数学七年级上册2.1 代数式教案

2.2 代数式

学习目标

1．  会列代数式，能解释一些简单代数式的实际意义。

2．  掌握单项式的系数、次数，多项式的项、项数、次数等概念；会辨别单项式、多项式。

3．  了解代数式、整式等概念。

4．  会求代数式的值，感受代数式求值可以理解为一个转换过程或某种算法，会利用代数式求值推断代数式所反映的规律。

教材解读

   一、 温故

1．  不等号：＞、＜、≠、≥、≤。

2．  多位数用各位上的数字表示：如

，。

二、知新

1．代数式

⑴用加、减、乘（乘方）、除等运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子，叫做代数式。如：，，，4，，，等都是代数式。

 2．单项式

⑴由数与字母的乘积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式。如 ，，，，等都是单项式；

⑵单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。如 ，，，，的系数分别是，，，，；

⑶单项式中所有字母的指数之和叫做这个单项式的次数。如 ，，，，的次数分别是，，，，。

3．多项式

⑴几个单项式的和叫做多项式。如：，，等都是多项式；

⑵在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，多项式的每一项都包括它前面的符号。其中不含字母的项，叫做常数项。如的项是：、、，其中常数项是，而不是；

⑶一个多项式含有几项，这个多项式就叫做几项式。一个多项式中次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。如是三次四项式。

4．单项式与多项式统称为整式。即单项式、多项式都是整式。

重点剖析

例1 下列代数式：，，，，，,,,其中哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？

解： 单项式：，， ；

多项式：，，；

整式：，，，，,。

注意：⑴整式是单项式与多项式的统称。⑵分母中含有字母的代数式一定不是整式，也就一定不是单项式，也不是多项式。

例2 说出下列多项式的项，并说明是几次几项式：

⑴；⑵。

解：⑴的项是、、、，它是四次四项式。

⑵的项是、、、、，它是四次五项式。

注意：⑴多项式的项包括前面的符号；⑵在求多项式的次数之前要先确定每一项的次数，其中次数最高项的次数就是这个多项式的次数；⑶常数项的次数为。

例3 已知，，求代数式的值。

解：当，时，

。

注意：⑴将相应的字母换成数字，运算符号、原来的数字不变。⑵如果字母给出的数值是负数，代入时必须加括号。⑶如果字母给出的数值是分数，作乘方运算时也必须添上括号。⑷如果代数式中省略了乘号，代入数值后必须添上乘号。

例4 已知代数式的值为，求代数式的值。

分析：若由条件先求出值，再代入中计算，则很麻烦，并且到现在为止我们还不会解这个方程。可由条件求得，再将要求值的代数式进行变形，然后整体代入求值。

解：∵，∴，

∴＝（）＝。

注意：本题通过将代数式变形，然后“整体代入”来求代数式的值。“整体代入”不是求出代数式里各个字母的值，而是把与这些字母有关的某个代数式的值整体代入，达到求解的目的。

错点反思

例5 指出下列单项式的系数和次数：⑴；⑵；⑶。

错解：⑴的系数是，次数是；

⑵的系数和次数都是；

⑶的系数是，次数是6。

反思：⑴的系数是，其中不含字母所以次数不是1，而是0；⑵单独一个字母的系数和次数都是1，次数不是0；⑶误认为是字母，实际上是常数，不是字母，所以是系数，次数为5。

正解：⑴的系数是，次数是0；

⑵的系数和次数都是；

⑶的系数是，次数是。

注意：⑴是常数，不是字母；⑵单项式的次数是所有字母的指数和，不能加上系数中的指数；⑶若单项式是单独的一个数字，则它的系数是它本身，次数是0。

例6 用代数式表示：

⑴与的4倍的和；⑵与平方差；⑶比大20％的数。

错解：⑴；⑵；⑶+20％。

反思：⑴混同了“与的和的4倍”；⑵混同了“与的平方的差”；⑶错在将百分数等同于一般的数。

正解：⑴；⑵；⑶（1+20％）。

注意：列代数式时要弄清楚题中的数量关系，运算顺序，书写代数式时要规范。

方法总结

1．代数式的判定方法

不含等号，也不含不等号的式子就是代数式。含等号，或含不等号的式子就不是代数式。如，都是代数式；＞2，都不是代数式。

2．整式的判定方法

分母不是字母的代数式就是整式。分母是字母的代数式就不是整式。如，，，都是整式，，都不是整式。

3．单项式和多项式的判定方法

不含加号或减号的整式就是单项式，含加号或减号的整式就是多项式。

4．单项式是由数字因数和字母因式两部分组成。数字因数就是单项式的系数。单项式的系数应包括前面的符号，比如单项式 的系数是“”而不是“”。单项式的系数是“”或“”时，“”通常省略不写，“”中的“”也通常省略不写，但“－”号不能省略。因此只含有字母因式的单项式不能认为它们没有系数，它们的系数是“”或“”。

5．单项式次数仅与单项式中所有字母的指数有关，而与系数无关。单项式中单独出现的字母，其指数“”通常略去不写，但计算次数时不可丢失。如 的次数是次，而不是次。

6．多项式的项及项的系数应包括它前面的符号，比如，多项式的第二项是 ，而不是，第二项的系数是 ，而不是 。

7．求代数式的值的步骤

⑴代入，即用数值代替代数式里的字母。

⑵计算，即按照代数式指明的运算顺序，计算出结果。

注意：⑴书写格式，在把字母所取的数值代入代数式时，必须写上“当……时”，表示这个代数式的值是在这种情况下求得的。

⑵求某些代数式的值时，有时采取整体代入法来求。

知识巩固

一、填空题：

1．是________次单项式，系数是________。

2．多项式是 ________次________项式，其中最高次项是________，常数项

是________。

3．已知多项式是六次四项式，则是________。

4．将原价为元的药品降价30%出售，则降价后此药品售价为________元。

5．若的值为，则代数式的值是________。

二、选择题：

6．下列式子符合代数式的书写格式的是（   ）。

A．·40             B．          C．        D．

7．下列说法正确的是（   ）。

A．  单项式既没有系数，也没有次数        

B．  单项式5×10的系数是5       

C．  也是单项式                         

D．  的系数是

8．代数式用语言叙述正确的是（   ）。

A．与的平方差                 B．的平方减5乘以的平方      

C．的平方与的平方的5倍的差    D．与的差的平方

三、解答题：

9．当，时，求代数式的值。

[10．用代数式表示：⑴的平方；⑵、平方和；⑶与和的平方；⑷与和的一半。

能力提高

1.一列单项式：，，，，……，，，……

⑴你能说出排列有什么规律吗？

⑵写出第99个，第2006个单项式；

⑶写出第个，第个单项式。

2．当时，求代数式的值。

3．当时，代数式的值为1000，求时，代数式的值。

4．水泥厂以每年产量增长10%的速度发展，如果第一年的产量是，那么第二年的产量是多少？第三年的产量是多少？

5.为了节约用水，某市自来水公司采取以下收费方法：每户每月用水不超过10t，收费1.5元/t；每户每月用水超过10t，超过的部分按3元/t收费。现在已知小明家2月份用水t＞10）,请用代数式表示小明家2月份应交水费多少元？如果＝16，那么小明家2月份应交水费多少元？