2022-2023学年上海市川沙中学高二上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年上海市川沙中学高二上学期期中数学试题

一、单选题

1．若是两条不同的直线，垂直于平面，则“”是“”的

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【详解】若，因为垂直于平面，则或；若，又垂直于平面，则，所以“ ”是“ 的必要不充分条件，故选B．

【解析】空间直线和平面、直线和直线的位置关系．

2．如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形（及其内部）以边所在直线为旋转轴旋转得到的，是的中点，设是上的一点，且，则与所成角的大小为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据可得平面，进而得到，再在平面内找到的平行线，进而得出与所成角即可

【详解】因为，，，故平面，故，

取弧的中点，连接，易得，且，故与所成角即

故选：C

3．如图所示，在斜三棱柱中，，且，过作平面，垂足为，则点在（    ）

A．直线上 B．直线上 C．直线上 D．内部

【答案】B

【分析】先通过线线垂直证明面，进而可得面面，由面面垂直的性质定理可得要过作平面，只需过作即可，则答案可求.

【详解】连接，，，且，

面，又面ABC

面面，

面面，

要过作平面，则只需过作即可，

故点在直线上

故选：B.

4．设向量，，其中，则下列命题中正确命题的个数为（    ）

①向量与z轴正方向的夹角为定值（与c、d之值无关）；        ②的最大值为

③与夹角的最大值为                                ④的最大值为1

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【分析】根据题意可用三角函数值假设的值，利用空间坐标的运算结合三角恒等变换和三角函数的图象性质即可求解.

【详解】因为,

所以设,,

设z轴正方向的单位向量为,

,

因为，所以，故①正确；

，

所以的最大值为，故②错误；

，

所以，所以与夹角的最大值为，故③正确；

，

所以的最大值为1，故④正确.

故选:C.

二、填空题

5．不重合的两个平面最多有_____________条公共直线

【答案】1

【分析】由平面的基本性质可求解.

【详解】根据平面的位置关系可知，不重合两平面平行或相交，

当相交时，有且只有一条公共直线.

故答案为：1

6．平面截球的球面所得圆的半径为，球心到平面的距离为，则此球的表面积为___________．

【答案】

【详解】根据题意，截得的圆形半径、球的半径以及球心到截取平面的距离，构成了一个直角三角形，根据勾股定理，可知球的半径，因此该球的表面积为．

故正确答案为．

7．设与的两边分别平行，若，则___________.

【答案】或．

【分析】根据等角定理即可得到答案．

【详解】根据等角定理：一个角的两边平行于另外一个角的两边，则这两个角相等或互补．

故答案为：或．

8．设是等腰直角三角形，斜边,现将（及其内部）绕斜边所在的直线旋转一周形成一个旋转体，则该旋转体的体积为_____.

【答案】

【分析】由题意知旋转体为两个同底等高的圆锥组合体，由此求出组合体的体积．

【详解】等腰直角三角形的直角边为，斜边的高为1；

旋转后的几何体为两个大小相等的圆锥组合体，其圆锥的底面半径为1，高为1；

所以几何体的体积为V＝2π×12．

故答案为：．

【点睛】本题考查了旋转体的结构特征与体积的计算问题，是基础题．

9．如图，正三棱柱的底面边长为2，高为1，则直线与底面所成的角的大小为______（结果用反三角函数值表示）.

【答案】

【分析】根据垂直关系找到线面角，在直角三角形中利用三角关系即可求解.

【详解】如图,因为平面,平面,

所以,所以为直线与底面所成的角，

所以,

所以，

故答案为：.

10．将一段长12的铁丝折成两两互相垂直的三段，使三段长分别为3､4､5，则原铁丝的两个端点之间的距离为___________.

【答案】

【分析】将所折铁丝用空间几何体表示，可得各侧面均为直角三角形的三棱锥，进而求原铁丝的两个端点之间的距离.

【详解】由题意，三段分别为，如下图示，

∴，又，即面，

又面，故，

∴.

故答案为：

11．一个腰长为5，底边长为8的等腰三角形的直观图的面积为______

【答案】

【分析】根据直观图与原图形的面积关系直接求得.

【详解】一个腰长为5，底边长为8的等腰三角形的面积为：，

即原图形的面积为12.

由得：直观图的面积为.

故答案为：.

12．正四棱锥P－ABCD的所有棱长均相等，E是PC的中点，那么异面直线BE与PA所成角的余弦值为______.

【答案】

【分析】连接AC交BD于O点，连接OE，则OEPA，所以就是异面直线BE与PA所成的角，在直角三角形EOB中求解即可.

【详解】如下图：

连接AC交BD于O点，连接OE，则OEPA，所以就是异面直线BE与PA所成的角，连接，因为面ABCD，所以，又因为，，所以面，所以，所以直在角三角形EOB中，设，则，.

故答案为：.

13．如图所示，空间几何体中，四边形ABCD是直角梯形，，四边形CDEF是矩形，且平面CDEF，，，则空间几何体的体积为___________.

【答案】

【分析】可作于，与直线交于点，连接，将几何体切割成两部分，再结合柱体和锥体体积公式求解即可

【详解】

如图，作于，与直线交于点，连接，由题设条件可知，，三棱柱为直三棱柱，体积为，锥体底面为正方形，高为，则锥体体积为，故几何体的体积为.

故答案为：

14．如图是底面半径为3的圆锥，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了4周，则圆锥的母线长为_____

【答案】12

【分析】设圆锥的母线长为l,求出以S为圆心，SA为半径的圆的面积以及圆锥的侧面积，根据题意，列出方程即可求得答案.

【详解】设圆锥的母线长为l,则以S为圆心，SA为半径的圆的面积为，

又圆锥的侧面积为，

因为当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了4周，

所以，解得，

故答案为：12

15．有一根高为，底面半径为1的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为________.

【答案】     

【分析】考虑圆柱的侧面展开图，将其延展一倍后矩形的对角线的长度即为铁丝的最短长度.

【详解】如图，把圆柱的侧面展开图再 延展一倍，

所以铁丝的最短长度即为的长，又，填.

【点睛】几何体表面路径最短问题，往往需要考虑几何体的侧面展开图，把空间问题转为平面问题来处理.

16．设是半径为2的球面上的四个不同点，且满足，，，用、、分别表示、、的面积，则的最大值是______.

【答案】8

【分析】扩展成为长方体，根据球为长方体的外接球，利用基本不等式即可求解.

【详解】设,

因为两两垂直，扩展为长方体，

所以该长方体的体对角线为球的直径，

所以，

，

因为

所以，

当且仅当时取得等号，

故答案为:8.

三、解答题

17．如图，长方体中，，，点为的中点.

(1)求证：直线平面PAC；

(2)求异面直线与AP所成角的大小.

【答案】(1)证明见解析

(2)30°

【分析】（1）设和交于点，可得，根据线面平行的判定定理即可得证．

（2）由，得即为异面直线与所成的角．求得各个边长，根据三角函数的定义，即可得答案.

【详解】（1）设和交于点，则为的中点，连接，

∵是的中点，

∴，

又∵平面，平面，

∴直线平面；

（2）由(1)知，，

∴即为异面直线与所成的角，

∵，，且，

∴．

又，

∴

故异面直线与所成角的大小为．

18．如图所示，圆锥的顶点为P，底面中心为O，母线，底面半径OA与OB互相垂直，且.

(1)求圆锥的表面积；

(2)求二面角的大小.（结果用反三角函数表示）

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据圆锥的表面积公式，即可求出结果；

（2）取AB中点E，连接PE,OE,结合二面角的定义即可得解.

【详解】（1）由题意可得， 底面圆的周长为：，

圆锥的侧面积为底面圆的周长母线长,即，

所以圆锥的表面积为：；

（2）

取AB中点E，连接PE，OE，因为，

所以,所以即为二面角的平面角，

因为，，OA与OB互相垂直，所以，

所以，

所以二面角的大小为.

19．如图，是圆柱的一条母线，是底面的一条直径，是圆

上一点，且，.

(1)求直线与平面所成角的大小；

(2)求点到平面的距离.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用线面垂直的判定定理找到线面角，进而在直角三角形中求解；(2)作垂线找到点到平面的距离，利用等面积法求解.

【详解】（1）平面平面

是底面的一条直径,

又平面平面

所以平面

是直线与平面所成角,

因为,所以

所以

所以直线与平面所成角的大小

（2）

过作,垂足为，

由(1)得平面平面

所以平面平面，

又因为平面平面,

平面,,

所以平面，

根据等面积法,

即到平面的距离等于.

20．在中，，，，D、E分别是AC、AB上的点，满足且DE经过的重心，将沿DE折起到的位置，使，M是的中点，如图所示.

(1)求证：平面BCDE；

(2)求CM与平面所成角的大小；

(3)在线段上是否存在点N（N不与端点、B重合），使平面CMN与平面DEN垂直?若存在，求出与BN的比值；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)证明见解析

(2)

(3)存在；2

【分析】（1）结合线面垂直判定定理和折叠性质可证；

（2）通过建系法求出和平面的法向量，设线面角为，结合公式求解即可；

（3）在（2）的坐标系基础上，写出坐标，设，，表示出点N，分别求出平面CMN与平面DEN的法向量，令数量积为0，求出参数即可.

【详解】（1）因为在中，，，所以，

因为折叠前后对应角相等，所以，所以平面，，

又，，所以平面BCDE；

（2）因为DE经过的重心，故，由（1）知平面BCDE，以为轴，为轴，为z轴，建立空间直角坐标系，由几何关系可知，，

故，，，设平面的法向量为，则，即，令，则，设CM与平面所成角的大小为，则有，故，即CM与平面所成角的大小为；

（3）设，，即，

即，，，

，设平面CMN的法向量为，则有，

即，令则，，，

同理，设平面DEN的法向量为，，

则，即，令，则，故，

若平面CMN与平面DEN垂直，则满足，即，，故存在这样的点，，所以

21．如图1，正四棱锥，.

(1)求此四棱锥的外接球的体积；

(2)M为PC上一点，求的最小值；

(3)将边长为4的正方形铁皮用剪刀剪切后，焊接成一个正四棱锥（含底面），并保持正四棱锥的表面与正方形的面积相等，在图2中用虚线画出剪刀剪切的轨迹，并求焊接后的正四棱锥的体积.

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】(1)根据外接球与正四棱锥的关系，利用勾股定理求出外接球半径即可求解；（2）将空间图形转化为平明图形，根据两点间线段最短即可求解；(3)结合勾股定理确定四棱锥的底面边长和高即可求解.

【详解】（1）

如图,设外接球的半径为,

,,

所以,即,解得,

所以外接球体积.

（2）

如图，将展开到与平面在同一个平面，

此时,

在中，，

所以,

所以的最小值为.

（3）

联想到勾股定理证明，可设直角三角形的两条直角边长为，

于是，解得，

则构成以为底面边长，高为的正四棱锥，

所以.