新教材2024版高中数学第四章数列习题课数列求和课件新人教A版选择性必修第二册

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第四章　数列习题课　数列求和自学导引一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后再相加减．分组转化求和法【预习自测】1．数列{1＋2n－1}的前n项和为 (　　)A．1＋2n　　　 B．2＋2nC．n＋2n－1　　 D．n＋2＋2n【答案】C【答案】C裂项相消求和法【答案】C若一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如________数列的前n项和就是用此法推导的．等比错位相减法【预习自测】1．已知数列{an}的前n项和为Sn且an＝n·2n，则Sn＝________．【答案】(n－1)2n＋1＋2课堂互动题型1　分组转化求和分组求和法适用的题型当一个数列本身不是等差数列也不是等比数列，但如果它的通项公式可以拆分为几项的和，而这些项又构成等差数列或等比数列时，那么就可以用分组求和法，即原数列的前n项和等于拆分成的每个数列前n项和的和．(2022年东莞期末)已知等差数列{an}的公差为2，且a1＋1，a2＋1，a3＋2成等比数列．题型2　裂项相消求和解：(1)∵a1＋1，a2＋1，a3＋2成等比数列，∴(a2＋1)2＝(a1＋1)(a3＋2)．∴(a1＋3)2＝(a1＋1)(a1＋6)．解得a1＝3，∴an＝3＋2(n－1)＝2n＋1.【解题探究】(1)由a1＋1，a2＋1，a3＋2成等比数列，可得(a2＋1)2＝(a1＋1)(a3＋2)，即(a1＋3)2＝(a1＋1)(a1＋6)，解得a1，即可得出an；(2)将{an}的通项公式代入并利用裂项求和方法即可得出．裂项相消法求和的实质和解题关键裂项相消法求和的实质是先将数列中的通项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的，其解题的关键就是准确裂项和消项．(1)裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止．(2)消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项．【答案】B已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝2an－n.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝(2n＋1)(an＋1)，求数列{bn}的前n项和Tn.解：(1)∵Sn＝2an－n，当n＝1时，a1＝S1＝2a1－1，∴a1＝1.当n≥2时，Sn＝2an－n①，Sn－1＝2an－1－n＋1②，题型3　错位相减求和(2)bn＝(2n＋1)·2n，Tn＝3·2＋5·22＋7·23＋…＋(2n－1)·2n－1＋(2n＋1)·2n，2Tn＝3·22＋5·23＋7·24＋…＋(2n－1)·2n＋(2n＋1)·2n＋1，∴两式相减得－Tn＝6＋2(22＋23＋24＋…＋2n)－(2n＋1)·2n＋1，∴Tn＝2＋(2n－1)·2n＋1.【解题探究】(1)根据题中已知条件Sn＝2an－n，得出n≥2时，Sn－1＝2an－1－(n－1)，此时两式作差整理即可得到an＋1所满足的关系，求出数列{an＋1}的通项公式从而得到{an}的通项公式；(2)根据数列{bn}的通项可知利用错位相减法进行求和，从而可求出数列{bn}的前n项和Tn.素养点睛：考查数学运算和逻辑推理的核心素养．错位相减法的适用题型及关键点(1)如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法．(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式．3．(2023年河南模拟)在数列{an}中，a6＝16，点(an，an＋1)(n∈N*)在直线x－y＋3＝0上．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若bn＝2nan，求数列{bn}的前n项和Tn.解：(1)依题意，an－an＋1＋3＝0，即an＋1－an＝3，因此数列{an}是公差为3的等差数列，则an＝a6＋3(n－6)＝3n－2. 已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n2＋n，数列{bn}满足an＝4log2bn＋3.(1)求an，bn；(2)求数列{an·bn}的前n项和Tn.【错解】(1)由Sn＝2n2＋n，得an＝Sn－Sn－1＝4n－1.又因为4n－1＝an＝4log2bn＋3，所以bn＝2n－1.易错警示　错位相减法求和时项数处理不当致误【错因】(1)利用公式an＝Sn－Sn－1时，忽视n≥2这个限制条件，不对n＝1时进行验证；(2)用错位相减求和时，相减后的和式中的4(2＋22＋…＋2n－1)，这是一个等比数列的前(n－1)项的和，处理不当会出错．【正解】(1)当n＝1时，a1＝S1＝3；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4n－1，且当n＝1时，4n－1＝3，所以an＝4n－1.由4n－1＝an＝4log2bn＋3，得bn＝2n－1.(2)由(1)知an·bn＝(4n－1)·2n－1.所以Tn＝3＋7×2＋11×22＋…＋(4n－1)·2n－1，2Tn＝3×2＋7×22＋…＋(4n－5)·2n－1＋(4n－1)·2n.2Tn－Tn＝(4n－1)·2n－[3＋4(2＋22＋…＋2n－1)]＝(4n－5)·2n＋5.故Tn＝(4n－5)·2n＋5.【警示】(1)利用错位相减法求解数列的前n项和时，应注意两边乘公比后，对应项的幂指数会发生变化，为避免出错，可将相同幂指数的项对齐，这样有一个式子前面空出一项，另外一个式子后面就会多出一项，两式相减，除第一项和最后一项外，剩下的n－1项是一个等比数列．(2)利用错位相减法求和时，转化为等比数列求和．若公比是个参数(字母)，则应先对参数加以讨论，一般情况下分“等于1”和“不等于1”两种情况分别求和．素养训练1．分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．2．裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n项和．3．错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n项和即可用错位相减法求解．4．倒序相加法：如果一个数列，与首末两项等距离的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加求和法．【答案】C2．(题型1)数列{an}的通项公式是an＝(－1)n·(2n－1)，则该数列的前50项和为 (　　)A．－100　　　 B．100C．－50　　　 D．50【答案】D【解析】S50＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋…＋(－97＋99)＝2×25＝50.【答案】B5．(题型3)(2022年重庆期末)数列{an}和{bn}满足：a1＝b1＝1，bn＋1＝an＋1－an，bn＋1＝3bn.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)若cn＝bn·log3(2an＋1)，求数列{cn}的前n项和．解：(1)由bn＋1＝3bn，得{bn}是以q＝3为公比的等比数列，又因为b1＝1，所以bn＝b1qn－1＝3n－1，所以an＋1－an＝bn＋1＝3n，即an－an－1＝3n－1(n≥2)，