2023-2024学年四川省成都市武侯区成都西川中学九年级上册期中数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年四川省成都市武侯区成都西川中学九年级上册期中数学试题（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

A卷（共100分）
第Ⅰ卷（选择题，共32分）
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．已知关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．沿正方体相邻的三条棱的中点截掉一个角，得到如图所示的几何体，则他的主视图是（ ）

A． B． C． D．
3．下列函数是反比例函数的是（ ）
A．B．C．D．
4．下列说法不正确的是（ ）
A．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
B．菱形的对角线互相垂直
C．矩形的对角线相等
D．对角线互相平分的四边形是平行四边形
5．已知（x≠0），则下列式子正确的是（ ）
A．B．y：x＝3：2C．2x＝3yD．
6．如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，学校生物兴趣小组试验园地的形状是长40米、宽34米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共二条等宽的小道，使种植面积为960平方米，求小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为（ ）
A．B．
C．D．
8．如图，在纸片中，，，将纸片沿某处剪开，下列四种方式中剪下的阴影三角形与原三角形相似的是（ ）
A．①③B．①②③C．①②④D．③④
第Ⅱ卷（非选择题，共68分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
9．若，则 ．
10．若关于的方程有两个相等的实数根，则的值为 ．
11．如图，在九年级颁奖典礼上，舞台的长为米，主持人站在点处自然得体，已知点是线段上靠近点的黄金分割点，则主持人与点的距离为 米．
12．若点和点都在反比例函数的图象上，则 ．（用“”“”或“”填空）
13．如图，在中，，以为圆心，为半径画弧，交于点，分别以，为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点，连接交于点，若，则的长为
三、解答题（本大题共5个小题，共48分，答案写在答题卡上）
14．（1）
（2）
15．如图所示，九年级某班开展测量旗杆高度的活动，已知标杆的高度，人的眼睛与地面的高度，当A，C，E三点共线时，标杆与标杆的水平距离，人与标杆CD的水平距离，求旗杆AB的高度．
16．如图，甲、乙两个可以自由转动且质地均匀的转盘，甲转盘被分成三个大小相同的扇形，且分别标有数字1，2，3；乙转盘被分成四个大小相同的扇形，且分别标有数字1，2，3，4．固定指针的位置，将两个转盘各转一次至自动停止（若指针正好指向扇形的边界，则重新旋转转盘，直至指针指向扇形内部）．

(1)甲转盘停止后，指针指向3的概率是___________；
(2)将甲、乙两个转盘自动停止后指针指向的数字分别记为m，n，利用列表或画树状图的方法，求一元二次方程有实根的概率．
17．如图，在中，两条对角线交于点O，且平分．
(1)求证：四边形是菱形：
(2)作于H，交于E．若，，求菱形的边长及面积．
18．图形面积与线段比例之间有着紧密的联系，通常将面积之比与线段之比相互转化，以达到简便求解的效果．
如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于点A，B，直线与过点的直线在第一象限内交于点D，且，连接．
(1)求点D的坐标及直线的函数表达式；
(2)若点P是线段上一点，连接交于点E．
①若的面积与的面积相等，求点P的坐标；
②连接交于点F，连接，若，求的面积．
B卷
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
19．已知a、b是一元二次方程的两个根，那么的值是 ．
20．如图，在矩形，点在边上，连接，将沿直线折叠，使点刚好落在边上的点处．若，，则长为 ．
21．利用电脑程序模拟频率估计概率，在如图所示的同心圆中，大圆的半径为3，向大圆中（不含边界）随机投射300个点，并统计落在小圆中不含边界）的点数，经历大量试验，发现随机点落在小圆中的点数稳定在100粒左右，则可估计小圆的面积为 ．
22．如图，在平面直角坐标系中，的面积是3，点A在第二象限，点B，C在第一象限，且B，C的纵坐标之比为．若反比例函数的图象经过点B，C，则k的值为
23．已知正方形的边长为4，点P是该正方形边上一点，以P为位似中心，作正方形正方形ABCD，相似比为，则点与点B的最大距离为 ；连接，若的周长为，则的面积为 ．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分，答案写在答题卡上）
24．某商场在今年国庆期间进行促销活动，A商品的进价为每件120元，原售价为每件200元．
(1)国庆期间经过两次降价后，A商品的售价为每件162元，求平均每次降价的百分率；
(2)国庆节后，该商场A商品还有库存，为了消仓决定再降价处理．经市场调研发现：当A商品售价降为每件150元时，每天可售出10件；在此基础上，售价每降低1元，则每天又可以多卖出2件，若要使商场销售A商品一天的获利为500元，且要尽快消仓，则售价在150元的基础上应降价多少元？
25．已知，如图，在矩形中，，．对角线与交于点，点是边上的一个动点，连接，作，且射线与边交于点．
(1)求证：；
(2)判断是否为定值，若是，则求出：若不是，请说明理由；
(3)连接，，若，求的长．
26．【阅读思考】
在平面直角坐标系中，点的坐标分别，且，点是平面内一点，连接．定义：在上述条件下，若，则称点是的智慧点，记作．
【初步探究】
（1）如图1，分别在轴、轴的正半轴上．
①若，，，求证：点是的智慧点；
②若，用含的式子表示点的坐标．（直接写出答案）
【理解应用】
（2）若，，且，求的值．
【拓展迁移】
（3）若，，点，且，求点的坐标．
参考答案与解析
1．D
【分析】根据一元二次方程的定义，列出不等式m+1≠0，求出m的取值范围即可．
【详解】∵方程（m+1）x2-3=0是关于x的一元二次方程，
∴m+1≠0，
解得：m≠-1．
故选：D．
【点睛】本题考查一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程；一元二次方程的标准形式是ax2+bx+c=0(a，b，c为常数，x为未知数，且a≠0)．
2．C
【分析】据主视图是从正面看到的图形判定即可．
【详解】该几何体的主视图是，
，
故选C．
【点睛】本题主要考查了几何体的三种视图和学生的空间想象能力，正确掌握观察角度是解题关键．
3．C
【分析】本题主要考查了反比例函数的判断．根据“形如的函数关系，称为y关于x的反比例函数”，即可求解．
【详解】解：A、不是反比例函数，故本选项不符合题意；
B、不是反比例函数，故本选项不符合题意；
C、是反比例函数，故本选项符合题意；
D、不是反比例函数，故本选项不符合题意；
故选：C
4．A
【分析】根据菱形的判定与性质，矩形的性质，平行四边形的判定，进行判断即可得．
【详解】解：A、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，选项说法错误，符合题意；
B、菱形的对角线互相垂直平分，选项说法正确，不符合题意；
C、矩形的对角线相等，选项说法正确，不符合题意；
D、对角线互相平分的四边形是平行四边形，选项说法正确，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，矩形的性质，平行四边形的判定，解题的关键是掌握这些性质．
5．C
【分析】根据比例的性质求解即可．
【详解】解：∵，
∴，，，，
故选C．
【点睛】本题主要考查了比例的性质，熟知比例的性质是解题的关键．
6．B
【分析】本题考查了相似图形的性质，位似图形与相似图形的关系．根据位似图形的性质，得到，即可求解．
【详解】解：∵和是以点为位似中心的位似图形，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴．
故选：B
7．A
【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是把原图形可以与平移后的图形建立关系，将复杂问题简单化．根据题意和图形，可以将小路平移到最上端和对左端，则阴影部分的长为米，宽为米，然后根据长方形的面积长宽，即可列出相应的方程．
【详解】解：由题意可得，
，
故选：A．
8．A
【分析】本题考查了相似三角形的判定．根据相似三角形的判定定理逐个判断即可．
【详解】解：图①中，∵，
∴相似；
图②中，，不符合相似三角形的判定，不能推出和相似；
图③中，，
∴；
图④中，，不符合相似三角形的判定，
不能推出和相似；
综上所述，阴影三角形与原三角形相似的有①③，故A正确．
故选：A．
9．
【分析】根据两内项之积等于两外项之积列式整理即可得解．
【详解】解：∵
∴3x−6y=2y，
∴3x=8y，
∴
故答案为
【点睛】考查了比例的基本性质，熟记两内项之积等于两外项之积是解题的关键．
10．
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式．根据一元二次方程根的判别式“”列式，进一步计算即可求解．
【详解】解：根据题意得，，
∴，
故答案为：．
11．
【分析】本题主要考查了黄金分割比例，熟知黄金分割比例是解题的关键．根据黄金分割比例进行求解即可．
【详解】解：∵点是线段上靠近点的黄金分割点，，
∴米，
∴米
故答案为：．
12．
【分析】把和分别代入反比例函数中计算y的值，即可做出判断．
【详解】解：∵点和点都在反比例函数的图象上，
∴令，则；
令，则，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，计算y的值是解题的关键．
13．
【分析】本题考查了勾股定理，尺规作垂线，等腰三角形的三线合一，熟练掌握勾股定理是解题的关键．连接，利用等腰三角形的性质得出，进而利用勾股定理解答即可．
【详解】解：连接，
，
由作图可知，，，，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
14．(1) （2）
【分析】(1)利用因式分解法求解即可．
(2)利用公式法求解即可．
本题考查了因式分解法，公式法解方程，熟练掌握解法的实质是解题的关键．
【详解】(1)∵
∴
∴，
∴，
解得．
(2) ∵，
在这里，
∴，，
解得．
15．
【分析】本题考查了相似三角形的应用，矩形的判定与性质，主要用到的解题思想是把梯形问题转化成三角形问题，利用三角形相似比列方程来求未知线段的长度．
利用三角形相似中的比例关系，首先由题目和图形可看出，求的长度分成了2个部分，和部分，其中，剩下的问题就是求的长度，利用，得出，把相关条件代入即可求得，所以．
【详解】解：过作于，交于，
，，
，
，
四边形和四边形是矩形，
，，，
，
，
，
即，
，
，
．
答：旗杆的高度为．
16．(1)
(2)
【分析】本题考查的是利用列表法或画树状图的方法求解简单随机事件的概率：
（1）利用概率公式求解指针指向3的概率即可；
（2）先列表得到所有的等可能的结果数有12种，满足的结果数有3种，再利用概率公式求解即可．
【详解】（1）解：甲转盘被分成三个大小相同的扇形，分别标有1，2，3；
所以转动甲转盘，指针指向3的概率是：．
故答案为：；
（2）解：∵一元二次方程有实根，
∴，即，
根据题意，列表如下：
所有的等可能的结果数有12种，满足的结果数有3种，
所以一元二次方程有实根的概率．
17．(1)见解析；
(2)边长为，面积为．
【分析】（1）由平行四边形的性质得，则，由平分，得，则，所以，即可证明四边形是菱形；
（2）由菱形的性质得，，，则，，所以，则，即可证明，得，求得，所以，，进而可求出答案．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形．
（2）解：∵菱形的两条对角线交于点O，
∴，，，
∴，，
∵于H，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴菱形的面积为：，
∴菱形的边长为，面积为．
【点睛】此题重点考查菱形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、菱形的面积公式等知识，证明，是解题的关键．
18．(1)；
(2)①②
【分析】（1）过点D作轴于点K，根据直线，，利用相似比计算即可．
（2）①根据的面积与的面积相等，得到，设，根据中点坐标公式，得到，代入直线的解析式中计算即可．
②过点P作于点M，过点B作于点N，过点A作于点T，过点O作于点G，根据等腰直角三角形的性质，三角形面积之比与线段比的关系，结合已知比例式，计算的长即可．
【详解】（1）过点D作轴于点K，
∵直线，
∴，，
∴，，
∵轴，轴
∴，
∴，，
∵，
∴，，
∴,，
故；
设直线的解析式为，根据题意，得，
解得，
（2）故直线的解析式为．
①∵，
∴直线的解析式，
∵的面积与的面积相等，
∴，
∵直线的解析式为，
设，
∵，
∴，
∴，
解得，
∴．
②如图，过点P作于点M，过点B作于点N，过点A作于点T，过点O作于点G，
∵直线，
∴，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
解得（舍去），
∴．
【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，等腰直角三角形的性质，三角形面积的不同表示，三角形相似的判定和性质，面积之比与线段比的关系，熟练掌握待定系数法，三角形相似的判定和性质是解题的关键．
19．3
【分析】根据根与系数的关系，进行计算即可．
【详解】解：∵a、b是一元二次方程的两个根，
∴，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查根与系数的关系，因式分解，代数式求值．熟练掌握根与系数的关系，是解题的关键．
20．
【分析】本题主要考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理的运用，利用勾股定理列出方程是本题的关键．由矩形的性质和折叠的性质可得，设，则，，由勾股定理可得，即可求解．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，
∵将矩形沿直线折叠，
∴，,
∴,
设，则，，
∵，
∴中，，
∴，
解得，
∴，
故答案为：．
21．
【分析】本题考查了频率估计概率，根据频率之比等于概率，等于圆的面积之比，计算即可．
【详解】根据题意，得，
故，
故答案为：．
22．2
【分析】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，平行四边形的性质．作轴于点E，作轴于点E，连接，设点B的坐标为，则点C的坐标为，根据反比例函数比例系数的几何意义，可得，从而得到，即可求解．
【详解】解：如图，作轴于点E，作轴于点E，连接，
∵点B，C在第一象限，且B，C的纵坐标之比为．
∴可设点B的坐标为，则点C的坐标为，
∵反比例函数的图象经过点B，C，
∴，
∵的面积是3，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：2
23． ##0.5
【分析】本题考查了位似，正确作出位似图形，理解位似相似性质是解题的关键，
①根据对角线最长，当位似中心P与点C重合时，点最远，此时与点B的距离也是最大的，根据勾股定理计算即可．
②根据正方形的边长为4，点P是该正方形边上一点，以P为位似中心，作正方形正方形ABCD，相似比为，得到正方形得边长为2，得到，设，则，根据，列式计算即可．
【详解】如图，位似中心P与点C重合时，点最远，此时与点B的距离也是最大的，
∵正方形的边长为4，点P是该正方形边上一点，以P为位似中心，作正方形正方形ABCD，相似比为，
∴正方形的边长为2，
∴，
∴，
故答案为：．
∵正方形的边长为4，点P是该正方形边上一点，以P为位似中心，作正方形正方形ABCD，相似比为，
∴正方形的边长为2，
∴，
设，则，
∵的周长为，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴的面积为．
故答案为：．
24．(1)；
(2)20元．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）设平均每次降价的百分率为x，利用经过两次降价后价格=原价×（平均每次降价的百分率），可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
（2）设售价在150元的基础上应降价y元，则每件的销售利润为元，每天可售出件，利用总利润=每件的销售利润×日销售量，可列出关于y的一元二次方程，解之可得出y的值，再结合要尽快清仓，即可确定结论．
【详解】（1）解：设平均每次降价的百分率为x，
根据题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去）．
答：平均每次降价的百分率为；
（2）设售价在150元的基础上应降价y元，则每件的销售利润为元，每天可售出件，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，，
又∵要尽快清仓，
∴．
答：售价在150元的基础上应降价20元．
25．(1)见解析
(2)是定值，且，见解析
(3)2
【分析】（1）根据得到，根据，得到即可证明．
（2）根据得到，证明即可证明．
（3）根据得到，，利用勾股定理构造出方程，解方程即可．
【详解】（1）∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）是定值，且，理由如下：
∵矩形中，，，
∴，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∵
∴，
∴
∴，
故．
（3）∵，
∴，
∴，
∵，，
∴直线是线段的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
整理得，，
解得（舍去）
故的长2．
【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理，解方程，熟练掌握相似的性质，勾股定理，解方程是解题的关键．
26．（1）①见解析；②或；（2）的值为或；（3）
【分析】（1）①由，，得出点的坐标分别，，结合，得出，从而得出，即可得证；②由题意得，，，从而得到，，，由推出当点在内部时，点在第一象限的角平分线，当点在外部时，点在第一象限的角平分线的反向延长线上，进而得出点的横纵坐标相同，可设点的坐标为，得到，求解即可；
（2）由题意得，，由点是的智慧点，得出，从而得到,，进一步得出当点在内部时，点在第二象限的角平分线，当点在外部时，点在第二象限的角平分线的反向延长线上，，进而点的横纵坐标互为相反数，在分两种情况，当点在内部时，点在第二象限的角平分线；当点在外部时，点在第二象限的角平分线的反向延长线上，分别求解即可；
（3）由题意得，，，由可得，，，从而得出，由等腰直角三角形的性质可得，从而得到当点在内部时，，点在外部时，，由三角形内角和判断出，从而得出，即可得到，，过点作轴，交轴于，作于，则四边形是矩形，得到，，设，，证明出，得到，，从而得到，求出的值即可．
【详解】解：（1）①∵，，
∴点的坐标分别，，
∵，
∴轴，，
∴，
∴，
∴点是的智慧点；
②点的坐标分别，，分别在轴、轴的正半轴上，
，，
∵点是的智慧点，
∴，
∴，，
，
，
∴当点在内部时，点在第一象限的角平分线，当点在外部时，点在第一象限的角平分线的反向延长线上，
∴点的横纵坐标相同，
∴可设点的坐标为，
∴，
解得：，
∴点的坐标为或；
（2）解：点的坐标分别，，，
，，
∵点是的智慧点，
∴，
∴,，
当点在内部时，点在第二象限的角平分线，当点在外部时，点在第二象限的角平分线的反向延长线上，，
∴点的横纵坐标互为相反数，
如图，当点在内部时，点在第二象限的角平分线，
∴可设点的坐标为，
则，
解得：，
，
，
（负值舍去）；
当点在外部时，点在第二象限的角平分线的反向延长线上时，
设点的坐标为，
同理可得：，
，
作于，则，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
（负值舍去），
综上所述，的值为或；
（3）解：，，
，，
，
，，，
，
，，，
，，
，
，
，
当点在内部时，，点在外部时，，
，
，
，
，
，
，
，
如图，过点作轴，交轴于，作于，
，
则，
四边形是矩形，
，，
设，，
，，
，
，
，
，，
，
解得：，
．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形、相似三角形的判定与性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质、矩形的判定与性质、三角形全等的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想，是解此题的关键．
1
2
3
4
1
2
3