湖南省怀化市麻阳苗族自治县锦江中学2023-2024学年九年级上册期中数学试题（含解析）

这是一份湖南省怀化市麻阳苗族自治县锦江中学2023-2024学年九年级上册期中数学试题（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．把一元二次方程（1﹣x）（2﹣x）=3﹣x2化成一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）其中a、b、c分别为（ ）
A．2、3、﹣1B．2、﹣3、﹣1C．2、﹣3、1D．2、3、1
2．在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
3．若反比例函数（）的图象经过点，则k的值是（ ）
A．2B．C．D．
4．如图，点D在△ABC的边AC上，要判断△ADB与△ABC相似，添加一个条件，不正确的是（ ）
A．∠ABD=∠CB．∠ADB=∠ABCC．D．
5．已知反比例函数y=﹣，则下列有关该函数的说法正确的是（ ）
A．该函数的图象经过点（2，2）B．该函数的图象位于第一、三象限
C．当x＞0时，y的值随x的增大而增大D．当x＞﹣1时，y＞4
6．若是方程的两个根，则（ ）
A．B．C．D．
7．近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年月份售价为万元，月份售价为万元．设该款汽车这两月售价的月均下降率是，则所列方程正确的是 )
A．B．
C．D．
8．如图，在中，点D在边上，过点D作，交于点E．若，则的值是（ ）

A．B．C．D．
9．如图，在长为，宽为的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是，则小路的宽是（ ）

A．B．C．或D．
10．如图，，，点在边上（与，不重合），四边形为正方形，过点作，交的延长线于点，连接，交于点，给出以下结论：
①；
②；
③；
④如果，，则．
其中正确的结论的个数是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分．
11．已知关于x的方程可以配方成，则 ．
12．若点和点都在反比例函数的图象上，则 ．（用“”“”或“”填空）
13．设x1、x2是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ．
14．如图，在平面直角坐标系中，的边在y轴上，点C在第一象限内，点B为的中点，反比例函数的图象经过B，C两点．若的面积是6，则k的值为 ．

15．已知三角形两边的长分别是4和3，第三边的长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的面积是 ．
16．若两个相似三角形的面积的比为，则这两个三角形的对应边的中线之比为 ．
17．如图所示的小孔成像问题中，光线穿过小孔，在竖直的屏幕上形成倒立的实像．若像的长度，点O到的距离是，到的距离是3cm，则蜡烛的高度为 ．
18．如图，在反比例函数的图象上，有点它们的横坐标依次为1，2，3，4．分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，则 ．

三、解答题：（本题共7小题，共66分）
19．解方程：
(1)；
(2)．
20．已知关于的方程．
(1)求证：无论取何值，这个方程总有实数根；
(2)若等腰三角形的一边长，另两边、恰好是这个方程的两个根，求的周长．
21．某造纸厂为节约木材，实现企业绿色低碳发展，通过技术改造升级，使再生纸项目的生产规模不断扩大．该厂3，4月份共生产再生纸800吨，其中4月份再生纸产量是3月份的2倍少100吨．
(1)求4月份再生纸的产量；
(2)若4月份每吨再生纸的利润为1000元，5月份再生纸产量比上月增加．5月份每吨再生纸的利润比上月增加，则5月份再生纸项目月利润达到66万元．求的值；
(3)若4月份每吨再生纸的利润为1200元，4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率与6月份再生纸产量比上月增长的百分数相同，6月份再生纸项目月利润比上月增加了．求6月份每吨再生纸的利润是多少元？
22．如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上，已知DE＝0.5米，EF＝0.25米，目测点D到地面的距离DG＝1.5米，到旗杆的水平距离DC＝20米，求旗杆的高度．
23．如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N．
（1）求证：△ABM∽△EFA；
（2）若AB=12，BM=5，求DE的长．
24．如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=（x＞0）的图象交于点P（n，2），与x轴交于点A（-4，0），与y轴交于点C，PB⊥x轴于点B，且AC=BC．
（1）求一次函数、反比例函数的解析式；
（2）根据图象直接写出kx+b＜的x的取值范围；
（3）反比例函数图象上是否存在点D，使四边形BCPD为菱形？如果存在，求出点D的坐标；如果不存在，说明理由．
25．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线于对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．
（1）如图1，在△ABC中，CD为角平分线，∠A=40°，∠B=60°，求证：CD为△ABC的完美分割线．
（2）在△ABC中，∠A=48°，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD为等腰三角形，求∠ACB的度数．
（3）如图2，△ABC中，AC=2，BC=，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长．
参考答案与解析
1．B
【详解】试题解析：原方程可整理为：

∴a=2，b=−3，c=−1；
故选B.
点睛：
2．A
【分析】分两种情况讨论：当时，可排除B；当时，排除C、D．
【详解】解：当时，反比例函数过一三象限，一次函数与y轴正半轴有交点，过一二三象限，故A正确，排除B；
当时，反比例函数过二四象限，一次函数与y轴负半轴有交点，过二三四象限，排除C、D；
故选：A．
【点睛】本题考查反比例函数、一次函数综合问题，掌握数形结合的思想是关键．
3．B
【分析】把点代入反比例函数解析式即可得到答案．
【详解】解：∵反比例函数（）的图象经过点，
∴，
解得，
故选：B
【点睛】此题考查了反比例函数，把点的坐标代入函数解析式准确计算是解题的关键．
4．C
【分析】由∠A是公共角，利用有两角对应相等的三角形相似，即可得A与B正确；又由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，即可得D正确，继而求得答案，注意排除法在解选择题中的应用．
【详解】∵∠A是公共角，
∴当∠ABD=∠C或∠ADB=∠ABC时，△ADB∽△ABC（有两角对应相等的三角形相似），故A与B正确，不符合题意要求；
当AB：AD=AC：AB时，△ADB∽△ABC（两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似），故D正确，不符合题意要求；
AB：BD=CB：CD时，∠A不是夹角，故不能判定△ADB与△ABC相似，故C错误，符合题意要求，
故选：C．
5．C
【详解】∵当x＝2时，y＝-2,故不正确；
∵-4<0, ∴该函数的图象位于第二、四象限，故不正确；
∵该函数的图象位于第二、四象限，∴当x＞0时，y的值随x的增大而增大 ，故正确；
∵当x＞﹣1时，y<4, 故不正确；
故选C.
6．A
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系即可得．
【详解】解：方程中的，
是方程的两个根，
，，
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．
7．B
【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用；首先根据月份售价为万元，月均下降率是可得出月份的售价为万元，月份的售价为万元，据此根据月份售价为万元可列出方程，进而可得出答案．
【详解】解：月份售价为万元，月均下降率是，月份售价为万元，
．
故选：B．
8．A
【分析】利用平行线分线段成比例定理的推论得出，即可求解．
【详解】解：∵中，，
∴，
∵
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理的推论，解题关键是牢记“平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得对应线段成比例”．
9．A
【分析】设小路宽为，则种植花草部分的面积等于长为，宽为的矩形的面积，根据花草的种植面积为，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【详解】解：设小路宽为，则种植花草部分的面积等于长为，宽为的矩形的面积，
依题意得：
解得：，（不合题意，舍去），
∴小路宽为．
故选A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
10．D
【分析】①由正方形的性质得出，，证出，证明，得出；②证明四边形是矩形，得出；③由等腰三角形的性质和矩形的性质得出；④证出，得出对应边成比例，得出．
【详解】∵四边形为正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，
①正确；
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
②正确；
∵，，
∴，
③正确；
∵，，
∴，
∴，
∴，
即，
④正确；
故选：D
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、矩形的判定与性质等，熟练掌握相关知识点的性质与判定方法是解题关键．
11．1
【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，求代数式的值，先将原方程配方，根据对应系数相等求出m，n，进而求出代数式的值．
【详解】将方程配方，得
，
根据题意，得，，
解得．
∴代数式．
故答案为：1．
12．
【分析】把和分别代入反比例函数中计算y的值，即可做出判断．
【详解】解：∵点和点都在反比例函数的图象上，
∴令，则；
令，则，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，计算y的值是解题的关键．
13．7
【详解】解：由题意得，x1+x2=3，x1x2=-2，
所以x12+3x1x2+x22
=(x1+x2)2+x1x2
=32+(-2)
=9-2
=7
故答案为7．
14．4
【分析】过B，C两点分别作y轴的垂线，垂足分别为D，E，设B点坐标为，则，由点B为的中点，推出C点坐标为，求得直线的解析式，得到A点坐标，根据的面积是6，列式计算即可求解．
【详解】解：过B，C两点分别作y轴的垂线，垂足分别为D，E，

∴，
∴，
∴，
设B点坐标为，则，
∵点B为的中点，
∴，
∴，
∴C点坐标为，
设直线的解析式为，
∴，解得，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴A点坐标为，
根据题意得，
解得，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质、相似三角形的判定及性质、求一次函数解析式、坐标与图形，解题关键是熟练掌握反比例函数的性质及相似三角形的性质．
15．或6##6或
【分析】本题考查一元二次方程的解法、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的判定（勾股定理的逆定理）等．先解一元二次方程求出该方程的实数根，再根据三角形的三边关系定理得出第三边，然后得出这个三角形是直角三角形或等腰三角形，最后利用三角形的面积公式即可得．
【详解】解：，
因式分解得，
解得或，
三角形两边的长分别是4和3，
第三边取值范围为：，即，
第三边长度为3或5．
分两种情况：
当这个三角形的三边长分别为3，3，4，即为等腰三角形，
如图，中，，，作于点D，
，
，
；
当这个三角形的三边长分别为3，4，5，
，
这个三角形是直角三角形，且直角边的边长为3和4，
这个三角形的面积为，
综上可知，这个三角形的面积为或6，
故答案为：或6．
16．1∶2
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，先根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求出相似比，再根据相似三角形的中线比等于相似比得出答案．
【详解】∵两个相似三角形的面积比为，
∴这两个相似三角形的相似比为，
∴这两个相似三角形的对应边中线之比为．
故答案为：．
17．8
【分析】本题主要考查了相似三角形性质的应用，根据相似三角形的对应边的比等于对应高的比列出比例式，再求出解即可．
【详解】根据题意，得，
即，
解得．
故答案为：8．
18．
【分析】根据反比例函数的几何意义，可知图中所构成的阴影部分的总面积正好是从点向轴、轴引垂线构成的长方形面积减去最下方的长方形的面积，据此作答．
【详解】解：∵反比例函数的图象上，有点它们的横坐标依次为1，2，3，4．
∴可得点、、、坐标分别为：，，，．
，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了反比例函数中的几何意义，即过双曲线上任意一点引轴、轴垂线，所得矩形面积为，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解的几何意义．
19．(1)；
(2)．
【分析】（1）利用完全平方式整理等式左边、再移项然后用平方差公式进行因式分解、最后分别令两个一次式为0，解方程即可；
（2）对等式右边利用平方差公式进行整理、移项后利用提公因式法进行因式分解、最后分别令两个一次式为0，求解方程即可．
【详解】（1）解：原方程可化为，
移项得：，
分解因式得：，
即，
∴或，
∴．
（2）原方程可化为，
移项得：，
分解因式得：，
∴或，
∴
【点睛】本题考查了解一元二次方程——因式分解；熟练掌握因式分解法、正确求解方程是解题的关键．
20．(1)见解析
(2)
【分析】（1）运用根的判别式，根与系数的关系，平方数的非负性进行判断即可求证；
（2）根据等腰三角形的性质，分类讨论，①当时，即方程两根相等；②当或者时，即是原方程的一个根；根据根与方程的关系即可求解．
【详解】（1）解：在关于的方程中，，，，
∴
∵
∴无论取何值，方程总有实数根．
（2）解：是等腰三角形，一边长，另外两边分别为，，且、恰好是这个方程的两个根，
①当时，即方程两根相等，
∴，解得，方程可化为：，解得，
∴三边为长分别为，，，
∵，不符合三角形三边关系，不能构成三角形，故舍去；
②当或者时，即是原方程的一个根，
把代入得，，解得，，
∴原方程可化为：，解得：或，即的一边长为，另一边长为，
∴．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的方法的综合，掌握一元二次方程根的判别式，等腰三角形的性质与方程的根的关系等知识是解题的关键．
21．(1)4月份再生纸的产量为500吨
(2)的值20
(3)6月份每吨再生纸的利润是1500元
【分析】（1）设3月份再生纸产量为吨，则4月份的再生纸产量为吨，然后根据该厂3，4月份共生产再生纸800吨，列出方程求解即可；
（2）根据总利润=每一吨再生纸的利润×数量列出方程求解即可；
（3）设4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率为，5月份再生纸的产量为吨，根据总利润=每一吨再生纸的利润×数量列出方程求解即可；
【详解】（1）解：设3月份再生纸产量为吨，则4月份的再生纸产量为吨，
由题意得：，
解得：，
∴，
答：4月份再生纸的产量为500吨；
（2）解：由题意得：，
解得：或（不合题意，舍去）
∴，
∴的值20；
（3）解：设4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率为，5月份再生纸的产量为吨，
∴
答：6月份每吨再生纸的利润是1500元．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，一元二次方程的应用，正确理解题意，列出方程求解是解题的关键．
22．旗杆的高度为11.5m
【分析】根据相似三角形的性质列式计算即可；
【详解】解：由题意可得：△DEF∽△DCA，
则，
∵DE＝0.5米，EF＝0.25米，DG＝1.5m，DC＝20m，
∴，
解得：AC＝10，
故AB＝AC+BC＝10+1.5＝11.5（m）．
答：旗杆的高度为11．5m．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质应用，准确分析计算是解题的关键．
23．（1）证明见解析；（2）4.9
【分析】（1）由正方形的性质得出AB=AD，∠B=90°，AD∥BC，得出∠AMB=∠EAF，再由∠B=∠AFE，即可得出结论；
（2）由勾股定理求出AM，得出AF，由△ABM∽△EFA得出比例式，求出AE，即可得出DE的长．
【详解】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠B=90°，AD∥BC，
∴∠AMB=∠EAF，
又∵EF⊥AM，
∴∠AFE=90°，
∴∠B=∠AFE，
∴△ABM∽△EFA；
（2）∵∠B=90°，AB=12，BM=5，
∴AM==13，AD=12，
∵F是AM的中点，
∴AF=AM=6.5，
∵△ABM∽△EFA，
∴，
即，
∴AE=16.9，
∴DE=AE－AD=4.9．
【点睛】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
24．（1）y＝x+1；y＝；（2）0＜x＜4；（3）存在；D（8，1）．
【分析】（1）先根据题意得出P点坐标，再将A、P两点的坐标代入y=kx+b求出kb的值，故可得出一次函数的解析式，把点P（4，2）代入反比例函数y=即可得出m的值，进而得出结论；
（2）利用图象法，写出反比例函数图象想一次函数图象的上方的自变量的取值范围即可；
（3）根据PB为菱形的对角线与PC为菱形的对角线两种情况进行讨论即可．
【详解】（1）∵AC＝BC，CO⊥AB，A（﹣4，0），
∴O为AB的中点，即OA＝OB＝4，
∴P（4，2），B（4，0），
将A（﹣4，0）与P（4，2）代入y＝kx+b得：，
解得：，
∴一次函数解析式为y＝x+1，
将P（4，2）代入反比例解析式得：m＝8，即反比例解析式为y＝．
（2）观察图象可知，kx+b＜时，x的取值范围0＜x＜4．
（3）如图所示，
∵点C（0，1），B（4，0）
∴BC＝，PC＝，
∴以BC、PC为边构造菱形，
当四边形BCPD为菱形时，
∴PB垂直且平分CD，
∵PB⊥x轴，P（4，2），
∴点D（8，1）．
把点D（8，1）代入y＝，得左边＝右边，
∴点D在反比例函数图象上．，
∵BC≠PB，
∴以BC、PB为边不可能构造菱形，
同理，以PC、PB为边也不可能构造菱形．
综上所述，点D（8，1）．
【点睛】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，坐标与图形性质，等腰三角形的性质，菱形的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
25．（1）证明见解析；（2）∠ACB=96°或114°；（3）．
【分析】（1）根据完美分割线的定义只要证明①△ABC不是等腰三角形，②△ACD是等腰三角形，③△BDC∽△BCA即可．
（2）分三种情形讨论即可①如图2，当AD=CD时，②如图3中，当AD=AC时，③如图4中，当AC=CD时，分别求出∠ACB即可．
（3）设BD=x，利用△BCD∽△BAC，得，列出方程即可解决问题．
【详解】（1）如图1中，∵∠A=40°，∠B=60°，∴∠ACB=80°，∴△ABC不是等腰三角形，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD=∠ACB=40°，∴∠ACD=∠A=40°，∴△ACD为等腰三角形，∵∠DCB=∠A=40°，∠CBD=∠ABC，∴△BCD∽△BAC，∴CD是△ABC的完美分割线．
（2）①当AD=CD时，如图2，∠ACD=∠A=45°，∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD=∠A=48°，∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=96°．
②当AD=AC时，如图3中，∠ACD=∠ADC=（180°-48°）÷2=66°，∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD=∠A=48°，∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=114°．
③当AC=CD时，如图4中，∠ADC=∠A=48°，∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD=∠A=48°，∵∠ADC＞∠BCD，矛盾，舍弃，∴∠ACB=96°或114°．
（3）由已知AC=AD=2，∵△BCD∽△BAC，∴设BD=x，∴），∵x＞0，∴x=，∵△BCD∽△BAC，∴=，∴CD=×2=．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会分类讨论思想，属于中考常考题型．