四川省成都市双流区实外西区学校2023-2024学年九年级上学期期中数学试题（原卷+解析）

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A卷（共100分）
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）
1. 如图所示的几何体，它的左视图正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．
【详解】解：根据题意，
从左面看易得上面有1个竖起来的长方形，下面有2个横着的长方形；
故选：D．
【点睛】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．
2. 关于x的一元二次方程ax2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ）
A. a≤1B. a＜1C. a≤1且a≠0D. a＜1且a≠0
【答案】D
【解析】
【分析】利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到a≠0且＝（﹣2）2﹣4a＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可．
【详解】解：根据题意得a≠0且，
解得a＜1且a≠0．
故选：D．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与b2﹣4ac有如下关系：当b2﹣4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b2﹣4ac＝0时，方程有两个相等的实数根；当b2﹣4ac＜0时，方程无实数根．
3. 如图，四边形的对角线，交于点O，且，，下列说法错误的是（ ）

A. 若，则是菱形B. 若，则是矩形
C. 若且，则是正方形D. 若，则是正方形
【答案】D
【解析】
【分析】先根据平行四边形的判定证明是平行四边形，再根据已知条件结合菱形、矩形及正方形的判定逐一判断即可．
【详解】解：∵，，
∴四边形是平行四边形，
若，则四边形是菱形，故A选项不符合题意；
若，则四边形是矩形，故B选项不符合题意；
若且，则四边形是正方形，故C选项不符合题意；
若，则四边形是矩形，故D选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查平行四边形的判定、菱形的判定与矩形的判定、正方形的判定，熟练掌握相关定理是解题的关键．
4. 对于函数，下列说法错误的是（ ）
A. 点在这个函数图象上B. 这个函数的图象位于第一、三象限
C. 这个函数的图象不是轴对称轴图形但是中心对称图形D. y随x的增大而减小
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查反比例函数图象及性质，解题的关键是掌握反比例函数的性质．
根据反比例函数的性质逐项判断，即可得答案．
【详解】解：A、，点在函数图象上，原说法正确，故此选项不符合题意；
B、中，，函数图象位于第一、三象限，原说法正确，故此选项不符合题意；
C、反比例函数的图象不是轴对称轴图形但是中心对称图形，原说法正确，故此选项不符合题意；
D、∵，函数的图象在一、三象限内，在每个象限内，随的增大而减小；原说法错误，故此选项符合题意；
故选：D．
5. 大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点（），如果的长度为10 cm，那么的长度为（ ）
A. cmB. cmC. cmD. cm．
【答案】A
【解析】
【分析】根据黄金分割的定义知道，设米，则米 ，代入计算得到两个值，根据题意，由此判断得到正确答案．
【详解】解：设米，则米
∵点P为线段AB的黄金分割点
∴
即：
化简得：
解得：
∵PB＜AB
∴
即的长度为米
故选：A
【点睛】本题考查黄金分割的定义，根据定义列出关系式是解题的关键．
6. 如图：，，那么CE的长为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
，
即，
∴CE＝3，
故选：A．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，正确列出比例式是解题的关键．
7. 要估计鱼塘中的鱼数，养鱼者首先从鱼塘中打捞了50条鱼，在每条鱼身上做好记号后把这些鱼放归鱼塘，再从鱼塘中打捞出200条鱼，发现只有两条鱼是刚才做了记号的鱼，假设鱼在鱼塘内均匀分布，那么估计这个鱼塘的鱼数约为（ ）
A. 1750条B. 1250条C. 5000条D. 2500条
【答案】C
【解析】
【分析】首先求出有记号的2条鱼在200条鱼中所占的比例，然后根据用样本中有记号的鱼所占的比例等于鱼塘中有记号的鱼所占的比例，即可求得鱼的总条数．
【详解】解：由题意可知：（条）；
故选择：C.
【点睛】本题考查了统计中用样本估计总体，表示出带记号的鱼所占比例是解题关键．
8. 如图，在中，，在边上，，，若的面积等于9，则的面积为（ ）
A. 4B. 2C. 3D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】过点作于，过点作于，首先根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质，可证得，再根据三角形的面积公式，可求得，根据相似三角形的性质，可求得，据此即可求得．
【详解】解：过点作于，过点作于，
，
，
，，
，
．
，
的面积等于9，
，
，
，
．
的面积为：，
故选：A．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，相似三角形的判定与性质，三角形的面积公式，作出辅助线是解决本题的关键．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9. 若，则_______________________．
【答案】
【解析】
【分析】由，根据比例的性质，即可求得的值．
详解】解：∵
∴=．
故答案为：．
【点睛】本题考查了比例的性质，此题比较简单，注意熟记比例变形．
10. 关于的一元二次方程的一个根为－1，则的值为__________．
【答案】-3
【解析】
【分析】把x=-1代入原方程，解关于m的一元一次方程即可．
【详解】∵关于的一元二次方程的一个根为－1，
∴，
解得m=-3，
故答案为：-3．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义即使得一元二次方程左右两边相等的未知数的值，正确理解定义，灵活代入计算是解题的关键．
11. 若点，在反比例函数的图象上，，则与的大小关系是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用反比例函数的性质求解更简便．
根据反比例函数的性质判断出、的正负情况，然后比较大小即可．
【详解】解：反比例函数的，
反比例函数图象位于第一、三象限，
，
，，
．
故答案：．
12. 如图，小杰同学跳起来把一个排球打在离他2米（即CO＝2米）远的地上，排球反弹碰到墙上，如果他跳起击球时的高度是1.8米（即AC＝1.8米），排球落地点离墙的距离是6米（即OD＝6米），假设排球一直沿直线运动，那么排球能碰到墙面离地的高度BD的长是_____米．
【答案】5.4
【解析】
【分析】依据题意可得∠AOC＝∠BOD，通过说明△ACO～△BDO，得出比例式可求得结论．
【详解】解：由题意得：∠AOC＝∠BOD．
∵AC⊥CD，BD⊥CD，
∴∠ACO＝∠BDO＝90°．
∴△ACO～△BDO．
∴．
即．
∴BD＝5.4（米）．
故答案为：5.4．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，根据已知得出三角形相似是解题关键．
13. 如图，四边形ABCD是平行四边形，以点B为圆心，BC的长为半径作弧交AD于点E，分别以点C，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线BP交AD的延长线于点F，∠CBE＝60°，BC＝6，则BF的长为________
【答案】
【解析】
【分析】利用基本作图得到，平分，则，再根据平行四边形的性质和平行线的性质证明，所以，过点作于，如图，则，然后利用30°的三角函数值即可求出，从而得到的长．
【详解】解：由作法得，平分，
又∵∠CBE＝60°，
，
四边形为平行四边形，
，
，
，
，
如图，过点作于，
∵，，
∴，
在中，，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定及性质以及解直角三角形的应用．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14. 解方程：
（1）；
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用配方法即可求解；
（2）利用因式分解法即可求解．
【小问1详解】
解：移项：，
配方：，
即，
开方：，
∴；
【小问2详解】
解：移项：，
提公因式： ，
即，
解得：．
【点睛】本题考查求解一元二次方程．掌握各类求解方法是解题关键．
15. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点分别是，，．
（1）作出关于轴对称的图形；
（2）以原点为位似中心，在轴的左侧画出，使它与原三角形相似比为；
（3）求的面积．
【答案】（1）图形见解析；
（2）图形见解析； （3）6．
【解析】
【分析】（1）根据关于轴对称的点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，得到、、的坐标，然后描点连线即可得到所求图形；
（2）把A、B、C三点坐标都乘以，得到、、的坐标，然后描点连线即可得到所求图形；
（3）利用割补法，把三角形的面积转化为正方形和四个直角三角形的面积之差进行计算即可得到答案．
【小问1详解】
解：如图，为所作；
【小问2详解】
解：如图，为所作；
【小问3详解】
解：的面积
【点睛】本题考查了轴对称变换，位似变换，三角形的面积，解题关键是掌握位似变换：在直角坐标系中，如果位似变换以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形的对应点的坐标比等于或．
16. 根据国家教育部的教育方针：培养德智体美劳全面发展的优秀人才，七中育才中学开展了一系列精品课程，其中有一门课程《我爱川菜》开课以来引起讨论热潮，九年级1班数学兴趣小组对本班同学对《我爱川菜》的喜欢程度进行了调查，根据收集的数据绘制了两幅不完整的统计图，请根据图中信息，解答下列问题：
（1）九年级1班共有学生＿＿名，扇形统计图中类所在扇形的圆心角度数为＿＿；
（2）九年级共有学生5600人，请根据上述调查结果，估计九年级学生选择类的大约有多少人？
（3）九年级1班周末准备举行秋游活动，某小组在调查的类4人中，刚好有2名男生2名女生，想从中随机抽取两名同学担任“秋游主厨”，用画树状图成列表的方法求出抽到的一男一女的概率．
【答案】（1），；
（2）人；
（3）．
【解析】
【分析】（1）根据A的人数和所占的百分比求出九年级1班的人数，再用360°乘以C类所占的百分比即可求出C类所在扇形的圆心角度数；
（2）用该校的总人数乘以D类所占的百分比即可得出答案；
（3）画树状图，得出所有等可能的结果为12种，其中抽到的一男一女的结果为8种，然后根据概率公式即可得出答案．
【小问1详解】
九年级1班共有学生为：（名，
扇形统计图中部分所对应的扇形圆心角的度数为，
故答案为：40，；
【小问2详解】
类的人数有：（人，
估计九年级学生选择类大约有（人，
答：估计九年级学生选择类的大约有840人；
【小问3详解】
画树状图如下：
所有等可能的结果共有12种，其中抽到的一男一女的结果数为8，
抽到的一男一女的概率为：．
【点睛】此题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图等知识．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
17. 如图，中，，过点作的平行线与的平分线交于点，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）连接与交于点，过点作交的延长线于点，连接，若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）3
【解析】
【分析】（1）由角平分线的性质和平行线的性质可得，可得，由菱形的判定可证四边形是菱形；
（2）由勾股定理求得，设，则，在中，，代入数据解答即可得解．
【小问1详解】
解：证明：平分，
，
，
，
，且，
，且，
四边形是平行四边形，且，
四边形是菱形；
【小问2详解】
，，
，
，
，
设，则，
，
在中，，
，
解得：，
的长为3．
【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，角平分线的性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，熟练运用性质进行推理是本题的关键．
18. 已知一次函数与反比例函数的图象交于、B两点，交y轴于点C．
（1）求反比例函数的表达式和点B的坐标；
（2）过点C的直线交x轴于点E，且与反比例函数图象只有一个交点，求CE的长；
（3）我们把一组邻边垂直且相等，一条对角线平分另一条对角线的四边形叫做“维纳斯四边形”．设点P是y轴负半轴上一点，点Q是第一象限内的反比例函数图象上一点，当四边形是“维纳斯四边形”时，求Q点的横坐标的值．
【答案】（1），
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由一次函数解析式求得点，然后利用待定系数法求得反比例函数的解析式，两解析式联立成方程组，解方程组即可求得点的坐标；
（2）设直线的解析式为设，由，整理得，，根据题意得到，求得，即可得到直线的解析式，从而即可求得点的坐标，然后利用勾股定理即可求得；
（3）通过证得，得出，，即可得出点的坐标，进而表示出点的坐标，代入，解方程即可求得点的横坐标．
【小问1详解】
∵过，
∴，
∴，则，
又∵过，
∴，
∴反比例函数的表达式为．
∴，解得：或，
∴．
【小问2详解】
令，则，∴．
设直线的解析式为设，∴，即：，
∵直线与反比例函数图象只有一个交点，
∴，
∴，
∴，令，则，
∴，
∴．
【小问3详解】
由图可知在第一象限、不可能相等，
如图，当，时，点作轴于，轴于，与的交点为，，
设点的坐标为，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
设（），
∴，
∵点在一次函数图象上，
∴，整理得，
解得（负数舍去），
∴点的横坐标的值为．
【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
B卷
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19. 若，是一元二次方程的两个实数根，则的值是___．
【答案】6
【解析】
【分析】先根据根与系数关系得出，再把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．
【详解】解：是一元二次方程的实数根，
，
．
，是一元二次方程的两个实数根，
，，
．
故答案为：6．
【点睛】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
20. 巧板是我国古代劳动人民的一项发明，被誉为“东方魔板”，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形组成．如图是利用七巧板拼成的正方形，随机向该图形内抛一枚小针，则针尖落在阴影部分的概率为 _____．
【答案】
【解析】
【分析】设大正方形的边长为2，先求出阴影区域的面积，然后根据概率公式即可得出答案．
【详解】图，设小正方形的边长为1，
根据等腰三角形和正方形的性质可求得AB=BE=，FG=DC=，
则空白的面积为：；
大正方形的面积是：，
阴影区域的面积为：8-5=3，
所以针尖落在阴影区域上的概率是：．
故答案为：．
【点睛】本题考查几何概率，熟练掌握几何概率的计算方法是解题的关键．
21. 已知a，b，c为非零实数，且满足，则一次函数的图像一定经过______象限．
【答案】第一、第四
【解析】
【分析】本题考查了比例性质、一次函数图象与系数的关系．直线所在的位置与、的符号有直接的关系．时，直线必经过一、三象限；时，直线必经过二、四象限；时，直线与轴正半轴相交；时，直线过原点；时，直线与轴负半轴相交．
根据比例的性质求得值，然后根据一次函数图象与系数的关系得出结论．
【详解】解：由得：
，①
，②
，③
由①②③，得，
（1）当时，；
一次函数的解析式是：，
该函数经过第一、三、四象限；
（2）当时，，④
将④代入②，得；
又，
，
，
一次函数的解析式是：，
该函数经过第一、二、四象限；
综上所述，一次函数一定经过的象限是第一、四象限．
故答案为：第一、第四．
22. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的对角线的中点与坐标原点重合，点E是x轴上一点，连接、，若平分，反比例函数的图象经过上的点A、F，且，的面积为18，则k的值为______．

【答案】
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质、平行线的性质和判定、反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是通过平行线的判定和性质得到和的面积相等．
连接，先由平分得，由矩形的性质得到，从而得到，故而，再由平行线的性质得到和的面积相等，然后设点的坐标，结合得到点和点的坐标，最后结合的面积求出的取值．
详解】解：连接，则，

，
平分，
，
，
，
，
设，
，
，，
，
，
故答案为：．
23. 如图，在矩形纸片ABCD中，，，按以下步骤操作：第一步，在边AB上取一点M，且满足，现折叠纸片，使点C与点M重合，点B的对应点为点，则得到的第一条折痕EF的长为______；第二步，继续折叠纸片，使得到的第二条折痕与EF垂直，点D的对应点为，则点和之间的最小距离为______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】（1）、过点E作EH垂直于CD于H，过点M作MG垂直于CD于点G，连接MD，
根据折叠的性质，设未知数，在、、分别用勾股定理列方程即可；
（2）、根据线段长度可证明是平行四边形，则，则可得则在直线DM上，得到当时，此时最短，再证，对应线段成比例即可求解．
【详解】解：（1）、∵矩形纸片ABCD中，，，，
， ，
过点E作EH垂直于CD于H，过点M作MG垂直于CD于点G，连接MD，
四边形BCHE，四边形AMGD，四边形EHGM都为矩形，
折叠纸片，点C与点M重合，点B的对应点为点，
∴设 ， ，
在中， ，
解得： ，
，
设 ， ，
在中， ，
解得： ，
，
在中， ；
（2）、过 作DM的垂线，交其延长线于 ，
在中， ，
，
是平行四边形，
，
∵第二条折痕与EF垂直，
∴第二条折痕与MD垂直，
则在直线DM上，
当时，此时最短，
，
，
．
，
，
，
，
，
．
故答案为： ，
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，折叠的性质，平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握各项性质和点到直线的距离最短是解题的关键．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24. 园林部门计划在某公园建一个长方形花圃，花圃的一面靠墙（墙足够长），另外三边用木栏围成，如图所示，建成后所用木栏总长米，在图总面积不变的情况下，园林部门在花圃内部设计了一个正方形的网红打卡点和两条宽度相等的小路如图，小路的宽度是正方形网红打卡点边长的，其余部分种植花卉，花卉种植的面积为平方米．

（1）求长方形花圃的长和宽；
（2）求出网红打卡点的面积．
【答案】（1）长方形花圃的长为米，宽为米；
（2）平方米．
【解析】
【分析】（1）设米，根据三边所用木栏总长米，列方程求解即可；
（2）设网红打卡点的边长为米，根据空白的面积=长方形花圃的面积一花卉种植面积，列一元二次方程，求解即可．
【小问1详解】
设米，则米，
根据题意，得：，
解得：，
∴米，米，
答：长方形花圃的长为米，宽为米；
【小问2详解】
设网红打卡点的边长为米，
根据题意，得：，
解得：，(舍去)，
∴网红打卡点的面积为(平方米)，
答：网红打卡点的面积为平方米．
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意并根据题意建立等量关系．
25. （1）问题背景：如图（1），已知，求证：；
（2）尝试应用：如图（2），在和中，，，与相交于点F．点D在边上，，求的值；
（3）拓展创新：如图（3），D是内一点，，，，，则的长为________．
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）．
【解析】
【分析】（1）问题背景：根据，得出，，推出，，即可证明结论；
（2）尝试应用：连接，先证，由问题背景知，得出，在中，，得，再证，即可得出；
（3）拓展创新：过点作的垂线，过点作的垂线，两垂线交于点，连接，证，得出比例关系和角的关系，再证，根据，得出的值，根据勾股定理得出，即可求出的长．
【详解】解：（1）问题背景：，
，，
，，
即，，
；
（2）尝试应用：连接，
，，
，
由问题背景知，
，
在中，，
，
，
，，
，
；
（3）拓展创新：过点作的垂线，过点作的垂线，两垂线交于点，连接，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
即，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，特殊角的三角函数值的应用，勾股定理等知识点，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
26. 在平面直角坐标系中，已知点A（0，3），点B在线段AO上，且AB＝2BO，若点P在x轴的负半轴上，连接BP，过点P作PQ⊥PB．
（1）如图1，点E是射线PQ上一点，过点E作EC⊥x轴，垂足为点C．
①求点B的坐标；②求证：△BOP∽△PCE．
（2）在（1）的条件下，如图2，若点C坐标为（﹣4，0）．过点A作DA⊥y轴，且和CE的延长线交于点D，若点C关于直线PQ的对称点C′正好落在线段AD上，连接PC′，求点P的坐标．
（3）如图3，若∠BPO＝60°，点E在直线PQ上，EC⊥x轴，垂足为点C，若以点E，P，C为顶点的三角形和△BPE相似，请直接写出点E的坐标．
【答案】（1）①；②见解析；（2）或；（3）或或或
【解析】
【分析】（1）①根据，即可求得点的坐标；
②先根据直角三角形的性质可得，再根据相似三角形的判定即可得证；
（2）设点的坐标为，先根据（1）中相似三角形的性质可得，从而可得，过点作于点，根据相似三角形的判定证出，再根据相似三角形的性质可得，从而可得的长，然后根据建立方程，解方程即可得；
（3）先根据直角三角形的性质和勾股定理求出，再分①和两种情况，每一种情况中再分点在轴上方和点在轴下方两种情况，然后利用相似三角形的性质、直角三角形的性质求解即可得．
【详解】证明：（1）①
②轴轴，轴, ，
，
，
，
在和中，
，
；
（2）由题意得：四边形是矩形，
，
，
，
设点的坐标为，则，
，
，
由（1）已证：，
，
即，
解得，
，
由对称性得：，
如图，过点作于点，则，
，
，
在和中，
，
，
，即，
解得，
，
，
整理得：，
解得或，
经检验，和均是所列方程的解，
故点的坐标为或；
（3）在中，，
，
解得（负值已舍去），
轴，
，
由题意，分以下两种情况：
①当时，则，
在中，，
（Ⅰ）当点在轴上方时，
在中，，
，
则此时点的坐标为；
（Ⅱ）当点在轴下方时，
，
此时点的坐标为；
②当时，则，
在中，，
解得（负值已舍去），
（Ⅰ）当点在轴上方时，
在中，，
，
则此时点的坐标为；
（Ⅱ）当点在轴下方时，
同理可得：此时点的坐标为；
综上，点的坐标为或或或．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理等知识点，较难的是题（3），正确考虑到所有可能的情况是解题关键．