高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.2 导数的运算复习练习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.2 导数的运算复习练习题，文件包含新教材高二数学《导数的几何意义-切线方程》专项练习教师版doc、新教材高二数学《导数的几何意义-切线方程》专项练习原卷版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共10页， 欢迎下载使用。
一、选择题
曲线y=eq \f(1,3)x3-2在点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－\f(5,3)))处切线的倾斜角为( )
A．1 B.eq \f(π,4) C.eq \f(5π,4) D．-eq \f(π,4)
【答案解析】答案为：B；
解析：∵y′=eq \(li m,\s\d4(Δx→0)) eq \f(\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,3)x＋Δx3－2))－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)x3－2)),Δx)=eq \(li m,\s\d4(Δx→0)) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(x2＋xΔx＋\f(1,3)Δx2))=x2，
∴切线的斜率k=y′|x=1=1.∴切线的倾斜角为eq \f(π,4)，故应选B.
已知曲线y=2x2上一点A(2,8)，则曲线在点A处的切线斜率为( )
A．4 B．16 C．8 D．2
【答案解析】答案为：C；
解析：因为eq \f(Δy,Δx)=eq \f(2x＋Δx2－2x2,Δx)=4x＋2Δx，
所以f′(x)=lieq \(m,\s\d14(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)=lieq \(m,\s\d14(Δx→0)) (4x＋2Δx)=4x.则点A处的切线斜率k=f′(2)=8.
若曲线f(x)=x2的一条切线l与直线x＋4y－8=0垂直，则l的方程为( )
A．4x－y－4=0 B．x＋4y－5=0
C．4x－y＋3=0 D．x＋4y＋3=0
【答案解析】答案为：A；
解析：设切点为(x0，y0)，∵f′(x)=lieq \(m,\s\d14(Δx→0)) eq \f(x＋Δx2－x2,Δx)=lieq \(m,\s\d14(Δx→0)) (2x＋Δx)=2x.
由题意可知，切线斜率k=4，即f′(x0)=2x0=4，∴x0=2.
∴切点坐标为(2,4)，切线方程为y－4=4(x－2)，即4x－y－4=0，故选A.
曲线y=－2x2＋1在点(0,1)处的切线的斜率是( )
A．－4 B．0 C．4 D．－2
【答案解析】答案为：B；
解析：因为Δy=－2(Δx)2，所以eq \f(Δy,Δx)=－2Δx，lieq \(m,\s\d14(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)=lieq \(m,\s\d14(Δx→0)) (－2Δx)=0，
由导数的几何意义知切线的斜率为0.
曲线f(x)=-eq \f(2,x)在点M(1，-2)处的切线方程为( )
A．y=-2x＋4 B．y=-2x-4 C．y=2x-4 D．y=2x＋4
【答案解析】答案为：C；
解析：eq \f(Δy,Δx)=eq \f(\f(－2,1＋Δx)＋2,Δx)=eq \f(2,1＋Δx)，所以当Δx→0时，f′(1)=2，即k=2.
所以直线方程为y＋2=2(x-1)．即y=2x-4.故选C.
与直线2x－y＋4=0平行的抛物线y=x2的切线方程为( )
A．2x－y＋3=0 B．2x－y－3=0
C．2x－y＋1=0 D．2x－y－1=0
【答案解析】答案为：D；
解析：由导数定义求得y′=2x，∵抛物线y=x2的切线与直线2x－y＋4=0平行，
∴y′=2x=2⇒x=1，即切点为(1,1)，∴所求切线方程为y－1=2(x－1)，即2x－y－1=0，故选D.
已知曲线y=eq \f(x2,4)的一条切线的斜率为eq \f(1,2)，则切点的横坐标为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案解析】答案为：A；
解析：∵y′=lieq \(m,\s\d14(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)=eq \f(1,2)x=eq \f(1,2)，∴x=1，∴切点的横坐标为1.
曲线y=－x3＋3x2在点(1,2)处的切线方程为( )
A.y=3x－1 B.y=－3x＋5 C.y=3x＋5 D.y=2x
【答案解析】答案为：A
解析：依题意得，y′=－3x2＋6x，y′eq \b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\\al( ,x＝1)))=－3×12＋6×1=3，即所求切线的斜率等于3，
故所求直线的方程是y－2=3(x－1)，整理得y=3x－1.
已知曲线y=eq \f(x2,2)－3ln x的一条切线的斜率为2，则切点的横坐标为( )
A.3 B.2 C.1 D.eq \f(1,2)
【答案解析】答案为：A
解析：设切点坐标为(x0，y0)，且x0>0，由y′=x－eq \f(3,x)，得k=x0－eq \f(3,x0)=2，∴x0=3.
曲线f(x)＝x3＋x﹣2在P0处的切线平行于直线y＝4x﹣1，则P0点的坐标为( )
A.(1,0) B.(2,8) C.(1,0)和(﹣1，﹣4) D.(2,8)和(﹣1，﹣4)
【答案解析】答案为：C
解析：依题意，令f′(x)＝3x2＋1＝4，解得x＝±1，f(1)＝0，f(﹣1)＝﹣4.
故P0点的坐标为(1,0)和(﹣1，﹣4).
已知函数f(x)=eq \f(2,3)x3－2ax2－3x(a∈R)，若函数f(x)的图象上点P(1，m)处的切线方程为3x－y＋b=0，则m的值为( )
A.－eq \f(1,3) B.－eq \f(1,2) C.eq \f(1,3) D.eq \f(1,2)
【答案解析】答案为：A
解析：∵f(x)=eq \f(2,3)x3－2ax2－3x，∴f′(x)=2x2－4ax－3，
∴过点P(1，m)的切线斜率k=f′(1)=－1－4a.
又点P(1，m)处的切线方程为3x－y＋b=0，∴－1－4a=3，∴a=－1，
∴f(x)=eq \f(2,3)x3＋2x2－3x.又点P在函数f(x)的图象上，∴m=f(1)=－eq \f(1,3).
已知曲线y＝aex＋xln x在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则( )
A.a＝e，b＝﹣1 B.a＝e，b＝1
C.a＝e﹣1，b＝1 D.a＝e﹣1，b＝﹣1
【答案解析】答案为：D
解析：∵y′＝aex＋ln x＋1，∴y′|x＝1＝ae＋1，∴2＝ae＋1，∴a＝e﹣1，
∴切点为(1,1).将(1,1)代入y＝2x＋b，得1＝2＋b，∴b＝﹣1.
二、填空题
曲线y=x2-3x的一条切线的斜率为1，则切点坐标为________．
【答案解析】答案为：(2，-2)；
解析：设f(x)=y=x2-3x，切点坐标为(x0，y0)，
f′(x0)=eq \(li m,\s\d4(Δx→0))eq \f(x0＋Δx2－3x0＋Δx－x\\al(2,0)＋3x0,Δx)
=eq \(li m,\s\d4(Δx→0)) eq \f(2x0Δx－3Δx＋Δx2,Δx)=2x0-3=1，故x0=2，
y0=xeq \\al(2,0)-3x0=4-6=-2，故切点坐标为(2，-2)．
已知函数y=f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y=eq \f(1,2)x＋2，则f(1)＋f′(1)=________.
【答案解析】答案为：3；
解析：由导数的几何意义得f′(1)=eq \f(1,2)，由点M在切线上得f(1)=eq \f(1,2)×1＋2=eq \f(5,2)，
所以f(1)＋f′(1)=3.
已知函数y=ax2＋b在点(1,3)处的切线斜率为2，则eq \f(b,a)=________.
【答案解析】答案为：2；
解析：lieq \(m,\s\d14(Δx→0)) eq \f(a1＋Δx2＋b－a－b,Δx)=lieq \(m,\s\d14(Δx→0)) (a·Δx＋2a)=2a=2，所以a=1，
又3=a×12＋b，所以b=2，即eq \f(b,a)=2.
设f(x)=ax3＋3x2＋2，若f(x)在x=1处切线与直线x＋3y＋3=0垂直，则实数a值为____.
【答案解析】答案为：－1
解析：对f(x)=ax3＋3x2＋2求导得：f′(x)=3ax2＋6x.∵k=f′(1)=3a＋6，
∴(3a＋6)×（- eq \f(1,3)）=－1，解得a=－1.
三、解答题
在曲线y=x2上哪一点处的切线，满足下列条件：
①平行于直线y=4x－5；
②垂直于直线2x－6y＋5=0；
③与x轴成135°的倾斜角．
分别求出该点的坐标．
【答案解析】解：f′(x)=lieq \(m,\s\d14(Δx→0)) eq \f(fx＋Δx－fx,Δx)=lieq \(m,\s\d14(Δx→0)) eq \f(x＋Δx2－x2,Δx)=2x.
设P(x0，y0)是满足条件的点．
①因为切线与直线y=4x－5平行，所以2x0=4，x0=2，y0=4，即P(2,4)．
②因为切线与直线2x－6y＋5=0垂直，
所以2x0·eq \f(1,3)=－1，得x0=－eq \f(3,2)，y0=eq \f(9,4)，即Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，\f(9,4))).
③因为切线与x轴成135°的倾斜角，则其斜率为－1.
即2x0=－1，得x0=－eq \f(1,2)，y0=eq \f(1,4)，即Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,4))).
试求过点P(1，－3)且与曲线y=x2相切的直线的斜率以及切线方程．
【答案解析】解：设切点坐标为(x0，y0)，则有y0=xeq \\al(2,0).
因y′=lieq \(m,\s\d14(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)=lieq \(m,\s\d14(Δx→0)) eq \f(x＋Δx2－x2,Δx)=2x.∴k=y′|x=x0=2x0.
因切线方程为y－y0=2x0(x－x0)，
将点(1，－3)代入，得－3－xeq \\al(2,0)=2x0－2xeq \\al(2,0)，
∴xeq \\al(2,0)－2x0－3=0，∴x0=－1或x0=3.
当x0=－1时，k=－2；当x0=3时，k=6.
∴所求直线的斜率为－2或6.
当x0=－1时，y0=1，切线方程为y－1=－2(x＋1)，即2x＋y＋1=0；
当x0=3时，y0=9，切线方程为y－9=6(x－3)，即6x－y－9=0.
已知曲线y=2x2－7在点P处的切线方程为8x－y－15=0，求切点P的坐标．
【答案解析】解：设切点P(x0，y0)，
由y′=lieq \(m,\s\d14(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)=lieq \(m,\s\d14(Δx→0)) eq \f([2x＋Δx2－7]－2x2－7,Δx)=lieq \(m,\s\d14(Δx→0)) (4x＋2Δx)=4x，
得k=y′|x=x0=4x0，根据题意4x0=8，
x0=2，代入y=2x2－7得y0=1.
故所求切点为P(2,1)．
已知直线l：y=4x＋a和曲线C：y=x3-2x2＋3相切，求a的值及切点的坐标．
【答案解析】解：设直线l与曲线C相切于点P(x0，y0)，
∵eq \f(Δy,Δx)=eq \f(x0＋Δx3－2x0＋Δx2＋3－x\\al(3,0)－2x\\al(2,0)＋3,Δx)=(Δx)2＋(3x0-2)Δx＋3xeq \\al(2,0)-4x0.
∴当Δx→0时，eq \f(Δy,Δx)→3xeq \\al(2,0)-4x0，即f′(x0)=3xeq \\al(2,0)-4x0，
由导数的几何意义，得3xeq \\al(2,0)-4x0=4，解得x0=-eq \f(2,3)或x0=2.
∴切点的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)，\f(49,27)))或(2,3)，
当切点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)，\f(49,27)))时，有eq \f(49,27)=4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)))＋a，∴a=eq \f(121,27)，
当切点为(2,3)时，有3=4×2＋a，∴a=-5，
当a=eq \f(121,27)时，切点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)，\f(49,27)))；
a=-5时，切点为(2,3)．
求过点P(－1,2)且与曲线y=3x2－4x＋2在点M(1,1)处的切线平行的直线．
【答案解析】解：曲线y=3x2－4x＋2在M(1,1)的斜率
k=y′|x=1=lieq \(m,\s\d14(Δx→0)) eq \f(31＋Δx2－41＋Δx＋2－3＋4－2,Δx)=lieq \(m,\s\d14(Δx→0)) (3Δx＋2)=2.
∴过点P(－1,2)直线的斜率为2，
由点斜式得y－2=2(x＋1)，即2x－y＋4=0.
所以所求直线方程为 2x－y＋4=0.
已知抛物线y=x2，直线x-y-2=0，求抛物线上的点到直线的最短距离．
【答案解析】解：根据题意可知与直线x-y-2=0平行的抛物线y=x2的切线对应的切点到直线
x-y-2=0的距离最短，设切点坐标为(x0，xeq \\al(2,0))，
则y′|x=x0=eq \(li m,\s\d4(Δx→0)) eq \f(x0＋Δx2－x\\al(2,0),Δx)=2x0=1，
所以x0=eq \f(1,2)，所以切点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,4)))，
切点到直线x-y-2=0的距离d=eq \f(\f(1,2)－\f(1,4)－2,\r(2))=eq \f(7\r(2),8)，
所以抛物线上的点到直线x-y-2=0的最短距离为eq \f(7\r(2),8).
已知函数f(x)=ax2＋1(a＞0)，g(x)=x3＋bx，若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值．
【答案解析】解：
∵f′(x)=eq \(li m,\s\d4(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)=eq \(li m,\s\d4(Δx→0)) eq \f(ax＋Δx2＋1－ax2＋1,Δx)=2ax，
∴f′(1)=2a，即切线斜率k1=2a.
∵g′(x)=eq \(li m,\s\d4(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)=eq \(li m,\s\d4(Δx→0)) eq \f(x＋Δx3＋bx＋Δx－x3＋bx,Δx)
=3x2＋b，
∴g′(1)=3＋b，即切线斜率k2=3＋b.
∵在交点(1，c)处有公共切线，∴2a=3＋b.
又∵a＋1=1＋b，即a=b，故可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝3，,b＝3.))