2023年四川省成都市武侯区成都西川中学中考二模数学试题(含答案)

这是一份2023年四川省成都市武侯区成都西川中学中考二模数学试题(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.（4分）下列实数中，比小的是（ ）
A.B.0C.D.1
2.（4分）2023年2月15日，春运落下帷幕，在人流不息的画卷里，“流动的中国”活力无限，交通运输部相关负责人表示，2023年春运全社会人员流动量约47.33亿人次，比2022年同期增长50.5%，将数据47.33亿用科学记数法表示为（ ）
A.B.C.D.
3.（4分）如图所示的几何体，它的左视图是（ ）
A.B.C.D.
4.（4分）下列计算正确的是（ ）
A.B.
C.D.
5.（4分）如图，在平面直角坐标系中，矩形与矩形位似，位似中心是原点，若点，，则矩形与矩形的面积比为（ ）
A.B.C.D.
6.（4分）国际数学奥林匹克竞赛旨在激发全球青年人的数学才能，中国代表队近六届竞赛的金牌数（单位：枚）分别为6，6，4，5，4，4，关于这组数据，下列说法正确的是（ ）
A.方差是0.5B.众数是6C.中位数是4.5D.平均数是4.8
7.（4分）《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出八，盈十八，人数，羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱：若每人出8钱，还多18钱，问合伙人数，羊价各是多少？设人数为人，羊价为钱，则可列方程组（ ）
A.B.C.D.
8.（4分）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点和点，其顶点坐标为，下列说法正确的是（ ）
A.B.当时，随的增大而减小
C.点的坐标为D.
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
9.（4分）分解因式：______.
10.（4分）如图，是的直径，是上一点，是上一点，且，若，则______.
11.（4分）不等式组的解集为______.
12.（4分）在平面直角坐标系中，将点向右平移1个单位，再向下平移2个单位后恰好落在直线上，则的值为______.
13.（4分）如图，在中，按以下步骤作图：①以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；②分别以，为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点；③连接交于点，若，，，则______.
三、解答题（本大题共5个题，共48分。解答过程写在答题卡上）
14.（12分）（1）计算：；
（2）解方程：.
15.（8分）2023年3月5日是第60个学雷锋纪念日，某校为弘扬“奉献，友爱，互助，进步”的志愿精神，开展了“我为社区出份力”活动，学生可报名参加以下四类活动之一：宣传公益，清洁街道，摆放车辆，关爱老人，根据报名结果，绘制了不完整的统计图：
根据统计图表提供的信息，解答下列问题：
（1）本次活动共有______名学生报名参加，扇形统计图中的值为______；
（2）请补全条形统计图，并求出扇形统计图中对应的圆心角度数；
（3）活动结束后，需从四类活动中随机选择两类活动做汇报，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选择到公益宣传和关爱老人活动的概率.
16.（8分）升降台可以自主调节台面高度，能满足不同人群的学习和工作需求.某数学兴趣小组开展自制升降台的综合实践活动，如图为该升降台的截面示意图，其中，为长度相等的活动支架，两组支架的中点固定在一起，经测量，台面的最低高度为25cm，此时支架张角，将台面抬升至最大高度后（点是点的对应点，且点，与在一条垂直于的直线上），支架张角，求该升降台抬升后的最大高度的长.（参考数据：，，）
17.（10分）如图，为的直径，为上一点，连接，，过点的直线与相切，与延长线交于点，点为上一点，且，连接并延长交射线于点.
（1）求证：；
（2）若，，求的半径和的长.
18.（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于，两点，为反比例函数图象第四象限上的一动点.
（1）求反比例函数的表达式及点的坐标；
（2）当四边形的面积为时，求此时点的坐标；
（3）我们把对角线互相垂直且相等的四边形称为“垂等四边形”.设点是平面内一点，是否存在这样的，两点，使四边形是“垂等四边形”，且？若存在，求出，两点的坐标；若不存在，请说明理由.
四、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
19.（4分）若是的小数部分，则______.
20.（4分）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是______.
21.（4分）圆拱门是中国古典园林建筑元素之一，如图，花园边墙上有一宽为1m的矩形门，量得门框对角线的长为2m，现准备打掉部分墙体，使其变成以为直径的圆弧形拱门，那么需要打掉墙体的面积是______.
22.（4分）在平面直角坐标系中，抛物线的图象如图所示，对任意的，称为到时的值的“极差”（即时的最大值与最小值的差），为到时的值的“极宽”（即与的差值），则当时，的取值范围是______.
23.（4分）如图，在菱形中，，对角线，交于点，将点绕点顺时针旋转60°得到点，连接，，当线段的长度最小时，的长为______.
五、解答题（本大题共3个题，共30分。解答过程写在答题卡上）
24.（8分）2023年3月，成都市政府印发《成都市促进新能源汽车产业发展的实施意见》，其中大力促进新能源汽车消费成为抓手之一.已知某商家对一款新能源汽车进行销售，市场调研发现：月销量（单位：辆）与销售价（单位：万元/辆，且）满足一次函数关系，部分数据如表：
（1）求与的函数关系式；
（2）若商家购进这款汽车的价格为12万元，试问：当为多少时，总利润最大？并求出此时利润的最大值.
25.（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为点，与轴交于点，（点位于点左侧），与轴交于点.
（1）求与之间的关系，并求出点的坐标（用含的代数式表示）；
（2）若以，，为顶点的三角形是直角三角形，求的值；
（3）在（2）的条件下，过点作两条互相垂直的直线与抛物线分别交于不同的两点，（点位于点主侧），探究直线是否过定点，若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.
26.（12分）如图，在矩形中，，将线段绕点逆时针旋转度得到线段，过点作的垂线交射线于点，交射线于点.
[尝试初探]
（1）当点在延长线上运动时，与始终相等，且与始终相似，请说明理由；
[深入探究]
（2）若，随着线段的旋转，点的位置也随之发生变化，当时，求的值；
[拓展延伸]
（3）连接，当为等腰三角形时，求的值（用含的代数式表示）.
2023年西川中学数学二诊模拟试卷
参考答案
一、选择题
1.解：A、∵，，∴，∴，故A符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、∵，，∴，∴，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；故选：A.
2.解：47.33亿.故选：D.
3.B.
4.解：，故选项A错误，不符合题意；
，故选项B错误，不符合题意；
，故选项C正确，符合题意；
，故选项D错误，不符合题意；故选：C.
5.解：∵矩形与矩形位似，位似中心是原点，而点，，
∴它们的相似比为，∴矩形与矩形的面积比为.故选：A.
6.解：将这组数据重新排列为4，4，4，5，6，6，∴这组数据的众数是4，
中位数是，平均数为，
方差为，故选：C.
7.解：根据题意，得，故选：B.
8.解：∵二次函数的图象与轴交于点和点，其顶点坐标为，
∴对称轴为直线，∴，故C错误，不合题意；
∵二次函数的图象与轴交于点和点，其顶点坐标为，
∴抛物线开口向上，∴，故A错误，不合题意；
∵抛物线开口向上，对称轴为直线，∴当时，随的增大而增大，
∴当时，随的增大而增大，故B错误，不合题意；
∵二次函数的图象开口向上，与轴交于点和点，
∴时，，∴，故D正确，符合题意.故选：D.
二、填空题
9.解：.
10.解：连接，∵，，∴，
∵，∴，∵，∴，∴，
答案为：40°.
11.解：，由①得：，由②得：，
所以这个不等式组的解集为.答案为：.
12.解：将点向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到点，
根据题意，得，解得，
13.解：连接，由作图得：，，
∴，
∴，，∴，∴，∴，∴，
三、解答题
14.解：（1）原式；
（2），方程的两边同时乘，得，
解这个方程，得，当时，，
∴是原方程的增根，原方程无解.
15.解：（1）报名的学生人数为（名），
，即，答案为：50、20；
（2）活动人数为（人），
补全图形如下：
扇形统计图中对应的圆心角度数为；
（3）列表如下：
由表知，共有12种等可能结果，其中恰好选择到公益宣传和关爱老人活动的有2种结果，
所以恰好选择到公益宣传和关爱老人活动的概率为.
16.解：∵点是的中点，点是的中点，∴，，
∵，∴，∴，
∵，∴，
∵，∴，∵，∴，∴，
由题意得：，，∴，
在中，，
∴该升降台抬升后的最大高度的长约为41cm.
17.（1）证明：连接，如图，
∵，∴.∵，∴，
∴，∴.∵为的切线，∴，∴；
（2）解：∵，∴设，则，∴.
设的半径为，则，，.
∵，∴，∴，∴，∴.
∴的半径为3；∴，.
∵.∴，∴.
连接，∵为的直径，∴，∴.
∵，∴，∴，
∴，∴，∴，∴.
18.解：（1）∵点在直线上，
∴，∴，∴，∴，
∴反比例函数的表达式为：，则，
解得：，，∴；
（2）如图，过点作轴，交于，设点的坐标为，
∵，∴的解析式为：，当时，，∴，
设的解析式为：，则，解得：，
∴的解析式为：，∴，
∵四边形的面积为，∴，
即，∴，
解得：，（舍）；∴；
（3）存在，如图，过点作轴于，过点作轴，过点作于，
在中，当时，，∴，
∵，∴，，∵四边形是“垂等四边形”，
∴，，∴，∴，
∵，∴，即，∴，
∵，∴，
∴，即，∴，∴，
设直线的解析式为：，将点的坐标代入得：，
∴，∴的解析式为：，∴，
解得：或（舍），∴；∵，∴，
∴是等腰直角三角形，∴，∴，
∴也是等腰直角三角形，∴，∴，
同理得：的解析式为：，设，
∵，∴，
解得：，（舍），∴.
四、填空题
19.解：∵，∴，∴的整数部分是2，小数部分是，
∴，答案为：.
20.解：根据题意得，
解得，即的取值范围为.答案为：.
21.解：如图，连接交于点，则点是拱门圆弧形的圆心，
∵四边形是矩形，，，
∴，∴，∴，
∴.
答案为：.
22..
23..
五、解答题
24.解：（1）设与的函数关系式为，将，代入得：
，解得，∴与的函数关系式为；
（2）设利润为万元，根据题意得：，
∵，∴当时，取最大值，最大值为147，
答：当为19万元时，总利润最大，利润最大为147万.
25.解：（1）把代入，得，∴，
∵，
∴抛物线的顶点的坐标为；
（2）在抛物线中，令，得，∴，
∵抛物线的对称轴为直线，点与点关于对称轴对称，
∴，∴，
∴是等腰直角三角形，∴，
∵是直角三角形，且，，
∴，∴，
∵，∴，∴，即，∴；
（3）由（2）得：，∴抛物线的解析式为，∴抛物线的顶点为，
如图，过点作直线轴，过点作于点，过点作于点，
则，∴，
∵，∴，∴，∴，∴，
设，，则，，
∴，，，，
∴，∴，设直线的解析式为，则，
解得：，∵，∴，
∴直线的解析式为，故直线一定经过定点.
26.（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，∴，
∵，∴，∴，∴，
又∵，，∴.
（2）解：∵，，∴，
∵四边形是矩形，∴，，，
∵，∴设，则，，，连接，
由勾股定理得，，
，∴，
由（1）得，，∴，
∴，∴，，
∴.
（3）解：分两种情况讨论，
①如图2，当在的延长线上时，过点作于，
∵，∴，∴，，
又∵，∴，∴，∴，
设，则，，∴，
由勾股定理得，，
∴.
②如图3，当在上时，设，则，
由勾股定理得，，∴，∴，
∴，综上得，或.
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