2023-2024学年上海市浦东新区川沙中学高二（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年上海市浦东新区川沙中学高二（下）期中数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.“可导函数y=f(x)在点(x0,y0)处的导数值为0”是“可导函数y=f(x)在点(x0,y0)处取极值”的( )
A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件
C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件
2.经检测一批产品中每件产品的合格率为35，现从这批产品中任取5件，设取得合格产品的件数为X，则以下选项正确的是( )
A. X的可能取值为1、2、3、4、5B. P(X=2)=C52(35)3(25)2
C. E[X]=3D. D[X]=45
3.设a，b，c，d∈R，若函数y=ax3+bx2+cx+d的部分图像如图所示，则下列结论正确的是( )
A. b>0，c>0
B. b>0，c<0
C. b<0，c>0
D. b<0，c<0
4.∀x1，x2∈[1,e](x1≠x2)，均有x1lnx2−x2lnx1x2−x1A. (−∞,1]B. [1,+∞)C. [0,1]D. [0,+∞)
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.若f′(2)=1，则Δx→0limf(2+Δx)−f(2)Δx= ______．
6.双曲线x2−y22=1的离心率为 ．
7.春天是鼻炎和感冒的高发期，学生小李鼻炎发作的概率是45，鼻炎和感冒同时发作的概率是35，则小李在鼻炎发作的条件下感冒的概率是______．
8.在(1−x)6的二项展开式中，第四项是______．
9.若f(x)=x3−3x的两个极值点为x1，x2，则x1+x2=______．
10.已知函数f(x)=12x−sinx，则f(x)在[0,π]上的值域为______．
11.将半径为2的半圆形纸片卷成一个无盖的圆锥筒，则该圆锥筒的高为______．
12.已知随机变量x∼N(2,σ2)，若P(x13.已知圆柱的底面圆半径为1，高为2，AB为上底面圆的一条直径，C是下底面圆周上的一个动点，则ABC的面积的取值范围为______．
14.已知函数f(x)的定义域为R，f′(x)为f(x)的导函数，函数y=f′(x)的图象如图所示，且f(−2)=1，f(3)=1，则不等式f(x)>1的解集为______．
15.曲线的曲率就是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率，表明曲线偏离直线的程度，曲率越大，表示曲线的弯曲程度越大，工程规划中常需要计算曲率，如高铁的弯道设计.曲线y=f(x)在点(x,f(x))曲率的计算公式是K=|y″| (1+(y′)2)3，其中y″是y′的导函数.则曲线xy=1上点的曲率的最大值是 ．
16.已知函数f(x)=2lnx−1，g(x)=a(x−m)，若存在实数a>0使y=f(x)−g(x)在[ e,e)上有2个零点，则m的取值范围为______．
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题14分)
如图，长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=BC= 2，A1C与底面ABCD所成的角为45°．
(1)求证：BD⊥平面A1CA；
(2)求异面直线A1B与B1D1所成角的大小．
18.(本小题14分)
已知函数f(x)=lnx．
(1)求y=f(x)在点(1,0)处的切线方程；
(2)求函数g(x)=f(x)+x2−3x的单调区间．
19.(本小题14分)
端午节吃粽子是我国民间的传统习俗.一盘中装有6个粽子，其中豆沙粽3个、肉粽2个、蜜枣粽1个，这三种粽子的外观完全相同．
(1)学生小李从中任取两个，设X表示取到的肉粽个数，求X的分布列与数学期望．
(2)学生小李从盘中任取2个粽子装在一袋子里送给学生小红，小红从袋中取出一个粽子吃，求吃到肉粽的概率是多少？
20.(本小题18分)
已知椭圆：x22+y2=1的左右焦点为F1、F2，左右顶点分别为A、B，P是椭圆上异于A、B的点．
(1)求△PF1F2的周长；
(2)若过F2的直线x=my+1与椭圆交于M、N两点，且MF2=2F2N，求m的值；
(3)若直线l过点B且与x轴垂直，直线AP交直线l于点D，判断以BD为直径的圆与直线PF2的位置关系，并加以证明．
21.(本小题18分)
对于函数f(x)的导函数f′(x)，若在其定义域内存在实数x0，t，使得f(x0+t)=(t+1)f′(x0)成立，则称y=f(x)是“跃点”函数，并称x0是函数y=f(x)的“t跃点”．
(1)若f(x)=2x+1，x∈R，求证：f(x)是“3跃点”函数；
(2)若f(x)=x2−ax+1是定义在(0,+∞)的“1跃点”函数，且在其定义域上有两个不同的“1跃点”，求实数a的范围；
(3)若f(x)=ex+bx，x∈R是“1跃点”函数，且在其定义域内恰存在一个“1跃点”，求实数b的范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：导数值为0的点不一定是函数的极值点．
对于函数f(x)=x3，f′(x)=3x2，
虽然f′(0)=0，但是由于无论x>0还是x<0，恒有f′(x)>0，
即函数f(x)=x3是增函数，所以0不是函数f(x)=x3的极值点．
一般地，函数y=f(x)在一点处的导数值为0是函数y=f(x)在该点处取极值的必要条件，而非充分条件．
故选：B．
举特例说明导数值为0，但不是极值点，即可得到结果．
本题考查了利用导数研究函数极值和充分必要条件的判断，属基础题．
2.【答案】C
【解析】解：由题意可得X～B(5,35)，
所以P(X=k)=C5k(35)k(25)5−k，k=0，1，2，3，4，5，
对于A，X的可能取值为0、1、2、3、4、5，故A错；
对于B，P(X=2)=C52(35)2(25)3，故B错；
对于C，E[X]=5×35=3，故C正确；
对于D，D[X]=5×35×25=65，故D错误．
故选：C．
由题意可得X～B(5,35)，由二项分布的概率公式，期望和方差公式逐项判断即可得解．
本题主要考查二项分布及其应用，考查运算求解能力，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：∵y=ax3+bx2+cx+d，∴y′=3ax2+2bx+c，
由图知，两个极值点，设为x1，x2，则x1<0，x2>0，
由图知(−∞,x1)，(x2,+∞)单调递增，(x1,x2)单调递减，则a>0，
则c3a<0，∴c<0，
由图知x1+x2=−2b3a>0，∴b<0，
故选：D．
由已知中函数y=ax3+bx2+cx+d的部分图像，运用韦达定理结合图像判断b、c的符号．
本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，考查了韦达定理的应用，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：不妨设1≤x10，
由x1lnx2−x2lnx1x2−x1所以x1lnx2+ax1即x1(lnx2+a)所以lnx2+ax2令f(x)=lnx+ax，则f(x2)因为1≤x1所以f′(x)=1x⋅x−(lnx+a)x2≤0对于x∈[1,e]恒成立，
所以1−lnx−a≤0对于x∈[1,e]恒成立，
可得a≥1−lnx对于x∈[1,e]恒成立，所以a≥(1−lnx)max，
因为y=1−lnx在区间[1,e]上单调递减，
所以(1−lnx)max=1−ln1=1，所以a≥1．
故选：B．
设1≤x10，由x1lnx2−x2lnx1x2−x1本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查逻辑推理能力，属于中档题．
5.【答案】1
【解析】解：由已知可得Δx→0limf(2+Δx)−f(2)Δx=f′(2)=1．
故答案为：1．
由导数的几何意义以及极限的性质化简即可求解．
本题考查了极限的性质以及导数的几何意义，属于基础题．
6.【答案】 3
【解析】【分析】
本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，把双曲线的方程化为标准形式是解题的突破口．
根据双曲线的方程为标准形式，求出a、b、c的值，即得离心率ca的值．
【解答】
解：双曲线x2−y22=1，a=1，b= 2，
∴c= 3，
∴双曲线x2−y22=1的离心率为e=ca= 31= 3，
故答案为 3．
7.【答案】34
【解析】解：设事件A表示“小李鼻炎发作”，事件B表示“小李感冒发作”，
则P(A)=45，P(AB)=35，
所以P(B|A)=P(AB)P(A)=3545=34．
故答案为：34．
利用条件概率公式求解．
本题主要考查了条件概率公式，属于基础题．
8.【答案】−20x3
【解析】解：在(1−x)6的二项展开式中，第四项为：T4=C63(−x)3⋅13=−20x3．
故答案为：−20x3．
直接利用二项式定理写出结果即可．
本题考查二项式定理，考查运算能力，属于中档题．
9.【答案】0
【解析】解：由f(x)=x3−3x，可得f′(x)=3x2−3，
令f′(x)>0解得x<−1或x>1，令f′(x)<0解得−1所以f(x)在(−∞,−1)和(1,+∞)上单调递增，在(−1,1)上单调递减，
所以函数的极值点为−1和1，则x1+x2=0．
故答案为：0．
利用导数，求出函数的极值点即可得解．
本题考查极值点的求法，考查运算求解能力，属于基础题．
10.【答案】[π6− 32,π2]
【解析】解：由题意得f′(x)=12−csx，令f′(x)=0得x=π3，
易知当x∈[0,π3)时，f′(x)<0，此时f(x)递减；
当x∈(π3,π]时，f′(x)>0，此时f(x)递增．
故f(x)min=f(π3)=π6− 32；因为f(0)=0，f(π)=π2．
故函数f(x)的值域为[π6− 32,π2]．
故答案为[π6− 32,π2]．
先求原函数的导数，研究函数的单调性，然后据单调性求出函数的值域．
本题考查了函数值域的求法，以及利用导数研究函数的单调性方法．属于基础题．
11.【答案】 3
【解析】解：如图，圆1是圆锥(图2)的侧面展开图，
OA=OB=2，则扇形弧长l=2π，
设圆锥度面圆周长为r，则2πr=2π，
解得r=1，
则在Rt△OAD中，高h= 22−12= 3．
故答案为： 3．
根据扇形弧长公式和勾股定理能求出该圆锥筒的高．
本题考查圆锥的结构特征、性质、扇形弧长公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
12.【答案】0.28
【解析】解：随机变量x∼N(2,σ2)，正态曲线关于x=2对称，
由于a+4−a2=2，则P(a≤x≤2)=P(2≤x<4−a)，
由于P(x故答案为：0.28．
根据正态分布的对称性即可得．
本题考查正态分布的性质，属于基础题．
13.【答案】[2, 5]
【解析】解：如图1，上底面圆心记为O，下底面圆心记为O′，
连结OC，过点C作CM⊥AB，垂足为点M，
则S△ABC=12×AB×CM，
根据题意，AB为定值2，所以S△ABC的大小随着CM的长短变化而变化，
如图2所示，当点M与点O重合时，CM=OC= 12+22= 5，
此时S△ABC取得最大值为12×2× 5= 5；
如图3所示，当点M与点B重合，CM取最小值2，
此时S△ABC取得最小值为12×2×2=2．
综上所述，S△ABC的取值范围为[2, 5]．
故答案为：[2, 5]．
上顶面圆心记为O，下底面圆心记为O′，连结OC，过点C作CM⊥AB，垂足为点M，由于AB为定值，则S△ABC的大小随着CM的长短变化而变化，
分别求解CM的最大值和最小值，即可得到答案．
本题考查了空间中的最值问题，将三角形面积的最值问题转化为求解线段CM的最值问题进行求解是解题的关键，考查了空间想象能力与逻辑推理能力，属于中档题．
14.【答案】(−2,3)
【解析】【分析】
本题主要考查函数的单调性和导数之间的关系，根据导数正负判断函数的单调性是解决本题的关键，属于基础题．
根据函数的单调性和导数之间的关系，即可解不等式．
【解答】
解：由导数图象可知当x>0时，f′(x)<0，此时函数单调递减，f′(0)=0，
当x<0时，f′(x)>0，此时函数单调递增，
∵f(−2)=1，f(3)=1，
∴当−21，
即不等式f(x)>1的解集为(−2,3)，
故答案为：(−2,3)
15.【答案】 22
【解析】解：由xy=1，得y=1x，y′=−1x2，可得y″=2x3，
∴K=|y″| (1+(y′)2)3=2 x6(1+1x4)3=2 (x2+1x2)3≤2 (2 x2⋅1x2)3= 22，
当且仅当|x|=1时等号成立．
故答案为： 22．
由题意求得k的表达式，再由基本不等式求最值即可．
本题考查导数的概念及其几何意义，训练了利用基本不等式求最值，考查运算求解能力，是中档题．
16.【答案】(e2, e]
【解析】解：令y=f(x)−g(x)=0，可得f(x)=g(x)，
原题意等价于f(x)=2hx−1与g(x)=a(x−m)在[ e,e)内内有2个交点，且a>0，
g(x)=a(x−m)的横截距为m，
因为f′(x)=2x，则f(c)=1．f′(e)=2e，即切点坐标为(e,1)，切线斜率k=2c，
则切线方程为y−1=2c(x−e)，即y=2ex−1，即y=f(x)在x=c处的切线方程为y=2ex−1，
该切线的横截距为e2，
结合图象可知：若f(x)=2hx−1与g(x)=a(x−m)在[ e,e)内有2个交点，则e2即m的取值范围为(e2, e]．
故答案为：(e2, e]．
由题意可知：原题意等价于f(x)=2lnx−1与g(x)=a(x−m)在[ e,e)内有2个交点，求y=f(x)在x=e处的切线方程，结合图象分析求解．
本题考查了利用函数的图象研究函数零点的方法，同时考查了利用函数思想、数形结合思想解题的能力．属于中档题．
17.【答案】(1)证明：连接BD，AC，因为AB=BC= 2，所以AC⊥BD，
因为AA1⊥底面ABCD，BD⊂底面ABCD，
所以AA1⊥BD，
又因为AA1∩AC=A，
所以BD⊥平面A1CA；
(2)解：因为A1C与底面ABCD所成的角为45°，
可得∠ACC1=45°，
所以AA1=AC=2，
所以A1D=A1B= AA12+AB2= 22+( 2)2= 6，
连接BD，A1D，且BD= 2× 2=2，因为BD/​/B1D1，
所以A1B与BD所成的角等于异面直线A1B与B1D1所成的角，
在△A1BD中，由余弦定理可得；cs∠A1BD=A1B2+BD2−A1D22A1B⋅BD=6+4−62 6×2= 66，
所以∠A1BD=arccs 66．
即异面直线A1B与B1D1所成的角为arccs 66．
【解析】(1)连接BD，AC，由题意可证得AC⊥BD，AA1⊥BD，即证得BD⊥平面A1CA；
(2)因为A1C与底面ABCD所成的角为45°，可求得AA1的值，再由BD/​/B1D1，可得A1B与BD所成的角等于异面直线A1B与B1D1所成的角，在△A1BD中，由余弦定理可得∠A1BD的余弦值，即求出所求的角的大小．
本题考查线面垂直的性质的应用及异面直线所成的角的求法，属于中档题．
18.【答案】解：(1)f′(x)=1x,f′(1)=1，
则函数f(x)在点(1,0)处的切线的斜率为1，
由点斜式可得，切线方程为y=x−1，即x−y−1=0；
(2)g(x)=lnx+x2−3x，函数g(x)的定义域为(0,+∞)，
g′(x)=1x+2x−3=2x2−3x+1x=(2x−1)(x−1)x，
令g′(x)>0，解得01；
令g′(x)<0，解得12则函数g(x)的增区间为(0,12),(1,+∞)，减区间为(12,1)．
【解析】(1)对函数f(x)求导，可得切线的斜率，再由点斜式得解；
(2)对函数g(x)求导，判断导函数与零的关系，即可得出单调性．
本题考查导数的几何意义以及利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力，属于基础题．
19.【答案】解：(1)由题，X的所有可能取值为0，1，2，
则P(X=0)=C42C62=25，P(X=1)=C41⋅C21C62=815，P(X=2)=C22C62=115，
所以X的分布列如下：
则E(X)=0×25+1×815+2×115=23；
(2)由题小红要能吃到肉粽分两种情况：袋子中只有一个肉粽和袋子中有两个肉粽，
故能吃到肉粽的概率P=C21⋅C41C62×12+C22C62=13．
【解析】(1)分析可得X的所有可能取值，然后求出对应概率即可求解；
(2)利用古典概型即可求解．
本题考查了离散型随机变量的分布列和期望，古典概型的应用，属于中档题．
20.【答案】解：(1)由椭圆的定义知，|PF1|+|PF2|=2a=2 2，
焦距|F1F2|=2c=2 2−1=2，
所以△PF1F2的周长为|PF1|+|PF2|+|F1F2|=2 2+2．
(2)设M(x1,y1)，N(x2,y2)，
联立x=my+1x22+y2=1，得(m2+2)y2+2my−1=0，
则y1+y2=−2mm2+2①，y1y2=−1m2+2②，
因为MF2=2F2N，所以(1−x1,−y1)=2(x2−1,y2)，且y1+y2=−2mm2+2<0，即m>0，
所以−y1=2y2，
代入①②可得，−y2=−2mm2+2，−2y22=−1m2+2，
消去y2得，2⋅(2mm2+2)2=1m2+2，
解得m=± 147(舍负)，
故m的值为 147．
(3)以BD为直径的圆与直线PF2相切，证明过程如下：
由椭圆的对称性，不妨设P是第一象限的点，其坐标为(x0,y0)，则x022+y02=1，
直线AP的方程为y=y0x0+ 2(x+ 2)，
令x= 2，则y=2 2y0x0+ 2，即D( 2,2 2y0x0+ 2)，
所以BD的中点为( 2, 2y0x0+ 2)，
即以BD为直径的圆的圆心为( 2, 2y0x0+ 2)，半径r= 2y0x0+ 2，
而直线PF的方程为y=y0x0−1(x−1)，即y0x−(x0−1)y−y0=0，
所以圆心到直线PF的距离d=| 2y0−(x0−1)⋅ 2y0x0+ 2−y0| y02+(x0−1)2=|[( 2−1)− 2(x0−1)x0+ 2]y0| 1−x022+x02−2x0+1= 2y0x0+ 2=r，
故以BD为直径的圆与直线PF2相切．
【解析】(1)利用椭圆的定义与几何性质，求解即可；
(2)设M(x1,y1)，N(x2,y2)，将直线MN的方程与椭圆方程联立，利用韦达定理与平面向量的坐标运算，可得关于m的方程，解之即可；
(3)不妨设P是第一象限的点，其坐标为(x0,y0)，写出直线AP的方程，从而知点D的坐标，进而得到BD为直径的圆的圆心和半径，再利用点到直线的距离公式，证明即可．
本题考查直线与椭圆的位置关系，熟练掌握椭圆的定义，平面向量的坐标运算，直线与圆的位置关系的判断方法等是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
21.【答案】解：(1)证明：因为f(x)=2x+1，x∈R，
所以f′(x)=2，
f(x+3)=2(x+3)+1=2x+7，
当x=12时，f(x+3)=8，
(3+1)f′(x)=8，
所以f(12+3)=(3+1)f′(12)，
所以f(x)是“3跃点”函数；
(2)因为f(x)=x2−ax+1，x>0，
所以f′(x)=2x−a，
又因为f(x)=x2−ax+1是定义在(0,+∞)的“1跃点”函数，
所以f(x0+1)=(1+1)f′(x0)=2f′(x0)，
即(x0+1)2−a(x0+1)+1=2x0−a，
整理得：ax0=x02+1，
又因为x0>0，
所以a=x0+1x0，
又因为y=f(x)两个不同的“1跃点”，
即a=x0+1x0有两个不同的解，
由基本不等式可知x0+1x0≥2，
当且仅当x0=1时，等号成立，
所以a>2，
所以a的取值范围为(2,+∞)；
(3)函数y=ex+bx，x∈R的导函数为y′=ex+b，
因为函数y=ex+bx是“1跃点”函数，且在定义域内恰存在一个“1跃点”，
则方程ex0+1+b(x0+1)=2(ex0+b)在R上只有一个解，
即b(x0−1)=−ex0+1+2ex0在R上只有一个解，
当x0=1时，上式显然不成立，
当x0≠1时，b=−ex0+1+2ex0x0−1，
令g(x)=−ex+1+2exx−1(x≠1)，
则直线y=b与y=g(x)的图象只有一个交点，
因为g′(x)=(−ex+1+2ex)(x−1)−(−ex+1+2ex)(x−1)2=(2−x)⋅(e−2)⋅ex(x−1)2，
令g′(x)=0，得x=2，
所以当x∈(−∞,1)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，
当x∈(1,2)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，
当x∈(2,+∞)时，g′(x)<0，g(x)单调递减，
又因为g(2)=2e2−e3，
作出y=g(x)的图象，如图所示：

又因为直线y=b与y=g(x)的图象只有一个交点，
所以b=2e2−e3或b>0，
所以b的取值范围为(0,+∞)∪{2e2−e3}.
【解析】(1)根据“跃点”函数的定义证明即可；
(2)由题意可得a=x0+1x0有两个不同的解，结合基本不等式求解即可；
(3)由题意可得b(x0−1)=−ex0+1+2ex0在R上只有一个解，即b=−ex0+1+2ex0x0−1(x0≠1)在R上只有一个解，令g(x)=−ex+1+2exx−1(x≠1)，利用导数确定函数的单调性，作出图象，结合图象求解即可．
本题属于新概念题，考查了转化思想、数形结合思想，考查了导数的综合运用，属于中档题．X
0
1
2
P
25
815
115