2023-2024学年四川省凉山州西昌市高二上学期期中检测数学试题含答案

这是一份2023-2024学年四川省凉山州西昌市高二上学期期中检测数学试题含答案，共19页。试卷主要包含了单选题，三位选一个位置有种，，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由直线一般式确定斜率，结合斜率与倾斜角关系求倾斜角大小.
【详解】若直线倾斜角为且，则，故.
故选：C
2．一个正八面体，个面分别标以数字到，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，记事件“数字为奇数”，事件“数字为或”，则与的关系是（ ）
A．互斥且相互独立B．互斥但不相互独立
C．相互独立但不互斥D．既不相互独立也不互斥
【答案】C
【分析】利用互斥事件和对立事件的定义判断可得出结果.
【详解】事件与事件的交事件为“数字”，所以，事件与不互斥，
，，，则，
所以，事件与相互独立但不互斥，
故选：C.
3．在平行六面体中，，点P在线段上，且，则下列向量中与相等的向量是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据题意，作图，结合几何性质，利用向量的运算，可得答案.
【详解】
在平行六面体中，四边形为平行四边形，且，
易知，同理，由且，则，
.
故选：A.
4．2023年6月25日19时，随着最后一场比赛终场哨声响起，历时17天的．2023年凉山州首届“火洛杯”禁毒防艾男子篮球联赛决赛冠军争夺赛在凉山民族体育馆内圆满闭幕，为进一步展现凉山男儿的精神风貌主办方设置一场扣篮表演，分别由西昌市、冕宁县、布拖县、昭觉县4个代表队每队各派1名球员参加扣篮表演，则西昌代表队队员扣篮表演不在第一位且不在最后一位的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用分步计数及组合排列数求西昌代表队队员扣篮表演不在第一位且不在最后一位的情况数，再应用全排列求4个代表队任意排的情况数，应用古典概型的概率求法求概率.
【详解】由题意，西昌代表队队员在第二、三位选一个位置有种，
其它三个代表队在剩下三个位置上作全排有种，
所以西昌代表队队员扣篮表演不在第一位且不在最后一位共有种情况；
而4个代表队任意排有种，
所以西昌代表队队员扣篮表演不在第一位且不在最后一位的概率为.
故选：A
5．已知点P是直线l：与x轴的交点，直线l绕点P逆时针方向旋转45°得到直线，则直线与直线之间的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设直线的倾斜角为，可得和，根据两角和的正切公式，求得直线的斜率为，结合点斜式方程以及距离公式，即可求解.
【详解】由直线，令，解得，即直线与轴的交点为，
设直线的倾斜角为，可得，
则，
即把绕点按逆时针方向旋转得到直线的斜率为，
所以直线的方程为，即.
直线的斜率为，则直线与直线平行.
则直线与直线之间的距离为.
故选：D
6．直三棱柱中，△ABC是正三角形，，，点分别是和BC的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】取的中点，连接，把异面直线与所成的角转化为与所成的角，设，在中，利用余弦定理，即可求解.
【详解】如图所示，取的中点，连接，
在矩形中，因为分别为的中点，可得，
所以异面直线与所成的角，即为与所成的角，设，
在直角中，，可得，
在直角中，，可得，
又由点为的中点，且，可得，
由余弦定理得，
即异面直线与所成的角的余弦值为.
故选：C.
7．直线：，：，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件
【答案】C
【分析】根据两条直线平行的条件，求得a的值，再根据判定两直线的位置关系，进而判断两命题的关系.
【详解】 解得或,时，与重合，不合题意
所以
时， ，
故选：C.
8．已知圆锥的顶点是，底面圆心是，为底面直径，，，点在底面圆周上，且二面角为，下面说法正确的是（ ）
A．与平面所成角的正弦值为
B．到平面的距离为
C．与所成角的余弦值为
D．平面与平面所成角的正弦值为
【答案】A
【分析】取的中点，连接、，分析可知，二面角的平面角为，计算出、的长，以及的正弦值、余弦值，然后以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴，平面内过点且与垂直的直线为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法逐项判断，可得出合适的选项.
【详解】取的中点，连接、，则，
在圆锥中，平面，
因为平面，则，
又因为，，、平面，则平面，
因为平面，则，
所以，二面角的平面角为，
因为平面，平面，所以，，
所以，为等腰直角三角形，且，
因为，，为的中点，则，
所以，，则，
，所以，，
则，
，
以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴，平面内过点且与垂直的直线为轴建立空间直角坐标系，
则、、、，
对于A选项，，易知平面的一个法向量为，
，
所以，与平面所成角的正弦值为，A对；
对于B选项，设平面的法向量为，，
则，取，则，
，所以，点到平面的距离为，B错；
对于C选项，，，
所以，，
故与所成角的余弦值为，C错；
对于D选项，，
故平面与平面所成角的正弦值为，D错.
故选：A.
二、多选题
9．已知事件A，B满足，，则下列说法正确的是（ ）
A．若A与B互斥，则B．若，则
C．若A与B相互独立，则D．若，则A与B相互独立
【答案】AC
【分析】由互斥、相互独立、事件的运算求解即可.
【详解】对于A：若A与B互斥，则，故A正确；
对于B：若，则，故B错误；
对于C：若A与B相互独立，则与也相互独立，则，故C正确；
对于D：，与矛盾，故D错误；
故选：AC
10．在空间直角坐标系中，平面的一个法向量，设，，，则下列说法一定成立的是（ ）
A．直线平面
B．直线平面
C．直线与平面所成角的正弦值是
D．A，B，C三点在平面上的射影构成的封闭图形的面积是1
【答案】CD
【分析】求得、，应用向量数量积的坐标计算判断直线与平面的关系，应用夹角的坐标运算求直线与平面所成角的正弦值，判断A、B、C；确定A，B，C三点在平面上的射影坐标，即可求射影构成的封闭图形的面积判断D.
【详解】由，则，故，
所以平面或平面，A不一定成立，B错；
由，则，
所以直线与平面所成角的正弦值是，C对；
A，B，C三点在平面上的射影坐标分别为，
所以封闭图形的面积是，D对.
故选：CD
11．已知直线：，：，，以下结论正确的是（ ）
A．无论m取何值，与都互相垂直
B．和分别过定点和
C．不论m为何值，和都关于直线对称
D．若和交于点M，则的最大值是
【答案】ABD
【分析】对于A：根据直线垂直的分析判断；对于B：根据直线过定点分析判断；对于C：根据直线对称的点的性质分析判断；对于D：由选项AB可知：，即点M的轨迹为以为直径的圆，结合圆的性质分析求解.
【详解】对于选项A：因为，无论m取何值，与都互相垂直，故A正确；
对于选项B：对于直线：，当时，恒成立，即过定点，记为，
对于直线：，当时，恒成立，则恒过定点，记为，故B正确；
对于选项C：在上任取点，关于直线对称的点的坐标为，
代入方程得：不恒在上，故C错误；
对于选项D：由选项AB可知：，即点M的轨迹为以为直径的圆，
可知圆心为，半径为，
所以的最大值是，故D正确；
故选：ABD.
12．正方体中，点M是线段BD上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．当M是BD的中点时，面积最小
B．动点M到平面的距离为定值
C．动点M无论在线段BD的任何位置，均满足
D．线段BD上存在点M，使得
【答案】ABC
【分析】取中点Q，连接，当M是BD的中点时，取得最小值因此可确定A选项正确，证明平面可说明B选项正确，证明平面可说明选项C正确，设正方体棱长为1，，将表示为关于的函数，求出该函数的最大值可说明选项D错误.
【详解】对于选项A，如图连接、，因为点M在上，且为底面正方形的对角线，所以，取中点Q，连接，则为的高，因为不变，当M是BD的中点时取得最小值，所以此时面积最小，选项A正确；
对于选项B，因为为正方体，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，
又因为平面，平面，所以平面，M是线段BD上的动点，所以M到平面的距离为定值，选项B正确；
对于选项C，如图，因为为正方形，所以，
又为正方体，所以平面，
因为平面，所以，
又，平面，平面，所以平面，
因为平面，所以，
同理可证，
因为，平面，平面，
所以平面，
又平面，所以，选项C正确；
对于选项D，如图连接与，设正方体棱长为1，，
则，
因为正方体的侧棱与底面上的直线垂直，所以，
所以，
因为，所以当或时取得最大值2，
此时取得最大值，因为，
所以，线段BD上不存在点M，使得，选项D错误.
故选：ABC
三、填空题
13．已知向量，，且与互相垂直，则k的值是 .
【答案】/0.8
【分析】根据坐标运算表示出，再根据向量垂直对应的数量积为0求解即可
【详解】，与互相垂直，
则，即，
解得.
故答案为：
14．若A，B互为对立事件，，，且，，则的最小值是 .
【答案】8
【分析】根据对立事件可得，利用“1”的灵活应用结合基本不等式运算求解.
【详解】因为A，B互为对立事件，则，且，，
可得，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值是8.
故答案为：8.
15．数学家欧拉在年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知的顶点、，又，则的欧拉线方程为 .
【答案】
【分析】等腰三角形的外心、重心、垂心均在底边的中垂线上，求线段的中垂线方程，即为所求的欧拉线方程.
【详解】因为，则为等腰直角三角形，
因为等腰三角形的外心、重心、垂心均在底边的中垂线上，
所以，的欧拉线即为线段的中垂线所在直线的方程，
线段的中点为，，
所以，线段的中垂线的方程为，即.
故答案为：.
16．正方体每条棱与平面所成角均相等，平面截此正方体所得截面面积为，底面ABCD的面积为S，则当取最大时，的值为 .
【答案】/
【分析】利用正方体的性质，可将每条棱与平面所成角均相等转化为同一个顶点发出的棱与平面所成角相等的情况，联想到面对角线构成的截面，又考虑到截面面积最大的情况，即是连接各条对应边中点得到的正六边形截面，求其面积即得.
【详解】
如图，因正方体的12条棱分别有三组两两平行的棱，每组4条，故只需要使平面与正方体的同一个顶点发出的三条棱所成角相等即可.
如平面与棱所成的角均相等.(因，,故点在平面上的射影为的中心，
故棱与平面所成角都相等，从而平面与正方体每条棱所成角都相等)，
分别取棱的中点并顺次连接，得正六边形截面，易得平面平面，
而截面即是符合条件的最大截面，此时，因 ,
故,于是正六边形截面的面积为,故当取最大时，的值为
故答案为：.
四、解答题
17．已知直线l：．（其中a为参数，）
(1)若不论x取何值，直线l恒过一定点A，求该定点A的坐标；
(2)若直线l不过第二象限，求实数a的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据直线方程直接确定其所过的定点即可；
（2）根据直线所过定点及不过第二象限，直线l过原点时倾斜角最小，且直线斜率恒正，列不等式求参数范围.
【详解】（1）由化为，
当时，无论a取何值都有．
所以直线l恒过定点．
（2）由（1）知，直线l恒过定点，要使直线l不过第二象限，
故直线l过原点时倾斜角最小，且直线斜率恒正，
所以，只需直线的斜率，即.
18．如图，已知平行六面体中，底面ABCD是边长为1的正方形，，．
(1)求线段的长度；
(2)求异面直线与所成角的余弦值．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用向量对应线段位置关系，应用向量加减法几何意义用，，表示出，再应用向量数量积的运算律求模长即可；
（2）应用向量加减几何意义和数量积的运算律求、，再利用夹角公式求异面直线与所成角的余弦值．
【详解】（1）设，，，则，，，
又，则.
（2）由，则，
则.
，
故异面直线与所成角的余弦值为．
19．已知的顶点，，边AB上的中线所在直线方程，边AC上的高所在直线方程为．
(1)求顶点C的坐标；
(2)求的面积．
【答案】(1)
(2)3
【分析】（1）利用垂直直线的斜率关系，联立直线方程，可得答案；
（2）根据两点距离以及点到直线的距离公式，结合三角形面积公式，可得答案.
【详解】（1）AC上的高所在直线万程为：，则该直线的斜率为，
又点，所以AC所在直线方程为：．
即，由，解得：，
故C点坐标为．
（2）由，又点，
所以点B到AC的距离，
故的面积．
20．如图所示，四棱锥的底面为正方形，顶点P在底面上的射影为正方形的中心O，E为侧棱上的点．
(1)试问：当为何值时，平面（需说明理由）；
(2)在（1）的条件下，若，求与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)，理由见解析
(2)
【分析】（1）根据线面平行的判定定理可证；
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法可求解.
【详解】（1）当时，平面．
证明如下：
连接，则交于点O，连接，
因为为正方形，所以点O是的中点，又点是的中点，
所以，
平面，平面，
所以平面．
所以当时，平面．
（2）根据题意，以点为坐标原点，平行于方向为轴正半轴，平行于方向为轴正半轴，为轴正半轴，建立如图所示空间直角坐标系．
令，则，，，，
，，，
设平面的法向量为，
，即，令，得，
，
所以与平面所成角的正弦值为．
21．多选题是新高考中的一种题型，其规则如下：有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的或一个都不选的得0分．某同学正在参加西昌市半期考试，当其做到多项选择题11题和12题时，发现自己不会，在这两个多项选择题中，他选择一个选项的概率是，选择两个选项的概率是，选择三个选项的概率是，若该同学猜答案时题目与题目之间互不影响，且第11题和第12题的正确答案都是两个选项．
(1)求该同学11题得2分的概率；
(2)求该同学第11，12题两个题总共得分为7分的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据条件概率的计算公式，结合题意，可得答案.
（2）根据题意，结合（1）以及概率乘法公式，可得答案.
【详解】（1）设“该同学11题只选一个选项”为事件，则，
设“该同学11题选的一个选项是正确的”为事件，则，
易知“该同学11题得2分”等价于“该同学11只选一个选项且该选项是对得”，
即为，所以.
（2）由（1）可得“该同学12题的2分”的概率为，
该同学选两个选项的情况有六种情况，正确的只有一种，
则事件“该同学选的两个选项是正确的”的概率为，
所以事件“该同学每个题得5分”的概率为，
事件“该同学11题和12题总共得7分”等价于事件“该同学一个题得2分，另一个题得5分”，
则概率为.
22．已知直三棱锥中，侧面为正方形，，E，F分别AC和的中点，D为上的点，BF⊥AB．

(1)当D为中点时，求C到平面DEF的距离；
(2)当为何值时，平面与平面DEF夹角的正弦值最小．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由线面垂直的判定以及定义证明AB⊥BC，再以点B为坐标原点，建系，由向量法得出C到平面DEF的距离；
（2）设，求出平面、平面DEF的法向量，结合向量法结合不等式的性质得出.
【详解】（1）证明：因为AB⊥BF，，
由，平面，所以AB⊥平面，
因为平面，所以AB⊥BC．
以B为坐标原点，分别以BC，BA，所在直线为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系．

则，，，
，，
设平面DEF的法向量为，则
，即，令，得
点C到平面DEF的距离．
（2）设（），则，于是
设平面DEF的法向量为，
，即，令，得
易知平面的一个法向量为，
设平面与DEF的夹角为，则
故当，取最小值，
即当时，平面与DEF的夹角正弦值最小．