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2023年四川省成都市武侯区西川中学中考数学三诊试卷（含解析）
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这是一份2023年四川省成都市武侯区西川中学中考数学三诊试卷（含解析），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年四川省成都市武侯区西川中学中考数学三诊试卷
一、选择题（本题共8小题，共32分）
1. 下列实数中，-34的倒数是( )
A. 13 B. 34 C. 43 D. -43
2. 五一假期，四川文旅市场持续火爆，接待人次和旅游收入全面超越2019年同期水平，创历史新高.其中，“网红”大熊猫“花花”带动26.4万游客参观成都大熊猫繁育研究基地，排名全国十大热门景点第二位.将数据26.4万用科学记数法表示为( )
A. 26.4×104 B. 2.64×104 C. 2.64×105 D. 0.264×105
3. 下列计算正确的是( )
A. -x3⋅x3=-2x3 B. (m-n)2=m2-n2
C. (-a)3⋅(-a)2=-a5 D. (a+2b)(a-2b)=a2-2b2
4. 如图，AB=DF，∠B=∠F，下列四个条件中再添加一个，不能判定△ABC≌△DFE的是( )
A. AC=DE
B. ∠A=∠D
C. BE=FC
D. ∠ACB=∠DEF
5. 某课外学习小组有5人，在一次数学测验中的成绩分别是：120，100，135，100，125，则他们的成绩的中位数和众数分别是( )
A. 120和135 B. 120和100 C. 116和100 D. 135和100
6. 如图，一副三角尺按如图所示的方式放置，若AB//CD，则α的度数为( )
A. 75°
B. 105°
C. 115°
D. 120°
7. 我国著名院士袋隆平被誉为“杂交水稻之父”，他在杂交水稻事业方面取得了巨大成就.某水稻研究基地统计，杂交水稻的亩产量比传统水稻的亩产量多400公斤，总产量同为3000公斤的杂交水稻种植面积比传统水稻种植面积少2亩.设传统水稻亩产量为x公斤，则符合题意的方程是( )
A. 3000x+400=3000x-2 B. 300x+400=3000x+2
C. 3000x+2=3000x-400 D. 3000x+2=3000x+400
8. 如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A(-4,0)和原点，且顶点在第二象限.下列说法正确的是( )
A. a>0
B. 当x>-1时，y的值随x值的增大而减小
C. b2-4ac<0
D. 函数值有最小值4a-2b+c
二、填空题（本题共10小题，共40分）
9. 分解因式：7a2-63=______
10. 在平面直角坐标系xOy中，对于每一象限内的反比例函数y=m+3x图象，y的值都随x值的增大而增大，则m的取值范围是______ ．
11. 如图，多边形ABCDE为⊙O内接正五边形，PA与⊙O相切于点A，则∠PAB= ______ ．
12. 已知点C为线段AB的黄金分割点，AC>BC.若AC=6cm，则AB的长为______ cm．
13. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，按以下步骤作图：以点A为圆心，以小于AC的长为半径作弧，分别交AC，AB于点M，N；再分别以点M，N为圆心，以大于12MN的长为半径作弧，两弧相交于点O；连接AP，交BC于点E.若CE=6，BE=10，则AC的长为______ ．
14. 化简：(x+2-5x-2)÷x-32x-4=______．
15. 已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2-kx-4=0的两个实数根，且x12+x22+x1x2=6，则k的值为______ ．
16. “斐波那契螺旋线”(也称“黄金螺旋”)是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，人类耳朵的形状也符合这种螺旋形状，这种形状的构造帮助人类可以更好地接收声波，从而增强听觉.现依次取边长为1，1，2，3，5…的正方形按如图所示方式拼接，分别以每个正方形的一个顶点为圆心，边长为半径作圆弧，连接形成的螺旋曲线即为“斐波那契螺旋线”.那么前五个正方形内形成的曲线ABCDEF的长度是______ ．
17. 如图，在菱形ABCD中，tanA=43，点M为AD边中点，点N在BC边上，将四边形ABNM沿直线MN翻折，使AB的对应边为A'B'，当A'B'⊥AD时，BNCN的值为______ ．
18. 在平面直角坐标系xOy中，对封闭图形M和不重合的两点P，Q给出如下定义：点Q关于点P的中心对称点为Q'，若点Q'在图形M内(包含边界).则称图形M为点Q经点P投射的“靶区”.如图，抛物线y=ax2-4ax+6与x轴的交点A，B位于原点两侧(点A在点B的左侧)，且OB=3OA，则抛物线的函数表达式为______ .记x轴上方的抛物线与x轴所围成的封闭图形为G，点E(O,m)为y轴上一动点，若直线y=x+3上存在点F，使得图形G为点F经点E投射的“靶区”，则m的取值范围是______ ．
三、解答题（本题共8小题，共78分）
19. (1)计算： 8+| 2-3|-2cos45°+(-1)2023；
(2)解方程组：4x-y=1①y=2x+3②．
20. 为培养学生热爱美，发现美的艺术素养，我校开展了艺术选修课.学生根据自己的喜好选择一门艺术项目：A书画，B摄影，C泥塑，D纸艺.张老师随机对该校部分学生的选课情况进行调查后，制成了如图所示的两幅不完整的统计图．
根据统计图表提供的信息，解答下列问题：
(1)张老师调查的学生人数是______ ，其中选择“泥塑”选修课在扇形统计图中圆心角的度数为______ ；
(2)若该校学生共有900人，请估计全校选修“摄影”的学生人数；
(3)现有4名学生，其中2人选修书画，1人选修摄影，1人选修泥塑.张老师要从这4人中任选2人了解情况，请用树状图或列表的方法，求所选2人都是选修书画的概率．
21. 太阳能是清洁，安全和可靠的能源，我国76%的国土光照充沛，光能资源分布较为均匀.利用太阳能的最佳方式是光伏转换，使太阳光射到硅材料制作的面板上产生电流直接发电.如图是一个太阳能面板及其侧面示意图，点C是AB的中点，AB=60cm，支架CD可绕点C旋转，当太阳光线与面板垂直时，吸收光能的效率最高.当太阳光与地面夹角为54°时，为了让太阳能面板吸收光能的效率最高，那么支架C端离地面的高度应该为多少？(结果精确到1cm；参考数据：sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan54°≈1.38)
22. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，O为BC上一点，以O为圆心，OB长为半径的圆恰好与AC相切于点D，交BC于点E，连接DO并延长交⊙O于点F．
(1)求证：∠BAO=∠F；
(2)若AD=6，CD=4，求⊙O的半径及EF的长．
23. 如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y=x+b的图象经过点A(-2,0)，与反比例函数y=kx的图象交于B(a,4)，C两点．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)点M是反比例函数图象在第一象限上的点，且S△MAB=4，请求出点M的坐标；
(3)反比例函数具有对称性，适当平移就可发现许多神奇的现象.将该双曲线在第一象限的一支沿射线BC方向平移，使其经过点C，再将双曲线在第三象限的一支沿射线CB方向平移，使其经过点B，平移后的两条曲线相交于P，Q两点，如图2，此时平移后的两条曲线围成了一只美丽的“眸”，PQ为这只“眸”的“眸径”，请求出“眸径”PQ的长．
24. 近期，全国文化和旅游业呈现出快速复苏的良好势头，据美团、大众点评数据显示，今年“五一”期间龙岩旅游订单(含酒店、景点门票)同比增长超2000%.世界文化遗产——福建土楼(龙岩⋅永定)是热门的旅游目的地之一.某土楼纪念品专卖店积极为“五一”黄金周作好宣传与备货工作.已知该专卖店销售甲、乙两种纪念品，每个甲种纪念品的进价比每个乙种纪念品的进价多4元；用400元购进甲种纪念品和用240元购进乙种纪念品的数量相同.专卖店将每个甲种纪念品售价定为13元，每个乙种纪念品售价定为8元．
(1)每个甲种纪念品和每个乙种纪念品的进价分别是多少？
(2)根据市场调查，专卖店计划用不超过3000元的资金购进甲、乙两种纪念品共400个，假设这400个纪念品能够全部卖出，求该专卖店获得销售利润最大的进货方案．
25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx-32与x轴交于A(-1,0)，B(3,0)两点，其顶点为M.直线y=kx-k与抛物线相交于E，F两点(点E在点F的左侧)．
(1)求抛物线的函数表达式和点M的坐标；
(2)当线段EF被抛物线的对称轴分成长度比为1：4的两部分时，求k的值；
(3)连接EM，FM，试探究∠EMF的大小是否为定值.若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
26. 在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E为BC边上一动点，连接AE，在AE右侧作Rt△AEF，∠AEF=90°，tan∠EAF=12．
(1)如图1，若点F恰好落在CD边上，求CF的长；
(2)如图2，延长AF交BC边于点H，当EH=BE+HC时，求tan∠BAE的值；
(3)连接CF，当△EFC为等腰三角形时，求BE的长．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：-34的倒数是-43．
故选：D．
直接利用倒数：乘积是1的两数互为倒数，进而得出答案．
此题主要考查了倒数，正确掌握倒数的定义是解题关键．
2.【答案】C
【解析】解：26.4万=264000=2.64×105．
故选：C．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3.【答案】C
【解析】解：A、-x3⋅x3=-x6，所以选项错误，不符合题意；
B、(m-n)2=m2-2mn+n2，所以选项错误，不符合题意；
C、(-a)3⋅(-a)2=-a5，所以选项正确，符合题意；
D、(a+2b)(a-2b)=a2-4b2，所以选项错误，不符合题意．
故选：C．
根据同底数幂计算公式，完全平方公式以及平方差公式即可求解．
本题考查了平方差公式及同底数幂的运算，完全平方公式，熟练掌握公式是解题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：A、添加条件AB=DF不能判定△ABC≌△DFE，故说法符合题意；
B、添加条件∠A=∠D判定△ABC≌△DFE用的判定方法是ASA，故说法不符合题意；
C、添加条件BC=FE判定△ABC≌△DFE用的判定方法是SAS，故说法不符合题意；
D、添加条件∠B=∠F判定△ABC≌△DFE用的判定方法是AAS，故说法不符合题意；
故选：A．
利用全等三角形的判定方法分别进行分析即可．
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
5.【答案】B
【解析】解：在这一组数据中100是出现次数最多的，故众数是100；
数据按由小到大的顺序排序：100，100，120，125，135，
故中位数为120．
故选：B．
根据众数和中位数的定义求解即可．众数是一组数据中出现次数最多的数据．
本题考查了中位数和众数的概念，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
6.【答案】B
【解析】解：∵△ABC和△CDE是一副三角尺，
∴∠ACB=∠DCE=90°，∠A=∠B=45°，∠E=30°，∠D=60°，
∵AB//CD，
∴∠DCB=∠B，
BC与DE相交于点F，
∠α为△CDF的外角，
∴∠α=∠D+∠DCB=60°+45°=105°，
故选：B．
本题考查平行线的性质(AB//CD,∴∠DCB=∠B)和三角形的外角定理即∠α为△CDF的外角．
本题考查平行线的性质和三角形的外角定理．解题的关键是找出∠α是哪个三角形的外角，进而作答．
7.【答案】A
【解析】解：设传统水稻亩产量为x公斤，则杂交水稻的亩产量是(x+400)千克，
根据题意，得：3000x+400=3000x-2．
故选：A．
设传统水稻亩产量为x公斤，则杂交水稻的亩产量是(x+400)千克，由题意：总产量同为3000公斤的杂交水稻种植面积比传统水稻种植面积少2亩，列出分式方程即可．
本题考查了实际问题抽象出分式方程，由实际问题抽象出分式方程的关键是分析题意找出相等关系．
8.【答案】B
【解析】解：∵抛物线的开口方向下，
∴a<0.故A错误；
∵二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A(-4,0)和原点，且顶点在第二象限，
对称轴x=-4+02=-2，
∴当x>-1时，y的值随x值的增大而减小，
故B正确；
∵y=ax2+bx+1的图象与x轴有两个交点，
∴b2-4ac>0，故③不正确；
∵a<0，对称轴x=-2，
∴x=-2时，函数值有最答值4a-2b+c，
故④不正确；
故选：B．
采用形数结合的方法解题，根据抛物线的开口方向，对称轴的位置判断a、b、c的符号，把两根关系与抛物线与x轴的交点情况结合起来分析问题．
主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，根的判别式的熟练运用．
9.【答案】7(a-3)(a+3)
【解析】解：7a2-63，
=7(a2-9)，
=7(a-3)(a+3)．
故答案为：7(a-3)(a+3)．
先提取公因式7，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
本题考查了提公因式法与公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
10.【答案】m<-3
【解析】解：∵对于每一象限内的反比例函数y=m+3x图象，y的值都随x值的增大而增大，
∴m+3<0，
∴m<-3．
故答案为：m<-3．
根据反比例函数的性质得出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．
本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解题的关键．
11.【答案】36°
【解析】解：连接OB，OA，
∵多边形ABCDEF是正多边形，
∠AOB=360°5=72°，
∴∠OAB=12(180°-∠AOB)=54°．
∵直线PA与⊙O相切于点A，
∴∠OAP=90°．
∴∠BAP=90°-54°=36°．
故答案为：36°．
连接OB，OA多边形是正五边形可求出∠AOB的度数，再根据三角形内角和即可求出∠OAB的度数，利用切线的性质求出∠PAB即可．
本题主要考查了正多边形和圆、圆周角定理、弦切角定理；作出适当的辅助线，利用弦切角定理是解答此题的关键．
12.【答案】3 5+3
【解析】解：∵C为线段AB的黄金分割点，
∴ACAB= 5-12，即6AB= 5-12，
∴AB=3 5+3(cm)．
故答案为：3 5+3．
利用黄金比列出方程解答即可．
本题考查了黄金分割点的应用，正确应用黄金比是解题关键．
13.【答案】12
【解析】解：过点E作ED⊥AB于点D，
由作图方法可得出AE是∠CAB的平分线，
∵EC⊥AC，ED⊥AB，
∴EC=ED=6，
在Rt△ACE和Rt△ADE中，
AE=AEEC=ED，
∴Rt△ACE≌Rt△ADE(HL)，
∴AC=AD，
在Rt△EDB中，DE=6，BE=10，
∴BD=8，
设AC=x，则AB=8+x，
故在Rt△ACB中，
AC2+BC2=AB2，
即x2+162=(x+8)2，
解得：x=12，
即AC的长为：12．
故答案为：12．
直接利用基本作图方法得出AE是∠CAB的平分线，进而结合全等三角形的判定与性质得出AC=AD，再利用勾股定理得出AC的长．
此题主要考查了基本作图以及全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确得出BD的长是解题关键．
14.【答案】解：(1) 8+| 2-3|-2cos45°+(-1)2023
=2 2+3- 2-2× 22+(-1)
=2 2+3- 2- 2-1
=2；
(2)4x-y=1①y=2x+3②，
把②代入①中得：4x-(2x+3)=1，
解得：x=2，
把x=2代入②中得：y=2×2+3=4+3=7，
∴原方程组的解为：x=2y=7．
【解析】(1)先化简各式，然后再进行计算即可解答；
(2)利用代入消元法，进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，解二元一次方程组，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
15.【答案】72人 60°
【解析】解：(1)张老师调查的学生人数是(16+12+20)÷360°-120°360∘=72(人)，
其中选择“泥塑”选修课在扇形统计图中圆心角的度数为360°×1272=60°，
故答案为：72人，60°；
(2)900×1672=200(人)，
答：估计全校选修“摄影”的学生人数约200人；
(3)把选修书画的2人记为A、B，选修摄影的1人记为C，选修泥塑的1人记为D，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中所选2人都是选修书画的结果有2种，即AB、BA，
∴所选2人都是选修书画的概率为212=16．
(1)由喜欢B、C、D的人数除以所占比例得出张老师调查的学生人数，即可解决问题；
(2)由该校学生共有人数乘以选修“摄影”的学生人数所占的比例即可；
(3)画树状图，共有12种等可能的结果，其中所选2人都是选修书画的结果有2种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图等知识．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
16.【答案】解：如图2，作CE⊥BD于点E，
由题意知，∠ABE=180°-54°-90°=36°，
∵点C是AB的中点，AB=60cm，
∴BC=30cm，
在Rt△CEB中，sin∠ABE=CEBC，
∴CE=BC⋅sin∠BAE=30×sin36°≈17.7(cm)，
即C端离地面的高度为17.7cm．
【解析】作CE⊥BD于点E，利用三角函数解Rt△AEB即可．
本题考查解直角三角形的实际应用，解题的关键是掌握三角函数的定义，通过作辅助线构造直角三角形．
17.【答案】(1)证明：如图，∵AC与⊙O相切于点D，
∴AD⊥OD，
∴∠ADO=90°，
∵∠ABC=90°，
∴∠ABO=∠ADO=90°，
∴∠BAD+∠BOD=180°，
∵∠DOE+∠BOD=180°，
∴∠BAD=∠DOE，
在Rt△ABO和Rt△ADO中，
OA=OAOB=OD，
∴Rt△ABO≌Rt△ADO(HL)，
∴∠BAO=∠DAO=12∠BAD=∠DOE2，
∵∠F=12∠DOE，
∴∠BAO=∠F．
(2)解：如图，连接DE，
由(1)得Rt△ABO≌Rt△ADO，
∴AB=AD=6，
∵CD=4，
∴AC=AD+CD=6+4=10，
∴CB= AC2-AB2=8，
∵∠ODC=∠ABC=90°，∠C=∠C，
∴△ODC∽△ABC，
∴ODAB=CDCB=12，
∴OD=12AB=12×6=3，
∴⊙O的半径为3；
∴OB=3，DF=6，
∴OA= AB2+OB2=3 5，
∵DF是⊙O的直径，
∴∠FED=90°，
∴∠FED=∠ABO，
∵∠F=∠ABO，
∴△FED∽△ABO，
∴EFAB=DFOA=2 55，
∴EF=2 55AB=2 55×6=12 55，
∴EF的长为12 55．
【解析】(1)由AC与⊙O相切于点D得∠ADO=90°，根据全等三角形的判定定理“HL”可证明Rt△ABO≌Rt△ADO，则∠BAO=∠DAO=12∠BAD，而∠F=12∠DOE，且∠BAD=∠DOE，即可证明∠BAO=∠DOE；
(2)由Rt△ABO≌Rt△ADO得AB=AD=6，而CD=4，则AC=10，根据勾股定理求得BC=8，再证明△ODC∽△ABC，根据相似三角形的对应边成比例列方程求出OD的长即得到⊙O的半径长，进而得到直径DF的长，即可根据勾股定理求出OA的长，再证明△FED∽△ABO，即可根据相似三角形的对应边成比例列方程求出EF的长．
此题考查圆的切线的性质、圆周角定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
18.【答案】解：(1)把A(-2,0)代入y=x+b，得0=-2+b，
∴b=2，
∴y=x+2，
把B(a,4)代入y=x+2，得4=a+2，
∴a=2，
∴k=2×4=8，
∴y=8x，
∴一次函数和反比例函数的表达式分别为：y=x+2，y=8x；
(2)令y=x+2中y=0，得x=-2，
∴点A(-2,0)，
∴AB= 22+22=4 2，
∵S△MAB=4=12×4 2⋅h，
∴h= 2，即点M满足在与y=x+2距离为 2的直线上，
∴点M在y=x或y=x+4上，
由y=xy=8x，得x1=2 2y1=2 2，x2=-2 2y2=-2 2，
∵点M在第一象限，
∴点M坐标为(2 2,2 2)，
由y=x+4y=8x，得x1=-2+2 2y1=2+2 2，x2=-2-2 2y2=2-2 2，
∵点M在第一象限，
∴点M坐标为(-2+2 2,2+2 2)，
综上点M坐标为(2 2,2 2)或(-2+2 2,2+2 2)；
(3)平移之后的曲线为：y=8x+6-6和y=8x-6+6，
由y=8x-6+6y=8x+6-6，得x1=2 7y1=-2 7，x2=-2 7y2=2 7，
∴点P(-2 7,2 7)点Q(2 7,-2 7)，
∴PQ= (4 7)2+(4 7)2=4 14．
【解析】(1)用待定系数法分别求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)由S△MAB=4，得点M满足在与y=x+2距离为 2的直线上，即M在y=x或y=x+4上，列方程组求出交点，即可求出点M；
(3)将反比例函数平移后组成方程组求出交点，再求出PQ长即可．
本题考查了一次函数及反比例函数的性质的应用，待定系数法的应用及交点的求法是解题关键．
19.【答案】2x+6
【解析】解：原式=[( x+2)(x-2)x-2-5x-2]⋅2(x-2)x-3
=(x-3)(x+3)x-2⋅2(x-2)x-3
=2(x+3)
=2x+6．
故答案为：2x+6．
直接将括号里面通分运算，再利用分式的混合运算计算得出答案．
此题主要考查了分式的混合运算，正确化简分式是解题关键．
20.【答案】± 2
【解析】解：∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2-kx-4=0的两个实数根，
∴x1+x2=k，x1x2=-4，
∵x12+x22+x1x2=6，
∴(x1+x2)2-x1x2=6，
k2-(-4)=6，
k2=2，
k=± 2．
故答案为：± 2．
由根与系数的关系可得：x1+x2=k，x1x2=-4，对所给的等式进行整理，代入相应的值运算即可．
本题主要考查根与系数的关系，解答的关键是明确根与系数的关系：x1+x2=-ba，x1x2=ca．
21.【答案】6π
【解析】解：根据图可知，
螺旋曲线的每一段都是以这个正方形的边长为半径的14圆弧构成的．
故图中“黄金螺旋”的长度为14⋅2π(1+1+2+3+5)=6π．
故答案为：6π．
本题根据题意理解斐波那契螺旋曲线，然后观察图可知螺旋曲线的每一段都是以这个正方形的边长为半径的圆弧构成的．则根据圆周长公式进行计算可得前五个正方形内形成的曲线ABCDEF的长度．
本题主要考查根据题意及图形进行推理再计算的能力，考查了数学联系实际问题进行计算．本题属中档题．
22.【答案】15
【解析】解：作DK⊥BC于K，延长A'B'交BC于L，
由折叠的性质得到：∠A=∠A'，∠B=∠PB'N，MA'=MA，A'B'=AB，
∵A'B'⊥AD，
∴∠MPA'=90°，
∴tanA'=tanA=MPPA'=43，
令MP=4x，PA'=3x，
∴MA'= PM2+PA'2=5x，
∴AD=2MA'=10x，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD=BC=AD=AB=10x，∠C=∠A，AD//BC，
∴tanC=DKCK=43，
∴CK：DK：CD=3：4：5，
∴CK=6x，DK=8x，
∵AD//BC，DK⊥BC，PL⊥BC，
∴四边形PDKL是矩形，
∴KL=PD，PL=DK=8x，
∵M是AD中点，
∴MD=12AD=5x，
∴PD=MD-PM=x，
∴KL=x，
∵AD//BC，
∴∠A+∠B=180°，
∵∠NB'L+∠PB'N=180°，∠B=∠PB'N，
∴∠NB'L=∠A，
∴tan∠NB'L=NLLB'=43，
∵PB'=A'B'-PA'=7x，
∴LB'=PL-PB'=8x-7x=x，
∴LNx=43，
∴LN=43x，
∴CN=CK+KL+LN=6x+x+43x=253x，
∴BN=BC-CN=53x，
∴BNCN=15．
故答案为：15．
作DK⊥BC于K，延长A'B'交BC于K，由折叠的性质得到：∠A=∠A'，∠B=∠PB'N，MA'=MA，A'B'=AB，由锐角的正切得到MPPA'=43，令MP=4x，PA'=3x，由勾股定理得到MA'= PM2+PA'2=5x，因此AD=2MA'=10x，由菱形的性质得到CD=BC=AD=AB=10x，∠C=∠A，AD//BC，由锐角的正切求出CK=6x，DK=8x，由四边形PDKL是矩形，得到KL=PD，PL=DK=8x，由M是AD中点，得到MD=12AD=5x因此，PD=MD-PM=x，得到KL=x，由补角的性质得到∠NB'L=∠A，因此tan∠NB'L=NLLB'=43，得到LN=43x，求出CN=CK+KL+LN=253x，得到BN=BC-CN=53x，即可求出BNCN=15．
本题考查折叠的性质，菱形的性质，勾股定理，解直角三角形，关键是由以上知识点求出CK=6x，KL=x，LN=43x.
23.【答案】y=-12x2+2x+6 0≤m≤ 15
【解析】解：由题知，
抛物线的对称轴为x=2，
令A(m,0)，又A，B两点关于x=2对称，
所以2-m=xB-2，则xB=4-m．
所以OA=-m，OB=4-m．
又OB=3OA，
所以4-m=3×(-m)，得m=-2．
故A(-2,0)．
将A点坐标代入抛物线解析式得，4a+8a+6=0，则a=-12．
所以抛物线的函数表达式为y=-12x2+2x+6．
故答案为：y=-12x2+2x+6．
直线y=x+3关于y轴的对称直线为y=-x+3，
记直线y=-x+3与封闭区域G的交点为M，N，
则y=-12x2+2x+6y=-x+3，解得x=3+ 15y=- 15或x=3- 15y= 15．
故M(3- 15, 15).
所以m的取值范围是0≤m≤ 15．
故答案为：0≤m≤ 15．
由OB=3OA，以及抛物线的对称轴，可得出点A的坐标，进而求出函数表达式；求出直线y=x+3关于y轴的对称直线，再由对称直线与封闭图象的交点，可求出m的取值范围．
本题考查二次函数的图象和性质，利用直线y=x+3关于y轴的对称直线是解题的关键．
24.【答案】解：(1)设每个甲种纪念品的进阶是x元，则每个乙种纪念品的进价是(x-4)元，
由题意得：400x=240x-4，
解得：x=10，
经检验，x=10是原方程的解，且符合题意，
∴x-4=10-4=6，
答：每个甲种纪念品的进阶是10元，每个乙种纪念品的进价是6元；
(2)设该专卖店购进种纪念品m个，则购进乙种纪念品(400-m)个，
由题意得：10m+6(400-m)≤3000，
解得：m≤150，
设销售甲、乙两种纪念品获得的利润为w元，
由题意得：w=(13-10)m+(8-6)(400-m)=m+800，
∵1>0，
∴w随m的增大而增大，
∵m≤150，且m为正整数，
∴m的最大值是150，
∴当m=150时，w取最大值，w的最大值=150+800=950，
此时，400-m=400-150=250，
答：该专卖店购进种纪念品150个，乙种纪念品250个，获得的销售利润最大．
【解析】(1)设每个甲种纪念品的进阶是x元，则每个乙种纪念品的进价是(x-4)元，由题意：用400元购进甲种纪念品和用240元购进乙种纪念品的数量相同．列出分式方程，解方程即可；
(2)设该专卖店购进种纪念品m个，则购进乙种纪念品(400-m)个，由题意：专卖店计划用不超过3000元的资金购进甲、乙两种纪念品共400个，列出一元一次不等式，解得m≤150，再设销售甲、乙两种纪念品获得的利润为w元，由题意得出w关于m的一次函数，然后由一次函数的性质即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)找出数量关系，正确列出一元一次不等式和一次函数关系式．
25.【答案】解：(1)设抛物线的表达式为：y=a(x+1)(x-3)=a(x2-2x-3)，
则-3a=-32，则a=12，
则抛物线的表达式为：y=12x2+x-32①，
则抛物线的对称轴为x=1，
当x=1时，y=12x2+x-32=-2，
则点M(1,-2)；
(2)由y=kx-k=k(x-1)②，则直线过点(1,0)，设该点为T，
即点T分EF为1：4，则ET：FT=1：4或4：1，
如图，过点A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为：K、F，
则ETFT=KTFT=4或14，
设点E、F的坐标分别为：(m,12m2+m-32)、(n,12n2+n-32)，
联立①②并整理得：x2-(2+2k)x+2k-3=0，
则m+n=2+2k，mn=2k-3，
则m=k+1- k2+4，n=k+1+ k2+4，
当则ETFT=KTFT=4或14时，即1-mn-1=4或14，
则m+4n=5或4m+n=5，
当m+4n=5时，则m+4n=m+n+3n=2k+2+3(k+1+ k2+4)=5，
解得：k=-32(舍去正值)；
当4m+n=5时，
同理可得：k=32；
综上，k±32；
(3)∠EMF=90°为定值，理由：
过点M作x轴的平行线交过点E与y轴的平行线于点H，交过点E和y轴的平行线于点G，
由(2)知，m+n=2+2k，mn=2k-3，则(1-m)(n-1)=4，
则tan∠EMG=GEGM=12m2-m-32+21-m=12(1-m)，
同理可得：tan∠MFH=2n-1=12(1-m)=tan∠EMG，
即∠MFH=∠EMG，
∵∠MFH+∠FMH=90°，
∴∠EME+∠FHM=90°，
∴∠EMF=90°为定值．
【解析】(1)由待定系数法即可求解；
(2)由题意得，点T分EF为1：4，则ET：FT=1：4或4：1，得到ETFT=KTFT=4或14，进而求解；
(3)证明∠MFH=∠EMG，即可求解．
本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，解直角三角形等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度．
26.【答案】解：(1)在矩形ABCD中，∠B=∠C=90°，
∴∠AEB+∠EAB=90°，
∵∠AEF=90°，
∴∠AEB+∠FEC=90°，
∴∠EAB=∠FEC，
∴△ABE∽△ECF，
∴AB：EC=BE：CF=AE：EF，
在△AEF中，∠AEF=90°，tan∠EAF=12．
∴tan∠EAF=EFAE=12，
∴AB：EC=BE：CF=AE：EF=2：1，
∵AB=CD=6，
∴EC=3，
∵BC=8，
∴BE=5，
∴CF=2.5；
(2)∵BC=BE+EH+CH=8，EH=BE+HC，
∴EH=4，
如图1，过点F作FM⊥BC于点M，
同理可证△ABE∽△EMF，
∴AB：EM=BE：MF=AE：EF=2：1，
∴EM=3，HM=1，
设FM=a，
则BE=2a，
∴BH=4+2a；
∵FM⊥BC，
∴∠B=∠FMH=90°，
∴FM//AB，
∴△FHM∽△AHB，
∴FM：AB=HB：BH，即a：6=1：(4+2a)，
解得a=1或a=-3(舍)，
∴BE=2，
∴tan∠BAE=BEAB=13；
(3)当点F在CD上时，EC=3，CF=2.5，显然不合题意；
当点F不在CD上时，需要分两种情况：
①当点F在矩形ABCD内部时，此时EF=CF，
如图2，过点F作FM⊥BC于点M，
∴点M是EC的中点，
∴EM=CM=3，
∴BE=2；
②当点F不在矩形ABCD内部时，此时CE=FC，
如图3，过点F作FN⊥BC交BC的延长线于点N，
由上可知△ABE∽△ENF，
∴AB：EN=BE：FN=AF：EF=2：1，
∴EN=3，
设FN=a，则BE=2a，
∴EC=8-2a，CN=3-(8-2a)=2a-5，
∴CF=CE=8-2a，
在Rt△FCN中，∠N=90°，
利用勾股定理可得，a2+(2a-5)2=(8-2a)2，
解得a=-6-5 3(舍)或a=-6+5 3，
此时BE=2a=-12+10 3．
故答案为：2或-12+10 3．
【解析】(1)由题意可证明△ABE∽△ECF，所以AB：EC=BE：CF=AE：EF=2：1，由AB=6，可得CE，BE及CF的长；
(2)由题意可知，EH=4，过点F作FM⊥BC于点M，由上易得△ABE∽△EMF，所以AB：EM=BE：MF=AE：EF=2：1，设FM=a，则BE=2a，由题意可知△FHM∽△AHB，所以FM：AB=HB：BH，代入建立关于a的方程，解之即可；
(3)根据题意需要分情况讨论：当点F在CD上时，当点F不在CD上，分别根据等腰三角形的性质，列出方程即可．
本题属于四边形综合题，主要考查相似三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，勾股定理等相关知识，分类讨论思想等内容，解题关键是进行正确的分类讨论，建立关于a的方程．
2023年四川省成都市武侯区西川中学中考数学三诊试卷
一、选择题（本题共8小题，共32分）
1. 下列实数中，-34的倒数是( )
A. 13 B. 34 C. 43 D. -43
2. 五一假期，四川文旅市场持续火爆，接待人次和旅游收入全面超越2019年同期水平，创历史新高.其中，“网红”大熊猫“花花”带动26.4万游客参观成都大熊猫繁育研究基地，排名全国十大热门景点第二位.将数据26.4万用科学记数法表示为( )
A. 26.4×104 B. 2.64×104 C. 2.64×105 D. 0.264×105
3. 下列计算正确的是( )
A. -x3⋅x3=-2x3 B. (m-n)2=m2-n2
C. (-a)3⋅(-a)2=-a5 D. (a+2b)(a-2b)=a2-2b2
4. 如图，AB=DF，∠B=∠F，下列四个条件中再添加一个，不能判定△ABC≌△DFE的是( )
A. AC=DE
B. ∠A=∠D
C. BE=FC
D. ∠ACB=∠DEF
5. 某课外学习小组有5人，在一次数学测验中的成绩分别是：120，100，135，100，125，则他们的成绩的中位数和众数分别是( )
A. 120和135 B. 120和100 C. 116和100 D. 135和100
6. 如图，一副三角尺按如图所示的方式放置，若AB//CD，则α的度数为( )
A. 75°
B. 105°
C. 115°
D. 120°
7. 我国著名院士袋隆平被誉为“杂交水稻之父”，他在杂交水稻事业方面取得了巨大成就.某水稻研究基地统计，杂交水稻的亩产量比传统水稻的亩产量多400公斤，总产量同为3000公斤的杂交水稻种植面积比传统水稻种植面积少2亩.设传统水稻亩产量为x公斤，则符合题意的方程是( )
A. 3000x+400=3000x-2 B. 300x+400=3000x+2
C. 3000x+2=3000x-400 D. 3000x+2=3000x+400
8. 如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A(-4,0)和原点，且顶点在第二象限.下列说法正确的是( )
A. a>0
B. 当x>-1时，y的值随x值的增大而减小
C. b2-4ac<0
D. 函数值有最小值4a-2b+c
二、填空题（本题共10小题，共40分）
9. 分解因式：7a2-63=______
10. 在平面直角坐标系xOy中，对于每一象限内的反比例函数y=m+3x图象，y的值都随x值的增大而增大，则m的取值范围是______ ．
11. 如图，多边形ABCDE为⊙O内接正五边形，PA与⊙O相切于点A，则∠PAB= ______ ．
12. 已知点C为线段AB的黄金分割点，AC>BC.若AC=6cm，则AB的长为______ cm．
13. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，按以下步骤作图：以点A为圆心，以小于AC的长为半径作弧，分别交AC，AB于点M，N；再分别以点M，N为圆心，以大于12MN的长为半径作弧，两弧相交于点O；连接AP，交BC于点E.若CE=6，BE=10，则AC的长为______ ．
14. 化简：(x+2-5x-2)÷x-32x-4=______．
15. 已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2-kx-4=0的两个实数根，且x12+x22+x1x2=6，则k的值为______ ．
16. “斐波那契螺旋线”(也称“黄金螺旋”)是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，人类耳朵的形状也符合这种螺旋形状，这种形状的构造帮助人类可以更好地接收声波，从而增强听觉.现依次取边长为1，1，2，3，5…的正方形按如图所示方式拼接，分别以每个正方形的一个顶点为圆心，边长为半径作圆弧，连接形成的螺旋曲线即为“斐波那契螺旋线”.那么前五个正方形内形成的曲线ABCDEF的长度是______ ．
17. 如图，在菱形ABCD中，tanA=43，点M为AD边中点，点N在BC边上，将四边形ABNM沿直线MN翻折，使AB的对应边为A'B'，当A'B'⊥AD时，BNCN的值为______ ．
18. 在平面直角坐标系xOy中，对封闭图形M和不重合的两点P，Q给出如下定义：点Q关于点P的中心对称点为Q'，若点Q'在图形M内(包含边界).则称图形M为点Q经点P投射的“靶区”.如图，抛物线y=ax2-4ax+6与x轴的交点A，B位于原点两侧(点A在点B的左侧)，且OB=3OA，则抛物线的函数表达式为______ .记x轴上方的抛物线与x轴所围成的封闭图形为G，点E(O,m)为y轴上一动点，若直线y=x+3上存在点F，使得图形G为点F经点E投射的“靶区”，则m的取值范围是______ ．
三、解答题（本题共8小题，共78分）
19. (1)计算： 8+| 2-3|-2cos45°+(-1)2023；
(2)解方程组：4x-y=1①y=2x+3②．
20. 为培养学生热爱美，发现美的艺术素养，我校开展了艺术选修课.学生根据自己的喜好选择一门艺术项目：A书画，B摄影，C泥塑，D纸艺.张老师随机对该校部分学生的选课情况进行调查后，制成了如图所示的两幅不完整的统计图．
根据统计图表提供的信息，解答下列问题：
(1)张老师调查的学生人数是______ ，其中选择“泥塑”选修课在扇形统计图中圆心角的度数为______ ；
(2)若该校学生共有900人，请估计全校选修“摄影”的学生人数；
(3)现有4名学生，其中2人选修书画，1人选修摄影，1人选修泥塑.张老师要从这4人中任选2人了解情况，请用树状图或列表的方法，求所选2人都是选修书画的概率．
21. 太阳能是清洁，安全和可靠的能源，我国76%的国土光照充沛，光能资源分布较为均匀.利用太阳能的最佳方式是光伏转换，使太阳光射到硅材料制作的面板上产生电流直接发电.如图是一个太阳能面板及其侧面示意图，点C是AB的中点，AB=60cm，支架CD可绕点C旋转，当太阳光线与面板垂直时，吸收光能的效率最高.当太阳光与地面夹角为54°时，为了让太阳能面板吸收光能的效率最高，那么支架C端离地面的高度应该为多少？(结果精确到1cm；参考数据：sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan54°≈1.38)
22. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，O为BC上一点，以O为圆心，OB长为半径的圆恰好与AC相切于点D，交BC于点E，连接DO并延长交⊙O于点F．
(1)求证：∠BAO=∠F；
(2)若AD=6，CD=4，求⊙O的半径及EF的长．
23. 如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y=x+b的图象经过点A(-2,0)，与反比例函数y=kx的图象交于B(a,4)，C两点．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)点M是反比例函数图象在第一象限上的点，且S△MAB=4，请求出点M的坐标；
(3)反比例函数具有对称性，适当平移就可发现许多神奇的现象.将该双曲线在第一象限的一支沿射线BC方向平移，使其经过点C，再将双曲线在第三象限的一支沿射线CB方向平移，使其经过点B，平移后的两条曲线相交于P，Q两点，如图2，此时平移后的两条曲线围成了一只美丽的“眸”，PQ为这只“眸”的“眸径”，请求出“眸径”PQ的长．
24. 近期，全国文化和旅游业呈现出快速复苏的良好势头，据美团、大众点评数据显示，今年“五一”期间龙岩旅游订单(含酒店、景点门票)同比增长超2000%.世界文化遗产——福建土楼(龙岩⋅永定)是热门的旅游目的地之一.某土楼纪念品专卖店积极为“五一”黄金周作好宣传与备货工作.已知该专卖店销售甲、乙两种纪念品，每个甲种纪念品的进价比每个乙种纪念品的进价多4元；用400元购进甲种纪念品和用240元购进乙种纪念品的数量相同.专卖店将每个甲种纪念品售价定为13元，每个乙种纪念品售价定为8元．
(1)每个甲种纪念品和每个乙种纪念品的进价分别是多少？
(2)根据市场调查，专卖店计划用不超过3000元的资金购进甲、乙两种纪念品共400个，假设这400个纪念品能够全部卖出，求该专卖店获得销售利润最大的进货方案．
25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx-32与x轴交于A(-1,0)，B(3,0)两点，其顶点为M.直线y=kx-k与抛物线相交于E，F两点(点E在点F的左侧)．
(1)求抛物线的函数表达式和点M的坐标；
(2)当线段EF被抛物线的对称轴分成长度比为1：4的两部分时，求k的值；
(3)连接EM，FM，试探究∠EMF的大小是否为定值.若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
26. 在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E为BC边上一动点，连接AE，在AE右侧作Rt△AEF，∠AEF=90°，tan∠EAF=12．
(1)如图1，若点F恰好落在CD边上，求CF的长；
(2)如图2，延长AF交BC边于点H，当EH=BE+HC时，求tan∠BAE的值；
(3)连接CF，当△EFC为等腰三角形时，求BE的长．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：-34的倒数是-43．
故选：D．
直接利用倒数：乘积是1的两数互为倒数，进而得出答案．
此题主要考查了倒数，正确掌握倒数的定义是解题关键．
2.【答案】C
【解析】解：26.4万=264000=2.64×105．
故选：C．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3.【答案】C
【解析】解：A、-x3⋅x3=-x6，所以选项错误，不符合题意；
B、(m-n)2=m2-2mn+n2，所以选项错误，不符合题意；
C、(-a)3⋅(-a)2=-a5，所以选项正确，符合题意；
D、(a+2b)(a-2b)=a2-4b2，所以选项错误，不符合题意．
故选：C．
根据同底数幂计算公式，完全平方公式以及平方差公式即可求解．
本题考查了平方差公式及同底数幂的运算，完全平方公式，熟练掌握公式是解题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：A、添加条件AB=DF不能判定△ABC≌△DFE，故说法符合题意；
B、添加条件∠A=∠D判定△ABC≌△DFE用的判定方法是ASA，故说法不符合题意；
C、添加条件BC=FE判定△ABC≌△DFE用的判定方法是SAS，故说法不符合题意；
D、添加条件∠B=∠F判定△ABC≌△DFE用的判定方法是AAS，故说法不符合题意；
故选：A．
利用全等三角形的判定方法分别进行分析即可．
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
5.【答案】B
【解析】解：在这一组数据中100是出现次数最多的，故众数是100；
数据按由小到大的顺序排序：100，100，120，125，135，
故中位数为120．
故选：B．
根据众数和中位数的定义求解即可．众数是一组数据中出现次数最多的数据．
本题考查了中位数和众数的概念，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
6.【答案】B
【解析】解：∵△ABC和△CDE是一副三角尺，
∴∠ACB=∠DCE=90°，∠A=∠B=45°，∠E=30°，∠D=60°，
∵AB//CD，
∴∠DCB=∠B，
BC与DE相交于点F，
∠α为△CDF的外角，
∴∠α=∠D+∠DCB=60°+45°=105°，
故选：B．
本题考查平行线的性质(AB//CD,∴∠DCB=∠B)和三角形的外角定理即∠α为△CDF的外角．
本题考查平行线的性质和三角形的外角定理．解题的关键是找出∠α是哪个三角形的外角，进而作答．
7.【答案】A
【解析】解：设传统水稻亩产量为x公斤，则杂交水稻的亩产量是(x+400)千克，
根据题意，得：3000x+400=3000x-2．
故选：A．
设传统水稻亩产量为x公斤，则杂交水稻的亩产量是(x+400)千克，由题意：总产量同为3000公斤的杂交水稻种植面积比传统水稻种植面积少2亩，列出分式方程即可．
本题考查了实际问题抽象出分式方程，由实际问题抽象出分式方程的关键是分析题意找出相等关系．
8.【答案】B
【解析】解：∵抛物线的开口方向下，
∴a<0.故A错误；
∵二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A(-4,0)和原点，且顶点在第二象限，
对称轴x=-4+02=-2，
∴当x>-1时，y的值随x值的增大而减小，
故B正确；
∵y=ax2+bx+1的图象与x轴有两个交点，
∴b2-4ac>0，故③不正确；
∵a<0，对称轴x=-2，
∴x=-2时，函数值有最答值4a-2b+c，
故④不正确；
故选：B．
采用形数结合的方法解题，根据抛物线的开口方向，对称轴的位置判断a、b、c的符号，把两根关系与抛物线与x轴的交点情况结合起来分析问题．
主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，根的判别式的熟练运用．
9.【答案】7(a-3)(a+3)
【解析】解：7a2-63，
=7(a2-9)，
=7(a-3)(a+3)．
故答案为：7(a-3)(a+3)．
先提取公因式7，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
本题考查了提公因式法与公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
10.【答案】m<-3
【解析】解：∵对于每一象限内的反比例函数y=m+3x图象，y的值都随x值的增大而增大，
∴m+3<0，
∴m<-3．
故答案为：m<-3．
根据反比例函数的性质得出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．
本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解题的关键．
11.【答案】36°
【解析】解：连接OB，OA，
∵多边形ABCDEF是正多边形，
∠AOB=360°5=72°，
∴∠OAB=12(180°-∠AOB)=54°．
∵直线PA与⊙O相切于点A，
∴∠OAP=90°．
∴∠BAP=90°-54°=36°．
故答案为：36°．
连接OB，OA多边形是正五边形可求出∠AOB的度数，再根据三角形内角和即可求出∠OAB的度数，利用切线的性质求出∠PAB即可．
本题主要考查了正多边形和圆、圆周角定理、弦切角定理；作出适当的辅助线，利用弦切角定理是解答此题的关键．
12.【答案】3 5+3
【解析】解：∵C为线段AB的黄金分割点，
∴ACAB= 5-12，即6AB= 5-12，
∴AB=3 5+3(cm)．
故答案为：3 5+3．
利用黄金比列出方程解答即可．
本题考查了黄金分割点的应用，正确应用黄金比是解题关键．
13.【答案】12
【解析】解：过点E作ED⊥AB于点D，
由作图方法可得出AE是∠CAB的平分线，
∵EC⊥AC，ED⊥AB，
∴EC=ED=6，
在Rt△ACE和Rt△ADE中，
AE=AEEC=ED，
∴Rt△ACE≌Rt△ADE(HL)，
∴AC=AD，
在Rt△EDB中，DE=6，BE=10，
∴BD=8，
设AC=x，则AB=8+x，
故在Rt△ACB中，
AC2+BC2=AB2，
即x2+162=(x+8)2，
解得：x=12，
即AC的长为：12．
故答案为：12．
直接利用基本作图方法得出AE是∠CAB的平分线，进而结合全等三角形的判定与性质得出AC=AD，再利用勾股定理得出AC的长．
此题主要考查了基本作图以及全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确得出BD的长是解题关键．
14.【答案】解：(1) 8+| 2-3|-2cos45°+(-1)2023
=2 2+3- 2-2× 22+(-1)
=2 2+3- 2- 2-1
=2；
(2)4x-y=1①y=2x+3②，
把②代入①中得：4x-(2x+3)=1，
解得：x=2，
把x=2代入②中得：y=2×2+3=4+3=7，
∴原方程组的解为：x=2y=7．
【解析】(1)先化简各式，然后再进行计算即可解答；
(2)利用代入消元法，进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，解二元一次方程组，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
15.【答案】72人 60°
【解析】解：(1)张老师调查的学生人数是(16+12+20)÷360°-120°360∘=72(人)，
其中选择“泥塑”选修课在扇形统计图中圆心角的度数为360°×1272=60°，
故答案为：72人，60°；
(2)900×1672=200(人)，
答：估计全校选修“摄影”的学生人数约200人；
(3)把选修书画的2人记为A、B，选修摄影的1人记为C，选修泥塑的1人记为D，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中所选2人都是选修书画的结果有2种，即AB、BA，
∴所选2人都是选修书画的概率为212=16．
(1)由喜欢B、C、D的人数除以所占比例得出张老师调查的学生人数，即可解决问题；
(2)由该校学生共有人数乘以选修“摄影”的学生人数所占的比例即可；
(3)画树状图，共有12种等可能的结果，其中所选2人都是选修书画的结果有2种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图等知识．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
16.【答案】解：如图2，作CE⊥BD于点E，
由题意知，∠ABE=180°-54°-90°=36°，
∵点C是AB的中点，AB=60cm，
∴BC=30cm，
在Rt△CEB中，sin∠ABE=CEBC，
∴CE=BC⋅sin∠BAE=30×sin36°≈17.7(cm)，
即C端离地面的高度为17.7cm．
【解析】作CE⊥BD于点E，利用三角函数解Rt△AEB即可．
本题考查解直角三角形的实际应用，解题的关键是掌握三角函数的定义，通过作辅助线构造直角三角形．
17.【答案】(1)证明：如图，∵AC与⊙O相切于点D，
∴AD⊥OD，
∴∠ADO=90°，
∵∠ABC=90°，
∴∠ABO=∠ADO=90°，
∴∠BAD+∠BOD=180°，
∵∠DOE+∠BOD=180°，
∴∠BAD=∠DOE，
在Rt△ABO和Rt△ADO中，
OA=OAOB=OD，
∴Rt△ABO≌Rt△ADO(HL)，
∴∠BAO=∠DAO=12∠BAD=∠DOE2，
∵∠F=12∠DOE，
∴∠BAO=∠F．
(2)解：如图，连接DE，
由(1)得Rt△ABO≌Rt△ADO，
∴AB=AD=6，
∵CD=4，
∴AC=AD+CD=6+4=10，
∴CB= AC2-AB2=8，
∵∠ODC=∠ABC=90°，∠C=∠C，
∴△ODC∽△ABC，
∴ODAB=CDCB=12，
∴OD=12AB=12×6=3，
∴⊙O的半径为3；
∴OB=3，DF=6，
∴OA= AB2+OB2=3 5，
∵DF是⊙O的直径，
∴∠FED=90°，
∴∠FED=∠ABO，
∵∠F=∠ABO，
∴△FED∽△ABO，
∴EFAB=DFOA=2 55，
∴EF=2 55AB=2 55×6=12 55，
∴EF的长为12 55．
【解析】(1)由AC与⊙O相切于点D得∠ADO=90°，根据全等三角形的判定定理“HL”可证明Rt△ABO≌Rt△ADO，则∠BAO=∠DAO=12∠BAD，而∠F=12∠DOE，且∠BAD=∠DOE，即可证明∠BAO=∠DOE；
(2)由Rt△ABO≌Rt△ADO得AB=AD=6，而CD=4，则AC=10，根据勾股定理求得BC=8，再证明△ODC∽△ABC，根据相似三角形的对应边成比例列方程求出OD的长即得到⊙O的半径长，进而得到直径DF的长，即可根据勾股定理求出OA的长，再证明△FED∽△ABO，即可根据相似三角形的对应边成比例列方程求出EF的长．
此题考查圆的切线的性质、圆周角定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
18.【答案】解：(1)把A(-2,0)代入y=x+b，得0=-2+b，
∴b=2，
∴y=x+2，
把B(a,4)代入y=x+2，得4=a+2，
∴a=2，
∴k=2×4=8，
∴y=8x，
∴一次函数和反比例函数的表达式分别为：y=x+2，y=8x；
(2)令y=x+2中y=0，得x=-2，
∴点A(-2,0)，
∴AB= 22+22=4 2，
∵S△MAB=4=12×4 2⋅h，
∴h= 2，即点M满足在与y=x+2距离为 2的直线上，
∴点M在y=x或y=x+4上，
由y=xy=8x，得x1=2 2y1=2 2，x2=-2 2y2=-2 2，
∵点M在第一象限，
∴点M坐标为(2 2,2 2)，
由y=x+4y=8x，得x1=-2+2 2y1=2+2 2，x2=-2-2 2y2=2-2 2，
∵点M在第一象限，
∴点M坐标为(-2+2 2,2+2 2)，
综上点M坐标为(2 2,2 2)或(-2+2 2,2+2 2)；
(3)平移之后的曲线为：y=8x+6-6和y=8x-6+6，
由y=8x-6+6y=8x+6-6，得x1=2 7y1=-2 7，x2=-2 7y2=2 7，
∴点P(-2 7,2 7)点Q(2 7,-2 7)，
∴PQ= (4 7)2+(4 7)2=4 14．
【解析】(1)用待定系数法分别求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)由S△MAB=4，得点M满足在与y=x+2距离为 2的直线上，即M在y=x或y=x+4上，列方程组求出交点，即可求出点M；
(3)将反比例函数平移后组成方程组求出交点，再求出PQ长即可．
本题考查了一次函数及反比例函数的性质的应用，待定系数法的应用及交点的求法是解题关键．
19.【答案】2x+6
【解析】解：原式=[( x+2)(x-2)x-2-5x-2]⋅2(x-2)x-3
=(x-3)(x+3)x-2⋅2(x-2)x-3
=2(x+3)
=2x+6．
故答案为：2x+6．
直接将括号里面通分运算，再利用分式的混合运算计算得出答案．
此题主要考查了分式的混合运算，正确化简分式是解题关键．
20.【答案】± 2
【解析】解：∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2-kx-4=0的两个实数根，
∴x1+x2=k，x1x2=-4，
∵x12+x22+x1x2=6，
∴(x1+x2)2-x1x2=6，
k2-(-4)=6，
k2=2，
k=± 2．
故答案为：± 2．
由根与系数的关系可得：x1+x2=k，x1x2=-4，对所给的等式进行整理，代入相应的值运算即可．
本题主要考查根与系数的关系，解答的关键是明确根与系数的关系：x1+x2=-ba，x1x2=ca．
21.【答案】6π
【解析】解：根据图可知，
螺旋曲线的每一段都是以这个正方形的边长为半径的14圆弧构成的．
故图中“黄金螺旋”的长度为14⋅2π(1+1+2+3+5)=6π．
故答案为：6π．
本题根据题意理解斐波那契螺旋曲线，然后观察图可知螺旋曲线的每一段都是以这个正方形的边长为半径的圆弧构成的．则根据圆周长公式进行计算可得前五个正方形内形成的曲线ABCDEF的长度．
本题主要考查根据题意及图形进行推理再计算的能力，考查了数学联系实际问题进行计算．本题属中档题．
22.【答案】15
【解析】解：作DK⊥BC于K，延长A'B'交BC于L，
由折叠的性质得到：∠A=∠A'，∠B=∠PB'N，MA'=MA，A'B'=AB，
∵A'B'⊥AD，
∴∠MPA'=90°，
∴tanA'=tanA=MPPA'=43，
令MP=4x，PA'=3x，
∴MA'= PM2+PA'2=5x，
∴AD=2MA'=10x，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD=BC=AD=AB=10x，∠C=∠A，AD//BC，
∴tanC=DKCK=43，
∴CK：DK：CD=3：4：5，
∴CK=6x，DK=8x，
∵AD//BC，DK⊥BC，PL⊥BC，
∴四边形PDKL是矩形，
∴KL=PD，PL=DK=8x，
∵M是AD中点，
∴MD=12AD=5x，
∴PD=MD-PM=x，
∴KL=x，
∵AD//BC，
∴∠A+∠B=180°，
∵∠NB'L+∠PB'N=180°，∠B=∠PB'N，
∴∠NB'L=∠A，
∴tan∠NB'L=NLLB'=43，
∵PB'=A'B'-PA'=7x，
∴LB'=PL-PB'=8x-7x=x，
∴LNx=43，
∴LN=43x，
∴CN=CK+KL+LN=6x+x+43x=253x，
∴BN=BC-CN=53x，
∴BNCN=15．
故答案为：15．
作DK⊥BC于K，延长A'B'交BC于K，由折叠的性质得到：∠A=∠A'，∠B=∠PB'N，MA'=MA，A'B'=AB，由锐角的正切得到MPPA'=43，令MP=4x，PA'=3x，由勾股定理得到MA'= PM2+PA'2=5x，因此AD=2MA'=10x，由菱形的性质得到CD=BC=AD=AB=10x，∠C=∠A，AD//BC，由锐角的正切求出CK=6x，DK=8x，由四边形PDKL是矩形，得到KL=PD，PL=DK=8x，由M是AD中点，得到MD=12AD=5x因此，PD=MD-PM=x，得到KL=x，由补角的性质得到∠NB'L=∠A，因此tan∠NB'L=NLLB'=43，得到LN=43x，求出CN=CK+KL+LN=253x，得到BN=BC-CN=53x，即可求出BNCN=15．
本题考查折叠的性质，菱形的性质，勾股定理，解直角三角形，关键是由以上知识点求出CK=6x，KL=x，LN=43x.
23.【答案】y=-12x2+2x+6 0≤m≤ 15
【解析】解：由题知，
抛物线的对称轴为x=2，
令A(m,0)，又A，B两点关于x=2对称，
所以2-m=xB-2，则xB=4-m．
所以OA=-m，OB=4-m．
又OB=3OA，
所以4-m=3×(-m)，得m=-2．
故A(-2,0)．
将A点坐标代入抛物线解析式得，4a+8a+6=0，则a=-12．
所以抛物线的函数表达式为y=-12x2+2x+6．
故答案为：y=-12x2+2x+6．
直线y=x+3关于y轴的对称直线为y=-x+3，
记直线y=-x+3与封闭区域G的交点为M，N，
则y=-12x2+2x+6y=-x+3，解得x=3+ 15y=- 15或x=3- 15y= 15．
故M(3- 15, 15).
所以m的取值范围是0≤m≤ 15．
故答案为：0≤m≤ 15．
由OB=3OA，以及抛物线的对称轴，可得出点A的坐标，进而求出函数表达式；求出直线y=x+3关于y轴的对称直线，再由对称直线与封闭图象的交点，可求出m的取值范围．
本题考查二次函数的图象和性质，利用直线y=x+3关于y轴的对称直线是解题的关键．
24.【答案】解：(1)设每个甲种纪念品的进阶是x元，则每个乙种纪念品的进价是(x-4)元，
由题意得：400x=240x-4，
解得：x=10，
经检验，x=10是原方程的解，且符合题意，
∴x-4=10-4=6，
答：每个甲种纪念品的进阶是10元，每个乙种纪念品的进价是6元；
(2)设该专卖店购进种纪念品m个，则购进乙种纪念品(400-m)个，
由题意得：10m+6(400-m)≤3000，
解得：m≤150，
设销售甲、乙两种纪念品获得的利润为w元，
由题意得：w=(13-10)m+(8-6)(400-m)=m+800，
∵1>0，
∴w随m的增大而增大，
∵m≤150，且m为正整数，
∴m的最大值是150，
∴当m=150时，w取最大值，w的最大值=150+800=950，
此时，400-m=400-150=250，
答：该专卖店购进种纪念品150个，乙种纪念品250个，获得的销售利润最大．
【解析】(1)设每个甲种纪念品的进阶是x元，则每个乙种纪念品的进价是(x-4)元，由题意：用400元购进甲种纪念品和用240元购进乙种纪念品的数量相同．列出分式方程，解方程即可；
(2)设该专卖店购进种纪念品m个，则购进乙种纪念品(400-m)个，由题意：专卖店计划用不超过3000元的资金购进甲、乙两种纪念品共400个，列出一元一次不等式，解得m≤150，再设销售甲、乙两种纪念品获得的利润为w元，由题意得出w关于m的一次函数，然后由一次函数的性质即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)找出数量关系，正确列出一元一次不等式和一次函数关系式．
25.【答案】解：(1)设抛物线的表达式为：y=a(x+1)(x-3)=a(x2-2x-3)，
则-3a=-32，则a=12，
则抛物线的表达式为：y=12x2+x-32①，
则抛物线的对称轴为x=1，
当x=1时，y=12x2+x-32=-2，
则点M(1,-2)；
(2)由y=kx-k=k(x-1)②，则直线过点(1,0)，设该点为T，
即点T分EF为1：4，则ET：FT=1：4或4：1，
如图，过点A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为：K、F，
则ETFT=KTFT=4或14，
设点E、F的坐标分别为：(m,12m2+m-32)、(n,12n2+n-32)，
联立①②并整理得：x2-(2+2k)x+2k-3=0，
则m+n=2+2k，mn=2k-3，
则m=k+1- k2+4，n=k+1+ k2+4，
当则ETFT=KTFT=4或14时，即1-mn-1=4或14，
则m+4n=5或4m+n=5，
当m+4n=5时，则m+4n=m+n+3n=2k+2+3(k+1+ k2+4)=5，
解得：k=-32(舍去正值)；
当4m+n=5时，
同理可得：k=32；
综上，k±32；
(3)∠EMF=90°为定值，理由：
过点M作x轴的平行线交过点E与y轴的平行线于点H，交过点E和y轴的平行线于点G，
由(2)知，m+n=2+2k，mn=2k-3，则(1-m)(n-1)=4，
则tan∠EMG=GEGM=12m2-m-32+21-m=12(1-m)，
同理可得：tan∠MFH=2n-1=12(1-m)=tan∠EMG，
即∠MFH=∠EMG，
∵∠MFH+∠FMH=90°，
∴∠EME+∠FHM=90°，
∴∠EMF=90°为定值．
【解析】(1)由待定系数法即可求解；
(2)由题意得，点T分EF为1：4，则ET：FT=1：4或4：1，得到ETFT=KTFT=4或14，进而求解；
(3)证明∠MFH=∠EMG，即可求解．
本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，解直角三角形等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度．
26.【答案】解：(1)在矩形ABCD中，∠B=∠C=90°，
∴∠AEB+∠EAB=90°，
∵∠AEF=90°，
∴∠AEB+∠FEC=90°，
∴∠EAB=∠FEC，
∴△ABE∽△ECF，
∴AB：EC=BE：CF=AE：EF，
在△AEF中，∠AEF=90°，tan∠EAF=12．
∴tan∠EAF=EFAE=12，
∴AB：EC=BE：CF=AE：EF=2：1，
∵AB=CD=6，
∴EC=3，
∵BC=8，
∴BE=5，
∴CF=2.5；
(2)∵BC=BE+EH+CH=8，EH=BE+HC，
∴EH=4，
如图1，过点F作FM⊥BC于点M，
同理可证△ABE∽△EMF，
∴AB：EM=BE：MF=AE：EF=2：1，
∴EM=3，HM=1，
设FM=a，
则BE=2a，
∴BH=4+2a；
∵FM⊥BC，
∴∠B=∠FMH=90°，
∴FM//AB，
∴△FHM∽△AHB，
∴FM：AB=HB：BH，即a：6=1：(4+2a)，
解得a=1或a=-3(舍)，
∴BE=2，
∴tan∠BAE=BEAB=13；
(3)当点F在CD上时，EC=3，CF=2.5，显然不合题意；
当点F不在CD上时，需要分两种情况：
①当点F在矩形ABCD内部时，此时EF=CF，
如图2，过点F作FM⊥BC于点M，
∴点M是EC的中点，
∴EM=CM=3，
∴BE=2；
②当点F不在矩形ABCD内部时，此时CE=FC，
如图3，过点F作FN⊥BC交BC的延长线于点N，
由上可知△ABE∽△ENF，
∴AB：EN=BE：FN=AF：EF=2：1，
∴EN=3，
设FN=a，则BE=2a，
∴EC=8-2a，CN=3-(8-2a)=2a-5，
∴CF=CE=8-2a，
在Rt△FCN中，∠N=90°，
利用勾股定理可得，a2+(2a-5)2=(8-2a)2，
解得a=-6-5 3(舍)或a=-6+5 3，
此时BE=2a=-12+10 3．
故答案为：2或-12+10 3．
【解析】(1)由题意可证明△ABE∽△ECF，所以AB：EC=BE：CF=AE：EF=2：1，由AB=6，可得CE，BE及CF的长；
(2)由题意可知，EH=4，过点F作FM⊥BC于点M，由上易得△ABE∽△EMF，所以AB：EM=BE：MF=AE：EF=2：1，设FM=a，则BE=2a，由题意可知△FHM∽△AHB，所以FM：AB=HB：BH，代入建立关于a的方程，解之即可；
(3)根据题意需要分情况讨论：当点F在CD上时，当点F不在CD上，分别根据等腰三角形的性质，列出方程即可．
本题属于四边形综合题，主要考查相似三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，勾股定理等相关知识，分类讨论思想等内容，解题关键是进行正确的分类讨论，建立关于a的方程．
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