2021-2022学年上海市川沙中学高一下学期期中数学试题（解析版）

2021-2022学年上海市川沙中学高一下学期期中数学试题

一、填空题

1．函数的定义域为_____________________．

【答案】

【分析】由，可得，结合正弦函数的性质，即可得到所求定义域．

【详解】解：依题意可得，

可得，解得，，

所以函数的定义域为.

故答案为：．

2．已知向量，若向量，则实数_____.

【答案】

【分析】直接根据向量平行得到，解得答案.

【详解】向量，由得，所以.

故答案为：

3．已知复数，则复数的虚部为_____.

【答案】

【分析】根据复数乘法和除法运算法则化简，即可得到复数的虚部.

【详解】，则复数的虚部为.

故答案为：.

4．若，则角_____.

【答案】

【分析】利用反三角函数解方程即可.

【详解】由于表示上正弦值等于的一个锐角，且，故.

故答案为：.

5．在中，，则的形状为_____.(填“锐角三角形”、“钝角三角形”或“直角三角形”)

【答案】钝角三角形

【分析】利用正弦定理和余弦定理求出，即可得到答案.

【详解】在中，，

由正弦定理得，所以，，

由余弦定理得，

因为，所以.故的形状是钝角三角形.

故答案为：钝角三角形

6．已知，，向量在上的投影向量为__.

【答案】

【分析】直接根据投影向量的概念计算得到答案.

【详解】向量在上的投影向量为.

故答案为：

7．已知两个单位向量、的夹角为，若向量，则__.

【答案】

【分析】计算，，计算得到答案.

【详解】由题意得，

所以.

故答案为：

8．已知函数，且，则__.

【答案】0

【分析】计算得到，代入计算得到答案

【详解】，

则.

故答案为：

9．我国古代数学家秦九韶在《数学九章》中记述了“三斜求积术”，用现代式子表示即为：在中，、、所对的边长分别为、、，则的面积.根据此公式，若，且，则的面积为__.

【答案】

【分析】根据正弦定理结合三角恒等变换得到，利用余弦定理得到，代入公式计算得到答案.

【详解】由于，所以，

故，

即，

因为，，故.

由余弦定理得，整理得，

所以.

故答案为：

10．在中，，是的中点，若，在线段上运动，则的最小值为____________．

【答案】

【解析】先判断是等腰直角三角形，，以所在的直线为轴，以的中点为坐标原点建立直角坐标系，写出点的坐标，设且，求出和的坐标，计算再求最值即可.

【详解】

在中，，，所以，，

是等腰直角三角形，，

如图以所在的直线为轴，以的中点为坐标原点建立直角坐标系，

则，设

则 ，

所以

，

所以时，取得最小值为，

故答案为：

【点睛】关键点点睛：本题的关键点是判断是等腰直角三角形，易于建坐标系，设出动点坐标且，求出定点坐标，即可用坐标表示数量积，再计算最值.

11．定义在区间上的函数与的图象的交点个数为____.

【答案】16

【分析】画出时的图像，根据图像结合函数的奇偶性得到答案.

【详解】由于，故为偶函数，

因为也为偶函数，故考虑的情况，画出图像，如图所示：

共有个交点，且时，没有交点，故共有16个交点.

故答案为：16

12．已知平面向量满足，则的最大值是__.

【答案】

【分析】计算得到，平方化简得到，，计算得到最值.

【详解】由，得，

所以，当和共线时等号成立，

所以，即，所以，

又，当时取等号.

所以的最大值是.

故答案为：

二、单选题

13．下列命题一定成立的是（    ）

A．若，则

B．若，则

C．若，则是纯虚数

D．若且，则且

【答案】D

【分析】根据复数的概念和性质逐项进行检验即可判断.

【详解】对于，当时，，故选项错误；

对于，当时，，但并不相等，故选项错误；

对于，若，则并不是纯虚数，故选项错误；

对于，因为且，所以为正实数，则且，故选项正确，

故选：.

14．已知向量,则下列能使成立的一组向量是(  　　)

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据平面向量基本定理，只要不共线即可．

【详解】A中是零向量，与任何向量共线，B中，，D中，，只有C中不共线，根据平面向量基本定理，存在使得．

故选：C.

【点睛】本题考查平面向量基本定理，掌握平面向量基本定理是解题基础．

15．若把函数的图象沿轴向左平移个单位，沿轴向下平移一个单位，然后再把图象上各个点的横坐标伸长到原来的倍，得到函数的图象，则的解析式为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据图象的平移变换求即可.

【详解】函数的图象上各个点的横坐标伸长为原来的2倍得到，然后向上平移一个单位得到，向右平移个单位得到，所以.

故选：D.

16．在△中，为中点，为中点，则以下结论：① 存在△，使得；② 存在三角形△，使得∥，则 （    ）

A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立

C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立

【答案】B

【分析】建立坐标系，设出坐标，利用坐标关系表示出即可判断.

【详解】不妨设，，，，，

① ，，若，∴，

∴，满足条件的明显存在，∴①成立；

② F为AB中点，，与交点即重心，

∵为三等分点，为中点，∴与不共线，即②不成立；

故选：B

三、解答题

17．已知，其中.

(1)求的值；

(2)求的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】利用同角三角函数基本公式和正弦的和差公式求值即可.

【详解】（1）因为，，且，，

所以，，，

所以.

（2）因为，，所以.

18．已知平面向量，.

（1）当为何值时，与垂直；

（2）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）由与的数量积为可得；

（2）由与的数量积大于0，再去除两向量同向的情形．

【详解】（1）由已知，，，与垂直，

则．解得；

（2），，又时，，两相向夹角为0，

所以且．

19．已知向量，，，设函数.

(1)求函数最小正周期和严格单调增区间；

(2)求函数在恒成立，其实数的取值范围.

【答案】(1)；

(2)

【分析】（1）化简得到，得到周期，计算得到单调区间.

（2）题目转化为在恒成立，根据范围计算函数的值域得到答案.

【详解】（1）

，最小正周期为，

令，解得，

严格单调增区间为；

（2）在恒成立，

得在恒成立，

当时，，，，

所以.

20．图所示，我国黄海某处的一个圆形海域上有四个小岛，小岛与小岛、小岛相距都为公里，与小岛相距公里（其中为常数），已知角为钝角，且．

（1）求小岛与小岛之间的距离；（用表示）

（2）求四个小岛所形成的四边形的面积；（用表示）

（3）记为，为，求的值．

【答案】（1）公里；（2）平方公里；（3）．

【分析】（1）结合同角得平方关系求出的值，进而在中结合余弦定理即可求出结果；

（2）结合（1）的结果求出的面积，再在中利用余弦定理求出，进而结合三角形的面积公式求出的面积，进而可以求出结果；

（3）在利用余弦定理求出的值，进而结合同角的平方关系求出的值，然后结合两角和的正弦公式即可求出结果.

【详解】（1）因为角为钝角，且，所以，

在中，，即，因为，解得，所以小岛与小岛之间的距离公里；

（2）由（1）知，所以，

因为，所以，

在中，，即，因为，解得，所以,

所以，所以四个小岛所形成的四边形的面积为平方公里；

（3）在中，，

，因此，，则，,

所以

.

21．已知函数，任取，若函数在区间上的最大值为，最小值为，记.

（1）求函数的最小正周期及对称轴方程；

（2）当时，求函数的解析式；

（3）设函数，，其中为参数，且满足关于的不等式有解，若对任意，存在，使得成立，求实数的取值范围.

【答案】（1），()；  （2）.  （3）.

【分析】(1)根据正弦型函数的解析式求出它的最小正周期和对称轴方程；(2)分类讨论、、时，求出对应函数的解析式；(3)根据的最小正周期求出函数的最小正周期，研究函数在一个周期内的性质，求出的解析式，画出的部分函数图像，求出值域，利用不等式求出k的取值范围，再把“若对任意，存在，使得成立”转化为“在上的值域是在上的值域的子集”，从而求出k的取值范围.

【详解】(1)函数的最小正周期为，

令，解得对称轴为；

(2)①当时，在区间上，，

，所以

②当时，在区间上，，

，所以，

③当时，在区间上，，

，所以，

所以当时，；

(3)因为函数的最小正周期为4，所以，所以

即函数的周期为4，

由(2)可得，画出函数的部分图像如图所示，函数的值域为，

已知有解，即，则，

若对任意，存在，使得成立，

则在上的值域是在上的值域的子集，

，当时，在上单调递减，在上单调递增，所以，

因为在上单调递增，所以，

所以，即.

【点睛】本题考查正弦型函数的图像与性质，涉及周期性、对称性与单调性，考查不等式恒成立问题，分段函数的单调性与值域，属于难题.