高中人教A版 (2019)4.4* 数学归纳法示范课ppt课件

这是一份高中人教A版 (2019)4.4* 数学归纳法示范课ppt课件，共48页。PPT课件主要包含了自学导引，正整数n，数学归纳法的定义，数学归纳法的框图表示，课堂互动，题型3证明整除问题，素养训练，答案D等内容，欢迎下载使用。

一般地，证明一个与______________有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)________________________________；(2)(归纳递推)______________________________________________ _____________________________；结论：由(1)(2)可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．
证明当n＝n0(n0∈N*)时命题成立
以“当n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立”为条件，推
出“当n＝k＋1时命题也成立”
【答案】n＝n0　n＝k(k≥n0)　n＝k＋1　从n0开始的所有正整数n
【预习自测】1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)与正整数n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法．(　　)(2)数学归纳法的第一步n0的初始值一定为1.(　　)(3)数学归纳法的两个步骤缺一不可．(　　)【答案】(1)×　(2)×　(3)√
2．如果命题p(n)对所有正偶数n都成立，那么用数学归纳法证明时须先证n＝________成立．【答案】23．用数学归纳法证1＋2＋3＋…＋2n＝2n2＋n(n∈N*)的过程中，从n＝k到n＝k＋1时，左边需增加的代数式是________．【答案】4k＋3
题型1　用数学归纳法证明等式
【解题探究】按照数学归纳法的步骤进行证明．
用数学归纳法证明等式的注意点用数学归纳法证明恒等式时，(1)弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况；(2)弄清从n＝k到n＝k＋1时等式两端增加了哪些项，减少了哪些项；(3)证明n＝k＋1时结论也成立，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并向证明目标n＝k＋1的表达式变形．
1．用数学归纳法证明：当n∈N*时，(1×22－2×32)＋(3×42－4×52)＋…＋[(2n－1)(2n)2－2n(2n＋1)2]＝－n(n＋1)(4n＋3)．证明：(1)当n＝1时，左式＝1×22－2×32＝－14，右式＝－1×2×7＝－14.等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即(1×22－2×32)＋(3×42－4×52)＋…＋[(2k－1)(2k)2－2k(2k＋1)2]＝－k(k＋1)(4k＋3)，则当n＝k＋1(k∈N*)时，
(1×22－2×32)＋(3×42－4×52)＋…＋[(2k－1)(2k)2－2k(2k＋1)2]＋[(2k＋1)(2k＋2)2－(2k＋2)(2k＋3)2]＝－k(k＋1)(4k＋3)－2(k＋1)[(4k2＋12k＋9)－(4k2＋6k＋2)]＝－k(k＋1)(4k＋3)－2(k＋1)(6k＋7)＝－(k＋1)(4k2＋15k＋14)＝－(k＋1)(k＋2)(4k＋7)＝－(k＋1)[(k＋1)＋1][4(k＋1)＋3]．说明当n＝k＋1时，等式也成立．由(1)(2)，可知等式对一切n∈N*都成立．
题型2　用数学归纳法证明不等式
【解题探究】利用数学归纳法证明，从“n＝k”到“n＝k＋1”时要注意项的合并．
用数学归纳法证明不等式的关键(1)用数学归纳法证明与n有关的不等式的第二步，应注意灵活运用证明不等式的一般方法，如比较法、分析法、综合法．(2)瞄准当n＝k＋1时的递推目标，有目的地放缩、分析直到凑出结论．
用数学归纳法证明x2n－1＋y2n－1(n∈N*)能被x＋y 整除．证明：(1)当n＝1时，x2n－1＋y2n－1＝x＋y，能被x＋y整除．(2)假设当n＝k(k∈N*且k≥1)时，命题成立，即x2k－1＋y2k－1能被x＋y整除．那么当n＝k＋1时，x2(k＋1)－1＋y2(k＋1)－1＝x2k＋1＋y2k＋1
＝x2k－1＋2＋y2k－1＋2＝x2·x2k－1＋y2·y2k－1＋x2·y2k－1－x2·y2k－1＝x2(x2k－1＋y2k－1)＋y2k－1(y2－x2)．∵x2k－1＋y2k－1能被x＋y整除，y2－x2＝(y＋x)(y－x)也能被x＋y整除，∴当n＝k＋1时，x2(k＋1)－1＋y2(k＋1)－1能被x＋y整除．由(1)(2)，可知原命题成立．【解题探究】利用数学归纳法证明时，要注意“n＝k”与“n＝k＋1”之间项的关系．
用数学归纳法证明整除问题的注意点用数学归纳法证明整除问题时，要注意将式子拆成几部分的和、差或乘积形式，然后分析每一个部分能否被整除．
3．用数学归纳法证明62n－1＋1(n∈N*)能被7整除．证明：(1)当n＝1时，62－1＋1＝7能被7整除．(2)假设当n＝k(k∈N*且k≥1)时，62k－1＋1能被7整除．那么当n＝k＋1时，62(k＋1)－1＋1＝62k－1＋2＋1＝36×(62k－1＋1)－35.∵62k－1＋1能被7整除，35也能被7整除，∴当n＝k＋1时，62(k＋1)－1＋1能被7整除．由(1)(2)，可知原命题成立．
在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝λan＋λn＋1＋(2－λ)2n(n∈N*)，其中λ>0.(1)求a2，a3，a4；(2)猜想{an}的通项公式并加以证明．解：(1)由an＋1＝λan＋λn＋1＋(2－λ)2n，将a1＝2代入，得a2＝λa1＋λ2＋(2－λ)×2＝λ2＋4；将a2＝λ2＋4代入，得a3＝λa2＋λ3＋(2－λ)×22＝2λ3＋8；将a3＝2λ3＋8代入，得a4＝λa3＋λ4＋(2－λ)×23＝3λ4＋16.
题型4　归纳、猜想、证明
(2)由a2，a3，a4对{an}的通项公式作出猜想：an＝(n－1)λn＋2n.下面用数学归纳法证明，当n＝1时，a1＝2＝(1－1)λ1＋21成立．假设当n＝k(k∈N*且k≥1)时，ak＝(k－1)λk＋2k，则当n＝k＋1时，ak＋1＝λak＋λk＋1＋(2－λ)2k＝(k－1)λk＋1＋2kλ＋λk＋1＋(2－λ)2k
＝kλk＋1＋2k＋1＝[(k＋1)－1]λk＋1＋2k＋1.由此可知，当n＝k＋1时，ak＋1＝[(k＋1)－1]λk＋1＋2k＋1也成立．综上可知，an＝(n－1)λn＋2n对任意n∈N*都成立．【解题探究】根据条件求出a2，a3，a4，并由此猜想an的表达式，然后用数学归纳法证明．
“归纳—猜想—证明”的一般环节
“归纳—猜想—证明”的主要题型(1)已知数列的递推公式，求通项或前n项和．(2)由一些恒等式、不等式改编的一些探究性问题，求使命题成立的参数值是否存在．(3)给出一些简单的命题(n＝1，2，3，…)，猜想并证明对任意正整数n都成立的一般性命题．
易错警示　缺少归纳递推致误
这就是说，当n＝k＋1时，等式也成立．根据(1)(2)，可知等式对任何n∈N*都成立．【警示】利用数学归纳法解决数学问题时，一定要利用n＝k与n＝k＋1之间的关系，不能直接使用结论．
1．数学归纳法的两个步骤缺一不可，第一步获得递推的基础，但这不能说明结论的普遍性，第二步获得递推的依据，但没有第一步就失去了递推的基础，只有把第一步和第二步结合在一起，才能获得普遍性的结论．因此，完成了一、二步以后，还要做出一个结论．2．用数学归纳法证明不等式的命题，远比证明恒等式困难得多．证明时，一般先假设使不等式的一边满足“n＝k＋1”的形式，另一边要结合不等式的性质，配合不等式的其他证明方法(如比较法、分析法、综合法、放缩法等)，使之符合“n＝k＋1”时的形式．总之，用好假设，抓住关键，理清思路，变换出符合形式的不等式．
A．k2＋(k＋1)2B．k2＋(k＋1)2＋k2C．(k＋1)2D．2k＋1【答案】A【解析】等式左边需增加的代数式是[12＋22＋…＋k2＋(k＋1)2＋k2＋…＋22＋12]－(12＋22＋…＋k2＋…＋22＋12)＝k2＋(k＋1)2.故选A.
3．(题型1，2)(多选)下列说法，正确的是(　　)A．用数学归纳法证明问题时，第一步不一定是验证当n＝1时结论成立B．所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明C．不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n＝k到n＝k＋1时，项数都增加了一项D．用数学归纳法证明等式“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，验证n＝1时，左边式子应该为1＋2＋22＋23
【答案】AD【解析】数学归纳法第一步应验证n的最小值时，命题是否成立，故A正确；数学归纳法证明只是证明的一种方法，故B错误，项数都增加了多少项与等式和不等式的表达式有关，故C错误；验证n＝1时，左边式子应该为1＋2＋22＋23，故D正确．故选AD．
4．(题型3)(2021年连云港期中)用数学归纳法证明“当n∈N*时，f(n)＝5n＋2×3n－1＋1能被8整除”时，第二步“假设当n＝k(k∈N*)时，f(k)＝5k＋2×3k－1＋1能被8整除，证明当n＝k＋1时f(k＋1)也能被8整除”的过程中，得到f(k＋1)＝5k＋1＋2×3(k＋1)－1＋1＝f(k)＋A，则A的表达式为________．【答案】A＝4(5k＋3k－1)【解析】“假设当n＝k(k∈N*)时，f(k)＝5k＋2×3k－1＋1能被8整除，证明当n＝k＋1时f(k＋1)也能被8整除”的过程中，得到f(k＋1)＝5k＋1＋2×3(k＋1)－1＋1＝f(k)＋A，得A＝5k＋1＋2×3(k＋1)－1＋1－5k－2×3k－1－1＝4(5k＋3k－1)．
5．(题型4)已知数列{an}的前n项和Sn＝2n－an.(1)计算a1，a2，a3，a4，并猜{an}的通项公式；(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．解：(1)根据题意，Sn＝2n－an.当n＝1时，a1＝S1＝2－a1，∴a1＝1；当n＝2时，a1＋a2＝S2＝2×2－a2，