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- 第01讲 4.1数列的概念（8类热点题型讲练）-高二数学同步讲练测（人教A版选择性必修第二册） 试卷 1 次下载
- 第03讲 4.2.2等差数列的前n项和公式（10类热点题型讲练）-高二数学同步讲练测（人教A版选择性必修第二册） 试卷 0 次下载
- 第04讲 4.3.1等比数列的概念（6类热点题型讲练）-高二数学同步讲练测（人教A版选择性必修第二册） 试卷 0 次下载
- 第05讲 4.3.2等比数列的前n项和公式（7类热点题型讲练）-高二数学同步讲练测（人教A版选择性必修第二册） 试卷 0 次下载
- 第08讲 第四章 数列 重点题型章末总结-高二数学同步讲练测（人教A版选择性必修第二册） 试卷 1 次下载
高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.2 等差数列精品同步练习题
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这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.2 等差数列精品同步练习题，文件包含第02讲421等差数列的概念原卷版docx、第02讲421等差数列的概念解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共43页， 欢迎下载使用。
知识点01：等差数列的有关概念
一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母d表示．
知识点02：等差中项
由三个数，,组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时, 叫做与的等差中项.这三个数满足关系式 .
【即学即练1】（2023春·江西吉安·高二吉安三中校考期末）两个数的等差中项是（ ）
A．B．C．5D．4
【答案】C
【详解】两个数的等差中项为.
故选：C．
知识点03：等差数列的通项公式
首项为,公差为的等差数列的通项公式为 .
(1)等差数列的通项公式是关于三个基本量,和的表达式,所以由首项和公差可以求出数列中的任意一项.
(2)等差数列的通项公式可以推广为,由此可知,已知等差数列中的任意两项,就可以求出其他的任意一项.
【即学即练2】（2023·全国·高二随堂练习）观察图，写出点数所成数列的一个通项公式．
【答案】
【详解】由图可知，图中点数依次增加3，所以该题满足等差数列，
且首项，公差，
所以.
知识点04：等差数列与一次函数
知识点05：等差数列的单调性
①当，等差数列为递增数列
②当，等差数列为递减数列
③当，等差数列为常数列
【即学即练3】（2023·全国·高二课堂例题）已知，是等差数列的图象上的两点．
(1)求数列的通项公式；
(2)画出数列的图象；
(3)判断数列的单调性．
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)为递减数列．
【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为d．
因为，是等差数列的图象上的两点，
所以，，即，解得．
因此，．
（2）等差数列的图象是均匀分布在直线上的一系列离散的点，如下图所示：
（3）因为公差，所以等差数列为递减数列．
知识点06：等差数列的四种判断方法
(1)定义法（或者）(是常数)是等差数列．
(2)等差中项法： ()是等差数列．
(3)通项公式：(为常数)是等差数列．（可以看做关于的一次函数）
(4)前项和公式：(为常数)是等差数列．(可以看做关于的二次函数，但是不含常数项）
提醒;证明一个数列是等差数列,只能用定义法或等差中项法
知识点07：等差数列的性质
①
②若，则（特别的，当，有）
③若是等差数列,公差为,则也是等差数列,公差为 .
④若是公差为的等差数列,则，，,…()组成公差为 的等差数列.
⑤若数列为等差数列,公差为,则(为常数)是公差为的等差数列.
⑥若,分别是以,为公差的等差数列,则是以为公差的等差数列.
【即学即练4】（2023·陕西咸阳·咸阳彩虹学校校考模拟预测）若等差数列中，，则 ．
【答案】6
【详解】由等差数列下标和性质可知，，得，
所以.
故答案为：6
题型01等差数列的判定
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足：，，.若，则（ ）
A．1B．2C．3D．2022
【典例2】（2023秋·高二课时练习）已知数列的前项和为，求证：数列是等差数列．
【典例3】（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，证明：为等差数列.
【变式1】（多选）（2023秋·江苏徐州·高三校考阶段练习）设数列的前项和为，则下列能判断数列是等差数列的是（ ）
A．B．C．D．．
【变式2】（2023秋·高二课时练习）已知数列的前项和为．
(1)求数列的通项公式；
(2)求证：数列是等差数列．
题型02 等差数列的通项公式及其应用
【典例1】（2023秋·河南三门峡·高二统考期末）若数列满足，，则数列的通项公式为（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（2023春·河北廊坊·高二校联考开学考试）已知数列满足，，则 ．
【典例3】（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，且.证明：数列是等差数列，并求的通项公式.
【变式1】（2023春·北京·高二北京市第九中学校考期中）已知数列满足，，则当时，n的最大值为（ ）
A．3B．4C．5D．7
【变式2】（2023·宁夏石嘴山·石嘴山市第三中学校考三模）在数列中，，，则 .
【变式3】（2023·全国·高二专题练习）在数列中，对任意总有，且，则 ．
题型03 等差数列通项公式基本量计算
【典例1】（2023·全国·高二课堂例题）已知数列是等差数列．
(1)如果，，求公差d和；
(2)如果，，求公差d和．
【典例2】（2023·全国·高二课堂例题）在等差数列中，
(1)已知，，求；
(2)已知，，求．
【变式1】（2023·全国·高二随堂练习）在等差数列中，
(1)已知，，求；
(2)已知，，求d；
(3)已知，，，求n.
【变式2】（2023·全国·高二随堂练习）已知等差数列中，，，求首项与公差d．
题型04 等差中项及其应用
【典例1】（2023秋·甘肃金昌·高二永昌县第一高级中学校考阶段练习）在等差数列中，若，则（ ）
A．13B．26C．39D．52
【典例2】（2023春·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨市第四中学校校考期中）已知等差数列满足，则（ ）
A．B．C．D．
【典例3】（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，且，则 .
【变式1】（2023春·高二课时练习）在等差数列中，，则（ ）
A．36B．48C．60D．72
【变式2】（2023春·西藏日喀则·高二统考期末）在等差数列中，若，则 .
【变式3】（2023春·山东日照·高二统考期末）已知数列为等差数列，且，则 ．
题型05 等差数列性质的应用
【典例1】（2023春·新疆巴音郭楞·高二校考期中）在等差数列中，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列的首项与公差d均为正数，且，，成等差数列，则，，的公差为（ ）
A．B．C．D．
【典例3】（2023·全国·高三专题练习）等差数列中，若，则的值是（ ）
A．14B．15C．16D．17
【变式1】（2023·全国·高三专题练习）若等差数列的前15项和，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
【变式2】（2023·全国·高二随堂练习）在等差数列中，，，求的值．
【变式3】（2023秋·高二课时练习）已知数列是等差数列，且，求．
题型06 等差数列的单调性
【典例1】（多选）（2023·江西南昌·校考模拟预测）下面是关于公差的等差数列的四个命题，其中的真命题为（ ）.
A．数列是递增数列
B．数列是递增数列
C．数列是递增数列
D．数列是递增数列
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）在数列中，，对任意的正整数，都有恒成立，求实数的取值范围.
【变式1】（2022·全国·高二专题练习）设等差数列的公差为d，若，则“”是“（）”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【变式2】（多选）（2023春·辽宁阜新·高二校考期中）已知数列的前项和为，且，，则（ ）
A．是等差数列 B．是等比数列C．是递增数列D．是递减数列
题型07 等差数列中的最大（小）项
【典例1】（2023春·高二课时练习）设，则当数列{an}的前n项和取得最小值时，n的值为（ ）
A．4B．5
C．4或5D．5或6
【典例2】（2023秋·高二课时练习）已知数列中，，数列满足.
(1)求证:数列是等差数列，写出的通项公式；
(2)求数列的通项公式及数列中的最大项与最小项.
【变式1】（2023春·高二课时练习）在首项为31，公差为－4的等差数列中，绝对值最小的项是 .
【变式2】（2023春·高二课时练习）已知数列的通项公式为.
（1）试问10是数列中的项吗？
（2）求数列中的最小项.
题型08构造等差数列
【典例1】（2023春·甘肃天水·高二天水市第一中学校考阶段练习）已知数列满足，则（ ）
A．9B．C．11D．
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知数列{}中，其中，且当n≥2时，，求通项公式.
【变式1】（2023春·辽宁鞍山·高二东北育才学校校联考期末）在数列中，，且.则数列的通项公式为 .
【变式2】（2023秋·江苏·高二专题练习）已知数列满足：求通项.
题型09等差数列的实际应用
【典例1】（2023春·陕西西安·高二统考期中）图是第七届国际数学教育大会的会徽图案，会徽的主体图案是由如图所示的一连串直角三角形演化而成的，其中，如果把图中的直角三角形继续作下去，记，，，的长度构成的数列为，则 （ ）
A．B．C．D．
【典例2】（2023·全国·高二课堂例题）某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少．经验表明，每经过一年其价值就会减少d（d为正常数）万元．已知这台设备的使用年限为10年，超过10年，它的价值将低于购进价值的5%，设备将报废．请确定d的取值范围．
【变式1】（2023·全国·高二随堂练习）某城市环境噪声平均值见下表：
如果噪声平均值依此规律逐年减少，那么从2017年起，至少经过多少年，噪声平均值将小于42dB？
【变式2】（2023·全国·高二随堂练习）某城市的绿化建设有如下统计数据：
如果以后的几年继续依此速度发展绿化，那么至少到哪一年该城市的绿化覆盖率可超过？
题型10等差数列在传统文化中的应用问题
【典例1】（2023春·陕西安康·高二统考期中）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年英国来华传教士伟烈亚利将《孙子算法》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1至2023这2023个数中，能被5除余1且被7除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列，则此数列的项数为（ ）
A．56B．57C．58D．59
【典例2】（2023春·上海黄浦·高二统考期末）《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，该书中提到：从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长次成等差数列，若立春的日影子长是12.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则立夏的日影子为 尺；
【变式1】（多选）（2023秋·甘肃定西·高二甘肃省临洮中学校考阶段练习）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱?”（“钱”是古代的一种重量单位）．关于这个问题，下列说法错误的是（ ）
A．戊得钱是甲得钱的一半
B．乙得钱比丁得钱多钱
C．甲、丙得钱的和是乙得钱的2倍
D．丁、戊得钱的和比甲得钱多钱
A夯实基础 B能力提升
A夯实基础
一、单选题
1．（2023春·黑龙江鹤岗·高二鹤岗一中校考期中）等差数列中，，公差，则是数列的第（ ）
A．项B．项C．项D．项
2．（2023春·江西萍乡·高二萍乡市安源中学校考期末）在等差数列中，若，则（ ）
A．4B．6C．8D．10
3．（2023春·辽宁大连·高二大连八中校考阶段练习）在数列中，，，则数列是（ ）
A．公差为的等差数列B．公差为的等差数列
C．公差为的等差数列D．不是等差数列
4．（2023秋·天津和平·高三天津二十中校考阶段练习）《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为（ ）
A．升B．升C．升D．升
5．（2023春·浙江·高二校联考开学考试）在数列中，，，则（ ）
A．121B．100C．81D．64
6．（2023秋·福建宁德·高二福建省宁德第一中学校考开学考试）首项为的等差数列，从第项起开始为正数，则公差的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．（2023春·甘肃天水·高二统考期末）在数列中，，，若，则等于（ ）
A．671B．673C．674D．675
8．（2023·全国·高二专题练习）已知数列满足，，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．（2023·全国·高二随堂练习）已知等差数列的公差，则下列四个命题中真命题为（ ）
A．数列是递增数列B．数列是递增数列
C．数列是递增数列D．数列是递增数列
10．（2023春·江西新余·高二统考期末）已知在数列中，，，则下列结论正确的是（ ）
A．是等差数列B．是递增数列
C．是等差数列D．是递增数列
三、填空题
11．（2023秋·江苏连云港·高二赣榆一中校考阶段练习）已知为等差数列，，，则 ．
12．（2023秋·甘肃定西·高二甘肃省临洮中学校考阶段练习）已知等差数列的首项，而，则 .
四、解答题
13．（2023·全国·高二课堂例题）如图所示，已知某梯子共有5级，从上往下数，第1级的宽为，第5级的宽为，且各级的宽度从小到大构成等差数列，求其余三级的宽度．
14．（2023·全国·高二课堂例题）已知等差数列8，5，2，…．
(1)求该数列的第20项．
(2)试问是不是该等差数列的项？如果是，指明是第几项；如果不是，试说明理由．
(3)该数列共有多少项位于区间内？
B能力提升
1．（2023春·河南周口·高二校联考阶段练习）已知数列的通项公式分别为，将各项并在一起，相等的项即为一项，从小到大排列成一个新的数列，则（ ）
A．14155B．6073C．4047D．4045
2．（2023秋·广东佛山·高三统考开学考试）已知数列对任意满足，则（ ）
A．4040B．4043C．4046D．4049
3．（2023·全国·高三专题练习）已知公差不为0的等差数列满足（其中），则的最小值为（ ）.
A．6B．16C．D．2
4．（2023春·宁夏银川·高二宁夏育才中学校考期中）已知函数.
(1)若在数列中，，，计算、、，并由此猜想通项公式；
(2)证明（1）中的猜想．
5．（2023·全国·高三专题练习）在①；②这两个条件中任选一个补充在下面的横线上，并解答．
若数列的前n项和为，，且数列满足________．
(1)求；
(2)求数列的通项公式．
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
课程标准
学习目标
①理解等差数列的定义.会推导等差数列的通项公式，能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题.掌握等差中项的概念。
②能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质.能运用等差数列的性质解决有关问题。
能应用等差数列的定义判断等差数列，会应用等差数列的通项公式进行基本量的求解，能应用等差数列的性质解决与等差数列相关的问题
等差数列
一次函数
表达式：
不同点
①定义域*.
②图象是一系列均匀分布在同一直线上的孤立的点.
①定义域为.
②图象是一条直线.
相同点
①当时,等差数列的通项公式与一次函数的
解析式都是关于自变量的一次式.
②等差数列中的,,,四个量中知三求一和
一次函数中求,的方法都是解方程(组).
年份
2014
2015
2016
2017
噪声/dB
57.8
57.2
56.6
56.0
年份
2015
2016
2017
2018
绿化覆盖率/%
17.0
17.8
18.6
19.4
知识点01：等差数列的有关概念
一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母d表示．
知识点02：等差中项
由三个数，,组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时, 叫做与的等差中项.这三个数满足关系式 .
【即学即练1】（2023春·江西吉安·高二吉安三中校考期末）两个数的等差中项是（ ）
A．B．C．5D．4
【答案】C
【详解】两个数的等差中项为.
故选：C．
知识点03：等差数列的通项公式
首项为,公差为的等差数列的通项公式为 .
(1)等差数列的通项公式是关于三个基本量,和的表达式,所以由首项和公差可以求出数列中的任意一项.
(2)等差数列的通项公式可以推广为,由此可知,已知等差数列中的任意两项,就可以求出其他的任意一项.
【即学即练2】（2023·全国·高二随堂练习）观察图，写出点数所成数列的一个通项公式．
【答案】
【详解】由图可知，图中点数依次增加3，所以该题满足等差数列，
且首项，公差，
所以.
知识点04：等差数列与一次函数
知识点05：等差数列的单调性
①当，等差数列为递增数列
②当，等差数列为递减数列
③当，等差数列为常数列
【即学即练3】（2023·全国·高二课堂例题）已知，是等差数列的图象上的两点．
(1)求数列的通项公式；
(2)画出数列的图象；
(3)判断数列的单调性．
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)为递减数列．
【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为d．
因为，是等差数列的图象上的两点，
所以，，即，解得．
因此，．
（2）等差数列的图象是均匀分布在直线上的一系列离散的点，如下图所示：
（3）因为公差，所以等差数列为递减数列．
知识点06：等差数列的四种判断方法
(1)定义法（或者）(是常数)是等差数列．
(2)等差中项法： ()是等差数列．
(3)通项公式：(为常数)是等差数列．（可以看做关于的一次函数）
(4)前项和公式：(为常数)是等差数列．(可以看做关于的二次函数，但是不含常数项）
提醒;证明一个数列是等差数列,只能用定义法或等差中项法
知识点07：等差数列的性质
①
②若，则（特别的，当，有）
③若是等差数列,公差为,则也是等差数列,公差为 .
④若是公差为的等差数列,则，，,…()组成公差为 的等差数列.
⑤若数列为等差数列,公差为,则(为常数)是公差为的等差数列.
⑥若,分别是以,为公差的等差数列,则是以为公差的等差数列.
【即学即练4】（2023·陕西咸阳·咸阳彩虹学校校考模拟预测）若等差数列中，，则 ．
【答案】6
【详解】由等差数列下标和性质可知，，得，
所以.
故答案为：6
题型01等差数列的判定
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足：，，.若，则（ ）
A．1B．2C．3D．2022
【典例2】（2023秋·高二课时练习）已知数列的前项和为，求证：数列是等差数列．
【典例3】（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，证明：为等差数列.
【变式1】（多选）（2023秋·江苏徐州·高三校考阶段练习）设数列的前项和为，则下列能判断数列是等差数列的是（ ）
A．B．C．D．．
【变式2】（2023秋·高二课时练习）已知数列的前项和为．
(1)求数列的通项公式；
(2)求证：数列是等差数列．
题型02 等差数列的通项公式及其应用
【典例1】（2023秋·河南三门峡·高二统考期末）若数列满足，，则数列的通项公式为（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（2023春·河北廊坊·高二校联考开学考试）已知数列满足，，则 ．
【典例3】（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，且.证明：数列是等差数列，并求的通项公式.
【变式1】（2023春·北京·高二北京市第九中学校考期中）已知数列满足，，则当时，n的最大值为（ ）
A．3B．4C．5D．7
【变式2】（2023·宁夏石嘴山·石嘴山市第三中学校考三模）在数列中，，，则 .
【变式3】（2023·全国·高二专题练习）在数列中，对任意总有，且，则 ．
题型03 等差数列通项公式基本量计算
【典例1】（2023·全国·高二课堂例题）已知数列是等差数列．
(1)如果，，求公差d和；
(2)如果，，求公差d和．
【典例2】（2023·全国·高二课堂例题）在等差数列中，
(1)已知，，求；
(2)已知，，求．
【变式1】（2023·全国·高二随堂练习）在等差数列中，
(1)已知，，求；
(2)已知，，求d；
(3)已知，，，求n.
【变式2】（2023·全国·高二随堂练习）已知等差数列中，，，求首项与公差d．
题型04 等差中项及其应用
【典例1】（2023秋·甘肃金昌·高二永昌县第一高级中学校考阶段练习）在等差数列中，若，则（ ）
A．13B．26C．39D．52
【典例2】（2023春·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨市第四中学校校考期中）已知等差数列满足，则（ ）
A．B．C．D．
【典例3】（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，且，则 .
【变式1】（2023春·高二课时练习）在等差数列中，，则（ ）
A．36B．48C．60D．72
【变式2】（2023春·西藏日喀则·高二统考期末）在等差数列中，若，则 .
【变式3】（2023春·山东日照·高二统考期末）已知数列为等差数列，且，则 ．
题型05 等差数列性质的应用
【典例1】（2023春·新疆巴音郭楞·高二校考期中）在等差数列中，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列的首项与公差d均为正数，且，，成等差数列，则，，的公差为（ ）
A．B．C．D．
【典例3】（2023·全国·高三专题练习）等差数列中，若，则的值是（ ）
A．14B．15C．16D．17
【变式1】（2023·全国·高三专题练习）若等差数列的前15项和，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
【变式2】（2023·全国·高二随堂练习）在等差数列中，，，求的值．
【变式3】（2023秋·高二课时练习）已知数列是等差数列，且，求．
题型06 等差数列的单调性
【典例1】（多选）（2023·江西南昌·校考模拟预测）下面是关于公差的等差数列的四个命题，其中的真命题为（ ）.
A．数列是递增数列
B．数列是递增数列
C．数列是递增数列
D．数列是递增数列
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）在数列中，，对任意的正整数，都有恒成立，求实数的取值范围.
【变式1】（2022·全国·高二专题练习）设等差数列的公差为d，若，则“”是“（）”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【变式2】（多选）（2023春·辽宁阜新·高二校考期中）已知数列的前项和为，且，，则（ ）
A．是等差数列 B．是等比数列C．是递增数列D．是递减数列
题型07 等差数列中的最大（小）项
【典例1】（2023春·高二课时练习）设，则当数列{an}的前n项和取得最小值时，n的值为（ ）
A．4B．5
C．4或5D．5或6
【典例2】（2023秋·高二课时练习）已知数列中，，数列满足.
(1)求证:数列是等差数列，写出的通项公式；
(2)求数列的通项公式及数列中的最大项与最小项.
【变式1】（2023春·高二课时练习）在首项为31，公差为－4的等差数列中，绝对值最小的项是 .
【变式2】（2023春·高二课时练习）已知数列的通项公式为.
（1）试问10是数列中的项吗？
（2）求数列中的最小项.
题型08构造等差数列
【典例1】（2023春·甘肃天水·高二天水市第一中学校考阶段练习）已知数列满足，则（ ）
A．9B．C．11D．
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知数列{}中，其中，且当n≥2时，，求通项公式.
【变式1】（2023春·辽宁鞍山·高二东北育才学校校联考期末）在数列中，，且.则数列的通项公式为 .
【变式2】（2023秋·江苏·高二专题练习）已知数列满足：求通项.
题型09等差数列的实际应用
【典例1】（2023春·陕西西安·高二统考期中）图是第七届国际数学教育大会的会徽图案，会徽的主体图案是由如图所示的一连串直角三角形演化而成的，其中，如果把图中的直角三角形继续作下去，记，，，的长度构成的数列为，则 （ ）
A．B．C．D．
【典例2】（2023·全国·高二课堂例题）某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少．经验表明，每经过一年其价值就会减少d（d为正常数）万元．已知这台设备的使用年限为10年，超过10年，它的价值将低于购进价值的5%，设备将报废．请确定d的取值范围．
【变式1】（2023·全国·高二随堂练习）某城市环境噪声平均值见下表：
如果噪声平均值依此规律逐年减少，那么从2017年起，至少经过多少年，噪声平均值将小于42dB？
【变式2】（2023·全国·高二随堂练习）某城市的绿化建设有如下统计数据：
如果以后的几年继续依此速度发展绿化，那么至少到哪一年该城市的绿化覆盖率可超过？
题型10等差数列在传统文化中的应用问题
【典例1】（2023春·陕西安康·高二统考期中）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年英国来华传教士伟烈亚利将《孙子算法》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1至2023这2023个数中，能被5除余1且被7除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列，则此数列的项数为（ ）
A．56B．57C．58D．59
【典例2】（2023春·上海黄浦·高二统考期末）《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，该书中提到：从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长次成等差数列，若立春的日影子长是12.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则立夏的日影子为 尺；
【变式1】（多选）（2023秋·甘肃定西·高二甘肃省临洮中学校考阶段练习）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱?”（“钱”是古代的一种重量单位）．关于这个问题，下列说法错误的是（ ）
A．戊得钱是甲得钱的一半
B．乙得钱比丁得钱多钱
C．甲、丙得钱的和是乙得钱的2倍
D．丁、戊得钱的和比甲得钱多钱
A夯实基础 B能力提升
A夯实基础
一、单选题
1．（2023春·黑龙江鹤岗·高二鹤岗一中校考期中）等差数列中，，公差，则是数列的第（ ）
A．项B．项C．项D．项
2．（2023春·江西萍乡·高二萍乡市安源中学校考期末）在等差数列中，若，则（ ）
A．4B．6C．8D．10
3．（2023春·辽宁大连·高二大连八中校考阶段练习）在数列中，，，则数列是（ ）
A．公差为的等差数列B．公差为的等差数列
C．公差为的等差数列D．不是等差数列
4．（2023秋·天津和平·高三天津二十中校考阶段练习）《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为（ ）
A．升B．升C．升D．升
5．（2023春·浙江·高二校联考开学考试）在数列中，，，则（ ）
A．121B．100C．81D．64
6．（2023秋·福建宁德·高二福建省宁德第一中学校考开学考试）首项为的等差数列，从第项起开始为正数，则公差的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．（2023春·甘肃天水·高二统考期末）在数列中，，，若，则等于（ ）
A．671B．673C．674D．675
8．（2023·全国·高二专题练习）已知数列满足，，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．（2023·全国·高二随堂练习）已知等差数列的公差，则下列四个命题中真命题为（ ）
A．数列是递增数列B．数列是递增数列
C．数列是递增数列D．数列是递增数列
10．（2023春·江西新余·高二统考期末）已知在数列中，，，则下列结论正确的是（ ）
A．是等差数列B．是递增数列
C．是等差数列D．是递增数列
三、填空题
11．（2023秋·江苏连云港·高二赣榆一中校考阶段练习）已知为等差数列，，，则 ．
12．（2023秋·甘肃定西·高二甘肃省临洮中学校考阶段练习）已知等差数列的首项，而，则 .
四、解答题
13．（2023·全国·高二课堂例题）如图所示，已知某梯子共有5级，从上往下数，第1级的宽为，第5级的宽为，且各级的宽度从小到大构成等差数列，求其余三级的宽度．
14．（2023·全国·高二课堂例题）已知等差数列8，5，2，…．
(1)求该数列的第20项．
(2)试问是不是该等差数列的项？如果是，指明是第几项；如果不是，试说明理由．
(3)该数列共有多少项位于区间内？
B能力提升
1．（2023春·河南周口·高二校联考阶段练习）已知数列的通项公式分别为，将各项并在一起，相等的项即为一项，从小到大排列成一个新的数列，则（ ）
A．14155B．6073C．4047D．4045
2．（2023秋·广东佛山·高三统考开学考试）已知数列对任意满足，则（ ）
A．4040B．4043C．4046D．4049
3．（2023·全国·高三专题练习）已知公差不为0的等差数列满足（其中），则的最小值为（ ）.
A．6B．16C．D．2
4．（2023春·宁夏银川·高二宁夏育才中学校考期中）已知函数.
(1)若在数列中，，，计算、、，并由此猜想通项公式；
(2)证明（1）中的猜想．
5．（2023·全国·高三专题练习）在①；②这两个条件中任选一个补充在下面的横线上，并解答．
若数列的前n项和为，，且数列满足________．
(1)求；
(2)求数列的通项公式．
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
课程标准
学习目标
①理解等差数列的定义.会推导等差数列的通项公式，能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题.掌握等差中项的概念。
②能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质.能运用等差数列的性质解决有关问题。
能应用等差数列的定义判断等差数列，会应用等差数列的通项公式进行基本量的求解，能应用等差数列的性质解决与等差数列相关的问题
等差数列
一次函数
表达式：
不同点
①定义域*.
②图象是一系列均匀分布在同一直线上的孤立的点.
①定义域为.
②图象是一条直线.
相同点
①当时,等差数列的通项公式与一次函数的
解析式都是关于自变量的一次式.
②等差数列中的,,,四个量中知三求一和
一次函数中求,的方法都是解方程(组).
年份
2014
2015
2016
2017
噪声/dB
57.8
57.2
56.6
56.0
年份
2015
2016
2017
2018
绿化覆盖率/%
17.0
17.8
18.6
19.4
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