湖南省怀化市溆浦县圣达学校2023-2024学年九年级上册期中数学试题（含解析）

这是一份湖南省怀化市溆浦县圣达学校2023-2024学年九年级上册期中数学试题（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ）
A．B．
C．D．
2．下列函数不是反比例函数的是（ ）
A．B．C．D．
3．下列各点中，在反比例函数图象上的是（ ）
A．(3，1)B．（-3，1）C．(3，)D．（，3）
4．已知反比例函数，则下列描述正确的是（ ）
A．图象位于第一、三象限
B．y随x的增大而增大
C．图象不可能与坐标轴相交
D．图象必经过点
5．用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是（ ）
A．B．C．D．
6．若，则正比例函数与反比例函数在同一坐标系中的大致图象可能是图中的（ ）
A．B．
C．D．
7．如图，已知，它们依次交直线于点A、B、C和点D、E、F，如果，那么的长等于（ ）

A．2B．4C．D．
8．已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞PB），AB=4，那么AP的长是（ ）
A．B．C．D．
9．反比例函数图象上有三个点，其中
，则的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
10．如图，，，，…是分别以，…为直角顶点，斜边在 x 轴正半轴上的等腰直角三角形，其直角顶点 ，…均在反比例函数 （）的图像上，则 的值为（ ）
A．B．6C．D．
二、填空题（本大题共有 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）
11．若，则 ．
12．已知一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 ．
13．已知关于x的一元二次方程有一个根为，则 ．
14．如图，有一面积为的长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，另四边用竹篱笆围成，竹篱笆总长为，设为，则可列方程为 ．

15．如果一个正比例函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，那么的值为 ．
16．如图，在平面直角坐标系中，点A在第二象限内，点B在x轴上，∠AOB＝30°，AB＝BO，反比例函数y＝ (x＜0)的图象经过点A，若S△AOB＝，则k的值为 ．
三、解答题（本大题共有 9 小题，共 72 分）
17．用适当的方法解方程.
(1)
(2)．
18．已知反比例函数（为常数，且）
(1)若在其图象的每一个分支上，随增大而减小，求的取值范围；
(2)若点在该反比例函数的图象上，求的值；
19．如图，在中，点 D 为 上一点，且 ，过点 D 作交 于点 E，连接 ，过点D作交于点 F．若 ，求线段的长度．
20．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：方程有两个不相等的实数根；
(2)如果方程的两实根为，，且，求m的值．
21．网购已经成为一种时尚，某网络购物平台“双十一”全天交易额逐年增长，2020年交易额为500亿元，2022年交易额为720亿元．
(1)2020年至2022年“双十一”交易额的年平均增长率是多少？
(2)若保持原来的增长率，试计算2023年该平台“双十一”的交易额将达到多少亿元？
22．如图，一次函数和反比例函数（）的图象交于点，两点，一次函数图象交 y 轴于点 A．

(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)连接 ，，求 的面积；
(3)根据图象直接写出时，x 的取值范围．
23．杭州第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日举行，某商店销售亚运会文化衫，每件进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不超过，试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300件，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10件．设每天销售量为件，销售单价上涨元．
(1)则与的函数关系式是__________．
(2)每件文化衫销售单价是多少元时，商店每天获利2400元？
24．定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A(a，b)，B(c，d)，若点T(x，y）满足x，y，那么称点T是点A、B的“和美点”．
（1）已知A(﹣1，8)，B(4，﹣2)，C(2，4)．请判断点C (填“是”或“不是”)A、B两点的“和美点”．
（2）平面直角坐标系中，有四个点A (8，﹣1)，B(2，﹣4)，C(﹣3，5)，D(12，5)，点P是点A、B的“和美点”，点Q是点C、D的“和美点”．求过P、Q两点的直线解析式．
（3）若反比例函数y图象上有两点A、B，点T是点A、B的“和美点”，试问点T的横、纵坐标的积是否为常数？若是常数，请求出这个常数；若不是常数，请说明理由．
25．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点B．

(1)求a，k的值；
(2)直线CD过点A，与反比例函数图象交于点C，与x轴交于点D，AC＝AD，连接CB．
①求△ABC的面积；
②点P在反比例函数的图象上，点Q在x轴上，若以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点P坐标．
参考答案与解析
1．C
【分析】根据一元二次方程的概念依次判断即可．
【详解】解：A、，移项合并后无二次项，是一元一次方程，不符合题意；
B、，当时，是一元一次方程，不符合题意；
C、是一元二次方程，符合题意；
D、，等式左边不是整式，不符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查一元二次方程的概念，熟练掌握一元二次方程的概念是解答本题的关键．判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
2．D
【分析】按反比例函数的定义比较即可．
【详解】A. 与比较，即可知是反比例函数，故不符合题意；
B. 是反比例函数，故不符合题意；
C. 是反比例函数，故不符合题意；
D. 不是反比例函数，故符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查反比例函数的定义，准确理解定义是解题的关键．
3．A
【分析】根据反比例函数的性质可得：反比例函数图像上的点满足xy=3．
【详解】解：A、∵3×1=3，∴此点在反比例函数的图象上，故A正确；
B、∵（-3）×1=-3≠3，∴此点不在反比例函数的图象上，故B错误；
C、∵,∴此点不在反比例函数的图象上，故C错误；
D、∵,∴此点不在反比例函数的图象上，故D错误；
故选A．
4．C
【分析】根据反比例函数的图象性质进行逐项分析即可作答．
【详解】解：A、∵，∴，∴函数的图象在第二、四象限，故选项A不符合题意；
B、∵，∴，在每个象限内，y随x的增大而增大，故选项B不符合题意；
C、反比例函数的图象不可能与坐标轴相交，选项C符合题意；
D、当时，则，∴函数图象经过点，故选项D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象性质，当，反比例函数经过第一、三象限；当，反比例函数经过第二、四象限；难度较小．
5．D
【分析】按照一元二次方程配方的一般步骤把方程配方即可．
【详解】解：
解：移项，得，
方程两边同加上一次项系数一半的平方，得
，
即，
故选：D
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法—配方法，熟练掌握配方法的一般步骤是解题的关键．
6．B
【分析】根据函数图象逐项分析，判断出a、b的符号，与进行对比，问题得解．
【详解】解：A. 由图象可知：，所以，与不一致，故A选项错误，不合题意；
B. 由图象可知：，所以，与一致，故B选项正确，符合题意；
C. 由图象可知：直线不经过原点，与已知正比例函数不一致，故C选项错误，不合题意；
D. 由图象可知：，所以，与不一致，故D选项错误，不合题意．
故选：B
【点睛】本题考查了根据已知参数的取值范围确定函数的大致图象的问题，正确根据正比例函数、反比例函数图象确定比例系数的取值范围是解题关键．
7．C
【分析】由平行线分线段成比例定理即可求解．
【详解】解：∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握这一定理是关键，注意定理中要求线段是对应的．
8．A
【详解】根据黄金比的定义得： ，得 .故选A.
9．B
【分析】根据反比例函数的性质当时，随的增大而减小即可求得．
【详解】解：∵反比例函数是双曲线，两个分支分别在第一三象限，
∴当时，随的增大而减小，，当时，随的增大而减小，
∵，
∴，
故选．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，明确还是是解题的关键．
10．A
【分析】本题考查了反比例函数背景下的规律探解问题，利用解析式，结合等腰直角三角形的性质，利用枚举法，找到坐标的规律是解题的关键．
【详解】如图，过点分别作，垂足分别为C，D，E，
∵，，，…是分别以，…为直角顶点，斜边在 x 轴正半轴上的等腰直角三角形，其直角顶点 ，
∴，
∴，
∵直角顶点 ，…均在反比例函数 （）的图像上
∴，
解得（舍去），
∴，，
设，
则，
∴，
解得，（舍去），
∴，
同理可得，，
∴
，
故选：A．
11．
【分析】根据等式性质，在两边都加上1，则问题可解．
【详解】解：根据等式的性质，两边都加上1，即可得，通分得．
故答案为：．
【点睛】本题考查了等式的性质和分式的加减法，解答关键是根据相关法则进行计算．
12．9
【分析】根据根的判别式的意义得到△，然后解关于的方程即可．
【详解】解：根据题意得△，
解得．
故答案为：9．
【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的实数根；当△时，方程有两个相等的实数根；当△时，方程无实数根．
13．
【分析】将代入方程，结合，进行求解即可．
【详解】解：将代入方程，得：
，
解得：，
又∵是一元二次方程，
∴，，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查一元二次方程的解，解一元二次方程．熟练掌握，方程的解是使等式成立的未知数的值，是解题的关键．注意，一元二次方程的二次项系数不为0．
14．
【分析】先根据题意得到的长，再根据长方形的面积公式列方程即可．
【详解】解：设为，则长为，
根据题意，得，
故答案为：．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键．
15．-20
【分析】正比例函数的图象与反比例函数的两交点坐标关于原点对称，依此可得x1=-x2，y1=-y2，将（x2-x1）（y2-y1）展开，依此关系即可求解．
【详解】解：∵正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，关于原点对称，依此可得x1=-x2，y1=-y2，
∴（x2-x1）（y2-y1）
=x2y2-x2y1-x1y2+x1y1
=x2y2+x2y2+x1y1+x1y1
=-5×4
=-20．
故答案为：-20．
【点睛】本题考查了反比例函数与正比例函数的交点问题，正比例函数与反比例函数的两交点坐标关于原点对称．
16．－3
【详解】如图所示，过点A作AD⊥OD，
∵∠AOB＝30°，AB＝BO，
∴∠DBA＝60°, ∠OAB＝30°，
∴∠BAD＝30°,
在Rt△ADB中,即,
∵AB＝BO,
∴,
∴,
∴,,
根据反比例函数k的几何意义可得:,
∴,
∵反比例函数图象在第二象限,
∴
故答案为：－3
17．(1)
(2)
【分析】本题考查了一元二次方程的解法，根据题目特点，选择适当的解法是解题的关键．
（1）用因式分解法计算即可．
（2）用因式分解法计算即可．
【详解】（1）∵
∴，
∴，
∴，
解得．
（2）∵
∴，
∴，
解得．
18．(1)；
(2)．
【分析】（1）根据反比例函数的增减性即可求出的取值范围；
（2）用待定系数法即可求出的值．
【详解】（1）∵图象的每一个分支上，随增大而减小，
∴
解得：
（2）把代入 中，
∴，
解得：，
【点睛】此题考查了反比例函数图象的性质和待定系数法求解析式，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
19．
【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握性质是解题的关键．
【详解】∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得．
20．(1)见解析
(2)；
【分析】（1）由题意可得根的判别式，即可得证；
（2）由根与系数的关系可得；然后代入求出的值即可．
【详解】（1）解：∵方程

∴
，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）解：由两根关系得，
∵，
∴，
即
即
解得：；
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系等知识点，熟练掌握一元二次方程根的判别式和根与系数的关系是解题的关键．
21．(1)2020年到2022年“双十一”交易额的年平均增长率为；
(2)按照这个增长率，预计2023年该平台“双十一”的交易额将达到864亿元．
【分析】（1）设2020年到2022年“双十一”交易额的年平均增长率为x，然后根据经过连续两年增长后从500亿元增长到720亿元列出方程求解即可；
（2）根据（1）所求，求出2023年该平台“双十一”的交易额即可得到答案．
【详解】（1）解：设2020年到2022年“双十一”交易额的年平均增长率为x，
由题意得，，
解得或（舍去），
∴2020年到2022年“双十一”交易额的年平均增长率为；
（2）解：∵，
∴按照这个增长率，预计2023年该平台“双十一”的交易额将达到864亿元．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键．
22．(1)；
(2)
(3)或
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，正确理解交点坐标的意义，运用数形结合思想确定不等式的解集是解题的关键．
（1）利用待定系数法计算解析式即可．
（2）利用直线解析式计算，结合计算即可．
（3）利用数形结合思想，结合交点的横坐标计算即可．
【详解】（1）∵一次函数和反比例函数（）的图象交于点，两点，
∴，
解得，
故；
（2）∵，
∴，
∴，
∵，,
∴．
（3）∵，，且，
故或．
23．(1)
(2)当销售单价为50元时，每天获利2400元
【分析】（1）根据题意“当销售单价定为44元时，每天可售出300件，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10件”列出与的函数关系式即可；
（2）结合题意列出一元二次方程并求解即可获得答案．
【详解】（1）解：根据题意，可得与的函数关系式是．
故答案为：；
（2）解：由题意知，
，
，
，
，，
∴销售单价为50元或64元，
∵销售单价不低于44元，且获利不超过，
∴，
∴当销售单价为50元时，每天获利2400元．
【点睛】本题主要考查了一次函数和一元二次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．
24．（1）是；（2）yx﹣4；（3）点T的横、纵坐标的积是常数4．
【分析】（1）根据“和美点”的定义求出点A，B的“和美点”的坐标，即可得出结论；
（2）先求出点P，Q的坐标，最后用待定系数法即可得出结论；
（3）先设出点A，B的坐标，进而表示出点T的坐标，最后求出点T的横、纵坐标的积，即可得出结论．
【详解】解：（1）∵点A(﹣1，8)，B(4，﹣2)，
∴点A，B的“和美点”的横坐标为2，纵坐标为4，
∴点A，B的“和美点”的坐标为(2，4)，
∴点C是A，B两点的“和美点”．
故答案为：是；
（2）∵点A (8，﹣1)，B(2，﹣4)，且点P是点A、B的“和美点”，
∴P(4，2)．
∵点C(﹣3，5)，D(12，5)，且点Q是点C、D的“和美点”，
∴Q(6，5)，
设直线PQ的解析式为y=kx+m，
∴，
∴，
∴直线PQ的解析式为yx﹣4；
（3）点T的横、纵坐标的积是常数4，
理由：设点A(n，)，B(h，)．
∵点T是点A、B的“和美点”，
∴T(，)，
∴点T的横、纵坐标的积是：•4．
【点睛】此题主要考查了待定系数法，反比例函数图象上点的坐标特征，新定义，理解新定义是解本题的关键．
25．(1)，；
(2)①8；②符合条件的点坐标是和．
【分析】（1）将点代入，求出，即可得，将点代入，即可求出k；
（2）①如图，过A作轴于点，过作轴于点，交于点，求出，，得到CE，进一步可求出△ABC的面积；②设，．分情况讨论：ⅰ、当四边形为平行四边形时，ⅱ、当四边形为平行四边形时，计算即可．
【详解】（1）解：将点代入，得，，
将点代入，得，
反比例函数的解析式为．
（2）解：①如图，过A作轴于点，过作轴于点，交于点，

∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
②分两种情况：设，．
ⅰ、如图，当四边形为平行四边形时，

∵点向下平移1个单位、向右平移个单位得到点，
∴点向下平移1个单位，向右平移个单位得到点，
∴，，
∴．
ⅱ、如图，当四边形为平行四边形时，

∵点向上平移1个单位，向左平移个单位得到点，
∴点向上平移1个单位，向左平移个单位得到点，
∴，，
∴．
综上所述，符合条件的点坐标是和．
【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的综合，待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质．