四川省巴中市南江县沙河中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题（原卷+解析）

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总分：150分；考试时间：120分钟
一、单选题（本大题共12小题，每小题4分，共48分，每小题四个选项中只有一个选项是正确的，请将正确的答案写在答题卷相应的位置上．）
1. 的相反数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了相反数的概念，要求掌握相反数的定义，并能熟练运用到实际运算当中：实数，互为相反数，则．根据相反数的概念可直接求出答案．
【详解】解：根据相反数的性质可知：的相反数为．
故选：B．
2. 下列计算中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】运用同底数幂的乘法、同底数幂的除法以及积的乘方这些公式进行运算即可直接得出结果．
【详解】A选项3a和5b不是同类项不可合并；
B选项；
C选项；
D选项正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查整式的加法运算、同底数幂的乘法、同底数幂的除法以及积的乘方，要熟练掌握运算公式．
3. 下列图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据中心对称图形及轴对称图形的定义进行判断即可．
【详解】A.是中心对称图形，不是轴对称图形，故不符合题意；
B.不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故不符合题意；
C.既是中心对称图形，也是轴对称图形，故符合题意；
D.不是中心对称图形，是轴对称图形，故不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形，熟记中心对称图形与轴对称图形的定义是解题的关键．
4. 人类与病毒的斗争是长期的，不能松懈．据中央电视台“朝日新闻”报道，截止北京时间2020年6月30日凌晨，全球新冠肺炎患者确诊病例达到1002万．1002万用科学记数法表示，正确的是（ ）
A. B. C. D. 万
【答案】A
【解析】
【分析】通过科学记数法的公式计算即可：；
【详解】1002万=10020000=．
故答案选A．
【点睛】本题主要考查了科学记数法的表示，准确判断小数点位置是解题的关键．
5. 小明家要买一台电脑，下面是甲、乙、丙三种电脑近几年来的销售情况，如果小明想买一台比较流行的电脑，他应买（ ）
A. 甲B. 乙C. 丙D. 乙或丙
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查数据的分析，比较流行的电脑，就是销量比较大，且销量有上升趋势的电脑．由表中数据可知：只有乙电脑在三年内销量持续上升，所以选乙．
【详解】解：甲呈下降趋势，乙销售持续上升，而丙也略微下降，
故选：B．
6. 我国古代数学家利用“牟合方盖”找到了球体体积的计算方法．“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵、横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体，如图所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，它从正面看是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据从物体的正面观察得得到的视图，进而得出答案．
【详解】该几何体从正面看：．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了几何体的三视图；掌握俯视图是从几何体上面看得到的平面图形是解决本题的关键．
7. 如图，AB∥CD，AD和BC相交于点O，∠A＝40°，∠AOB＝75°．则∠C等于（ ）
A. 40°B. 65°C. 75°D. 115°
【答案】B
【解析】
【分析】由∠A=40°，∠AOB=75°，根据三角形内角和定理，即可求得∠B度数，又由AB∥CD，根据两直线平行，内错角相等，即可求得∠C的值．
【详解】解：∵∠A=40°，∠AOB=75°．
∴∠B=180°-∠A-∠AOB=180°-40°-75°=65°，
∵AB∥CD，
∴∠C=∠B=65°．
故选B．
8. 把抛物线向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数图像的平移，掌握平移规律“上加下减，左加右减”成为解题的关键．
直接运用平移规律解答即可．
【详解】解：由平移规律可得：抛物线向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线是：．
故选D．
9. 已知关于x的方程ax2﹣x＝0有实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A. a≠0B. a≤0C. a＞0D. 全体实数
【答案】D
【解析】
【分析】当a≠0时，是一元二次方程，根据根的判别式的意义得∆＝(﹣1)2﹣4a×0＝1＞0；当a＝0时，是一元一次方程有实数根，由此得出答案即可．
【详解】解：当a≠0时，是一元二次方程，
∵原方程有实数根，
∴∆＝(﹣1)2﹣4a×0＝1＞0，
∴a≠0；
当a＝0时，﹣x＝0是一元一次方程，有实数根x＝0，
故选：D．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，以及一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式∆=b2﹣4ac与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当∆>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当∆=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当∆<0时，一元二次方程没有实数根．
10. 如图是一株美丽的“勾股树”，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直三角形，若正方形的面积分别是9、25、1、9，则最大正方形的边长是（ ）

A. 12B. 44C. D. 无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】根据勾股定理分别求出G、H的面积，再由G、H的面积根据勾股定理计算即可得出答案．
【详解】解：∵正方形的面积分别是9、25、1、9，由勾股定理得，
正方形H的面积为：9+1=10，
正方形G的面积为：9+25=34，
则正方形E的面积为：34+10=44，
所以正方形E的边长为：
故选：C
【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a、b，斜边长为c,那么a2+b2=c2.求出正方形E的面积是解题的关键．
11. 在△ABC中，点D、E分别为边AB、AC的中点，则△ADE与△ABC的周长之比为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由点D、E分别为边AB、AC的中点，可得出DE为△ABC的中位线，进而可得出DE∥BC及△ADE∽△ABC，再利用相似三角形的性质即可求出△ADE与△ABC的周长之比．
【详解】如图，
∵点D，E分别为△ABC边AB，AC上的中点，
∴AD＝BD，AE＝EC，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，且DE＝BC，
∴△ADE∽△ABC，
∵DE：BC＝1：2，
∴△ADE与△ABC的周长比为1：2，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了相似三角形，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
12. 二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，有以下结论：①3a-b=0；②b2-4ac＞0；③5a-2b+c＞0；④4b+3c＞0，其中错误结论的个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】①对称轴为x=-，得b=3a；
②函数图象与x轴有两个不同的交点，得Δ=b2-4ac＞0；
③当x=-1时，a-b+c＞0，当x=-3时，9a-3b+c＞0，得5a-2b+c＞0；
④由对称性可知x=1时对应的y值与x=-4时对应的y值相等，当x=1时a+b+c＜0，4b+3c=3b+b+3c=3b+3a+3c=3（a+b+c）＜0．
【详解】解：由图象可知a＜0，c＞0，对称轴为x=-，
∴x=-=-，
∴b=3a，①正确；
∵函数图象与x轴有两个不同的交点，
∴Δ=b2-4ac＞0，②正确；
当x=-1时，a-b+c＞0，
当x=-3时，9a-3b+c＞0，
∴10a-4b+2c＞0，
∴5a-2b+c＞0，③正确；
由对称性可知x=1时对应的y值与x=-4时对应的y值相等，
∴当x=1时a+b+c＜0，
∵b=3a，
∴4b+3c=3b+b+3c=3b+3a+3c=3（a+b+c）＜0，
∴4b+3c＜0，④错误；
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握从函数图象获取信息，将信息与函数解析式相结合解题是关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，请将正确的答案写在相应横线上）
13. 因式分解：m2n+2mn2+n3＝_____．
【答案】n（m+n）2
【解析】
【分析】先提公因式n，再利用完全平方公式分解因式即可．
【详解】解：m2n+2mn2+n3
＝n（m2+2mn+n2）
＝n（m+n）2．
故答案为n（m+n）2
【点睛】此题考查提公因式法与公式法的综合运用，解题关键在于掌握运算法则.
14. 已知和是同类项，则式子的值是_____．
【答案】4
【解析】
【分析】直接利用同类项的定义得出m，n的值，进而得出答案．
【详解】∵3x2my3和-2x2yn是同类项，
∴2m=2，n=3，
解得：m=1，
则m+n=4．
故答案为4．
【点睛】此题主要考查了同类项的定义，正确得出m，n的值是解题关键．
15. 如图，点A，B，C在小正方形的顶点上，每个小正方形的边长为1，则为____度．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形、勾股定理与逆定理等知识点，运用勾股定理逆定理判断出的形状是解答本题的关键．
根据题目中的数据和勾股定理求得的长，然后根据勾股定理逆定理可以判断的形状即可解答．
【详解】解：连接，
∵每个小正方形的边长均为1，
∴，
∵，
∴是直角三角形，
∴．
故答案为：．
16. 在如图所示的电路图中，当随机闭合开关，，中的两个时，能够让灯泡发光的概率为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了列表法与树状图法求概率的知识．正确画出树状图是解题的关键．
根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与能够让灯泡发光的情况，然后利用概率公式求解即可．
【详解】解：画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，能够让灯泡发光的是闭合，
∴能够让灯泡发光的概率为：．
故答案为：．
17. 国家实施“精准扶贫”政策以来，贫困地区经济快速发展，贫困人口大幅度减少．某地区2018年初有贫困人口4万人，通过社会各界的努力，2020年初贫困人口减少至1万人．则2018年初至2020年初该地区贫困人口的年平均下降率是____．
【答案】50%
【解析】
【分析】设2018年初至2020年初该地区贫困人口的年平均下降率为x，根据该地区2018年初及2020年初贫困人口的数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】解：设2018年初至2020年初该地区贫困人口的年平均下降率为x，
依题意得：4（1﹣x）2=1，
解得：x1=0.5=50%，x2=1.5（不合题意，舍去）．
故答案为：50%．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
18. 对于任意实数，若规定＝ad﹣bc，则当x2﹣2x﹣5＝0时，＝_____．
【答案】9
【解析】
【分析】原式利用题中的新定义化简，把已知等式变形后代入计算即可求出值．
【详解】解：∵x2﹣2x﹣5＝0，
∴x2﹣2x＝5，
则原式＝（x+1）（x﹣1）﹣x（4﹣x）
＝x2﹣1﹣4x+x2
＝2x2﹣4x﹣1
＝2（x2﹣2x）﹣1
＝10﹣1
＝9．
故答案为：9．
【点睛】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键。
三、解答题(本大题共7小题，共84分，请将解答过程写在相应位置上)
19. （1）计算：．
（2）解方程：．
（3）先化简，再求值：，其中x满足．
【答案】（1）12；（2）；（3）．
【解析】
【分析】（1）先运用负整数次幂、绝对值、二次根式的性质、特殊角的三角函数值、零次幂等知识化简，然后再进行计算即可；
（2）将分式方程化成整式方程求解，然后再检验即可；
（3）由可得，，再化简分式，再将整体代入计算即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
，
检验：当时，，
所以是原分式方程的解；
（3）由可得：，
．
【点睛】本题主要考查了实数的混合运算、解分式方程、分式的化简求值、解一元二次方程等知识点，掌握相关运算方法成为解题的关键．
20. △ABC在平面直角坐标系中的位置如图，其中每个小正方形的边长为1个单位长度．
(1)画出△ABC关于原点O的中心对称图形△A1B1C1；
(2)画出将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A2B2C2．
(3)在(2)的条件下，求点A旋转到点A2所经过的路线长(结果保留π)．
【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)
【解析】
【分析】(1)首先根据中心对称的性质，找出对应点的位置，再顺次连接即可；
(2)先根据旋转方向，旋转角度以及旋转中心，找出对应点位置，再顺次连接即可；
(3)依据弧长计算公式，即可得到点A旋转到点A2所经过的路线长．
【详解】(1)如图所示，△A1B1C1即为所求；
(2)如图所示，△A2B2C2即为所求；
(3)由勾股定理可得AC=，
∴弧AA2的长=．
【点睛】本题考查作图﹣旋转变换，关键是正确找出对应点的位置．
21. 为评估九年级学生的体育成绩情况，某校九年级500名学生全部参加了“中考体育模拟考试”，随机抽取了部分学生的测试成绩作为样本，并绘制出如下两幅不完整的统计表和频数分布直方图：
（1）求此次抽查了多少名学生的成绩；
（2）通过计算将频数分布直方图补充完整；
（3）若测试成绩不低于40分为优秀，请估计本次测试九年级学生中成绩优秀的人数．
【答案】（1）50；（2）详见解析；（3）220.
【解析】
【分析】(1)利用1组的人数除以1组的频率可求此次抽查了多少名学生的成绩;
(2)根据总数乘以3组的频率可求a,用50减去其它各组的频数即可求得b的值,再用1减去其它各组的频率即可求得c的值,即可把频数分布直方图补充完整;
(3)先得到成绩优秀的频率,再乘以500即可求解.
【详解】解：（1）4÷0.08=50（名）．
答：此次抽查了50名学生的成绩；
（2）a=50×0.32=16（名），
b=50﹣4﹣8﹣16﹣10=12（名），
c=1﹣0.08﹣0.16﹣0.32﹣0.2=0.24，
如图所示：
（3）500×（0.24+0.2）
=500×0.44
=220（名）．
答：本次测试九年级学生中成绩优秀的人数是220名．
【点睛】本题主要考查数据的收集、 处理以及统计图表．
22. 茶为国饮，茶文化是中国传统文化的重要组成部分，这也带动了茶艺、茶具、茶服等相关文化的延伸及产业的发展，在“春季茶叶节”期间，某茶具店老板购进了、两种不同的茶具.若购进种茶具1套和种茶具2套，需要250元；若购进种茶具3套和种茶具4套则需要600元.
（1）、两种茶具每套进价分别为多少元？
（2）由于茶具畅销，老板决定再次购进、两种茶具共80套，茶具工厂对两种类型的茶具进行了价格调整，种茶具的进价比第一次购进时提高了，种茶具的进价按第一次购进时进价的八折；如果茶具店老板此次用于购进、两种茶具的总费用不超过6240元，则最多可购进种茶具多少套？
（3）若销售一套种茶具，可获利30元，销售一套种茶具可获利20元，在（2）的条件下，如何进货可使再次购进的茶具获得最大的利润？最大的利润是多少？
【答案】（1）种茶具每套进价为100元，种茶具每套进价为75元；（2）最多可购进种茶具30套；（3）再次购进种茶具30套，种茶具50套可使利润最大，最大利润为1900元
【解析】
【分析】（1）设种茶具每套进价为元，种茶具每套进价为元，根据题目中的等量关系列出方程进而求解即可.
（2）设再次购进种茶具套，则购进种茶具套，此次用于购进、两种茶具的总费用不超过6240元，列出不等式，即可求解.
（3）设总利润为元，则.根据一次函数的性质即可求解.
【详解】（1）设种茶具每套进价为元，种茶具每套进价为元，
解之得：.
∴种茶具每套进价为100元，种茶具每套进价为75元.
（2）设再次购进种茶具套，则购进种茶具套，
，
，
，
，
∴最多可购进种茶具30套.
（3）设总利润为元，则
.
∵，随的增大而增大，又∵，
∴当时最大（元），
∴当购进种茶具30套时，种茶具的数量：（套），
∴再次购进种茶具30套，种茶具50套可使利润最大，最大利润为1900元.
【点睛】考查二元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，比较基础，难度不大.
23. 某校为检测师生体温，在校门安装了某型号测温门．如图为该测温门截面示意图，已知测温门的顶部A处距地面高为，为了解自己的有效测温区间．身高的小聪做了如下实验：当他在地面N处时测温门开始显示额头温度，此时在额头B处测得A的仰角为；在地面M处时，测温门停止显示额头温度，此时在额头C处测得A的仰角为．求小聪在地面的有效测温区间MN的长度．（额头到地面的距离以身高计，计算精确到，）
【答案】小聪在地面的有效测温区间的长度约为.
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，作出辅助线、构造直角三角形并解直角三角形是解题的关键．
延长交于点E，构造直角和矩形，通过解直角三角形分别求得的长度，易得的值；然后根据矩形的性质知即可解答．
【详解】解：延长交于点E，则，
.
所以.
所以.
答：小聪在地面的有效测温区间的长度约为.
24. 如图，AB是⊙O的直径，AD是弦，OC⊥AD于F，交⊙O于点E，∠BED=∠C．
（1）求证：AC为⊙O的切线；
（2）若OA=6，AC=8，求tan∠B的值．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）根据圆周角的性质得到∠BED=∠BAD，从而结合题意及余角的性质推出∠OAC=90°即可得证；
（2）结合已知条件求出AF，EF的长度，然后根据圆周角的性质得到∠B=∠ADE，从而求出tan∠ADE即可．
【详解】（1）根据圆周角的性质得：∠BED=∠BAD，
∵∠BED=∠C，
∴∠BAD=∠C，
∵OC⊥AD，
∴∠C+∠CAF=90°，
∴∠BAD+∠CAF=90°，
即：∠OAC=90°，
且OA为半径，
∴AC为⊙O切线；
（2）在Rt△OAC中，
∵OA=6，AC=8，
∴OC=10，
∵，
∴，
根据垂径定理可知，
∴，
∴，
根据圆周角的性质得：∠B=∠ADE，
∴，
∴．
【点睛】本题考查圆的综合问题，以及求角的正切值，熟练掌握圆的基本性质，理解正切函数的定义是解题关键．
25. 如图，Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为(﹣3，0)、(0，4)，抛物线y=x2+bx+c经过点B，且顶点在直线x=上．
（1）求抛物线对应的函数关系式；
（2）若△DCE是由△ABO沿x轴向右平移得到的，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由；
（3）在（2）的前提下，若M点是CD所在直线下方该抛物线上的一个动点，过点M作MN平行于y轴交CD于点N．设点M的横坐标为t，MN的长度为l．求l与t之间的函数关系式，并求l取最大值时，点M的坐标．
【答案】（1）所求函数关系式为：y=；（2）点C和点D在所求抛物线上； （3） l =，l最大=时，点M的坐标为（，）．
【解析】
【分析】（1）设二次函数顶点式，把B点坐标代入可算出二次函数解析式.
(2)利用菱形的性质，可以得到，C，D坐标.
(3)利用待定系数求出CD的解析式，设出M,N,坐标，纵坐标作差，就可以得到l与t的函数关系，它们的关系是二次函数，配方，可得最大值，从而求解.
【详解】解：（1）由题意，可设所求抛物线对应的函数关系式为，
∴,
∴
∴所求函数关系式为：；
（2）在Rt△ABO中，OA=3，OB=4，
∴=5,
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=CD=DA=AB=5，
∴C、D两点的坐标分别是（5，4）、（2，0），
当x=5时，

当x=2时，

∴点C和点D在所求抛物线上；
（3）设直线CD对应的函数关系式为，
则
解得： ，
∴
∵MN//y轴，M点的横坐标为t，
∴N点的横坐标也为t，
则 ,
∴
∵ , ∴当t=时，，此时点M的坐标为（,）.
【点睛】（1）求二次函数的解析式，利用待定系数法，列方程组求解.通常需要判断利用二次函数的一般式或者二次函数的顶点式,如果题中有“顶点”，“最值”，“对称轴”就常用顶点式，可以带来方便，其它则利用一般式.
(2)求一次函数的解析式，通常利用待定系数法，列方程组求解.
(3) 二次函数与图象综合题不仅要熟练各种四边形的性质、勾股定理、相似三角形的性质和判定、平行线分线段成比例定理等知识，还需要掌握解析法：设出图像中每个点的坐标（不能写出来的，可以用字母表示），建立二次函数关系，最后利用配方求二次函数最值即可，其中要注意函数定义域问题.甲
乙
丙
2018年
600
590
650
2019年
610
650
670
2020年
590
700
660
成绩x分
人数
频率
25≤x＜30
4
0.08
30≤x＜35
8
0.16
35≤x＜40
a
0.32
40≤x＜45
b
c
45≤x＜50
10
0.2