湖南省新化县上渡街道中心学校2023-2024学年九年级上学期期中数学试题（含解析）

这是一份湖南省新化县上渡街道中心学校2023-2024学年九年级上学期期中数学试题（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10个小题，每小题3分，共30分）
1．若反比例函数的图象经过点，则的值为（ ）
A．2B．C．3D．
2．已知某一元二次方程的两根为，则此方程可能是（ ）
A．B．C．D．
3．若方程没有实数根，则k值可以是（ ）
A．B．C．D．
4．设a，b是方程 x2+x﹣2021＝0的两个实数根，则 a2+b2+a+b的值是（ ）
A．0B．2020C．4040D．4042
5．下列说法正确的是（ ）
A．有一个角等于的两个等腰三角形相似B．两个菱形一定相似
C．有一个角等于的两个等腰三角形相似D．相似三角形一定不是全等三角形
6．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压（单位：）是气体体积（单位：）的反比例函数，其图象如图所示．当气球内的气压大于时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应（ ）
A．不小于B．不小于C．小于D．小于
7．如图，在平行四边形中，点在边上，，连接交点，则的周长与的周长之比为（ ）

A．B．C．D．
8．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），则下列结论中正确的是（ ）
A．AB2＝AP2+BP2B．BP2＝AP•BA
C．D．
9．如图，中，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）
A．B．C．D．
10．如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，，若点A在反比例函数的图象上，则经过点B的反比例函数解析式为（ ）

A．B．C．D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．已知函数是反比例函数，则k的值为 ．
12．写出一个以和为两根的一元二次方程： ．
13．反比例函数的图象在第一、三象限，则的取值范围是 ．
14．如图，直线AD，BC交于点O，.若，，.则的值为 ．

15．关于x的一元二次方程的两个根分别是与，则 ．
16．已知三个边长分别为4、5、9的正方形如图排列，则图中阴影部分面积为 ．

三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．解方程：
(1)；
(2)．
18．化简求值：，已知．
19．如图，在中，，若，求的长．
20．关于x的方程
(1)若方程的一个根为2，求k的值；
(2)若方程无实数根，求k的取值范围．
21．小明要把一篇文章录入电脑，完成录入的时间（分）与录入文字的速度（字/分）之间的函数关系如图．
(1)求与之间的函数关系式；
(2)小明在19:20开始录入，要求完成录入时不超过19:35，小明每分钟至少应录入多少个字？
22．改造老旧小区，建设仁和宜居新环境．某市2021年投入资金500万元，2023年投入资金720万元，现假定每年投入资金的增长率相同．

(1)求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率．
(2)2023年老旧小区改造的平均费用为每个80万元．2024年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加．如果投入资金的年平均增长率保持不变，求该市在2024年最多可以改造多少个老旧小区？
23．如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE=60°．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）若BD=3，CE=2，求△ABC的边长．
24．如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象交于点，．
(1)分别求出两个函数的解析式；
(2)连接，，求的面积；
(3)点是反比例函数上一点，轴交直线于，且，求点的坐标．
25．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，BE平分∠ABC．BE分别与AC，CD相交于点E，F．
（1）求证：△AEB∽△CFB；
（2）求证：；
（3）若CE＝5，EF＝2，BD＝6．求AD的长．
答案与解析
1．D
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据反比例函数图象上点的坐标特征得到，然后求解即可．
【详解】解：根据题意得：，
解得．
故选D．
2．D
【分析】根据求根公式，反推出一元二次方程各项的系数，即可求解．
【详解】解：设一元二次方程为（），
则方程的根为，
又因为 ，
则，，，
所以一元二次方程为．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的求根公式，解题的关键是利用求根公式得到一元二次方程各项的系数．
3．B
【分析】利用一元二次方程根的判别式，即可求解．
【详解】解：∵方程没有实数根，
∴，
解得：，
∵
∴值可以是．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根是解题的关键．
4．D
【分析】根据一元二次方程的解及根与系数的关系可得出a+b=-1，ab=-2021，将其代入 a2+b2+a+b =（a+b）2+（a+b）-2ab中即可求出结论．
【详解】解：∵a，b是方程x2+x-2020=0的两个实数根，
∴a+b=-1，ab=-2021
∴a2+b2+a+b =（a+b）2+（a+b）-2ab=1-1+4042=4042．
故选：D．
【点睛】本题考查了根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系找出a+b=-1，ab=-2021是解题的关键．
5．A
【分析】根据相似图形和相似三角形的判定逐一进行判断即可．
【详解】解：A、有一个角等于105°的两个等腰三角形相似，选项说法正确，符合题意；
B、四边对应相等，四角对应相等的两个菱形一定相似，选项说法错误，不符合题意；
C、当的角分别为一个等腰三角形的顶角，和一个等腰三角形的底角时，两个等腰三角形不相似，选项说法错误，不符合题意；
D、相似三角形的相似比为1时，相似三角形全等，选项说法错误，不符合题意；
故选A．
【点睛】本题考查相似图形和相似三角形的判断．熟练掌握相似图形的定义，相似三角形的判定，是解题的关键．
6．B
【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，求反比例函数的解析式，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解反比例函数解析式的方法和步骤，设该反比例函数的解析式为，把代入求出，得出该反比例函数的解析式为，再把代入求出，根据反比例函数的增减性，即可解答．
【详解】解：设该反比例函数的解析式为，
把代入得：，
解得：，
∴该反比例函数的解析式为，
把代入得：，
解得：，
∵，
∴在第一象限内，p随V的增大而减小，
∴为了安全起见，气球的体积应不小于，
故选：B．
7．B
【分析】根据平行四边形的性质可证明，再由相似三角形的周长之比等于相似比即可得出答案．
【详解】解：∵四边形为平行四边形，
∴，，
，
，
∴，
与的相似比为，
∵，
∴，
∴，
根据的周长与的周长之比等于与的相似比可得，
故选：B．
【点睛】本题考查平行四边形的性质以及相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的周长之比等于相似比是解决问题的关键．
8．D
【分析】根据黄金分割的定义分别进行判断．
【详解】解：P为AB的黄金分割点（AP＞PB）可得AP2＝AB•PB或．
故选：D．
【点睛】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中ACAB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．
9．C
【分析】根据相似三角形的判定逐项进行分析即可．此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握判定三角形相似的方法是解题的关键．
【详解】解：A、阴影三角形与原三角形有两个角对应相等，故两三角形相似，
故本选项不符合题意；
B、阴影三角形与原三角形有两个角对应相等，故两三角形相似，
故本选项不符合题意；
C、两三角形的两对应边成比例，但夹角不相等，故两三角形不相似，
故本选项符合题意；
D、阴影三角形中，的两边分别为，则两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，
故本选项不符合题意．
故选：C．
10．A
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质以及反比例函数的性质，正确得出是解题的关键．直接利用相似三角形的判定和性质得到，，进而得出即可得到答案．
【详解】解：过点作轴于点，过点作于点，
，
，
，
，
，
，
，
，
点A在反比例函数的图象上，
，
，
∴
经过点B的反比例函数在第二象限，
反比例函数的函数解析式：．

故选A．
11．1
【分析】根据反比例函数的定义，从x的指数，比例系数的非零性两个角度思考求解即可．
【详解】解：∵是反比例函数，
∴且，
解得：，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的系数特点、指数特点是解题的关键．
12．（答案不唯一）
【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的定义，利用确定一元二次方程即可．
【详解】解：一个以和为两根的一元二次方程，
即，
令，
此时方程为：．
故答案为：（答案不唯一）．
13．
【分析】根据反比例函数的图象在第一、三象限可知，即可得出答案．
【详解】解：∵反比例函数的图象在第一、三象限，
∴，
∴；
故答案为：
【点睛】本题考查反比例函数的图象，解题的关键是理解时反比例函数图象在一、三象限；时反比例函数图象在二、四象限．
14．
【分析】由平行线分线段成比例可得，，，得出，，从而.
【详解】， ，，
，
，
，
，
；
故答案为：.
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例的知识点，根据平行线分线段成比例找出线段之间的关系是解决本题的关键.
15．2
【分析】利用直接开平方法解方程得到方程的两根互为相反数，则，则可计算出即可．
【详解】解：根据题意得，
解得，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法：形如或的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
16．
【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质．熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．如图，先证明，则，可得，，证明，则，可得，，根据，计算求解即可．
【详解】解：如图，，

由正方形的性质可知，，
∵，
∴，则，即，解得，，
，则，即，解得，，
∴，
故答案为：．
17．(1)，
(2)，
【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
（1）先移项再进行配方求解即可；
（2）先移项再因式分解求出答案．
【详解】（1）解：移项，得，
配方，得，
，
由此可得，
，．
（2）解：，
，
或，
，．
18．
【分析】本题考查分式的化简求值，明确分式化简的方法是解题关键．根据分式的减法和除法化简，然后根据得到，代入求值．
【详解】解：原式
，
，
，
当时，原式．
19．．
【分析】根据平行线分线段成比例定理解答即可．
【详解】解：∵，且，
∴，即，
解得：，
∴．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，找准线段的对应关系是解答本题的关键．
20．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键．
（1）将代入方程，得到关于的新方程，解方程即可；
（2）方程无实数根即，列出不等式解题即可．
【详解】（1）解：把代入，得
化简得
解得；
即k的值为．
（2）解：关于x的方程无实数根，
．
解得．
21．(1)
(2)小明每分钟至少录入100个字
【分析】（1）直接运用待定系数法求解即可；
（2）先求出完成时间y对应x的取值，然后再根据反比例函数的性质解答即可．
【详解】（1）解：设，把代入得，，解得，
∴与的函数表达式为．
（2）解：∵当时，，
∵，在第一象限内，随的增大而减小，
∴小明录入文字的速度至少为100字/分．
答：小明每分钟至少录入100个字．
【点睛】本题主要考查了求反比例函数解析式、反比例函数与实际问题等知识点，掌握反比例函数的增减性是解答本题的关键．
22．(1)该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为
(2)该市在2024年最多可以改造9个老旧小区
【分析】（1）设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为x，根据等量关系列出一元二次方程并解方程即可求解．
（2）设该市在2024年可以改造y个老旧小区，根据不等关系列出一元一次不等式并解不等式即可求解．
【详解】（1）解：设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为x，
依题意，得，
解得，（不合题意，舍去），
答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为．
（2）设该市在2024年可以改造y个老旧小区．
依题意，得，
解得：，
又∵y为整数，
∴y的最大值为9，
答：该市在2024年最多可以改造9个老旧小区．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用及一元一次不等式的应用，理清题意，根据等量关系列出一元二次方程及根据不等关系列出一元一次不等式是解题的关键．
23．（1）证明见解析；（2）9．
【分析】（1）由∠ADE=60°，可证得△ABD∽△DCE；可用等边三角形的边长表示出DC的长，
（2）由（1）根据相似三角形的对应边成比例，求得△ABC的边长．
【详解】解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，
∴∠BAD+∠ADB=120°，
∵∠ADE=60°，
∴∠ADB+∠EDC=120°，
∴∠DAB=∠EDC，
又∵∠B=∠C=60°，
∴△ABD∽△DCE；
（2）∵AB=BC；
∴CD=BC﹣BD=AB﹣3；
∵△ABD∽△DCE，
∴，
∴，
解得AB=9．
【点睛】本题考查1．相似三角形的判定与性质；2．等边三角形的性质．
24．(1)，
(2)
(3)或
【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的综合，熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤，以及反比例函数k值的几何意义，是解题的关键．
（1）把代入求出m的值，即可得出反比例函数的解析式为，把代入，求出点D的坐标， 最后把，代入，求出k和b的值，即可得出一次函数的解析式为；
（2）过点C作轴于点E，交于点G，过点D作轴于点F，易得，则，进而推出，根据梯形面积公式，即可求解；
（3）设点，则点Q的纵坐标为，进而得出点Q横坐标，根据，得出，求解即可．
【详解】（1）解：把代入得：，
∴反比例函数的解析式为，
把代入得：，
∴，
把，代入得：
，
解得：，
∴一次函数的解析式为；
（2）解：过点C作轴于点E，交于点G，过点D作轴于点F，
∵点C和点D在反比例函数图象上，
∴，
∴，即，
∴，
∵，，
∴，
∴．
（3）解：设点，
∵轴，
∴点Q的纵坐标为，
把代入得：，
解得：，
∵，
∴，
①当时，整理得：，
该方程无解，
②当时，整理得：，
解得：，
∴或．
25．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）
【分析】（1）结合直角三角形两锐角互余、角平分线的性质，根据两角对应相等两三角形相似即可完成证明；
（2）首先证明CE＝CF，利用相似三角形的性质即可解决问题；
（3）解直角三角形求出FH，CH，利用相似三角形的性质求出DF，再根据相似三角形的性质计算，即可得到答案．
【详解】∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，
∵CD为AB边上的高，
∴∠ADC＝∠CDB＝90°，
∴∠A+∠ACD＝90°，
∴∠A＝∠BCD，
∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴△AEB∽△CFB．
（2）结合（1）的结论，得：∠ABE＝∠CBE，∠A＝∠BCD，
∴∠CFE＝∠BCD+∠CBE＝∠A+∠ABE，
∵∠CEF＝∠A+∠ABE，
∴∠CEF＝∠CFE，
∴CE＝CF，
∵△AEB∽△CFB，
∴＝，
∴＝．
（3）如图，作CH⊥EF交EF于点H
∵CE＝CF，CH⊥EF，
∴EH=FH==，
∴CH＝＝＝2，
∵，
∴△BFD∽△CFH，
∴＝，
∴＝，
∴DF＝3
∴CD＝CF+DF＝CE+DF＝5+3＝8，
∵∠A＝∠BCD，
∴△ACD∽△CBD，
∴＝，
∴＝，
∴AD＝．
【点睛】本题考查了直角三角形、相似三角形、角平分线、等腰三角形、勾股定理的知识；解题的关键是熟练掌握直角三角形两锐角互余、相似三角形、角平分线、三角形外角、等腰三角形、勾股定理的性质，从而完成求解．