湖南省麻阳苗族自治县锦江中学2023-2024学年八年级上册期中数学试题（含解析）

这是一份湖南省麻阳苗族自治县锦江中学2023-2024学年八年级上册期中数学试题（含解析），共14页。试卷主要包含了下列式子中是分式的是，下列四个数中，最小的数是，下列命题是假命题的是，分式的值为0，则的值为等内容，欢迎下载使用。

一.选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列式子中是分式的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列四个数中，最小的数是（ ）
A．B．C．D．
3．下列长度的三根小木棒，能摆成三角形的是（ ）
A．3cm，4cm，5cmB．8cm，7cm，15cm
C．15cm，13cm，1cmD．5cm，5cm，11cm
4．下列命题是假命题的是（ ）
A．对顶角相等B．同角的补角相等C．内错角相等D．直角都相等
5．如图，要测量河岸相对两点的距离，已知垂直于河岸，先在上取两点，使，再过点作的垂线段，使点在一条直线上，测出米，则的长是（ ）
A．10米B．15米C．20米D．25米
6．如图，，的周长为9，的垂直平分线交于点E，垂足为D，则（ ）
A．6B．5C．4D．9
7．分式的值为0，则的值为（ ）
A．B．C．D．
8．将分式中的x，y的值都变为原来的2倍，则该分式的值（ ）
A．变为原来的2倍B．变为原来的4倍C．不变D．变为原来的一半
9．如图，四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，以下四个结论，正确的有（ ）
①；②；③平分；④四边形的面积．
A．1个B．2个C．3个D．4个
10．如图，AC 平分∠BAD，过 C 点作 CE⊥AB 于 E，并且 2AE＝AB+AD，则下列结论:
①AB＝AD+2BE；②∠DAB+∠DCB＝180°；③CD＝CB；④S△ABC＝S△ACD+S△BCE，其中不正确的结论个数有（ ）
A．0B．1C．2D．3
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．计算： ．
12．若，则 ．
13．2019新型冠状病毒（），2020年1月12日被世命名．科学家借助比光学显微镜更加厉害的电子显微镜发现新型冠状病毒的大小约为0.000000125米．则数据0.000000125用科学记数法表示为 ．
14．如图，点D是边延长线上的一点，，则 ．
15．规定两数，之间的一种新运算※，如果，那么，例如：因为，所以；因为，所以，按以上规定，则 ．
16．已知关于x的分式方程有增根，则 ．
17．如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则 ．
18．如图1，已知AB=AC，D为∠BAC的角平分线上面一点，连接BD，CD；如图2，已知AB=AC，D、E为∠BAC的角平分线上面两点，连接BD，CD，BE，CE；如图3，已知AB=AC，D、E、F为∠BAC的角平分线上面三点，连接BD，CD，BE，CE，BF，CF；…，依次规律，第n个图形中有全等三角形的对数是 ．
三.解答题（共7小题，共66分）
19．计算：．
20．先化简，再求值；，然后从，0，1，2四个数中选择一个恰当的数代入求值．
21．如图，已知点在一条直线上，，，． 求证：．
22．已知关于的分式方程．
(1)若分式方程的根是，求的值；
(2)若分式方程无解，求的值．
23．习总书记在党的第二十次全国代表大会上，报告指出：“积极稳妥推进碳达峰碳中和”．某公司积极响应节能减排号召，决定采购新能源A型和B型两款汽车，已知每辆A型汽车进价是每辆B型汽车进价的倍，若用1500万元购进A型汽车的数量比1200万元购进B型汽车的数量少20辆．求每辆B型汽车进价是多少万元？
24．对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的一个解，则称这两个方程为“相似方程”；②若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”．
(1)判断一元一次方程3－2(1－x)=4x与分式方程是否是“相似方程”，并说明理由；
(2)已知关于x，y的二元一次方程y=mx+6与y=x+4m是“相伴方程”，求正整数m的值．
25．（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D、E．证明：．
（2）组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线l上，并且有，其中α为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过的边向外作正方形和正方形，是边上的高，延长交于点I，求证：I是的中点．
参考答案与解析
1．A
【分析】根据分式的定义：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，分别判断即可．
【详解】解：是分式，故A符合题意，
，，都不是分式，故B、C、D选项不符合题意，
故选：A．
【点睛】本题考查了分式的定义，熟练掌握分式的定义是解题的关键．
2．D
【分析】先计算零次幂，绝对值，相反数，负整数指数幂，再比较大小即可．
【详解】解：，，，，
而，
∴四个数中，最小的数是，
故选D
【点睛】本题考查的是零次幂的含义，化简绝对值，相反数的含义，负整数指数幂的含义，熟记基本概念与运算法则是解本题的关键．
3．A
【分析】根据三角形的三边关系对各选项进行逐一分析即可．
【详解】A、3+4=7＞5，能构成三角形，故本选项符合题意；
B、8+7=15，不能构成三角形，故本选项不符合题意；
C、1+13=14＜15，不能构成三角形，故本选项不符合题意；
D、5+5=10＜11，不能构成三角形，故本选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系的应用，即三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
4．C
【分析】根据对顶角的性质、补角的性质、平行线的性质和直角的定义逐一判断即可．
【详解】解：A．对顶角相等是真命题，故不符合题意；
B．同角的补角相等是真命题，故不符合题意；
C．两直线平行，内错角相等，缺少条件，是假命题，故符合题意；
D．直角都相等是真命题，故不符合题意．
故选C．
【点睛】此题考查的是真假命题的判断，掌握对顶角的性质、补角的性质、平行线的性质和直角的定义是解决此题的关键．
5．C
【分析】由均垂直于，即可得出，即可证出，由此即可得出，此题得解．
【详解】解：∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴米，
故选C
【点睛】考查了三角形全等的判定和性质，解题是熟练判定方法，本题属于三角形全等的判定应用.
6．B
【分析】根据线段垂直平分线的性质可得，，再由求解即可．
【详解】解：∵垂直平分，
∴，
由的周长为9可得，，
则，
，
故选B
【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质．
7．A
【分析】根据分式值为零的条件，可得，据此即可求解．
【详解】解：∵分式的值为0，
∴，
解得．
故选A．
【点睛】本题考查了分式值为零的条件，解题的关键是掌握分式值为零的条件为分母不为零，分子为零．
8．A
【分析】把原分式中的x、y分别替换成 2x，2y ，然后利用分式的基本性质化简即可得到答案．
【详解】解：∵分式中x、y的值都变为原来的2倍，
∴分式变为：
则该分式的值变为原来的2倍．
故选：A．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，解决本题的关键是掌握分式的基本性质．
9．C
【分析】本题考查中垂线的判定和性质，根据，，得到垂直平分，分割法求面积，逐一进行判断即可．
【详解】解：∵，，
∴点，点在线段的垂直平分线上，
∴垂直平分，
∴，，故①②正确；
无法得到平分，故③错误；
四边形的面积为；故④正确；
故选C．
10．B
【分析】过C作CF⊥AD于F．先判定Rt△ACF≌Rt△ACE，即可得出BE＝DF，再判定△CDF≌△CBE，即可得到CD＝CB；再根据四边形内角和以及三角形的面积计算公式，即可得到正确结论．
【详解】如图，过C作CF⊥AD于F．
∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD，∴CF＝CE，∴Rt△ACF≌Rt△ACE（HL），∴AF＝AE，∴AB+AD＝（AE+BE）+（AF﹣DF）＝2AE+BE﹣DF．
又∵AB+AD＝2AE，∴BE＝DF，∴AB﹣AD＝（AE+BE）﹣（AF﹣DF）＝BE+DF＝2BE，即AB＝AD+2BE，故①正确；
∵BE＝DF，∠CEB＝∠F＝90°，CF＝CE，∴△CDF≌△CBE（SAS），∴∠B＝∠CDF，CD＝CB，故③正确；
又∵∠ADC+∠CDF＝180°，∴∠ADC+∠B＝180°，∴四边形ABCD中，∠DAB+∠BCD＝360°﹣180°＝180°，故②正确；
∵AB＝AD+2BE，CE＝CF，∴由等式性质可得：AB×CEAD×CF+2BE×CE，即S△ABC＝S△ACD+2S△BCE，故④错误．
故选B．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的面积，四边形的内角和定理以及邻补角定义等知识点的综合运用，正确作辅助线，构造全等三角形是解答此题的关键．
11．
【分析】分式分子分母分别平方，计算即可得到结果．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】此题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
12．
【分析】根据负整数指数幂进行运算即可．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了负整数指数幂，解题的关键是熟练掌握负整数指数幂运算法则，．
13．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：数据0.000000125用科学记数法表示为．
故答案为：．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
14．##30度
【分析】本题考查了三角形外角的性质，熟记性质是解题的关键．根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式进行计算即可得解．
【详解】解：∵，
∴．
故答案为：．
15．
【分析】根据新运算的定义求解即可．
【详解】解：∵，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了新定义，负整数指数幂，熟练掌握负整数指数幂运算法则是解题的关键．
16．
【分析】先去分母得到，再根据分式方程有增根，得到，代入即可求出．
【详解】解：去分母得，，
∵分式方程有增根，
∴，即，
∴
∴
故答案为：．
【点睛】此题考查了已知分式方程的根的情况求参数，正确理解分式方程增根的意义是解题的关键．
17．##45度
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，网格结构，准确识图并判断出全等三角形是解题的关键．先证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，然后求出，再判断出，然后计算即可得解．
【详解】解：标注字母，如图所示，

在和中，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴．
故答案为：．
18．
【分析】根据条件可得图1中△ABD≌△ACD有1对三角形全等；图2中可证出△ABD≌△ACD，△BDE≌△CDE，△ABE≌△ACE有3对三角形全等；图3中有6对三角形全等，找出图形变化的规律即可得到结果．
【详解】图1中有1对三角形全等；
图2中有3对三角形全等；
图3中有6对三角形全等；
1=1，3=1+2，6=1+2+3，…，由规律可得第n个图中有1+2+3+4+5…+n=．
故答案为．
【点睛】本题主要考查图形的变化规律，根据图形的变化规律总结出全等三角形对数的变化规律是解题的关键．
19．6
【分析】本题考查实数的运算，掌握绝对值和负整数指数、0指数幂的运算法则是解题的关键．
【详解】解：
．
20．
【分析】将式子进行化简，再代数求值．
【详解】解：原式；
当时，原式．
【点睛】本题考查分式的混合运算，分式有意义的条件，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．
21．见解析
【分析】根据平行线的性质和全等三角形的判定证明即可．
【详解】证明：∵，
∴，即，
∵，
∴，
在和中，
，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定、平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解答的关键．
22．(1)
(2)或
【分析】（1）把代入方程计算，即可求出的值；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，由整式方程无解和分式方程无解求的值即可．
【详解】（1）解：分式方程的根是，
，
解得，
的值为；
（2）解：①去分母得：，
当时，方程无解，
，
②当分式方程有增根，
或，
当时，，
当时，，
，
的值为；
，
若分式方程无解，的值为或．
【点睛】本题考查了分式方程的增根和无解，理解分式方程有增根和无解的含义是解题的关键．
23．型汽车的进价为每辆10万元
【分析】设型汽车的进价为每辆万元，则型汽车的进价为每辆万元，列出分式方程，解方程即可；
【详解】解：设型汽车的进价为每辆万元，则型汽车的进价为每辆万元，
依题意得：，
解得：，
经检验，是方程的解且符合实际意义，
答： 型汽车的进价为每辆10万元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，正确列出方程是解决本题的关键．
24．(1)不是“相似方程”，理由见解析
(2)m=2或3
【分析】（1）求出两方程的解，再根据“相似方程”的定义判断即可．
（2）由“相伴方程”的定义求得方程解的表达式，进而分类讨论求得满足条件的m的值．
【详解】（1）解：不是“相似方程”，理由如下：
解一元一次方程3－2(1－x)=4x，解得：x=
解分式方程，解得：x=
检验：当x=时，(2x+1)(2x－1)=0
∴分式方程无解
∴一元一次方程3－2(1－x)=4x与分式方程不是“相似方程”．
（2）解：由题意，两个方程有相同的整数解
∴mx+6=x+4m，
∴(m－1)x=4m－6，
①当m－1=0时，方程无解；
②当m－1≠0， 即m≠1时， ，即x=4－
∵x，y均为整数
∴m－1=1，2，－1，－2，
∴m=2，3，0，－1，
又∵m取正整数，
∴m=2或3
综上所述，m=2或3．
【点睛】本题考查一元一次方程、分式方程、二元一次方程；按照定义求解方程是解题的关键．
25．（1）见解析；（2）成立，证明见解析；（3）见解析
【分析】（1）由条件可证明，可得，可得；
（2）由条件可知，可得，结合条件可证明，同（1）可得出结论；
（3）过E作于M，的延长线于N．由条件可知，可得，结合条件可证明，可得出结论I是的中点．
【详解】解：（1）如图1，
∵直线l，直线l，
∴，
∵，
∴
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
（2）．
如图2，
证明如下：
∵，
∴，
∴，
在和中．
．
∴，
∴，
∴；
（3）证明：过E作于M，的延长线于N．
∴，
由（1）和（2）的结论可知，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴I是的中点．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．