2023-2024学年上海市川沙中学高二上学期期中数学试题含答案

这是一份2023-2024学年上海市川沙中学高二上学期期中数学试题含答案，共20页。试卷主要包含了填空题，单选题，多选题，解答题，未知等内容，欢迎下载使用。

一、填空题
1．两条相交直线确定 个平面.
【答案】
【分析】根据确定平面的依据，即可求解.
【详解】根据平面的基本事实，结合确定平面的依据，可得两条相交直线确定唯一的一个平面.
故答案为：.
2．已知直线经过，两点，则该直线的倾斜角为 .
【答案】
【分析】利用直线斜率的定义式及直线斜率与倾斜角的关系式可得解.
【详解】由直线经过，两点，
则，
设直线的倾斜角为，，
则，
则，
故答案为：.
3．正方体的所有棱所在直线中，与直线垂直且异面的直线共有 条.
【答案】4
【分析】根据正方体的图形以及异面直线的定义，观察即可得出答案.
【详解】
由图象可知，与直线垂直且异面的直线有、、、，共4条.
故答案为：.
4．若球O1、O2表示面积之比，则它们的半径之比" . "
【答案】3
【详解】
5．圆锥的底面积和侧面积分别为和，则该圆锥母线与底面所成角为 .（用反三角表示）
【答案】
【分析】圆锥的底面积和侧面积分别为和，由此得到底面半径和母线的比值，从而能求出该圆锥的母线与底面所成的角．
【详解】解：∵圆锥的底面积和侧面积分别为和，
设底面圆的半径为，母线长为，该圆锥母线与底面所成角为
，
∴该圆锥的母线与底面所成角的余弦值：．
则
故答案为：．
6．已知二面角，若直线，直线，且直线所成角的大小为，则二面角的大小为 .
【答案】或
【分析】作出二面角的平面角，然后利用直线夹角与二面角的平面角的关系求出二面角的大小
【详解】设点是二面角内的一点，过P分别作直线的平行线，且垂直于于，垂直于于，设平面交直线于点，连接，，由于，，，，
故，，又，平面，
故平面，又，平面，故，，
所以为二面角的平面角，
因为直线所成角的大小为，所以或，
当时，如图
因为，所以；
当时，
如图
因为，所以;
综上，二面角的大小为或
故答案为：或
7．如图，是水平放置的的斜二测直观图，若，则的面积为 ．
【答案】12
【分析】首先根据直观图还原为原图，再计算的面积.
【详解】如下图，直观图还原为原图，
则的面积
故答案为：12
8．如图所示，扇形的半径为，圆心角为，若扇形绕旋转一周，则图中阴影部分绕旋转一周所得几何体的体积为
【答案】/
【分析】用半球的体积减去圆锥的体积求得正确答案.
【详解】图中阴影部分绕旋转一周所得几何体为一个半球“挖掉”一个圆锥，
其体积为：
.
故答案为：
9．已知三棱锥的侧棱长均为，则顶点到底面的距离为 .
【答案】
【分析】由线面垂直的判定定理证线面垂直，再由三棱锥的体积公式等体积转化计算即可.
【详解】由题意可知是正三角形，是等腰直角三角形，
，，
取的中点D，连接，则，
因为面，
所以面，
又面，所以，
因为面，所以面，
易知，
，
设顶点到底面的距离为，则.
故答案为：
10．如图，边长为1的菱形中，，沿将翻折，得到三棱锥，则当三棱锥体积最大时，异面直线与所成的角的余弦值等于 .

【答案】/0.25
【分析】利用椎体的体积公式确定当平面平面时，三棱锥的高最大，体积最大；再利用异面直线所成角的定义求解.
【详解】
,为边长为1的等边三角形，将沿着翻折形成三棱锥
,如图，点在底面上的投影在的平分线上，
则三棱锥的高为过点的高，
所以当平面平面时，三棱锥的高最大，体积最大，
此时为平面平面平面所成的角，所以,
且平面,
所以平面，
分别取中点为,连接,
因为所以为异面直线与所成的角或其补角，
在中，
,
在直角三角形中，,
所以,
由余弦定理可得，,

所以异面直线与所成的角的余弦值为，
故答案为: .
11．长方体为不计容器壁厚度的密封容器，里面盛有体积为V的水，已知，，，如果将该密封容器任意摆放均不能使水面呈三角形，则V的取值范围为 ．
【答案】
【分析】分别计算水量较少和水量较多时，水面呈三角形时的水的体积，然后可得答案.
【详解】水量较少，水面恰好为长方体的截面时，;
水量较多，水面恰好为长方体的截面时，;
因为该密封容器任意摆放均不能使水面呈三角形，所以V的取值范围为.
故答案为：.
12．如图，在棱长为2的正方体中，点为平面上一动点，且满足，则满足条件的所有点围成的平面区域的面积为 .
【答案】
【分析】若是中点，由题设分析易知要面上一动点使，只需在面上的射影即可，进而确定轨迹，即可求面积.
【详解】若是中点，由正方体的性质易知：在面上的投影为，
∴要使面上一动点使，只需在面上的射影即可，
∴轨迹是以为直径的圆上，而，
∴满足条件的所有点围成的平面区域的面积为.
故答案为：
二、单选题
13．设l,m,n均为直线，其中m,n在平面内，“l”是“lm且ln”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】设l,m,n均为直线，其中m,n在平面内，“l”，则“lm且ln”，反之若“lm且ln”，当m//n时，推不出“l”，∴ “l”是“lm且ln”的充分不必要条件，选A．
14．下列四个命题中真命题是（ ）
A．同垂直于一直线的两条直线互相平行
B．过空间任一点与两条异面直线都垂直的直线有且只有一条
C．底面各边相等、侧面都是矩形的四棱柱是正四棱柱
D．过球面上任意两点的大圆有且只有一个
【答案】B
【分析】利用空间中线线位置关系可判断A选项；利用线面垂直的性质可判断B选项；取底面是菱形的直四棱柱可判断C选项；取两点的连线为球的直径，可判断D选项.
【详解】对于A选项，同时垂直于同一直线的两条直线相交、平行或异面，A错；
对于B选项，设直线、异面，过直线上一点作直线，
使得且，如下图所示：
设直线、确定平面，过空间中任意一点，有且只有一条直线，使得，
因为、，则，，又因为，则，B对；
对于C选项，底面是菱形的直四棱柱的底面各边都相等，其侧面都是矩形，
但该四棱柱不是正四棱柱，C错；
对于D选项，这两点所在的弦为球面的一条直径，则过球面上这两点的大圆有无数个，D错.
故选：B.
三、多选题
15．如图，在棱长为2的正方体中，点分别在线段和上，则下列结论中错误的结论（ ）
A．的最小值为2
B．四面体的体积为
C．有且仅有一条直线与垂直
D．存在点，使为等边三角形
【答案】ABD
【分析】利用异面直线的距离可判定A，利用棱锥的体积公式可判定B，利用特殊位置可排除C，利用坐标法可判定D.
【详解】根据正方体的特征可知面，
又面，所以，
即是异面直线和的公垂线，
当分别与重合时，最小值，最小值为2，故A正确；
易知，所以，故B正确；
易知是等边三角形，所以当是中点，而N与重合时，，
又由A项可知当分别与重合时，，故C错误；
如图所示，建立空间直角坐标系，则，可设，，
若存在点，使为等边三角形，则有，
由，由，
解方程得，
当舍去，
又因为所以符合题意，即D正确.
故选：ABD
四、单选题
16．清初著名数学家孔林宗曾提出一种“蒺藜形多面体”，其可由两个正交的正四面体组合而成，如图1，也可由正方体切割而成，如图2.在图2所示的“蒺藜形多面体”中，若，则给出的说法中错误命题有几个（ ）
（1）该几何体的表面积为；
（2）该几何体的体积为；
（3）二面角的余弦值为；
（4）若点、在线段、上移动，则的最小值为.
A．个B．个C．个D．个
【答案】C
【分析】根据正四面体的表面积即可判断（1）；利用割补法，结合体积公式即可判断（2）；根据二面角的定义，结合空间向量法即可求解（3）；建立空间坐标系，利用点点距离即可判断（4）.
【详解】因为，所以．
蒺藜形多面体的表面可看作是八个全等的棱长为的小正四面体构成，
故该几何体的表面积为，（1）错误；
该几何体的体积为，（2）正确；
设的中点为，连接、，则，，
则即二面角的平面角．
建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、、，
则，，
则，（3）正确；

建立如图所示的空间直角坐标系，设，，

，
当且仅当，时，等号成立．故的最小值为，（4）正确．
故选：C.
五、解答题
17．长方体ABCD﹣A1B1C1D1，AB=BC=2，直线A1C与平面ABCD所成角为.
（1）求三棱锥A﹣A1BD的体积；
（2）求异面直线A1B与B1C所成角的大小.
【答案】（1）；（2）arccs.
【分析】（1）推导出AA1=AC=2，然后利用等体积法,由求解；
（2）由A1DB1C，得到∠BA1D是异面直线A1B与B1C所成角(或所成角的补角)求解.
【详解】（1）∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1，AB=BC=2，直线A1C与平面ABCD所成角为，
∴AA1=AC，
∴三棱锥A﹣A1BD的体积为：
.
（2）∵A1DB1C，
∴∠BA1D是异面直线A1B与B1C所成角(或所成角的补角)，
∵A1B=A1D，BD，
∴cs∠BA1D，
∴异面直线A1B与B1C所成角的大小为arccs.
18．某种“笼具”由上、下两层组成，上层和下层分别是一个圆锥和一个圆柱，其中圆柱与圆锥的底面半径相等，如图所示：圆锥无底面，圆柱无上底面有下底面，内部镂空，已知圆锥的母线长为20cm，圆柱高为30cm，底面的周长为.
(1)求这种“笼具”的体积（结果精确到）；
(2)现要使用一种纱网材料制作这样“笼具”的保护罩（包括底面）50个，该保护罩紧贴包裹“笼具”，纱网材料（按实测面积计算）的造价为每平方米8元，共需多少元？（结果精确到0.1元）
【答案】(1)
(2)138.7元
【分析】（1）先通过底面周长求出底面圆的半径，然后根据圆锥母线及底面圆半径求出圆锥的高，最后利用圆锥的体积加上圆柱的体积即可求解；
（2）求出圆锥的侧面积，圆柱侧面积及一个底面积，即可得到“笼具”的表面积，然后求出总的造价即可.
【详解】（1）设圆锥的底面半径为r，母线长为l，高为，圆柱高为，
则由题意有，得，圆锥高，
所以“笼具”的体积.
（2）圆柱的侧面积，圆柱的底面积，
圆锥的侧面积，
所以“笼具”的侧面积.
故造50个“笼具”的最低总造价为元.
答：这种“笼具”的体积约为；生产50个笼具需要138.7元.
六、未知
19．在三棱锥中，平面，分别是和边的中点.
(1)求二面角的余弦值；
(2)在线段上是否存在一点，使？若存在，请指出点的位置，若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在点，且时，.理由见解析.
【分析】（1）利用空间向量的坐标运算求二面夹角的余弦值；
（2）利用空间向量的坐标运算表示垂直关系即可求解.
【详解】（1）因为平面平面所以,
所以以为坐标原点，为轴建立空间直角坐标系，如图，
，
则
平面的法向量为,
设平面的一个法向量为，
所以,令则，
所以，
所以，
所以二面角的余弦值为.
（2）设存在一点，且满足,
则，所以，
所以，
所以
因为，所以，解得，
所以存在点，且时，.
20．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，分别为棱中点.
(1)求证：平面平面；
(2)若平面⊥平面，求证：；
(3)若平面⊥平面，且，求直线与平面所成角.
【答案】(1)证明过程见解析
(2)证明过程见解析
(3)
【分析】（1）由中位线和平行四边形得到线线平行，证明出线面平行，面面平行；
（2）由面面垂直得到线面垂直，进而得到线线垂直；
（3）在（2）基础上得到直线与平面所成角为或其补角，再求出各边长，求出，得到答案.
【详解】（1）因为分别为棱中点，
所以，
因为平面，平面，
所以平面，
因为，，分别为棱中点，
所以四边形为平行四边形，
故，
因为平面，平面，
所以平面，
因为，平面，
所以平面平面；
（2）因为平面⊥平面，两平面交线为，，平面，
所以平面，
因为平面，所以；
（3）由（2）可知，平面，
故直线与平面所成角为或其补角，
又平面，所以，
因为，，且，所以，
故，故
故直线与平面所成角为.
21．如图，已知直三棱柱中，且分别为的中点，为线段上一动点.
(1)求与平面所成角的正切值；
(2)求点到平面的距离；
(3)求锐二面角的余弦值的最大值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用直线与平面所成角的概念求解；
（2）利用空间向量的坐标运算求点到平面的距离；
（3）利用空间向量的坐标运算表示出二面夹角的余弦值，根据二次函数的性质讨论最值.
【详解】（1）由直三棱柱中，可知平面，
所以点在平面的投影为，
所以为与平面所成角，
所以,
所以与平面所成角的正切值为·
（2）以为坐标原点，为轴建立空间直角坐标系，如图，
则,
因为,所以平面与平面是同一个平面，
,,
设平面的一个法向量为，
则有，令，则，所以，
所以点到平面的距离.
（3）设
设平面的一个法向量为，
则，令，则所以
设二面角的平面角为，结合图形可知为锐角，
故，
令，，
而函数在时单调递增，
所以当时，有最小值，
即当，时，有最大值，最大值为.