第05章 重难点突破训练：相交线平行线类型题举例（99题123页）-2023-2024学年七年级数学下册同步精品导与练（人教版）

第05章 重点突破训练：相交线平行线类型题举例典例体系（本专题99题123页）考点1：相交线所成的角典例：（2022春·湖北荆州·七年级统考期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OB平分∠EOD．(1)若∠BOD＝30°，求∠EOC的度数；(2)若∠BOD∶∠EOC＝1∶3，求∠AOD的度数；(3)在（2）的条件下，画射线OF，若∠COF=90°，请直接写出∠BOF的度数．方法或规律点拨本题考查了与角平分线有关的计算、邻补角、平角，熟练掌握角平分线的运算是解题关键．巩固练习1．（2022秋·河北邢台·七年级统考期末）如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，若∠BOD＝80°，则∠BOM等于（    ）A．40° B．80° C．100° D．140°2．（2022春·七年级单元测试）如图，直线、、相交于点，且，平分，若，则的度数为（    ）A． B． C． D．无法确定3．（2022秋·湖南湘西·七年级统考期末）如图，直线a，b相交于点O，如果，那么是____________°．4．（2022春·江苏·七年级专题练习）如图，直线与相交于点O，．(1)如果，求和的度数；(2)如果，求的度数．5．（2022秋·重庆·七年级校联考阶段练习）如图，直线，相交于点O，平分，平分．(1)判断与的位置关系，并进行证明．(2)若，求的度数．6．（2021春·湖北荆州·七年级统考期末）如图，O是直线AB上一点，平分．(1)若，请求出的度数；(2)若和互余，且，请求出的度数．7．（2022·全国·七年级专题练习）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE．(1)若∠AOC=76°，求∠BOF的度数；(2)若∠BOF=36°，求∠AOC的度数；8．（2022春·广东湛江·九年级校考期中）如图，已知O为直线上一点，过点O向直线上引三条射线，且平分．(1)若平分，求的度数；(2)若，，求的度数．9．（2022秋·福建龙岩·七年级校考阶段练习）如图，直线AB、CD相交于点O，∠DOE＝∠BOD，OF平分∠AOE．(1)判断OF与OD的位置关系，并说明理由；(2)若∠AOC：∠AOD＝1：5，求∠EOF的度数．10．（2022春·七年级课时练习）如图，直线AB，CD相交于点O，OB平分∠EOD．(1)若∠BOE：∠EOC＝1：4，求∠AOC的度数；(2)在（1）的条件下，画OF⊥CD，请直接写出∠EOF的度数．11．（2022秋·山东济宁·七年级统考期末）如图，直线 AB，CD相交于点O，∠BOC=80°，OE是∠BOC的平分线，OF是OE的反向延长线．(1)求∠2、∠3的度数；(2)说明 OF平分∠AOD的理由．12．（2022秋·湖北孝感·七年级统考期中）如图，直线与相交于点，．(1)若，判断与的位置关系，并证明；(2)若，求的度数．13．（2022春·陕西安康·七年级统考期末）如图，点在直线上，与互补，平分．(1)若，则的度数为______；(2)若，求的度数．14．（2022春·七年级课时练习）如图1，点为直线上一点，过点作射线，使．将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方．(1)将图1中的三角板绕点处逆时针旋转至图2，使一边在的内部．且恰好平分，求的度数；(2)在图3中，延长线段得到射线，判断是否平分，请说明理由．(3)将图1中的三角板绕点按每秒10°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第秒时，直线恰好平分锐角，则的值为______．（直接写出答案）15．（2022秋·浙江台州·七年级校联考阶段练习）如图，直线CD，EF相交于点O，射线OA在∠COF的内部，∠DOF=∠AOD．(1)如图1，若∠AOC=120°，求∠EOC的度数；(2)如图2，若∠AOC=α（60°<α<180°），将射线OA绕点O逆时针旋转60°，到OB，①求∠EOB的度数（用含α的式子表示）；②观察①中的结果，直接写出∠AOC，∠EOB之间的数量关系．(3)如图3 ，0°<∠AOC <120°，将射线OA绕点O顺时针旋转60°，到OB，请直接写出∠AOC，∠EOB之间的数量关系．考点2：补全证明过程典例：（2022春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第六十九中学校校考期中）完成下面推理过程.在括号内、横线上填空或填上推理依据．如图，已知：，，，求证：．证明：∵（已知）∴______（______）∵（已知）∴______（______）即∴∵（已知）∴______（______）∴EF∥______（______）∴（______）．方法或规律点拨本题考查了平行线的判定和性质，垂直的定义，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．巩固练习1．（2022春·吉林长春·七年级期末）如图，直线，，，求的度数．阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）．解：∵（已知），∴（        ）（                    ）．又∵，（已知），∴（等式的性质）．∴（        ）．∴（        ）（        ）（                ）．∴（        ）（                ）．∴．2．（2022春·吉林长春·七年级吉林大学附属中学期末）根据题意，完成推理填空：如图，，，试说明．解：∵（已知）∴______（内错角相等，两直线平行）∴（两直线平行，同旁内角互补）∵（已知）∴______＋______，（    ）∴（等量代换）3．（2022春·八年级单元测试）（1）完成下面的推理说明：已知：如图，，、分别平分和．求证：．证明：、分别平分和（已 知） ， ， （ ）．（ ），（ ）．（ ）．（等式的性质） ．（ ）．（2）说出（1）的推理中运用了哪两个互逆的真命题 ．4．（2022春·福建福州·七年级校考期末）如图，平分，F在上，G在上，与相交于点H，，试说明．（请通过填空完善下列推理过程）解：∵（已知），（　　）∴___________（等量代换）．∴（　　）∴______（___________）．∵平分，∴______（___________）．∴（　　）5．（2021春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考期中）证明：∵，（已知）∴（垂直定义）∴（同位角相等，两直线平行）∴___________（___________）∵（已知）∴（___________）∴（同位角相等，两直线平行）∴（___________）∵（已知）∴（垂直定义）6．（2022秋·山东济南·七年级统考期末）如图，，，，求的度数．解：∵，∴　 　（ 　 　）．又∵，∴（ 　 　）．∴　 　（ 　 　）．∴　 　（ 　 　）．∵，∴　 　．7．（2022秋·北京·七年级校考阶段练习）如图所示的是一个潜望镜模型示意图，，代表镜子摆放的位置，并且与平行，光线经过镜子反射时，满足，．证明离开潜望镜的光线平行于进入潜望镜的光线．请补全下述证明过程：∵，∴______（____________________________________）．∵，，∴．∵，______，∴______．∴（____________________________________）．8．（2022秋·北京·七年级北京市第一六一中学校考期末）推理填空：如图，直线被直线所截，是的角平分线，若，求∠4的度数．解：∵直线与直线相交，∴．（ ）∵是的角平分线，∴，（ ）∵，（已知）∴，（等量代换）∴，（等量代换）∴，（ ）∴ ，（两直线平行，同位角相等）9．（2022秋·湖南邵阳·七年级校考期中）已知，如图，平分平分．求证：．请将下列证明过程中的空格补充完整．证明：∵， ∴．（   ）∵平分平分，∴．（   ）∴　 　．∴．（   ）∴　 　．（两直线平行，内错角相等）∵，∴，即．（   ）10．（2022秋·陕西渭南·七年级统考阶段练习）完成下面的证明：如图，点在上，，连接，平分，，于点．求证：． 证明：∵，∴（_____________________）．∵，∴，即．∵平分，∴______（__________________）．∴，∴（________________________）∴__________________（________________________）．∵，∴______（______________________）．∴．11．（2022春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第四十九中学校校考阶段练习）填空并在括号内加注理由．已知：如图，，，，，求证：．证明：∵，（已知）∴（________________）∴（________________）∴________（________________）∵（已知）∴（________________）∴（同位角相等，两直线平行）∴________（________________）∵（已知）∴∴∴（________________）考点3：在生活中应用平行线性质和判定典例：（2022秋·广东深圳·七年级校考期中）如图，图①是一种网红弹弓的实物图，在两头上系上皮筋，拉动皮筋可形成平面示意图如图②和图③，弹弓的两边可看成是平行的，即，各活动小组探索与，之间数量关系时，有如下发现，(1)在图②所示的图形中，若，，则___________(2)在图⑧中，若，，则_________(3)有同学在图②和图③的基础上，面出了图④所示的图形，其中，请判断，，之间的关系，并说明理由．方法或规律点拨本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线是解题的关键．巩固练习1．（2022秋·河北石家庄·七年级统考期中）有一道题目“一副直角三角尺如图所示叠放，现将含45°角的三角尺ADE固定不动，将含30°角的三角尺ABC绕顶点A顺时针转动180°，在旋转的过程中，当三角尺ABC的边BC与三角尺ADE的边平行时，求∠BAD．”嘉嘉的结果是∠BAD为60°或105°；淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，∠BAD还有另一个不同的值．”下列判断正确的是（    ）A．淇洪说的对，且∠BAD的另一个值为15°B．嘉嘉的结果完全正确C．嘉嘉求的结果不对，∠BAD为30°或105°D．两人都不对，∠BAD应5有个不同的值2．（2022秋·贵州安顺·七年级统考期末）如图，某沿湖公路有三次拐弯，若第一次的拐角∠A=110°，第二次的拐角∠B=140°，第三次的拐角为∠C，第三次拐弯后的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C的度数是（    ）A．130° B．140° C．145° D．150°3．（2022秋·广东深圳·七年级校考期中）某同学在研究传统文化“抖空竹”时有一个发现：他把它抽象成数学问题，如图所示，已知，，，则的度数是 （  ）A． B． C． D．4．（2022秋·河南商丘·七年级统考期末）在庆祝中华人民共和国成立70周年阅兵式上，我国自主研制的“DF—17导弹”首次登场，震撼全球．如图是“DF—17导弹”上的一个零件的平面图，已知AB∥FE∥DC，AF∥ED∥BC，∠B=65°，则等于（     ）A．130° B．120° C．115° D．90°5．（2022春·广东深圳·八年级校考期末）光线在不同介质中传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图，水面与水杯下沿平行，光线从水中射向空气时发生折射，光线变成，点在射线上，已知，，则的度数为______．6．（2022秋·北京·七年级校考阶段练习）如图，一把长方形直尺沿直线断开并错位，点，，，在同一条直线上．若，则的度数是______．7．（2022春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨德强学校校考期中）如图，汽车灯的剖面图，从位于点的灯发出光照射到凹面镜上反射出的光线，都是水平线，若，，则的度数为______．8．（2022春·北京海淀·八年级北京市十一学校校考期中）如图，平面中两条直线和相交于点，对于平面上任意一点，若点到直线、的距离分别是、，则称有序实数对是点的“距离坐标”．特别地，当点在直线上时，定义点到直线的距离为0．下列说法：①“距离坐标”是的点只有点；②“距离坐标”是的点只有1个；③“距离坐标”是的点共有4个；正确的有_________．（填序号）9．（2022秋·山东济南·六年级校考期中）幸福乡要修建一条灌溉水渠，如图，水渠从A村沿北偏东60°的方向到B村，从B村沿北偏西30°方向到C村．若水渠从C村沿CD方向修建可以保持与AB的方向一致，则∠DCB的度数为_____°10．（2022秋·陕西西安·七年级校考阶段练习）如图，将木条，与钉在一起，，，要使木条与平行，木条按图所示方向旋转的度数至少是 __．11．（2022秋·浙江温州·七年级统考期中）如图，放置在水平操场上的篮球架的横梁EF始终平行于AB，EF与上拉杆CF形成的∠F＝140°，主柱AD垂直于地面，通过调整CF和后拉杆BC的位置来调整篮筐的高度．当∠CDB＝35°时，点H，D，B在同一直线上，则∠H的度数是_.12．（2022秋·山东泰安·六年级统考期末）如图1是某景区电动升降门，将其抽象为几何图形，如图2所示，垂直于地面于，当平行于地面时，则______．13．（2022秋·福建三明·七年级校考期中）为了亮化某景点，三明市在两条笔直且互相平行的景观道MN、QP上分别放置A、B两盏激光灯，如图所示，A灯发出的光束自AM逆时针旋转至AN便立即回转，B灯发出的光束自BP逆时针旋转至BQ便立即回转，两灯不间断照射，A灯每秒转动30°，B灯每秒转动10°，B灯先转动4秒，A灯才开始转动，当B灯光束第一次到达BQ之前，两灯的光束互相平行时A灯旋转的时间是_______________秒．14．（2022秋·山东东营·六年级校考期末）实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图1，一束光线m射到平面镜a上，被a反射后的光线为n，则入射光线m、反射光线n与平面镜a所夹的锐角．(1)利用这个规律人们制作了潜望镜，图2是潜望镜工作原理示意图，AB、CD是平行放置的两面平面镜．已知光线经过平面镜反射时，有，，请解释进入潜望镜的光线m为什么和离开潜望镜的光线是平行的？（请把证明过程补充完整）理由：∵（已知），∴（① ），∵，（已知），∴（② ），∴，即：，∴（③ ）(2)显然，改变两面平面镜AB、CD之间的位置关系，经过两次反射后，入射光线m与反射光线n之间的位置关系会随之改变，如图3，一束光线m射到平面镜AB上，被AB反射到平面镜CD上，又被CD反射．若被CD反射出的光线n和光线m平行，且，则∠6=______°，∠ABC=______°．(3)请你猜想：图3中，当两平面镜AB、CD的夹角∠ABC=______°时，可以使任何入射光线m经过平面镜AB、CD的两次反射后，与反射光线n平行、请说明理由．15．（2022秋·浙江台州·七年级校联考期中）如图1，MN、EF是两面互相平行的镜面，根据镜面反射规律，若一束光线AB照射到镜面MN上，产生反射光线BC，则一定有∠1＝∠2．试根据这一规律：(1)利用直尺和量角器作出光线BC经镜面EF反射后的反射光线GH；(2)在（1）的作图背景下，试判断AB与GH的位置关系，并说明理由．(3)如图2，若∠1＝30°，有一镜面PQ，从PN开始绕着点P以3°/s的速度顺时针转动（0°＜＜180°），当转动多少秒时，光线照射到镜面PQ上，产生的反射光线与镜面MN平行？(4)如图3，若∠1＝30°，∠NPQ＝（0°＜＜180°），光线经镜面EF反射后照射到镜面PQ上，产生的反射光线与入射光线的夹角为，请直接写出与之间的关系： ．16．（2022春·全国·八年级专题练习）光线照射到镜面会产生反射现象，由光学知识，入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等，例如：在图1中，有∠1＝∠2．(1)如图2，已知镜子MO与镜子ON的夹角∠MON＝90°，请判断入射光线AB与反射光线CD的位置关系，并说明理由；(2)如图3，有一口井，已知入射光线AO与水平线OC的夹角为50°，当平面镜MN与水平线OC的夹角为 °，能使反射光线OB正好垂直照射到井底；(3)如图4，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD．∠BAF＝120°，∠DCF＝40°，射线AB、CD分别绕A点、C点以3度/秒和1度/秒的速度同时逆时针转动，设时间为t秒，在射线AB转动一周的时间内，是否存在某时刻，使得CD与AB平行？若存在，求出所有满足条件的时间t．考点4：平行线中的折点问题典例：（2022秋·江西赣州·七年级统考期中）根据下列叙述填依据．(1)已知如图1，，求∠B+∠BFD+∠D的度数．解：过点F作所以∠B+∠BFE=180°（                                          ）因为、（已知）所以 （                                           ）所以∠D+∠DFE=180°（                                             ）所以∠B+∠BFE+∠D=∠B+∠BFE+∠EFD +∠D=360°(2)根据以上解答进行探索．如图（2）（3）ABEF、∠D与∠B、∠F有何数量关系（请选其中一个简要证明）备用图：(3)如图（4）ABEF，∠C=90°，∠与∠、∠有何数量关系（直接写出结果，不需要说明理由）方法或规律点拨本题考查根据平行线的性质探究角的关系和平行线公理推论的运用，熟练掌握平行线的性质和平行线公理推论的运用是解题的关键．巩固练习1．（2022秋·重庆云阳·七年级校考阶段练习）如图，已知，，，那么等于（　　）A． B． C． D．2．（2022春·四川雅安·八年级统考期末）如图，，，探索图中角α，β，γ之间的关系式正确的是（　　）A． B． C． D． 3．（2022春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第六十九中学校校考期中）如图，，则下列各式中正确的是（    ）A． B．C． D．4．（2022秋·浙江杭州·七年级校考阶段练习）如图，，设，，正确的选项是（    ）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则5．（2022春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨风华中学校考期中）如图，已知，则___________．6．（2022秋·重庆铜梁·七年级校考期中）如图，已知，且∠C=110°，则∠1与∠2的数量关系为__________________ .7．（2022秋·甘肃武威·七年级校考期末）如图，若ABCD，则，，则______．8.（2022春·八年级课时练习）已知：如图，，求证：．9.（2022春·八年级课时练习）已知：如图，求证：．10．（2022秋·贵州毕节·七年级校考期中）已知：如图，，，，，求的度数．11．（2022秋·重庆铜梁·七年级校考阶段练习）课题学习：平行线的“等角转化”功能．(1)阅读理解：如图1，已知点A是外一点，连接、，求的度数．阅读并补充下面推理过程．解：过点A作， ， ，，．解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将、、“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．(2)方法运用：如图2，已知，求的度数；(3)深化拓展：已知，点C在点D的右侧，，平分，平分，，所在的直线交于点E，点E在直线与之间．①如图3，点B在点A的左侧，若，求的度数．②如图4，点B在点A的右侧，且，．若，求度数．（用含n的代数式表示）12．（2022秋·山东德州·七年级校考期中）请阅读小明同学在学习平行线这章知识点时的一段笔记，然后解决问题．小明：老师说在解决有关平行线的问题时，如果无法直接得到角的关系，就需要借助辅助线来帮助解答，今天老师介绍了一个“美味”的模型一“猪蹄模型”．即已知：如图1，，为、之间一点，连接，得到．求证：，小明笔记上写出的证明过程如下：证明：过点作，∴，∵，，∴∴，∵，∴，请你利用“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的两个问题．(1)如图2，若，，求的度数；(2)灵活应用：如图3，一条河流的两岸当小船行驶到河中点时，与两岸码头B、D所形成的夹角为（即），当小船行驶到河中点时，恰好满足，，请你直接写出此时点与码头B、D所形成的夹角＝_________．考点5：图形平移性质的应用 典例：16．（2022·全国·七年级专题练习）如图，在三角形中，，，，，将三角形沿方向平移得到三角形，且与相交于点，连接．（1）阴影部分的周长为______；（2）若三角形的面积比三角形的面积大，则的值为______．方法或规律点拨本题考查平移的性质，平行四边形的面积，三角形的面积．掌握平移的性质是解决（1）的关键，正确作出辅助线是解决（2）的关键．巩固练习1．（2022秋·辽宁丹东·八年级校考期末）如图，将沿BC方向平移3cm得到，若的周长为24cm，则四边形ABFD的周长为（    ）A．30cm B．24cm C．27cm D．33cm2．（2022春·上海静安·七年级上海市市西中学校考期中）如图，将周长为厘米的沿射线方向平移厘米得到，那么四边形的周长为___________厘米．3．（2022春·上海宝山·七年级校联考期末）已知线段的长度为9厘米，现将线段向左平移5厘米得到线段，点A对应点C，点B对应点D，且A，B，C，D在同一直线上，那么的长度是____厘米4．（2022秋·广东东莞·七年级东莞市光明中学校考期中）如图，某酒店重新装修后，准备在大厅主楼梯上铺设红色地毯，其侧面如图所示，则需地毯 __米．5．（2022秋·北京海淀·七年级校考阶段练习）如图，一块边长为8米的正方形土地，在上面修了三条道路，宽都是1米，其余部分种上各种花草，则种植花草的面积是____平方米．6．（2022春·山东青岛·九年级统考期中）如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个沿点到点的方向平移到的位置，，，平移距离为6，则阴影部分的面积为______．7．（2022春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨德强学校校考期中）如图，，将直角三角形沿着射线方向平移4cm，得到三角形，已知，，则阴影部分面积为______．8．（2022春·黑龙江大庆·九年级统考期中）如图，直角三角形的周长为，在其内部有个小直角三角形，且这个小直角三角形都有一条边与平行，则这个小直角三角形周长的和为_________．9．（2022春·山东青岛·七年级统考期中）将棱长为的正方体毛坯，切去一个棱长为的小正方体，得到如图所示的零件，则该零件的表面积是___________．10．（2022春·吉林长春·九年级校考阶段练习）如图，已知矩形，，，在其矩形内部有三个小矩形，则这三个小矩形的周长之和为______．11．（2022·全国·七年级专题练习）如图，一楼梯的高度为6.4m，水平宽度为8.6m，现要在楼梯的表面铺一种地毯，此种地毯每米需10元钱，那么购买地毯需要______元．12．（2022秋·浙江温州·七年级校考期中）如图，在一块长，宽的长方形草地上，修建三条宽均为的长方形小路，则这块草地的绿地面积（图中空白部分）为 ___________【点睛】本题考查了平移的性质，根据平移的性质求得空白部分的长与宽是解题的关键．13．（2022秋·湖北随州·七年级校考阶段练习）如图，直角梯形ABCD，ADBC，ABBC，BC＝8，若将此梯形向下平移2个单位，且FC＝1，则图中阴影部分的面积为___________14．（2022秋·浙江温州·七年级校联考阶段练习）如图，将长为5cm，宽为3cm的长方形ABCD先向右平移2cm，再向下平移1cm，得到长方形，则阴影部分的周长为______cm．长方形周长的两倍，是解答本题的关键．15．（2022秋·甘肃陇南·七年级校考期末）星期天早晨，小刚和爸爸正在商量往楼梯上铺地毯的事，如图所示，爸爸：“小刚，你帮我算一下，从一层铺到二层需要地毯几米？”小刚：“我早已用盒尺量好了，每阶高，宽为  …”爸爸：（打断小刚的话）“不量每阶的高度和宽度，你想想有没有办法？”小刚：（思索）“有了，只需要量出楼梯的总高和总长度再相加，就行了．”你认为小刚的方法可以吗？说明理由．考点6：与平行线、交线有关的作图问题典例：（2022秋·浙江金华·七年级统考期末）如图是单位长度为1的网格，△ABC的三个顶点都在格点上，点M也在格点上．只用无刻度直尺在网格内按要求完成作图并回答问题：(1)过点M作平行于BC的直线l．(2)将图中△ABC先向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到．①作出平移后的；②点P是三角形ABC内任意一点，则平移过程中P点经过的路径长为 ．方法或规律点拨本题考查作图—平移变换，平移的性质，正确找出对应点的位置是解答本题的关键．巩固练习1．（2022秋·山东淄博·六年级统考期末）如图，河道1的一侧有A、B两个村庄，现要铺设一条引水管道把河水引向A、B两村，下列四种方案中最节省材料的是（    ）A． B． C． D．2．（2022春·七年级单元测试）如图，汽车站、码头分别位于两点，直线和波浪线分别表示公路与河流．(1)从汽车站到码头怎样走最近？画出最近路线，并说明理由；(2)从码头到公路怎样走最近？画出最近路线，并说明理由．3．（2022春·江苏·七年级期末）如图，线段、点在正方形网格中，所有小正方形的边长都相等．利用画图工具画图：(1)①画线段、；②延长线段到点，使；③画直线．利用画图工具比较大小：(2)线段与线段的大小：______ ；(3)与的大小______ ．4．（2022秋·河南信阳·七年级统考期末）按要求画图：(1)作BEAD交DC于E．(2)连接AC，作BFAC交DC的延长线于F．(3)作AG⊥DC于G．(4)根据图形回答问题：想要知道点A到点D、点C所在直线的距离，应该测图中哪条线段的长度？为什么？5．（2022春·七年级课时练习）按要求画图：（1）作 BE∥AD交DC于E．（2）连接AC，作BF∥AC交DC的延长线于F．（3）作AG⊥DC于G．根据图形回答下列问题：问题1：请用尺子测量点A、点C之间的距离，测量的结果是 cm．（精确到0.1cm．）问题2：想要知道点A到点D、点C所在直线的距离，应该测图中哪条线段的长度？为什么？6．（2022秋·北京·七年级校考期中）如图，已知三角形，是的平分线，平移三角形，使点移动到点，点的对应点是，点的对应点是．(1)在图中画出平移后的三角形；(2)画出点到线段的垂线段；(3)若，与相交于点，则___________°，___________°．7．（2022·全国·七年级专题练习）画图并填空：如图，12×10的方格纸，每个小正方形的边长都为1，的顶点都在方格纸的格点上，将按照某方向经过一次平移后得到，图中标出了点C的对应点．(1)请画出；(2)连接，，则这两条线段的关系是 ；(3)利用方格纸，在中画出边上的中线以及边上的高；(4)线段在平移过程中扫过区域的面积为 ．8．（2022秋·浙江台州·七年级统考期末）如图，在7×5的方格中，三角形ABC的顶点均在格点上，点D为格点．(1)在图中作出线段DE（E点在格上），使；(2)在图中作出线段DF（F点在格上），使．9．（2022秋·江苏扬州·七年级校考期中）如图，在方格纸内将△ABC水平向右平移4个单位得到△．(1)画出△；(2)利用网格点和直尺画图：画出AB边上的中线CD，请在图中标出点D；(3)图中△ABC的面积是_________．10．（2022秋·河北石家庄·七年级校联考期中）在正方形网格中，每个小正方形的边长均为个单位长度，的三个顶点的位置如图所示，现将平移，点平移到点的位置，、点平移后的对应点分别是、．(1)画出平移后的；(2)连接、，则这两条线段之间的位置关系是______．考点7：平行线性质与判定的综合问题典例：（2022秋·湖北宜昌·七年级统考期中）已知BCOA，∠B＝∠OAC＝104°，试回答下列问题：(1)如图（1），求证：OBAC．(2)如图（2），若点E，F在BC上，且满足∠FOC＝∠AOC，并且OE平分∠BOF，试求∠EOC的度数．(3)在图（2）的条件下，若平行移动AC，如图（3），那么∠OCB：∠OFB的值是否会发生变化？若变化，试说明理由；若不变，求出这个比值．方法或规律点拨此题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，以及角的计算，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键．巩固练习1．（2022·全国·七年级专题练习）已知，的平分线与的平分线相交于点F．(1)在图1中，求证：①；②；(2)如图2，当，时，请你写出与之间的关系，并加以证明；(3)当，，且时，请你直接写出的度数（用含m，n的式子表示）2．（2022秋·北京·七年级北京市第一六一中学校考期末）如图1，已知直线与直线交于点E，直线与直线交于点F，平分交直线于点M，且．点G是射线上的一个动点（不与点M、F重合），平分交直线于点H，过点H作交直线于点N，设，．图1图2(1)求证：；(2)当点G在点F的右侧时，①依据题意在图1中补全图形；②若，则α＝　 　度；(3)当点G在运动过程中，α和β之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．3．（2022秋·广东东莞·七年级东莞市光明中学校考期中）阅读下面内容，并解答问题．已知：如图1，，直线分别交，于点，．的平分线与的平分线交于点．(1)求证：；(2)填空，并从下列①、②两题中任选一题说明理由．我选择 　　题．①在图1的基础上，分别作的平分线与的平分线交于点，得到图2，则的度数为 　　．②如图3，，直线分别交，于点，．点在直线，之间，且在直线右侧，的平分线与的平分线交于点，则与满足的数量关系为 　　．4．（2022春·陕西汉中·七年级统考期末）解答下列问题(1)（问题情景）如图1，若，．过点P作，求的度数；(2)（问题迁移）如图2，，点P在的上方，点E，F分别在，上，连接，，过P点作，问之间有何数量关系？请说明理由；(3)（联想拓展）如图3所示，在（2）的条件下，已知的平分线和的平分线交于点G，过点G作，用含有的式子表示的度数．5．（2022春·四川宜宾·七年级校考阶段练习）问题情境：在综合实践课上，老师组织七年级（2）班的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动，如图，已知射线，连接，点P是射线上的一个动点（与点A不重合），，分别平分和，分别交射线于点C，D．探索发现：“快乐小组”经过探索后发现：(1)当时，求证：．(2)不断改变的度数，与却始终存在某种数量关系，当则_______度，当时，则_______度，（用含x的代数式表示）操作探究：(3)“智慧小组”利用量角器量出和的度数后，探究二者之间的数量关系．他们惊奇地发现，当点P在射线上运动时，无论点P在上的什么位置，与之间的数量关系都保持不变，请写出它们的关系，并说明理由．6．（2022·全国·七年级专题练习）已知：直线，点M、N分别在直线、直线上，点E为平面内一点，(1)如图1，请写出之间的数量关系，并给出证明；(2)如图2，利用（1）的结论解决问题，若，平分，平分，，求的度数；(3)如图3，点G为上一点，，， 交于点H，请写出，，之间的数量关系（用含m的式子表示），并给出证明．7．（2022·全国·七年级专题练习）已知，点A在上，的两边与相交于点B，与相交于点C，平分．(1)如图1，若，，的数量关系为 ；(2)如图2，在（1）的条件下，若，，求证；(3)点B、C分别在点D、E的下方，若，，请在备用图中画出相应的图形，并求出的度数．8．（2022·全国·七年级专题练习）如图1，已知直线平行直线，点为直线上一点，点为直线上一点，且，点是直线上一动点，且点在点右侧，过点作交直线于点，连接．(1)若平分，请直接写出的度数；(2)作，交直线于点，平分．（说明：解答过程用数字表示角）①如图2，若点，都在点的右侧，求的度数．②在点的运动过程中，是否存在这样的情形，使成立？若存在，求出的度数：若不存在，请说明理由．9．（2022春·安徽黄山·八年级校考阶段练习）已知：直线ABCD，直线AD与直线BC交于点E，∠AEC=110°．(1)如图①，直接写出∠BAD+∠BCD的度数是 ；(2)①如图①，BF平分∠ABE交AD于点F，DG平分∠CDE交BC于G，求∠AFB+∠CGD的度数；②如图②，∠ABC=30°，在∠BAE的平分线上取一点P，连接PC，当∠PCD=∠PCB，请直接写出∠APC的度数．（不用写解答过程）10．（2022秋·河北邯郸·七年级邯郸市第二十三中学校考期中）在平面直角坐标系中，D（0，﹣3），M（4，﹣3），直角三角形ABC的边与x轴分别相交于O、G两点，与直线DM分别交于E、F点，∠ACB＝90°．(1)将直角三角形如图1位置摆放，如果∠AOG＝47°，则∠CEF＝____；(2)将直角三角形ABC如图2位置摆放，N为AC上一点，∠NED+∠CEF＝180°，请写出∠NEF与∠AOG之间的等量关系，并说明理由．11．（2022秋·上海杨浦·七年级校考期中）已知：直线分别与直线，相交于点，，平分，，，分别为直线和线段上的点．(1)如图，平分，若，求的度数．(2)如图，平分交于点，于点，当在直线上运动（不与点重合）时，探究与的关系，并证明你的结论．12．（2022秋·广东佛山·七年级校考阶段练习）如图，直线，直线和直线分别交于C，D两点，点A，B分别在直线上，点P在直线上，连结．(1)如图①若点P在线段上，，则的大小为__________度；(2)如图①若点P在线段上（不与点C，D重合），直接写出之间的数量关系；(3)如图②若点P在线段的延长线上或在其反向延长线上，写出之间的数量关系；画出图形，并说明理由．13．（2022秋·浙江宁波·七年级校考期末）【原题】已知直线ABCD，点P为平行线AB，CD之间的一点，如图1，若∠ABP=50°，∠CDP=60°，BE平分∠ABP，DE平分∠CDP．(1)则∠P=______，∠E=______．(2)【探究】如图2，当点P在直线AB的上方时，若∠ABP=α，∠CDP=β，∠ABP和∠CDP的平分线交于点，∠ABE1与的角平分线交于点，∠ABE与∠CDE的角平分线交于点，…以此类推，求∠E的度数，并猜想∠E的度数．(3)【变式】如图3，∠ABP的角平分线的反向延长线和∠CDP的补角的角平分线交于点E，试直接写出∠P与∠E的数量关系．