上海市川沙中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题

这是一份上海市川沙中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题，共10页。试卷主要包含了05，; 2， B 14等内容，欢迎下载使用。

一、填空题（每题3分，共36分）
1．已知角的终边与单位圆交于点，若，则点的坐标是________．
2．在中，内角，，的对边分别为，，，若，则________．
3．已知，，则________．
4．已知，，在上的投影向量的坐标为________．
5．已知点、的坐标分别为，，若点满足，则点的坐标
为________．
6．已知平面向量与的夹角为锐角，则实数的取值范围是________．
7．已知，，则________．
8．已知关于的函数的图象关于对称，实数________．
9．函数的部分图象如图所示，其中，，．则的解析式为________．
10．已知的内角、、的对边分别为、、，若的面积为，，则该三角形的外接圆直径________．
11．如图，长为2，宽为1的矩形木块，在桌面上作无滑动翻滚，翻滚到第四次时被一小木块挡住，使木块底与桌面成30°角，则点走过的路程是________．
12．已知函数，将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若关于的方程在上有5个实数根，，，，，，则________．
二、单选题（每题3分，共12分）
13．函数的定义域为（ ）.
A．， B．，
C．， D．，
14．函数是（ ）.
A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数
C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数
15．定义平面向量的正弦积（其中为，的夹角）．已知中，，则此三角形一定是（ ）.
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形
16．八边形是数学中的一种图形，由八条线段首尾相连围成的封闭图形，它有八条边、八个角，八边形可分为正八边形和非正八边形，如图所示，在边长为2正八边形中点为正八边形的中心，点是其内部任意一点，则的取值范围
是（ ）.
A．
B．
C．
D．
三、解答题（8分8分10分12分14分52分）
17．已知．
（1）求的值；
（2）求的值．
18．已知向量，．
（1）若，求；
（2）若，求与的夹角．
19．某医院发热门诊改造，如图，原发热门诊是区域，可利用部分为扇形区域，，米，米，区域为三角形，区域为以为半径的扇形，且．
（1）若需在区域外轮廓设置隔离带，求隔离带的总长度；
（2）在区域中，设置矩形区域作为便民门诊，求便民门诊面积最大值．
20．已知函数．
（1）求的单调递增区间；
（2）当时，求的最值及取到最值时的值；
（3）当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．
21．已知函数，其中．
（1）若，，求的对称中心；
（2）若，函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，是的一个零点，若函数在（，且）上恰好有8个零点，求的最小值；
（3）已知函数，在第（2）问条件下，若对任意为，存在，使得成立，求实数的取值范围．
参考答案
一、填空题
1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.； 11. 12.
11．如图，长为2，宽为1的矩形木块，在桌面上作无滑动翻滚，翻滚到第四次时被一小木块挡住，使木块底与桌面成30°角，则点走过的路程是________．
【答案】
【解析】第一次是以为旋转中心, 以为半径旋转,
此次点走过的路径是
第二次是以为旋转中心,以为半径旋转,此次点走过的路径是.
第三次是以为旋转中心,以为半径旋转,此次点走过的路径是,
点三次共走过的路径是.故答案为:.
12．已知函数，将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若关于的方程在上有5个实数根，，，，，，则________．
【答案】
【解析】由题意知, 画出的图象以及的图象（如图所示）,
与的图象在上有 5 个交点,这 5 个交点的横坐标即为方程
在上的 5 个实数根,易知关于对称,
关于对称，关于对称,关于对称,
所以,所以
故答案为.
二、选择题
13. B 14.C 15.A 16.A
16．八边形是数学中的一种图形，由八条线段首尾相连围成的封闭图形，它有八条边、八个角，八边形可分为正八边形和非正八边形，如图所示，在边长为2正八边形中点为正八边形的中心，点是其内部任意一点，则的取值范围
是（ ）.
A． B． C． D．

【答案】A
【解析】正八边形中,,所以,
连接, 过点作, 交、于点, 交于点,
设中, 由余弦定理得,
中, 由余弦定理得,
所以解得
, 解得,
所以
当与重合时,取得最小值为
当与重合时,取得最大值为
因为点是其内部任意一点，所以的取值范围是,.
故选:.
三．解答题
17.（1） （2）
18.（1） （2）
19.（1） （2）
20．【答案】（1）
（2）当时，，当时，
（3）
21．已知函数，其中．
（1）若，，求的对称中心；
（2）若，函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，是的一个零点，若函数在（，且）上恰好有8个零点，求的最小值；
（3）已知函数，在第（2）问条件下，若对任意为，存在，使得成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）的对称中心为
（2） （3）
【解析】(1) 因为
所以的最小正周期是, 即,解得,
当时,,令, 则,,
即的对称中心为;
当时,,令, 则,,
即的对称中心为,
综上所述,的对称中心为