2023-2024学年山西省太原市高二上学期期中学业诊断数学试题含答案

这是一份2023-2024学年山西省太原市高二上学期期中学业诊断数学试题含答案，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．直线的倾斜角为（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
【答案】C
【分析】根据直线的斜率求得倾斜角.
【详解】直线的斜率为，
所以直线的倾斜角为.
故选：C
2．椭圆的焦点坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据椭圆的标准方程求得，从而确定正确答案.
【详解】椭圆的焦点在轴上，
，
所以焦点坐标为.
故选：A
3．圆的圆心坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】将圆的一般方程转化为标准方程，从而求得圆心坐标.
【详解】圆可化为，
所以圆心坐标为.
故选：D
4．已知，且，则实数（ ）
A．B．5C．D．1
【答案】A
【分析】根据向量垂直列方程，化简求得的值.
【详解】由于，所以.
故选：A
5．直线与直线之间的距离是（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】C
【分析】根据两平行直线间的距离公式求得正确答案.
【详解】依题意，直线与直线之间的距离是：
.
故选：C
6．已知直线，圆，则直线l与圆C的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离D．不确定
【答案】A
【分析】求出直线所过定点，再根据点与圆的位置关系判断即可.
【详解】已知直线，变形为，
由，即直线恒过定点，
代入圆的方程的左端有，即点在圆内，
所以直线与圆相交，
故选：A
7．如图，正方体的棱长为2，是的中点，则点到直线的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得正确答案.
【详解】建立如图所示空间直角坐标系，
，
所以点到直线的距离为.
故选：D
8．已知椭圆的左、右焦点分别为，点M在C上，点N的坐标为，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据椭圆的定义转化，结合三点共线来求得的取值范围.
【详解】依题意，，，，
，，
所以，当位于线段与椭圆交点处时等号成立.
根据椭圆的定义可知，
如图所示，设的延长线与椭圆相交于，
则当位于时，取得最大值为，
综上所述，的取值范围为.
故选：B
【点睛】在椭圆中，求解椭圆上的点到焦点、定点的距离的和或差的最值，可以考虑通过椭圆的定义进行转化，然后结合三点共线来确定最值.在解题过程中，要画出对应的图象，结合图象来进行求解.
二、多选题
9．已知圆与圆关于直线l对称，则下列说法正确的是（ ）
A．B．圆与圆相交
C．直线的方程为D．直线l的方程为
【答案】BD
【分析】根据对称性求得，然后根据两个圆的位置关系对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】圆的圆心为，半径，
圆即，
根据对称性可知，解得，所以A选项错误.
此时，圆心为，半径.
，
由于，所以两圆相交，B选项正确.
直线的方程，所以C选项错误.
线段中点坐标为，直线斜率为，
所以直线l的方程为，所以D选项正确.
故选：BD
10．已知点分别是椭圆的两个焦点，点在上，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为B．椭圆的离心率
C．面积的最大值为D．的最大值为
【答案】AD
【分析】根据椭圆的定义和标准方程、离心率、三角形面积、余弦定理、三角恒等变换等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】椭圆，，，
设，，则，
则，
函数在上单调递增，
所以当时，取得最小值，
所以A选项正确.
椭圆的离心率，所以B选项错误.
由于为定值，所以当位于椭圆的左右顶点时，
三角形的面积取得最大值为，所以C选项错误.
设，
，
当且仅当时等号成立，即的最小值为，
当取得最小值时，取得最大值，此时为锐角，，
所以此时也取得最大值，且的最大值为，所以D选项正确.
故选：AD
11．已知直线，则下列说法正确的是（ ）
A．直线与相交于点
B．直线和轴围成的三角形的面积为
C．直线关于原点O对称的直线方程为
D．直线关于直线对称的直线方程为
【答案】AC
【分析】通过联立方程组求得交点坐标，结合三角形的面积、对称性等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】由解得，所以交点坐标为，A选项正确.
直线与轴的交点为，与轴的交点为，
直线过原点，由图可知，直线和轴围成的三角形的面积为，
所以B选项错误.
由上述分析可知，直线关于原点O对称的直线过点，
所以直线关于原点O对称的直线方程为，
所以C选项正确.
点关于直线的对称点是；
点关于直线的对称点是，
所以直线关于直线对称的直线方程为，
即，所以D选项错误.
故选：AC
12．已知点在圆上，点在上，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为
B．的最大值为
C．过作圆的切线，切点分别为，则的最小值为
D．过P作直线，使得直线与直线的夹角为，设直线与直线的交点为，则的最大值为
【答案】ACD
【分析】根据直线和圆的位置关系、点到直线的距离公式、圆与圆的位置关系、弦长等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】圆的圆心为，半径为，
圆心到直线的距离为，直线和圆相离，
所以的最小值为，A选项正确.
由于是直线上任意一点，所以没有最大值， B选项错误.
对于D选项，由于直线与直线的夹角为，
所以等于到直线的距离的倍，
所以的最大值为，D选项正确.
对于C选项，设，的中点为，
，
所以以为圆心，为半径的圆的方程为，
整理得，
由、两式相减并化简得，
即直线的方程为，
到直线的距离为，
所以，
对于函数，
所以恒成立，当时，
取得最小值为，
所以，所以，
所以，所以C选项正确.
故选：ACD
【点睛】方法点睛：求解直线和圆的位置关系有关题目，主要的方法是数形结合的数学思想方法，根据图象以及圆的几何性质来对问题进行研究.求解圆与圆相交所得弦长，可利用两个圆的方程相减来求得相交弦所在直线方程.
三、填空题
13．直线在轴上的截距为 ．
【答案】
【分析】根据截距的知识求得正确答案.
【详解】由，令，解得，
所以直线在轴上的截距为.
故答案为：
14．已知，则向量与的夹角为 ．
【答案】
【分析】根据向量的夹角公式求得正确答案.
【详解】，
则为锐角，所以.
故答案为：
15．已知点是直线上的动点，点在线段上（是坐标原点），且满足，则动点的轨迹方程为 ．
【答案】（）
【分析】设出两点的坐标，由以及三点共线求得正确答案.
【详解】设，设，依题意可知，
由于三点共线，所以，则，
由于，所以，
整理得（）.
故答案为：（）

16．已知椭圆的左，右顶点分别为，动点P在C上（异于点），点Q是弦的中点，则的最大值为 ．
【答案】/
【分析】设出点坐标，求得坐标，进而求得的表达式，并利用三角恒等变换、基本不等式等知识求得的最大值.
【详解】依题意，设，
根据椭圆的对称性，以及题目所求“的最大值”，不妨设，
，则，即，
所以
由于，所以由基本不等式可得，
当且仅当时等号成立.
故答案为：

【点睛】在椭圆中，求解最值有关问题，如线段长度、面积、角度等量的最值，可考虑先求得其表达式，然后根据表达式的结构选取合适的求最值的方法来进行求解，如本题中，利用三角换元，然后结合基本不等式来求.还可以考虑二次函数的性质、函数的单调性等知识来进行求解.
四、解答题
17．已知的三个顶点，分别是的中点．
(1)求直线的一般式方程；
(2)求边的垂直平分线的斜截式方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求得的坐标，进而求得直线的方程并转化为一般式方程.
（2）求得垂直平分线的斜率，进而求得其斜截式方程.
【详解】（1）由于分别是的中点，所以，
所以，直线的方程为，即.
（2），所以边的垂直平分线的斜率为，
所以边的垂直平分线的斜截式方程为.
18．如图，四面体OABC各棱的棱长都是1，是的中点，是的中点，记．
(1)用向量表示向量；
(2)利用向量法证明：．
【答案】(1)
(2)证明详见解析
【分析】（1）根据空间向量的线性运算求得正确答案.
（2）通过证明来证得结论成立.
【详解】（1）连接，则
（2），
所以
，
所以.
19．已知圆的圆心在x轴上，且经过和两点．
(1)求圆的一般方程；
(2)求圆与圆的公共弦的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）通过求圆心和半径来求得圆的标准方程，再转化为一般方程.
（2）先求得公共弦所在直线方程，再结合点到直线的距离公式以及勾股定理求得公共弦长.
【详解】（1）设，由得，解得，则，
，所以圆的标准方程为，半径为，
所以圆的一般方程为.
（2）圆即，圆心为，半径为，
两点的距离为，而，所以两圆相交，
由、，
两式相减并化简得，
到直线的距离为，
所以公共弦长为.
20．已知椭圆的离心率是，且经过点．
(1)求椭圆的方程；
(2)若过点的直线l与椭圆C相交于两个不同的点，直线分别与轴相交于点，证明：线段的中点为定点．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得椭圆的方程.
（2）设出直线的方程并与椭圆方程联立，化简写出根与系数关系，根据直线求得两点的横坐标，进而计算出线段的中点为定点．
【详解】（1）依题意，解得，
所以椭圆的方程为.
（2）依题意，过点的直线与椭圆C相交于两个不同的点，
画出图象如下图所示，由图可知直线的斜率存在，且，
设直线的方程为，
由消去并化简得，
，
设，则，
而，所以直线的方程为，令，解得，
同理可求得，
则
，
所以线段的中点为定点.

21．如图，在几何体中，△ABC是边长为2的正三角形，D，E分别是，的中点，，平面ABC，．
(1)若，求证：平面；
(2)若平面与平面ABC夹角的余弦值为，求直线DE与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取AC的中点O，连接OD，易证OD⊥平面ABC，然后以O为原点，OA，OB，OD所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，论证，即可；
（2）设，则，易知是平面ABC的一个法向量，再求得平面的一个法向量，由求得a，再利用线面角公式求解.
【详解】（1）证明：取AC的中点O，连接OD，
∵D是的中点，∴，
∵平面ABC，∴平面ABC，
以O为原点，OA，OB，OD所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
∴，，，，
∵，∴，∴，
∵，∴，∴，
∵，平面，故平面；
（2）设，则，显然是平面ABC的一个法向量，
设是平面的一个法向量，
则，∴，
取，则，，∴，
∴，
∴或，
①当时，，
∴，，
∴，
∴直线DE与平面所成角的正弦值为；
②当时，，
∴，，
∴，
∴直线DE与平面所成角的正弦值为．