）A．0＜﹣a＜b B．﹣a＜0＜b C．b＜0＜﹣a D．b＜﹣a＜0【变式9-2】（2021秋•松滋市期末）有理数m，n在数轴上对应点的位置如图所示，则m，﹣m，n，﹣n，0的大小关系是（ ）A．n＜﹣n＜0＜﹣m＜m B．n＜﹣m＜0＜﹣n＜﹣m C．n＜﹣m＜0＜m＜﹣n D．n＜0＜﹣m＜m＜﹣n【变式9-3】若a＞0，b＜0，且|a|＞|b|，则a、﹣a、b、﹣b的大小关系是（ ）A．﹣b＜b＜a＜﹣a B．﹣a＜b＜﹣b＜a C．﹣b＜﹣a＜b＜a D．﹣a＜﹣b＜b＜a 专题1.2 绝对值与相反数【九大题型】【沪科版】TOC \o "1-3" \t "正文,1" \hTOC \o "1-1" \h \u HYPERLINK \l "_Toc14632" 【题型1 相反数的概念及表示】 PAGEREF _Toc14632 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc2818" 【题型2 相反数的性质运用】 PAGEREF _Toc2818 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc31667" 【题型3 绝对值的定义】 PAGEREF _Toc31667 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc23701" 【题型4 由绝对值的性质化简】 PAGEREF _Toc23701 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc12284" 【题型5 绝对值的非负性】 PAGEREF _Toc12284 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc26324" 【题型6 绝对值的几何意义】 PAGEREF _Toc26324 \h 7 HYPERLINK \l "_Toc13713" 【题型7 利用法则比较有理数大小】 PAGEREF _Toc13713 \h 9 HYPERLINK \l "_Toc7230" 【题型8 利用特殊值法比较有理数大小】 PAGEREF _Toc7230 \h 11 HYPERLINK \l "_Toc10615" 【题型9 利用数轴比较有理数大小】 PAGEREF _Toc10615 \h 13【知识点1 相反数的概念及表示方法】相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．相反数的表示方法：一般地，a和-a互为相反数，这里的a表示任意一个数可以是正数、负数也可以是零，特别地，一个数的相反数等于它本身这个数是零.【题型1 相反数的概念及表示】【例1】（2021秋•安阳县月考）下列各对数中，互为相反数的有（ ）+（+1）与﹣1，（﹣1）与+（﹣1），﹣（﹣2）与+（﹣2），﹣（）与+（），+[﹣（+1）]与﹣[+（﹣1）]，﹣（+2）与﹣（﹣2）．A．6对 B．5对 C．4对 D．3对【分析】分别化简每组中的两个数，再根据互为相反数的定义进行判断即可．【解答】解：+（+1）＝1，1与﹣1是互为相反数，因此+（+1）与﹣1是互为相反数；（﹣1）＝﹣1，+（﹣1）＝﹣1，因此（﹣1）与+（﹣1）不是互为相反数；﹣（﹣2）＝2，而+（﹣2）＝﹣2，2与﹣2是互为相反数，因此﹣（﹣2）与+（﹣2）是互为相反数；﹣（），而+（），因此﹣（）与+（）不是互为相反数；+[﹣（+1）]＝﹣1，而﹣[+（﹣1）]＝1，因此+[﹣（+1）]与﹣[+（﹣1）]是互为相反数；﹣（+2）＝﹣2而﹣（﹣2）＝2．因此﹣（+2）与﹣（﹣2）是互为相反数；综上所述，表示互为相反数的有4组，故选：C．【变式1-1】（2021秋•义马市期中）下列各组数中：①﹣0.5与1.5；②与；③a与﹣（﹣a）；④a﹣2b与﹣a+2b；互为相反数的有（ ）A．1组 B．2组 C．3组 D．4组【分析】直接根据相反数的定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数判断即可．【解答】解：①﹣0.5与1.5不是相反数；②与互为倒数，不是互为相反数；③a＝﹣（﹣a）不是互为相反数；④a﹣2b与﹣a+2b为相反数；故选：A．【变式1-2】（2021秋•武冈市期中）﹣a+b+c的相反数是（ ）A．a+b+c B．﹣a﹣b﹣c C．﹣a+b+c D．a﹣b﹣c【分析】相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．【解答】解：﹣a+b+c的相反数是﹣（﹣a+b+c）＝a﹣b﹣c．故选：D．【变式1-3】（2021秋•安阳县月考）若﹣{﹣[﹣（﹣x）]}＝﹣4，则x的相反数是 ．【分析】直接利用去括号法则以及结合相反数的定义分析得出答案．【解答】解：∵﹣{﹣[﹣（﹣x）]}＝﹣4，∴[﹣（﹣x）]＝﹣4，∴x＝﹣4，则x的相反数是：4．故答案为：4．【知识点2 相反数的性质】若a与b互为相反数，那么a+b=0.【题型2 相反数的性质运用】【例2】（2021秋•宁远县期末）若a与b互为相反数，则代数式2021a+2021b﹣5＝ ﹣5 ．【分析】根据相反数的性质解决此题．【解答】解：∵a与b互为相反数，∴a+b＝0．∴2021a+2021b﹣5＝2021（a+b）﹣5＝2021×0﹣5＝﹣5．故答案为：﹣5．【变式2-1】（2022秋•凉州区期末）若4a﹣9与3a﹣5互为相反数，则a的值为 ．【分析】根据题意可以得到一个关于a的方程，解方程就可以求得a的值．【解答】解：依题意有：4a﹣9+3a﹣5＝0，解得：a＝2．故答案为：2．【变式2-2】（2021秋•江州区期中）已知x+2y与x+4互为相反数，则x+y的值为（ ）A．﹣4 B．﹣1 C．﹣2 D．2【分析】直接利用相反数的定义得出答案．【解答】解：∵x+2y与x+4互为相反数，∴x+2y+x+4＝0，则2x+2y＝﹣4，故x+y＝﹣2．故选：C．【变式2-3】（2022秋•路北区期末）已知a+2b+3c＝m，a+3b+4c＝m，则b和c的关系为（ ）A．互为相反数 B．互为倒数 C．相等 D．无法确定【分析】由于a+2b+3c＝m，a+3b+4c＝m，则a+2b+3c＝a+3b+4c，则b与c的关系即可求出．【解答】解：由题意得，a+2b+3c＝m，a+3b+4c＝m，则a+2b+3c＝a+3b+4c，所以b+c＝0，所以b与c互为相反数．故选：A．【知识点3 绝对值的定义】一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作.【题型3 绝对值的定义】【例3】（2021秋•谷城县期中）一个数的绝对值是，那么这个数为 ；若|﹣5|＝|﹣a|，则a＝ ．【分析】根据绝对值的定义进行计算即可．【解答】解：∵一个数的绝对值是，∴这个数是±，∵|﹣5|＝|﹣a|＝5，∴a＝±5．故答案为：，±5．【变式3-1】（2021秋•鲤城区校级月考）已知a＝﹣4，|a|＝|b|，则b的值为（ ）A．+4 B．±4 C．0 D．﹣4【分析】根据绝对值的定义解决此题．【解答】解：根据绝对值的定义，得|a|＝|﹣4|＝4．∵|a|＝|b|，∴|b|＝4．∴b＝±4．故选：B．【变式3-2】（2021秋•洛江区期末）已知，a，b是不为0的有理数，且|a|＝﹣a，|b|＝b，|a|＞|b|，那么用数轴上的点来表示a，b时，正确的是（ ）A． B． C． D．【分析】根据绝对值的性质可得a≤0，b≥0，再根据|a|＞|b|可得a距离原点比b距离原点远，进而可得答案．【解答】解：∵|a|＝﹣a，|b|＝b，∴a≤0，b≥0，∵|a|＞|b|，∴表示数a的点到原点的距离比b到原点的距离大，故选：C．【变式3-3】（2021秋•东坡区期末）下列各式的结论成立的是（ ）A．若|m|＝|n|，则m＝n B．若|m|＞|n|，则m＞n C．若m＞n，则|m|＞|n| D．若m＜n＜0，则|m|＞|n|【分析】根据绝对值的性质逐一判断即可．【解答】解：A．若|m|＝|n|，则m＝n或m＝﹣n，故原说法错误，选项不符合题意；B．若|m|＞|n|，则﹣m＜n＜m，故原说法错误，选项不符合题意；C．若m＞n＞﹣m，则|m|＞|n|，故原说法错误，选项不符合题意；D．若m＜n＜0，则|m|＞|n|，正确，选项符合题意；故选：D．【知识点4 绝对值的性质】一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．【题型4 由绝对值的性质化简】【例4】（2021秋•长沙县期末）化简：|π﹣3.15|+π＝ ．【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数去掉绝对值号，然后解答即可．【解答】解：|π﹣3.15|+π，＝3.15﹣π+π，＝3.15．故答案为：3.15．【变式4-1】（2021秋•蔡甸区期末）若x的绝对值小于1，则化简|x﹣1|+|x+1|得 ．【分析】直接利用已知得出x的取值范围，进而结合绝对值的性质化简得出答案．【解答】解：∵x的绝对值小于1，∴﹣1＜x＜1，∴|x﹣1|+|x+1|＝1﹣x+x+1＝2．故答案为：2．【变式4-2】（2021秋•青羊区校级月考）若x≤0，化简|2+|x﹣2||的结果为 ．【分析】根据一个负数的绝对值等于它的相反数解答即可．【解答】解：因为x≤0，所以x﹣2＜0，4﹣x＞0所以|2+|x﹣2||＝|2﹣（x﹣2）|＝|2﹣x+2|＝|4﹣x|＝4﹣x．故答案为：4﹣x．【变式4-3】（2022秋•阜宁县月考）当1＜x＜5时，化简|x﹣1|﹣|5﹣x|+|x﹣6|＝ ．【分析】由已知1＜x＜5，得：x﹣1＞0，5﹣x＞0，x﹣6＜0，再根据绝对值的性质进行化简．【解答】解：∵1＜x＜5，∴x﹣1＞0，5﹣x＞0，x﹣6＜0，∴|x﹣1|﹣|5﹣x|+|x﹣6|＝x﹣1﹣（5﹣x）+（6﹣x）＝x﹣1﹣5+x+6﹣x＝x，故答案为：x．【知识点5 绝对值的非负性】根据绝对值的非负性“若几个非负数的和为0，则每一个非负数必为0”，即若，则=0且=0．【题型5 绝对值的非负性】【例5】（2021秋•顺德区月考）若|＝0，则x＝ ，y＝ ．【分析】根据绝对值的非负性解答即可．【解答】解：根据题意可得：x﹣2＝0，y0，可得：x＝2，y．故答案为：2；．【变式5-1】（2022春•东台市期中）|x﹣2|+9有最小值为 ．【分析】根据绝对值的非负性即可得出答案．【解答】解：∵|x﹣2|≥0，∴|x﹣2|+9≥9，∴|x﹣2|+9有最小值为9．故答案为：9．【变式5-2】（2022•东坡区校级模拟）下列各式x、x2、、x2+2、|x+2|中，值一定是正数的有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据有理数的乘方、绝对值的性质进行解答即可．【解答】解：x不一定是正数；x2不一定是正数；一定是正数；x2+2一定是正数；|x+2|不一定是正数；所以值一定是正数的有2个，故选：B．【变式5-3】（2021秋•渑池县期末）若|a﹣1|与|b﹣2|互为相反数，则a+b的值为（ ）A．3 B．﹣3 C．0 D．3或﹣3【分析】根据非负数互为相反数，可得这两个数为零，可得a、b的值，根据有理数的加法，可得答案．【解答】解：∵|a﹣1|与|b﹣2|互为相反数，∴|a﹣1|+|b﹣2|＝0，又∵|a﹣1|≥0，|b﹣2|≥0，∴a﹣1＝0，b﹣2＝0，解得a＝1，b＝2，a+b＝1+2＝3．故选：A．【题型6 绝对值的几何意义】【例6】（2021秋•遵义期末）在数轴上，点M、N分别表示数m，n．则点M、N之间的距离为|m﹣n|．已知点A，B，C，D在数轴上分别表示的数为a，b，c，d．且|a﹣c|＝|b﹣c|＝2，|d﹣a|＝1（a≠b），则线段BD的长度为（ ）A．4.5 B．1.5 C．6.5或1.5 D．4.5或1.5【分析】根据绝对值的几何意义，可以知道C是AB的中点，且到A、B的距离均为2．又D、A的距离为2.5，结合数轴可以快速得出答案．【解答】解：依题意可知AC＝BC＝2，AD＝2.5，所以AB＝4，当B、D在A的同侧时，BD＝AB﹣AD＝1.5．当B、D在A的异侧时，BD＝AB+AD＝6．故选：C．【变式6-1】（2021秋•芜湖期末）适合|a+5|+|a﹣3|＝8的整数a的值有（ ）A．4个 B．5个 C．7个 D．9个【分析】此方程可理解为a到﹣5和3的距离的和，由此可得出a的值，继而可得出答案．【解答】解：|a+5|表示a到﹣5点的距离，|a﹣3|表示a到3点的距离，由﹣5到3点的距离为8，故﹣5到3之间的所有点均满足条件，即﹣5≤a≤3，又由a为整数，故满足条件的a有：﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3共9个，故选：D．【变式6-2】（2021秋•西峡县期末）|x+8|+|x+1|+|x﹣3|+|x﹣5|的最小值等于（ ）A．10 B．11 C．17 D．21【分析】由|x+8|+|x+1|+|x﹣3|+|x﹣5|所表示的意义，得出当﹣1≤x≤3时，这个距离之和最小，再根据数轴表示数的特点进行计算即可．【解答】解：|x+8|+|x+1|+|x﹣3|+|x﹣5|表示数轴上表示数x的点，到表示数﹣8，﹣1，3，5的点的距离之和，由数轴表示数的意义可知，当﹣1≤x≤3时，这个距离之和最小，最小值为|5﹣（﹣8）|+|3﹣（﹣1）|＝13+4＝17，故选：C．【变式6-3】（2021秋•绵竹市期末）代数式|x+1009|+|x+506|+|x﹣1012|的最小值是 ．【分析】利用绝对值的定义，结合数轴可知最小值为1012到﹣1009的距离．【解答】解：∵|x+1009|＝|x﹣（﹣1009）|，|x+506|＝|x﹣（﹣506）|，由绝对值的定义可知：|x+1009|代表x到﹣1009的距离；|x+506|代表x到﹣506的距离；|x﹣1012|代表x到1012的距离；结合数轴可知：当x在﹣1009与1012之间，且x＝﹣506时，距离之和最小，∴最小值＝1012﹣（﹣1009）＝2021，故答案为：2021．【知识点7 有理数比较大小的法则】两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下： 【题型7 利用法则比较有理数大小】【例7】（2022春•泰山区校级月考）用“＞”“＜”或“＝”填空： ； ；﹣2 ﹣2.3．【分析】有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．【解答】解：||，||，∵，∴；∵，，∴；|﹣2|＝2，|﹣2.3|＝2.3，∵22.3，∴﹣22.3．故答案为：＞、＞、＜．【变式7-1】（2021秋•旌阳区校级月考）下列四个式子：①；②；③|﹣2.5|＞﹣2.5；④．正确的是（ ）A．③④ B．①③ C．①② D．②③【分析】根据有理数的大小关系、绝对值、相反数解决此题．【解答】解：①由3.75，根据有理数的大小关系，得，那么①不正确．②由，，根据有理数的大小关系，得，即，那么②正确．③由|﹣2.5|＝2.5，根据有理数的关系，得2.5＞﹣2.5，即|﹣2.5|＞﹣2.5，那么③正确．④由，，根据有理数大小关系，得，即，那么④不正确．综上：正确的有②③．故选：D．【变式7-2】（2021秋•双台子区校级期中）用“＜”号连接三个数：|﹣3.5|，，0.75，正确的是（ ）A．0.75＜|﹣3.5| B．|﹣3.5|＜0.75 C．|﹣3.5|0.75 D．0.75＜|﹣3.5|【分析】根据有理数大小比较的法则：①正数都大于0； ②负数都小于0； ③两个负数绝对值大的反而小进行分析即可．【解答】解：∵|﹣3.5|＝3.5，∴0.75＜|﹣3.5|，故选：A．【变式7-3】（2021秋•靖西市期中）下列各组数中，比较大小正确的是（ ）A．||＜|| B．﹣|﹣3|＝﹣（﹣3） C．﹣|﹣8|＞7 D．【分析】先化简各数，然后再进行比较即可．【解答】解：A．∵||，||，∴||＞||，故A错误；B．∵﹣||，﹣（），∴﹣||＜﹣（），故B错误；C．∵﹣|﹣8|＝﹣8，∴﹣|﹣8|＜7，故C错误；D．∵||，||，∴，∴，故D正确；故选：D．【题型8 利用特殊值法比较有理数大小】【例8】（2021秋•姑苏区校级期末）如果实数﹣1＜a＜0，那么a，﹣a，a2，自小到大顺序排列正确的是（ ）A．a＜﹣a＜a2 B．﹣a＜a＜a2 C．a＜a2＜﹣a D．a2＜a＜﹣a【分析】用特殊值法比较大小即可．【解答】解：若a，﹣a，a2，2，∵﹣2，∴a＜a2＜﹣a，故选：C．【变式8-1】（2021秋•襄汾县期中）已知a是小于1的正数，则﹣a，﹣a2，，的大小关系为（ ）A．﹣aa2 B．﹣a2＞﹣a C．a2＞﹣a D．﹣a＞﹣a2【分析】根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小，据此判断即可．【解答】解：∵0＜a＜1，∴，∴，故选：B．【变式8-2】（2021秋•朝阳区期末）设a，b，c为非零有理数，a＞b＞c，则下列大小关系一定成立的是（ ）A．a﹣b＞b﹣c B． C．a2＞b2＞c2 D．a﹣c＞b﹣c【分析】根据等式的性质和反例，结合有理数大小比较的方法即可求解．【解答】解：A、当a＝0，b＝﹣2，c＝﹣5时，a﹣b＜b﹣c，不符合题意；B、当a＝1，b＝﹣2，c＝﹣5时，，不符合题意；C、当a＝1，b＝﹣2，c＝﹣5时，a2＜b2＜c2，不符合题意；D、∵a＞b，∴a﹣c＞b﹣c，符合题意．故选：D．【变式8-3】（2021秋•玄武区期末）已知﹣1＜x＜0，则x、x2、x3的大小关系是 ．（用“＜”连接）【分析】直接利用x的取值范围进而得出答案．【解答】解：∵﹣1＜x＜0，∴x＜x3＜x2．故答案为：x＜x3＜x2．【知识点2 数轴法比较有理数大小】在数轴上表示出这两个有理数，左边的数总比右边的数小. 【题型9 利用数轴比较有理数大小】【例9】（2021秋•长春期末）如图，点A表示的有理数是x，则x，﹣x，1的大小顺序为（ ）A．x＜﹣x＜1 B．﹣x＜x＜1 C．x＜1＜﹣x D．1＜﹣x＜x【分析】根据互为相反数的两数的几何意义：在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，并且与原点的距离相等，数轴上右边表示的数总大于左边表示的数进行解答即可．【解答】解：因为﹣1＜x＜0，所以0＜﹣x＜1，可得：x＜﹣x＜1．故选：A．【变式9-1】（2021秋•常宁市期末）有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示．把﹣a，b，0按照从小到大的顺序排列，正确的是（ ）A．0＜﹣a＜b B．﹣a＜0＜b C．b＜0＜﹣a D．b＜﹣a＜0【分析】根据数轴确定a，b的符号和绝对值的大小，根据实数的大小比较法则解答．【解答】解：由数轴可知，a＜0＜b，|a|＜|b|，∴0＜﹣a＜b，故选：A．【变式9-2】（2021秋•松滋市期末）有理数m，n在数轴上对应点的位置如图所示，则m，﹣m，n，﹣n，0的大小关系是（ ）A．n＜﹣n＜0＜﹣m＜m B．n＜﹣m＜0＜﹣n＜﹣m C．n＜﹣m＜0＜m＜﹣n D．n＜0＜﹣m＜m＜﹣n【分析】先在数轴上把m，n，0，﹣m，﹣n表示出来，再比较即可．【解答】解：从数轴可知n＜0＜m，|n|＞|m|，如图：，则n＜﹣m＜0＜m＜﹣n．故选：C．【变式9-3】若a＞0，b＜0，且|a|＞|b|，则a、﹣a、b、﹣b的大小关系是（ ）A．﹣b＜b＜a＜﹣a B．﹣a＜b＜﹣b＜a C．﹣b＜﹣a＜b＜a D．﹣a＜﹣b＜b＜a【分析】根据已知和有理数的大小比较法则比较即可．【解答】解：∵a、b为有理数，且a＞0，b＜0，|a|＞|b|，∴a、﹣a、b、﹣b的大小关系是﹣a＜b＜﹣b＜a，故选：B．
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