2023-2024学年湖南省怀化市溆浦县圣达学校九年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年湖南省怀化市溆浦县圣达学校九年级（上）期中数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列方程中，关于x的一元二次方程是( )
A. x2+2x=x2−1B. ax2+bx+c=0
C. 3(x+1)2=2(x+1)D. 1x2+1x−2=0
2.下列函数不是反比例函数的是( )
A. y=2023xB. y=2023x−1C. xy=2023D. y=−x2023
3.下列各点中，在反比例函数y=3x图象上的是( )
A. (3,1)B. (−3,1)C. (3,13)D. (13,3)
4.已知反比例函数y=−5x，则下列描述正确的是( )
A. 图象位于第一、三象限B. y随x的增大而增大
C. 图象不可能与坐标轴相交D. 图象必经过点(32,−53)
5.用配方法解一元二次方程x2−6x−10=0时，下列变形正确的为( )
A. (x+3)2=1B. (x−3)2=1C. (x−3)2=19D. (x+3)2=19
6.若ab<0，则正比例函数y=ax与反比例函数y=bx在同一坐标系中的大致图象可能是图中的( )
A. B.
C. D.
7.如图，已知l1//l2//l3，它们依次交直线l4、l5于点A、B、C和点D、E、F，如果DE：DF=3：5，AC=12，那么BC的长等于( )
A. 2B. 4C. 245D. 365
8.已知点P是线段AB的黄金分割点(AP>PB)，AB=4，那么AP的长是( )
A. 2 5−2B. 2− 5C. 2 5−1D. 5−2
9.反比例函数y=6x图象上有三个点(x1,y1)，(x2,y2)，(x3,y3)，其中x1A. y110.如图，△OA1B1，△A1A2B2，△A2A3B3，……是分别以B1，B2，B3，…为直角顶点，斜边在x轴正半轴上的等腰直角三角形，其直角顶点B1(x1,y1)，B2(x2,y2)，B3(x3,y3)，…均在反比例函数y=4x(x>0)的图象上，则y1+y2+…+y10的值为( )
A. 2 10
B. 6
C. 4 2
D. 2 7
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.若ab=23，则aa+b=______．
12.已知一元二次方程x2+6x+m=0有两个相等的实数根，则m的值为______．
13.已知关于x的一元二次方程(a−1)x2−2x+a2−1=0有一个根为x=0，则a=______．
14.如图，有一面积为75m2的长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，另四边用竹篱笆围成，竹篱笆总长为30m，设AB为x m，则可列方程为______ ．
15.如果一个正比例函数的图象与反比例函数y=−5x的图象交于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点，那么(x2−x1)(y2−y1)的值为______．
16.如图，在平面直角坐标系中，点A在第二象限内，点B在x轴上，∠AOB=30°，AB=BO，反比例函数y=kx(x<0)的图象经过点A，若S△ABO= 3，则k的值为______ ．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
解一元二次方程：
(1)(x+1)(x+3)=15
(2)(y−3)2+3(y−3)+2=0．
18.(本小题6分)
已知反比例函数y=m−3x(m为常数，且m≠3)；
(1)若在其图象的每一个分支上，y随x增大而减小，求m的取值范围；
(2)若点A(2,32)在该反比例函数的图象上，求m的值．
19.(本小题6分)
如图，在△ABC中，D为AC上一点，且CDAD=12，过点D作DE/​/BC交AB于点E，连结CE，过点D作DF/​/CE交AB于点F.若AB=15，求EF的长．
20.(本小题8分)
已知关于x的一元二次方程x2−(m−3)x−m=0
(1)求证：方程有两个不相等的实数根；
(2)如果方程的两实根为x1、x2，且x12+x22−x1x2=7，求m的值．
21.(本小题8分)
网购已经成为一种时尚，某网络购物平台“双十一”全天交易额逐年增长，2020年交易额为500亿元，2022年交易额为720亿元．
(1)2020年至2022年“双十一”交易额的年平均增长率是多少？
(2)若保持原来的增长率，试计算2023年该平台“双十一”的交易额将达到多少亿元？
22.(本小题9分)
如图，一次函数y1=kx+b(k≠0)和反比例函数y2=mx(m≠0)的图象交于点C(4,−3)，E(−3,4)两点，一次函数图象交y轴于点A．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)连接OC，OE，求△COE的面积；
(3)根据图象直接写出y1>y2时，x的取值范围．
23.(本小题9分)
杭州第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日举行，某商店销售亚运会文化衫，每件进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不超过30%.试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300件，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10件.设每天销售量为y件，销售单价上涨x元．
(1)则y与x的函数关系式是______ ．
(2)每件文化衫销售单价是多少元时，商店每天获利2400元？
24.(本小题10分)
定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A(a,b)，B(c,d)，若点T(x,y满足x= |ac|，y= |bd|，那么称点T是点A、B的“和美点”．
(1)已知A(−1,8)，B(4,−2)，C(2,4).请判断点C______(填“是”或“不是”)A、B两点的“和美点”．
(2)平面直角坐标系中，有四个点A (8,−1)，B(2,−4)，C(−3,5)，D(12,5)，点P是点A、B的“和美点”，点Q是点C、D的“和美点”.求过P、Q两点的直线解析式．
(3)若反比例函数y=4x图象上有两点A、B，点T是点A、B的“和美点”，试问点T的横、纵坐标的积是否为常数？若是常数，请求出这个常数；若不是常数，请说明理由．
25.(本小题10分)
如图，一次函数y=12x+1的图象与反比例函数y=kx(x>0)的图象交于点A(a,3)，与y轴交于点B．
(1)求a，k的值；
(2)直线CD过点A，与反比例函数图象交于点C，与x轴交于点D，AC=AD，连接CB．
①求△ABC的面积；
②点P在反比例函数的图象上，点Q在x轴上，若以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点P坐标．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、x2+2x=x2−1是一元一次方程，故A错误；
B、ax2+bx+c=0，a=0时是一元一次方程，故B错误；
C、3(x+1)2=2(x+1)是一元二次方程，故C正确；
D、1x2+1x−2=0是分式方程，故D错误；
故选：C．
根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
2.【答案】D
【解析】解：A、y=2023x是反比例函数，不符合题意；
B、y=2023x−1=2023x是反比例函数，不符合题意；
C、xy=2023可化为y=2023x是反比例函数，不符合题意；
D、y=−x2023是一次函数，符合题意．
故选：D．
根据反比例函数的定义对各选项进行分析即可．
本题考查的是反比例函数的定义，熟知形如y=kx(k为常数，k≠0)的函数称为反比例函数是解题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：A、∵3×1=3，∴此点在反比例函数的图象上，故A正确；
B、∵(−3)×1=−3≠3，∴此点不在反比例函数的图象上，故B错误；
C、∵3×13=1≠3，∴此点不在反比例函数的图象上，故C错误；
D、∵13×3=1≠3，∴此点不在反比例函数的图象上，故D错误．
故选：A．
根据反比例函数y=3x中xy=3对各选项进行逐一判断即可．
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数中k=xy的特点是解答此题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：∵y=−5x，k=−5<0，
∴函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，故选项A、B不符合题意；
当x=32时，则y=−103，
∴函数图象经过点(32,−103)，图象不可能与坐标轴相交，故选项D不符合题意，选项C符合题意；
故选：C．
根据反比例函数的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征判断即可．
本题考查了反比例函数的图象和性质，反比例函数图象上点的坐标特征等知识点，能熟记反比例函数的性质是解此题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：∵x2−6x−10=0，
∴x2−6x=10，
∴x2−6x+9=19，
∴(x−3)2=19，
故选：C．
根据配方法可以将题目中的方程写成完全平方的形式．
本题考查解一元二次方程—配方法，解答本题的关键是会用配方法解一元二次方程．
6.【答案】B
【解析】解：A.由图象可知：a>0，b>0，所以ab>0，与ab<0不一致，不符合题意；
B.由图象可知：a〈<0，b〉>0，所以ab<0，与ab<0一致，符合题意；
C.由图象可知：直线不经过原点，与已知正比例函数y=ax不一致，不符合题意；
D.由图象可知：a<0，b<0，所以ab>0，与ab<0不一致，不符合题意．
故选：B．
根据函数图象逐项分析，判断出a、b的符号，与ab<0进行对比，问题得解．
本题考查的是反比例函数及正比例函数的图象，正确根据正比例函数、反比例函数图象确定比例系数的取值范围是解题关键．
7.【答案】C
【解析】解：∵DE：DF=3：5，EF=DF−DE，
∴EF：DF=2：5．
∵l1/​/l2/​/l3，
∴BCAC=EFDF，
∴BC12=25，
∴BC=245．
故选：C．
由“DE：DF=3：5，EF=DF−DE”，可得出EF：DF=2：5，由l1//l2//l3，利用平行线分线段成比例，可得出BCAC=EFDF，代入AC=12，EF：DF=2：5，即可求出BC的长．
本题考查了平行线分线段成比例，牢记“三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例”是解题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：由于P为线段AB=4的黄金分割点，
且AP是较长线段；
则AP=4× 5−12=2 5−2．
故选：A．
根据黄金分割点的定义，知AP是较长线段；则AP= 5−12AB，代入数据即可得出AP的长．
本题考查了黄金分割的概念：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值( 5−12)叫做黄金比．熟记黄金分割的公式：较短的线段=原线段的3− 52，较长的线段=原线段的 5−12是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：∵反比例函数y=6x中，k=6>0，
∴此反比例函数图象的两个分支在一、三象限；
∵x3>0，
∴点(x3,y3)在第一象限，y3>0；
∵x1∴点(x1,y1)，(x2,y2)在第三象限，y随x的增大而减小，故y2由于x1<00，y1于是y2故选：B．
先根据反比例函数y=6x判断出函数图象所在的象限，再根据x1本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：当k>0时，图象分别位于第一、三象限，横纵坐标同号；当k<0时，图象分别位于第二、四象限，横纵坐标异号．
10.【答案】A
【解析】解：过B1、B2、B3…分别作x轴的垂线，垂足分别为D1、D2、D3…
则∠OD1B1=∠OD2B2=∠OD3B3=90°，
∵三角形OA1B1是等腰直角三角形，
∴∠A1OB1=45°，
∴∠OB1D1=45°，
∴OD1=B1D1，
直角顶点B1在反比例函数y=4x，
∴B1(2,2)，即y1=2，
∴OD1=D1A1=2，
∴OA1=2OD1=4，
设A1D2=a，则C2D2=a此时B2(4+a,a)，代入y=4X得：a(4+a)=4，
解得：a=2 2−2，即：y2=2 2−2，
同理：y3=2 3−2 2，
y4=2 4−2 3，
……
∴y1+y2+…+y10=2+2 2−2+2 3−2 2+……2 10−2 9=2 10，
故选：A．
根据点B1的坐标，确定y1，可求反比例函数关系式，由点B1是等腰直角三角形的直角顶点，可以得到OA1的长，然后再设未知数，表示点C2的坐标，确定y2，代入反比例函数的关系式，建立方程解出未知数，表示点C3的坐标，确定y3，……然后再求和．
考查反比例函数的图象和性质、反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质等知识，通过计算有一定的规律，推断出一般性的结论，得出答案．
11.【答案】25
【解析】解：由ab=23，得a=23b，
∴aa+b=23b23b+b=2b2b+3b=2b5b=25．
故答案为：25．
由ab=23，得a=23b，代入所求的式子化简即可．
解题关键是用到了整体代入的思想．
12.【答案】9
【解析】解：∵一元二次方程x2+6x+m=0有两个相等的实数根，
∴Δ=62−4m=0，
∴m=9．
故答案为：9．
根据方程x2+6x+m=0有两个相等的实数根可知Δ=0，求出k的值即可．
本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中，熟知当Δ=0时，方程有两个相等的实数根是解题的关键．
13.【答案】−1
【解析】解：把x=0代入(a−1)x2−2x+a2−1=0得a2−1=0，解得a=±1，
∵a−1≠0，
∴a=−1．
故答案为−1．
根据一元二次方程的解的定义把x=0代入原方程得到关于a的一元二次方程，解得a=±1，然后根据一元二次方程的定义确定a的值．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．也考查了一元二次方程的定义．
14.【答案】x(30−3x)=75
【解析】解：设垂直墙的边长为AB为x m，BC为(30−3x)m，
则x(30−3x)=75，
故答案为：x(30−3x)=75．
先根据题意得到BC的长，再根据长方形的面积公式列方程即可．
本题考查一元二次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键．
15.【答案】−20
【解析】解：∵正比例函数的图象与反比例函数y=−5x的图象交于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点，关于原点对称，依此可得x1=−x2，y1=−y2，
∴(x2−x1)(y2−y1)
=x2y2−x2y1−x1y2+x1y1
=x2y2+x2y2+x1y1+x1y1
=−5×4
=−20．
故答案为：−20．
正比例函数的图象与反比例函数y=−5x的两交点坐标关于原点对称，依此可得x1=−x2，y1=−y2，将(x2−x1)(y2−y1)展开，依此关系即可求解．
本题考查了反比例函数与正比例函数的交点问题，正比例函数与反比例函数的两交点坐标关于原点对称．
16.【答案】−3 3
【解析】【分析】
本题考查了反比例函数系数k的几何意义、特殊角的三角函数值以及比例的计算，解题的关键是根据线段间的关系找出OB、OD间的比例．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据特殊角的三角函数值找出线段间的关系是关键．过点A作AD⊥x轴于点D，由∠AOB=30°，可得出ADOD= 33，再根据BA=BO可得出∠ABD=60°，由此可得出ADBD= 3，根据线段间的关系即可得出线段OB、OD间的比例，结合反比例函数系数k的几何意义以及S△ABO= 3即可得出结论．
【解答】
解：过点A作AD⊥x轴于点D，如图所示．
∵∠AOB=30°，AD⊥OD，
∴ADOD=tan∠AOB= 33，
即OD= 3AD，
∵∠AOB=30°，AB=BO，
∴∠AOB=∠BAO=30°，
∴∠ABD=60°，
∴ADBD=tan∠ABD= 3，
即BD= 33AD，
∵OB=OD−BD，
∴OBOD=OD−BDOD=( 3− 33)AD 3AD=23，
∴S△ABOS△ADO=23，
∵S△ABO= 3，
∴S△ADO=12|k|=3 32，
∵反比例函数图象在第二象限，
∴k=−3 3
故答案为：−3 3．
17.【答案】解：(1)∵(x+1)(x+3)=15，
∴x2+4x−12=0，
∴(x+6)(x−2)=0，
解得：x1=−6，x2=2；
(2)∵(y−3)2+3(y−3)+2=0，
∴(y−3+2)(y−3+1)=0，
解得：y1=1，x2=2．
【解析】(1)首先将原式整理可得：x2+4x−12=0，然后利用十字相乘法可得：(x+6)(x−2)=0，解此方程即可求得答案；
(2)首先将y−3看作整体，然后利用十字相乘法即可得：(y−3+2)(y−3+1)=0，解此方程即可求得答案．
此题考查了因式分解法解一元二次方程．此题难度适中，解题的关键是掌握十字相乘法分解因式，注意整体思想的应用．
18.【答案】解：(1)∵图象的每一个分支上，y随x增大而减小，
∴m−3>0，
解得m>3；
(2)把A(2,32)代入 y=m−3x中，
∴m−3=3，
解得m=6，
【解析】(1)根据反比例函数的增减性即可求出m的取值范围；
(2)用待定系数法即可求出m的值．
此题考查了反比例函数图象的性质和待定系数法求解析式，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
19.【答案】解：∵DE/​/BC，
∴BEAE=CDAD=12，
∴ABAE=32，
∴AE=32AB=32×15=10，
∵DF/​/CE，
∴EFAF=CDAD=12，
∴EFAE=13，
∴EF=13AE=103．
【解析】先由DE/​/BC得到BEAE=CDAD=12，利用比例的性质可求出AE=10，再由DF/​/CE得到EFAF=CDAD=12，然后利用比例的性质可求出EF的长．
本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．也考查了比例的性质．
20.【答案】(1)证明：Δ=[−(m−3)]2−4×1⋅(−m)=m2−2m+9=(m−1)2+8>0，
∴方程有两个不相等的实数根．
(2)解：根据一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2=m−3，x1x2=−m．
∵x12+x22−x1x2=7，∴(x1+x2)2−3x1x2=7，
∴(m−3)2−3⋅(−m)=7，
解得m1=1，m2=2，
∴m的值为1或2．

【解析】本题考查根与系数的关系、根的判别式，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用方程的思想解答．
(1)要证明方程有两个不相等的实数根，只要证明原来的一元二次方程的△的值大于0即可；
(2)根据根与系数的关系可以得到关于m的方程，从而可以求得m的值．
21.【答案】解：(1)设2020年到2022年“双十一”交易额的年平均增长率为x，
由题意得，500(1+x)2=720，
解得x=0.2=20%或x=−2.2(舍去)，
∴2020年到2022年“双十一”交易额的年平均增长率为20%；
(2)∵720×(1+20%)=864，
∴按照这个增长率，预计2023年该平台“双十一”的交易额将达到864亿元．
【解析】(1)设2020年到2022年“双十一”交易额的年平均增长率为x，然后根据经过连续两年增长后从500亿元增长到720亿元列出方程求解即可；
(2)根据(1)所求，求出2023年该平台“双十一”的交易额即可得到答案．
本题主要考查了一元二次方程的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键．
22.【答案】解：(1)∵一次函数y1=kx+b(k≠0)和反比例函数y2=mx(m≠0)的图象交于点C(4,−3)，E(−3,4)两点，
∴4=m−3,4k+b=−3−3k+b=4，
解得m=−12,k=−1b=1，
故y2=−12x；y1=−x+1；
(2)∵y1=−x+1，
∴A(0,1)，
∴AO=1，
∵C(4,−3)，E(−3,4)，
∴S△COE=12AO⋅(xC−xE)=12×1×[4−(−3)]=72；
(3)∵C(4,−3)，E(−3,4)，且y1>y2，
∴x<−3或0【解析】(1)利用待定系数法计算解析式即可．
(2)利用直线解析式计算OA=1，结合S△COE=12AO⋅(xC−xE)计算即可．
(3)利用数形结合思想，结合交点的横坐标计算即可．
本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，正确理解交点坐标的意义，运用数形结合思想确定不等式的解集是解题的关键．
23.【答案】y=300−10x
【解析】解：(1)y=300−10x，
故答案为：y=300−10x；
(2)解：由题意可得：(300−10x)(4+x)=2400，
x2−26x+120=0，
(x−6)(x−20)=0，
x1=6，x2=20，
∴销售单价为50元或64元，
∵销售单价不低于44元，且获利不超过30%，
∴44≤x≤52，
∴当销售单价为50元时，每天获利2400元．
(1)由销售单价每上涨1元，每天销售量减少10件，列出等式可求解；
(2)由每件商品的利润×数量=利润，列出方程可求解．
本题考查了一元二次方程的应用，找到正确的数量关系是解题的关键．
24.【答案】是
【解析】解：(1)∵点A(−1,8)，B(4,−2)，
∴点A，B的“和美点”的横坐标为 |−1×4|=2，纵坐标为 |8×(−2)|=4，
∴点A，B的“和美点”的坐标为(2,4)，
∴点C是A，B两点的“和美点”，
故答案为：是；
(2)∵点A (8,−1)，B(2,−4)，且点P是点A、B的“和美点”，
∴P(4,2)，
∵点C(−3,5)，D(12,5)，且点Q是点C、D的“和美点”，
∴Q(6,5)，
设直线PQ的解析式为y=kx+m，
∴4k+m=26k+m=5，
∴k=32m=−4，
∴直线PQ的解析式为y=32x−4；
(3)点T的横、纵坐标的积是常数4，
理由：设点A(n,4n)，B(h,4h)，
∵点T是点A、B的“和美点”，
∴T( |nh|, |4n⋅4h|)，
∴点T的横、纵坐标的积是 |nh|⋅ |4n⋅4h|= |nh|⋅|4n⋅4h|=4，
(1)根据“和美点”的定义求出点A，B的“和美点”的坐标，即可得出结论；
(2)先求出点P，Q的坐标，最后用待定系数法即可得出结论；
(3)先设出点A，B的坐标，进而表示出点T的坐标，最后求出点T的横、纵坐标的积，即可得出结论．
此题主要考查了待定系数法，反比例函数图象上点的坐标特征，新定义，理解新定义是解本题的关键．
25.【答案】解：(1)∵点A(a,3)在一次函数y=12x+1的图象上，
代入得，12a+1=3，
∴a=4，
把A(4,3)代入y=kx得，
3=k4，
∴k=12；
(2)∵点A(4,3)，D点的纵坐标是0，AD=AC，
∴点C的纵坐标是3×2−0=6，
把y=6代入y=12x得x=2，
∴C(2,6)，
①如图1，
作CD⊥x轴于D，交AB于E，
当x=2时，y=12×2+1=2，
∴E(2,2)，
∵C(2,6)，
∴CE=6−2=4，
∴S△ABC=12CE⋅xA=12×4×4=8；
②如图2，
当AB是对角线时，即：四边形APBQ是平行四边形，
∵B(0,1)，A(4,3)，点Q的纵坐标为0，
∴yP=1+3−0=4，
当y=4时，4=12x，
∴x=3，
∴P(3,4)，
当AB为边时，即：四边形ABQP是平行四边形(图中的▱ABQ′P′)，
由yQ−yB=yP′−yA得，
0−1=yP′−3，
∴yP′=2，
当y=2时，x=122=6，
∴P′(6,2)，
综上所述：P(3,4)或(6,2)．
【解析】本题主要考查了求反比例函数的解析式，结合一次函数的解析式求点的坐标，结合平行四边形的性质求点的坐标等知识，解决问题的关键是画出图形，全面分类．
(1)将点A的坐标代入y=12x+1求得a，再把点A坐标代入y=kx求出k；
(2)先求出A，B，C三点坐标，作CD⊥x轴于D，交AB于E，求出点E坐标，从而求得CE的长，进而求得三角形ABC的面积；
(3)当AB为对角线时，先求出点P的纵坐标，进而代入反比例函数的解析式求得横坐标；当AB为边时，同样先求出点P的纵坐标，再代入y=12x求得点P的横坐标．