高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质精品精练

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一、正弦函数、余弦函数的性质
二、周期函数的定义
函数，定义域为I，当时，都有，其中T是一个非零的常数，则是周期函数，T是它的一个周期.
1、定义是对I中的每一个值来说的，只有个别的值满足或只差个别的值不满足都不能说T是的一个周期.
2、对于周期函数来说，如果所有的周期中存在一个最小的正数，就称它为最小正周期，三角函数中的周期一般都指最小正周期.
3、周期函数的周期公式
（1）一般地，函数的最小正周期
（2）若函数的周期是，则函数的周期为,
三、三角函数的值域求法
一般函数的值域求法有：观察法、配方法、判别式法、反比例函数法等．
三角函数是函数的特殊形式，一般方法也适用，但要结合三角函数本身的性质．
常见的三角函数求值域或最值的类型有以下几种：
（1）形如y＝sin(ωx＋φ)的三角函数，令t＝ωx＋φ，根据题中x的取值范围，求出t的取值范围，再利用三角函数的单调性、有界性求出y＝sin t的最值(值域)．
（2）形如y＝asin2x＋bsin x＋c(a≠0)的三角函数，可先设t＝sin x，将函数y＝asin2x＋bsin x＋c(a≠0)化为关于t的二次函数y＝at2＋bt＋c(a≠0)，根据二次函数的单调性求值域(最值)．
（3）对于形如y＝asin x(或y＝acs x)的函数的最值还要注意对a的讨论．
题型一 正余弦函数的周期性
【例1】求下列函数的周期：
（1）； （2）； （3）；
【变式1-1】的最小正周期是（ ）
A． B． C．2 D．3
【变式1-2】下列函数中，以为周期且在区间 单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】函数是（ ）
A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数
C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数
【变式1-4】若函数两零点间的最小距离为，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式1-5】已知，则____________.
题型二 正余弦函数的奇偶性
【例2】判断下列函数的奇偶性：
（1）；
（2）；
（3）.
【变式2-1】下列函数中为奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】已知函数为偶函数，则的取值可以为（ ）
A． B． C． D．0
【变式2-3】若函数是奇函数，则的值可以是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-4】函数的图象关于原点对称，则的最大负值为______．
【变式2-5】已知函数（，，为实数），且，则（ ）
A． B．1 C． D．4045
题型三 正余弦函数的对称性
【例3】函数的图象的一个对称轴方程是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】下列关于函数的图象，说法正确的是（ ）
A．关于点对称 B．关于直线对称
C．关于直线对称 D．关于点对称
【变式3-2】已知函数，．若方程的两个解为，则（ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】如果直线是函数图像的一条对称轴，则的最小正值为___________.
【变式3-4】已知函数的图象关于点中心对称，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-5】已知对任意都有，则等于________．
题型四 正余弦函数的单调性
【例4】函数的单调增区间是（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-1】函数的单调递增区间是（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-2】的单调增区间是（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-3】函数在上的增区间是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-4】(多选)函数f(x)＝在[－π，π]上的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-5】函数的单调增区间为__________．
题型五 根据正余弦函数单调性求参数
【例5】设，若函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】已知函数在上单调递增，则的值可以是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】已知函数在区间内单调递减，则实数ω的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-3】设，若函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-4】已知函数在区间上单调递减，则的取值范围为______.
【变式5-5】已知函数在上不单调，则的最小值为__________.
题型六 比较三角函数值的大小
【例6】利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小：
（1），； （2），；
（3），； （4），．
【变式6-1】按从小到大排列的顺序为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-2】若，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式6-3】已知定义在R上的函数满足，且当时，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式6-4】（多选）在中，下列说法正确的有（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
题型七 正余弦函数的最值问题
【例7】函数，的最大值和最小值分别为（ ）
A．1，-1 B．， C．1， D．1，
【变式7-1】函数在区间上的最大值为（ ）
A．-1 B． C． D．0
【变式7-2】函数取最大值时的值为（ ）
A． B． C． D．0
【变式7-3】已知关于的方程在内有解，那么实数的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【变式7-4】若函数在区间内存在最小值，则的值可以是（ ）
A． B． C． D．
【变式7-5】若函数在处取得最小值3，那么的值为（ ）
A． B． C． D．
题型八 正余弦函数综合应用
【例8】已知函数，，
（1）求函数的单调递减区间；
（2）求函数的最大值、最小值及对应的x值的集合；
（3）若对任意，存在，使得，求实数m的取值范围.
【变式8-1】已知函数，.
（1）求的最小正周期；
（2） 有零点，求的范围.
【变式8-2】设函数，函数的最小值为，且为函数的一个零点．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【变式8-3】已知函数的最大值为，最小值为．
（1）求a，b的值；
（2）求函数的最小值，并求出取最小值时的取值集合．图象
定义域
值域
[-1,1]
[-1,1]
最值
周期性
奇偶性
奇
偶
单调性
在上单调递增
在上单调递减
在上单调递增
在上单调递减
对称性
对称轴方程：
对称中心，
对称轴方程：
对称中心，