新教材适用2023_2024学年高中数学第8章立体几何初步8.5空间中直线平面的平行8.5.2直线与平面平行课件新人教A版必修第二册

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第八章　立体几何初步8．5　空间中直线、平面的平行8．5.2　直线与平面平行素养目标•定方向  1．借助长方体，通过直观感知，归纳出直线与平面平行的判定定理和性质定理，并加以证明．2．会应用直线与平面平行的判定定理证明直线与平面平行． 通过线面平行问题的证明，培养逻辑推理核心素养；借助几何体判定直线与平面的位置关系，培养直观想象核心素养；通过根据平行关系进行数值计算，培养数学运算核心素养.必备知识•探新知 平面外平面内平行a⊄α，b⊂α，且a∥b想一想：若一直线与平面内的一条直线平行，一定有该直线与平面平行吗？提示：不一定．也有可能直线在平面内，所以一定要强调直线在平面外．练一练：能保证直线a与平面α平行的条件是( 　　)A．b⊂α，a∥bB．b⊂α，c∥α，a∥b，a∥cC．b⊂α，A，B∈a，C，D∈b，且AC∥BDD．a⊄α，b⊂α，a∥b[解析]　由线面平行的判定定理可知，D正确．D平行交线a⊂β，α∩β＝b想一想：(1)一条直线平行于一个平面，则该直线平行于这个平面内的任意一条直线吗？(2)若直线a∥平面α，过a与α相交的平面有多少个？它们与α的交线相互之间有什么关系？提示：(1)一条直线平行于一个平面，它可以与平面内的无数条直线平行，但不能与平面内的任意一条直线平行，这条直线与平面内的任意一条直线可能平行，也可能异面．(2)过a与α相交的平面有无数多个，由线面平行的性质定理可知，这些交线都与a平行，故它们相互之间互相平行．练一练：已知a、b是两条相交直线，a∥α，则b与α的位置关系是( 　　)A．b∥α B．b与α相交C．b⊂α D．b∥α或b与α相交[解析]　由题意得b∥α和b与α相交都有可能．故选D.D关键能力•攻重难 如果两直线a∥b，且a∥α，则b与α的位置关系是( 　　)A．相交 B．b∥αC．b⊂α D．b∥α或b⊂α[解析]　由a∥b，且a∥α，知b∥α或b⊂α.[归纳提升]　线面平行的判定定理必须具备三个条件(1)直线a在平面α外，即a⊄α；(2)直线b在平面α内，即b⊂α；(3)两直线a，b平行，即a∥b，这三个条件缺一不可．题|型|探|究D 下列说法正确的是( 　　)A．若直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥αB．若直线a在平面α外，则a∥αC．若直线a∩b＝∅，直线b⊂α，则a∥αD．若直线a∥b，b⊂α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线[解析]　直线l还可以在平面α内，A错误；直线a在平面α外，包括平行和相交，B错误；a还可以与平面α相交或在平面α内，C错误．故选D.D 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，M为PD的中点，求证：PB∥平面ACM.[证明]　连接BD，交AC于点O，连接OM，∵M为PD的中点，∴OM为△DPB的中位线，∴OM∥PB.又OM⊂平面ACM，而PB⊄平面ACM，∴PB∥平面ACM.[归纳提升]　利用直线与平面平行的判定定理证线面平行的步骤上面的第一步“找”是证题的关键，其常用方法有：利用三角形、梯形中位线的性质；利用平行四边形的性质；利用平行线分线段成比例定理． 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是棱BC，CC1，BB1的中点，求证：EF∥平面AD1G.[解析]　连接BC1，则由E，F分别是BC，CC1的中点，知EF∥BC1.又AB∥A1B1∥D1C1，且AB＝A1B1＝D1C1，所以四边形ABC1D1是平行四边形，所以BC1∥AD1，所以EF∥AD1.又EF⊄平面AD1G，AD1⊂平面AD1G，所以EF∥平面AD1G. 如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH.[分析]　根据线面平行的性质定理，要证AP∥GH，只需证AP∥平面BDM，只需证AP与平面BDM中的某一条直线平行．[证明]　如图所示，连接AC交BD于点O，连接MO.∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点．又M是PC的中点，∴AP∥OM.又AP⊄平面BMD，OM⊂平面BMD，∴AP∥平面BMD.又∵AP⊂平面PAHG，平面PAHG∩平面BMD＝GH，∴AP∥GH.[归纳提升]　(1)利用线面平行的性质定理解题的步骤(2)运用线面平行的性质定理时，应先确定线面平行，再寻找过已知直线的平面与这个平面相交的交线，然后确定线线平行． 如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，过A1，B，C1的平面与平面ABC相交于l，则( 　　)A．l∥AC B．l与AC相交C．l与AC异面 D．以上均不对[解析]　∵ABC－A1B1C1为三棱柱，∴A1C1∥AC，又AC⊂平面ABC，A1C1⊄平面ABC，∴A1C1∥平面ABC，又平面A1C1B∩平面ABC＝l，∴A1C1∥l，∴l∥AC.故选A.A 如图，三棱锥A－BCD被一平面所截，截面为平行四边形EFGH，求证：CD∥平面EFGH.[证明]　因为四边形EFGH为平行四边形，所以EF∥GH，因为EF⊄平面BCD，GH⊂平面BCD，所以EF∥平面BCD，又因为EF⊂平面ACD，平面BCD∩平面ACD＝CD，所以EF∥CD，因为EF⊂平面EFGH，CD⊄平面EFGH，所以CD∥平面EFGH.[归纳提升]　关于线面平行关系的综合应用线面平行的判定是由线线平行→线面平行，性质定理是由线面平行→线线平行，因此线线平行与线面平行可以相互转化，也体现了平面和空间平行关系的相互转化． 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，N是PB中点，过A、N、D三点的平面交PC于M.求证：(1)PD∥平面ANC；(2)M是PC中点．[证明]　(1)连接BD，AC，设AC∩BD＝O，连接NO，∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是BD的中点，在△PBD中，N是PB的中点，∴PD∥NO，又NO⊂平面ANC，PD⊄平面ANC，∴PD∥平面ANC.(2)∵底面ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∵BC⊄平面ADMN，AD⊂平面ADMN，∴BC∥平面ADMN.∵平面PBC∩平面ADMN＝MN，BC在面PBC内，∴BC∥MN，又N是PB的中点，∴M是PC的中点．易|错|警|示忽视定理的必备条件 　证明：已知平面外的两条平行线中的一条平行于这个平面，那么另一条直线也平行于该平面．已知：a∥b，a⊄β，b⊄β，a∥β.求证：b∥β.[错解]　因为a∥b，所以直线a，b确定平面γ，设β∩γ＝c.因为a∥β，所以a∥c，又因为a∥b，所以b∥c，又因为c⊂β，b⊄β，所以b∥β.出错的原因是此时直线a，b确定的平面γ与β不一定相交，也可能平行，所以直线c也可能不存在．[错因分析]　使用定理证明或判断线线平行或线面平行时，一定要注意定理成立的条件，缺一不可．[正解]　在平面β内任一点A，因为a∥β，所以A∉a.设点A与直线a确定平面γ，β∩γ＝c.又a∥β，由线面平行的性质定理可得a∥c，又a∥b，所以b∥c，又c⊂β，b⊄β，所以b∥β. b是平面α外的一条直线，可以推出b∥α的条件是( 　　)A．b与α内的一条直线不相交B．b与α内的两条直线不相交C．b与α内的无数条直线不相交D．b与α内的任何一条直线都不相交[解析]　∵b∥α，∴b与α无公共点，从而b与α内任何一条直线无公共点．D课堂检测•固双基1．三棱台ABC－A1B1C1中，直线AB与平面A1B1C1的位置关系是( 　　)A．相交 B．平行C．在平面内 D．不确定[解析]　∵AB∥A1B1，AB⊄平面A1B1C1，A1B1⊂平面A1B1C1，∴AB∥平面A1B1C1.B2．若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是( 　　)A．平面α内不存在与a平行的直线B．平面α内所有直线与a相交C．平面α内所有直线与a异面D．直线a与平面α至少存在一个公共点[解析]　由于直线a不平行于平面α，所以直线a与平面α相交或直线a在平面α内，直线a在平面α内时，平面α内存在与a平行的直线，故A错误；直线a与平面α相交时，平面α内存在直线与a异面，故B错误；直线a在平面α内时，平面α内存在与a平行或相交的直线，故C错误；直线a与平面α相交或直线a在平面α内，直线a与平面α至少存在一个公共点，故D正确．故选D.D3．如图甲，在梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝2AB，E、F分别为AD、CD的中点，以AF为折痕把△ADF折起，使点D不落在平面ABCF内(如图乙)，那么在以下3个结论中，正确结论的个数是( 　　)①AF∥平面BCD；②BE∥平面CDF；③CD∥平面BEF.A．0 B．1C．2 D．3C[解析]　对于①，由题意得AB∥CF，AB＝CF，∴四边形ABCF是平行四边形，∴AF∥BC，∵AF⊄平面BCD，BC⊂平面BCD，∴AF∥平面BCD，故①正确；对于②，取DF中点G，连接EG，CG，∵E是AD中点，AF∥BC，AF＝BC，∴直线BE与直线CG相交，∴BE与平面CDF相交，故②错误；对于③，连接AC，交BF于点O，连接OE，∵四边形ABCF是平行四边形，∴O是AC中点，∴OE∥CD，∵OE⊂平面BEF，CD⊄平面BEF，∴CD∥平面BEF，故③正确．故选C.4．如图，已知S为四边形ABCD外一点，G、H分别为SB、BD上的点，若GH∥平面SCD，则( 　　)A．GH∥SAB．GH∥SDC．GH∥SCD．以上均有可能[解析]　∵GH∥平面SCD，GH⊂平面SBD，平面SBD∩平面SCD＝SD，∴GH∥SD.B5．如图，三棱柱ABC－A′B′C′，点M、N分别为A′B和B′C′的中点．证明：MN∥平面A′ACC′.[证明]　连接AB′、AC′，则点M为AB′的中点．又点N为B′C′的中点，所以MN∥AC′.又MN⊄平面A′ACC′，AC′⊂平面A′ACC′，因此MN∥平面A′ACC′.