2022年四川省成都市武侯区西川中学中考数学三诊试卷（含解析）

2022年四川省成都市武侯区西川中学中考数学三诊试卷

一．选择题（本题共8小题，共32分）

1. 的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 如图所示的几何体是由个大小相同的小立方块搭成，其左视图是(    )

A.
B.
C.
D.

3. 在科研人员的不懈努力下，我国成功制造出了“超薄钢”，打破了日德垄断．据悉，该材料的厚度仅有米．用科学记数法表示是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 计算结果正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 如图，在平面直角坐标系中，将以原点为位似中心放大后得到，若，，则与的相似比是(    )

A. ： B. ： C. ： D. ：

6. 某校名学生在某次测量体温单位：时得到如下数据：，，，，，，，对这组数据描述正确的是(    )

A. 众数是 B. 中位数是 C. 平均数是 D. 方差是

7. 如图，是的直径，是的弦，若，，则弧长为(    )

A.
B.
C.
D.

8. 已知抛物线经过点，且顶点坐标为，关于该抛物线，下列说法正确的是(    )

1. 表达式为 B. 图象开口向下
   C. 图象与轴有两个交点 D. 当时，随的增大而减小

二．填空题（本题共10小题，共40分）

9. 因式分解：______．
10. 分式方程的解为______．
11. 如图，一次函数与图象的交点是，观察图象，写出满足的的取值范围______．

12. 关于的一元二次方程有两个相等实数根，则______．
13. 如图，在菱形中，对角线，，分别以点，，，为圆心，的长为半径画弧，与该菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为______ 结果保留

14. 已知，则代数式的值为______．
15. 若，是关于的一元二次方程的两根，且，则______．
16. 魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，以用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率．如图，圆中有一内接正六边形，现随机向该图形内扔掷一枚小针，则针尖落在正六边形区域的概率为______．

17. 如图，在中，，，，点为中点．现将线段绕点逆时针旋转得到，若点恰好落在边上，则点到的距离为______，若点恰好在上，则的长为______．
18. 对于给定内包含边界的点，若点到其中两边的距离相等，我们称点为的“等距点”，这段距离的最大值称为的“特征距离”如图，在平面直角坐标系中，已知点，动点，连接，则的“特征距离”的最大值为______．

三．解答题（本题共8小题，共78分）

19. 计算：；
    化简求值：，其中．
20. 某校开展“科技知识竞赛”，随机调查了部分学生的竞赛成绩，绘制成两幅不完整的统计图表．

根据统计图表提供的信息，解答下列问题：
本次共调查了______名学生；组所在扇形的圆心角为______度；
该校共有学生人，若分以上为优秀，估计该校优秀学生人数为多少？
若组名学生中有人满分，设这名学生为，，，，从其中抽取名学生代表学校参加区级比赛，请用列表或画树状图的方法求恰好抽到，的概率．

21. 某校为检测师生体温，在校门安装了某型号测温门，如图为测温门示意图，已知测温门的顶部处距地面高为某数学兴趣小组为了解测温门的有效测温区间，做了如下实践：身高的组员在地面处时测温门开始显示额头温度，此时在额头处测得的仰角为；在地面处时，测温门停止显示额头温度，此时在额头处测得的仰角为求该组员在地面的有效测温区间的长度．参考数据：，，，，额头到地面的距离以身高计，计算结果精确到

22. 如图，在中，，以为直径作，过点的切线交延长线于点，点为上一点，且，连接交于点．
    求证：平分；
    若，，求的长．

23. 在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于，两点．
    求直线的函数表达式；
    如图，过点的直线分别与轴，轴交于点，，若，连接，求的面积；
    如图，以为边作平行四边形，点在轴负半轴上，点在反比例函数的图象上，线段与反比例函数的图象交于点，若，求的值．
     

24. 为了稳增长，成都市政府开展了促线下消费活动，共发放约亿元的“成都”消费券．某商家参与了本次活动，售卖一款成本为元件的服装．经市场调研发现，这款服装的销售量单位：件与销售价格单位：元件之间的关系如图所示．
    求与的函数关系式；
    为让利顾客，活动要求利润不得高于成本的试问：商家售价定为多少时，总利润最大？并求出此时的最大利润．

25. 【阅读理解】
    定义：在平面直角坐标系中，对于一个动点，若，都可以用同一个字母表示，那么点的运动路径是确定的．若根据点坐标求出点运动路径所对应的关系式是函数，则称由点坐标求函数表达式的过程叫做将点“去隐”．
    例如，将点为任意实数“去隐”的方法如下：
    设，
    由得
    将代入得，整理得
    则直线是点的运动路径．
    【迁移应用】
    在平面直角坐标系中，已知动点为任意实数的运动路径是抛物线．
    请将点“去隐”，得到该抛物线表达式；
    记中抛物线为如图，与轴交于点，在的左侧，其顶点为点，现将进行平移，平移后的抛物线始终过点，点的对应点为．
    试确定点运动路径所对应的函数表达式；
    在直线的左侧，是否存在点，使为等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
     

26. 在矩形中，点为射线上一动点，连接．
    当点在边上时，将沿翻折，使点恰好落在对角线上点处，交于点．
    如图，若，求的度数；
    如图，当，且时，求的长．
    在所得矩形中，将矩形沿进行翻折，点的对应点为，当点，，三点共线时，求的长．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：互为相反数相加等于，
的相反数是．
故选：．
根据相反数的概念解答即可．
此题主要考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，的相反数是．
 

2.【答案】 

【解析】解：从左边看第一层是两个小正方形，第二层左边一个小正方形，
故选：．
根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．
 

3.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

4.【答案】 

【解析】解：原式，
故选：．
根据同底数幂的除法法则计算即可．
本题考察了同底数幂的除法，解题的关键是牢记指数的变化规律．
 

5.【答案】 

【解析】解：，．
，．
以原点为位似中心放大后得到．
与的相似比是：：．
故选：．
根据信息，找到与的比值即可．
本题考查位似变换、坐标与图形的性质．关键在于找到相似比就是对应边的比．
 

6.【答案】 

【解析】解：个数中出现了三次，次数最多，即众数为，故A选项正确，符合题意；
将个数按从小到大的顺序排列为：，，，，，，，第个数为，即中位数为，故B选项错误，不符合题意；
，故C选项错误，不符合题意；
，故D选项错误，不符合题意；
故选：．
根据众数、中位数的概念求出众数和中位数，根据平均数和方差的计算公式求出平均数和方差．
本题考查的是众数、平均数、方差、中位数，掌握它们的概念和计算公式是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：如图，连结，
，
，
，
直径，
半径，
长，
故选：．
连结，根据，得到，根据三角形内角和定理求出圆心角的度数，根据直径的长求出半径，根据弧长公式即可得出答案．
本题考查了弧长的计算，掌握弧长公式是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：抛物线顶点坐标为，
，
将代入得，
解得，
，
时，随增大而减小，
故选：．
由二次函数顶点坐标可设抛物线解析式为顶点式，将代入解析式求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，掌握二次函数图象与系数的关系．
 

9.【答案】 

【解析】解：

，
故答案为：．
先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
 

10.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
，
或，
或，
检验：把代入，
把代入舍去，
原分式方程的解为：．
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
 

11.【答案】 

【解析】解：一次函数与图象的交点是，
根据图象可知，的的取值范围是，
故答案为：．
根据一次函数图象即可确定的取值范围．
本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，熟练掌握一次函数图象是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
，即，
解得．
故答案为：．
根据一元二次方程根的判别式的意义，方程有两个相等的实数根，则有，得到关于的方程，解方程即可．
本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．
 

13.【答案】 

【解析】解：在菱形中，有：，．
．
．
四个扇形的面积，是一个以的长为半径的圆．
图中阴影部分的面积．
故答案为：．
先求出菱形面积，再计算四个扇形的面积即可求解．
本题考查菱形的性质、扇形面积计算．关键在于图中四个扇形的面积实际上是一个圆的面积．
14.【答案】 

【解析】解：，
，



，
故答案为：．
先根据完全平方公式将因式分解，再将代入，即可求出答案．
本题考查了用完全平方公式因式分解求代数式的值，解题的关键是熟练掌握完全平方公式．
 

15.【答案】 

【解析】解：关于的一元二次方程的两根是、，
，，
，
，
，
解得，
当时，方程为，此时，
，
故答案为：．
由根与系数的关系可用表示出和的值，利用条件可得到关于的方程，则可求得的值，再代入方程进行判断求解．
本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图，设的半径为，则，
六边形是正六边形，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
设圆的半径为，用含有的代数式表示正六边形的面积以及圆的面积即可．
本题考查几何概率，正多边形与圆，掌握正六边形的性质以及正六边形面积、圆面积的计算方法是正确解答的前提．
 

17.【答案】  

【解析】解：如图，连接，．
在中，，，，
，
点是的中点，
．
由旋转的性质可知，≌，
，，，
，
当点恰好落在边上，如图所示，
过点作于点，过点作交的延长于点，
，
，
．
，
，
．
当点恰好在上，如图所示，
过点作于点，则．
设，则，
，，
在中，由勾股定理可得，，
解得或．
舍去或．
故答案为：；．
连接，，由勾股定理可得，因为点是的中点，所以由旋转的性质可知，≌，所以，，，所以当点恰好落在边上，过点作于点，过点作交的延长于点，所以，由勾股定理可，以由等积法可得，由此可得出的长．当点恰好在上，过点作于点，则设，则，所以，，在中，由勾股定理可得，，解出的值即可得出的长．
本题主要考查旋转的性质，解直角三角形，三角函数值的定义等，解题的关键是画出对应时刻的图形，找到旋转前后图形之间的关系，建立方程．
 

18.【答案】 

【解析】解：的轨迹是直线，
当时，
通过观察图形．
可以得知，为的“特征距离”的最大值．
所以：为的“特征距离”的最大值．
故答案为：．
理解材料中的意思，结合三角形知识求解，也就是求三角形的边的中垂线与其他边的交点到该边端点之间的距离．
本题考查了三角形和坐标系的有关知识，熟练掌握三角形的基础知识是解题的关键．
 

19.【答案】解：

；




，
当时，原式． 

【解析】利用特殊的三角函数值，零指数幂的意义，负整数指数幂的意义，绝对值的意义进行计算，即可得出答案；
利用分式的除法法则进行化简，再把代入计算，即可得出结果．
本题考查了特殊的三角函数值，零指数幂，负整数指数幂，分式的化简求值，掌握特殊的三角函数值，零指数幂的意义，负整数指数幂的意义，正确把分式化简是解决问题的关键．
 

20.【答案】   

【解析】解：调查人数为：人，
，
故答案为：，；
“组”的人数为：人，
“组”的人数为：人，
因此成绩为优秀分以上共有人，
人，
答：该校名学生中，成绩为优秀的大约有人；
从，，，这四名学生中抽取名，所有可能出现的结果如下：

共有种可能出现的结果，其中抽到，的有种，
所以抽到，的概率为．
从两个统计图表中可知，“组”的频数为，占调查人数的，根据频率进行计算即可；进而求出相应圆心角的度数；
先求出“组”人数，再求出“组”人数，根据分及以上学生所占的百分比进行计算即可；
用列表法表示从，，，这四名学生中抽取名，所有可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可．
本题考查频数分布表、扇形统计图以及列表法求简单随机事件的概率，掌握频率以及列举出所有可能出现的结果是正确解答的前提．
 

21.【答案】解：连接，，延长交于点，

则米，，，
米，
米，
在中，，
米，
在中，，
米，
米，
该组员在地面的有效测温区间的长度约为米． 

【解析】连接，，延长交于点，根据题意可得米，，，从而求出的长，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出，的长，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

22.【答案】证明：是的切线，
，
，
，
，
，即平分．
解：由知，，
，
为的直径，
，
，即，
，
，即，
，，
，
，，，
，，
∽，
：：，即：：，
解得． 

【解析】因为是的切线，所以，因为，所以，由同弧所对的圆周角相等可得，，所以，即平分．
由可知，，因为为的直径，所以，所以，即，由结合勾股定理可得，，即，解得，，又因为，所以，，，易证∽，所以：：，即：：，解之即可．
此题考查了切线的性质，锐角三角函数定义，以及圆周角定理，相似三角形的性质与判定，熟练掌握这些知识点是解本题的关键．
 

23.【答案】解：当时，反比例函数，
，
将点代入得，，
一次函数的解析式为；
联立，
或，
，
当时，，
，
，
过点作轴于，

，
∽，
，
，
，
，
；
设，
四边形是平行四边形，
，，
，
过作轴的平行线，过点、作的垂线，垂足分别为，，

，，
∽，
，
，，
点，
点、都在反比例函数上，
，
解得，
． 

【解析】将代入直线与反比例函数，可得答案；
首先求出交点的坐标，过点作轴于，利用∽，可得的长，从而得出的长，再计算即可；
设，利用平行四边形的性质可得，过作轴的平行线，过点、作的垂线，垂足分别为，，根据∽，表示出点的坐标，从而得出方程解决问题．
本题是反比例函数综合题，主要考查了函数图象上点的坐标的特征，反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质等知识，作辅助线构造相似三角形是解题的关键．
 

24.【答案】解：设销售量件与售价元件之间的函数关系式为，
则，
解得：，
销售量件与售价元件之间的函数关系式是；
商家销售该服装的利润为元，
根据题意得：，
活动要求利润不得高于成本的．
，
解得：，
，
当时，有最大值，最大值为，
商家售价定为元件时，总利润最大，最大利润为元． 

【解析】根据图形中数据用待定系数法求函数解析式即可；
根据利润单件利润销售量列出函数解析式，再根据的取值范围和二次函数的性质求最值即可．
本题考查一次函数的应用，二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和二次函数的性质解答．
 

25.【答案】解：设，，
由得，
；
，
，
令，则，
解得或，
，，
设抛物线的解析式为，
，
经过点，
，
令，，
；
存在点，使为等腰三角形，理由如下：
在上，
点关于直线的对称点为，
此时，为等腰三角形；
设，
当时，，
解得或舍，
；
当时，只能在右侧，此时不符合题意；
综上所述：或 

【解析】设，，可得；
设抛物线的解析式为，由，可得；
，在上，则点关于直线的对称点为，此时，为等腰三角形；设，当时，；当时，只能在右侧不符合题意．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，理解定义，将所求问题转化为二次函数问题是解题的关键．
 

26.【答案】解：四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
由折叠的性质得：，
是等边三角形，
，
；
由折叠的性质得：，，
，
，
，
四边形是矩形，
，，，
∽，
，
，
设，则，
，
在中，，
射影定理，
即，
解得：负值已舍去，
，
，
，
即的长为；
当点，，三点共线时，如图，
由可知，，
四边形是矩形，
，，，，
，，
由折叠的性质得：，，
，，
≌，
，
，
． 

【解析】由矩形的性质和锐角三角函数定义得，再由折叠的性质得，则是等边三角形，即可得出结论；
由折叠的性质得，，则，再证∽，得，设，则，，然后由射影定理得，即，求出，即可解决问题；
证≌，得，再由勾股定理得，即可解决问题．
本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、射影定理、锐角三角函数定义、勾股定理等知识，本题综合性强，熟练掌握矩形的性质和折叠的性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型．