2023-2024学年湖南省怀化市九年级（上）期中数学试卷

这是一份2023-2024学年湖南省怀化市九年级（上）期中数学试卷，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）已知点A（4，﹣2）在双曲线y=kx上，则下列各点中，在此双曲线上的点是（ ）
A．（4，2）B．（3，3）C．（﹣4，2）D．（﹣3，3）
2．（3分）下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A．x2﹣1＝0B．y2+x＝1C．2x+1＝0D．x+1x=1
3．（3分）用配方法解方程x2+8x+7＝0，则配方正确的是（ ）
A．（x+4）2＝9B．（x﹣4）2＝9C．（x﹣8）2＝16D．（x+8）2＝57
4．（3分）如图，在△ABC中，DE∥BC，ADBD=23，若BC＝10，则DE等于（ ）
A．5B．4C．2.5D．2
5．（3分）若点A（x1，﹣2），B（x2，1），C（x3，2）都在反比例函数y=−2x的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（ ）
A．x3＜x2＜x1B．x2＜x1＜x3C．x1＜x3＜x2D．x2＜x3＜x1
6．（3分）杭州亚运会吉祥物深受大家喜爱．某商户8月份销售吉祥物“宸底”摆件10万个，10月份销售12.1万个．设该摆件销售量的月平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．10x2＝12.1B．10（1+2x）＝12.1
C．10（1+x）2＝12.1D．12.1（1﹣x）2＝10
7．（3分）如图，△ABC中，∠A＝76°，AB＝8，AC＝6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）
A．B．
C．D．
8．（3分）定义：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）若满足a﹣b+c＝0，那么我们称这个方程为“和谐”方程，若满足a+b+c＝0，那么我们称这个方程为“友善”方程．已知关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）既是“和谐”方程，又是“友善”方程，则下列结论中正确的是（ ）
A．方程有两个相等的实数根
B．方程的两个根互为相反数
C．两根之积为0
D．无实数根
9．（3分）在平面直角坐标系xOy中，将一块含有45°角的直角三角板如图放置，直角顶点C的坐标为（1，0），顶点A的坐标（0，2），顶点B恰好落在第一象限的双曲线上，现将直角三角板沿x轴正方向平移，当顶点A恰好落在该双曲线上时停止运动，则此时点C的对应点C′的坐标为（ ）
A．（52，0）B．（2，0）C．（32，0）D．（3，0）
10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6．点F是边BC上一动点，过点F作FD∥AB交AC于点D，E为线段DF的中点，当BE平分∠ABC时，AD的长度为（ ）
A．3011B．4011C．4811D．6011
二、填空题（每小题3分，共24分）
11．（3分）反比例函数y=k−1x的图象分布在第一、三象限内，则k的取值范围为 ．
12．（3分）若m是方程x2﹣2x﹣1＝0的一个根，则代数式2m2﹣4m+1＝ ．
13．（3分）设ab=23，那么a+2bb= ．
14．（3分）已知点P是线段AB的黄金分割点，AP＞PB，若AB＝4，则AP的值为 ．
15．（3分）已知一菱形的两条对角线长分别是方程x2﹣9x+20＝0的两根，则菱形的面积是 ．
16．（3分）《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆AB，从木杆的顶端B观察井水水岸D，视线BD与井口的直径AC交于点E，如果测得AB＝1米，AC＝1.6米，AE＝0.4米，那么CD为 米．
17．（3分）若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0的常数项为0，则m的值为 ．
18．（3分）如图，点B是反比例函数y=kx(x＞0)上一点，矩形OABC的周长是16，正方形BCGH和正方形OCDF的面积之和为56，则反比例函数的解析式是 ．
三、解答题（8小题，共66分）
19．（6分）解下列方程：
（1）3x（x+1）＝2（x+1）；
（2）2x2﹣4x﹣1＝0．
20．（6分）如图，平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上．
（1）以O点为位似中心，位似比为2，将△ABC放大为△A1B1C1，请在网格图中画出
△A1B1C1；
（2）若△ABC，△A1B1C1的面积为S、S1，写出S，S1的数量关系 ．
21．（8分）如图，在正方形ABCD中，点M、N分别在AB、BG上，AB＝4，AM＝1，BN=34．
（1）求证：△ADM∽△BMN；
（2）DM与MN有什么数量关系，请说明理由；
（3）DM与MN有什么位置关系，请说明理由．
22．（8分）一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯D的高度．如图，当李明走到点A处时，张龙测得李明直立时身高AM与影子长AE正好相等；接着李明沿AC方向继续向前走，走到点B处时，李明直立时身高BN的影子恰好是线段AB，并测得AB＝1.25m，已知李明直立时的身高为1.75m，求路灯的高CD的长．（结果精确到0.1m）．
23．（9分）已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2+3＝0．
（1）当m为何值时方程有实数根？
（2）设方程的两实根分别为x1、x2，且x12+x22=22，求m的值．
24．（9分）直播购物逐渐走进了人们的生活，某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售、如果按每件60元销售，每天可卖出20件，通过市场调查发现，每件小商品的售价每降低1元，则日销售量可增加2件．
（1）当每件小商品的售价为50元时，日销售量为 件；
（2）若计划每日获利448元，为了尽快减少库存，每件售价应定为多少元？
25．（10分）如图，在▱ABCD中，点E在AB上，AE=13AB，ED和AC相交于点F，过点F作FG∥AB，交AD于点G．
（1）求AFFC的值．
（2）若AB：AC=3：2.
①求证：∠AEF＝∠ACB．
②求证：DF2＝DG•DA．
26．（10分）如图，一次函数y＝x+4的图象与反比例函数y=kx（k为常数且k≠0）的图象交于A，B两点，其中A（﹣1，3），直线y＝x+4与y轴、x轴分别交于C，D两点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，并求满足条件的点P的坐标；
（3）在坐标平面中是否存在点Q，使得以Q，A，B为顶点的三角形与△COD相似？如果存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标．
2023-2024学年湖南省怀化市九年级（上）期中数学试卷
参考答案
选择题、填空题答案速查
选择题、填空题解法提示
9.A 如图，过点B作BD⊥x轴于点D.∵∠ACO+∠BCD＝90°，∠OAC+∠ACO＝90°，∴∠OAC＝∠BCD．在△ACO与△BCD中，∠OAC=∠BCD,∠AOC=∠BDC,AC=BC,∴△ACO≌△BCD（AAS）,
∴OC＝BD，OA＝CD.∵A（0，2），C（1，0）,∴OD＝3，BD＝1，∴B（3，1），∴设反比例函数的解析式为y=kx，将B（3，1）代入y=kx，得k＝3，∴y=3x．把y＝2代入y=3x，得x=32．当顶点A恰好落在该双曲线上时，此时点A移动了32个单位长度，∴C也移动了32个单位长度．此时点C的对应点C′的坐标为（52，0）．
10．B 设AD＝x，∵∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，∴AC=AB2−BC2=8，∴CD＝8﹣x，∵DF∥AB，∴AD：AC＝BF：BC，∴x：8＝BF：6，∴BF=34x.∵BF平分∠ABC，∴∠FBE＝∠ABE.∵FD∥AB，∴∠FEB＝∠ABE，∴∠FBE＝∠FEB，∴FE＝BF.∵E是FD中点，∴DF＝2EF，∴DF＝2BF=32x.∵DF2＝CD2+CF2，∴(3x2)2=（8﹣x）2+(6−3x4)2，∴x=4011（舍去负值），∴AD=4011．
18．y=4x（x＞0） 设点B的坐标为（a，b）.∵点B是反比例函数y=kx(x＞0)上一点，
∴a＞0，b＞0，∴OA＝a，OC＝b.∵矩形OABC的周长是16，∴2（a+b）＝16，即a+b＝8.又∵正方形BCGH和正方形OCDF的面积之和为56，∴a2+b2＝56，由a+b＝8，得（a+b）2＝64，即a2+b2+2ab＝64，将a2+b2＝56代入，得ab＝4，∴k＝ab＝4，∴反比例函数的解析式为y=4x（x＞0）．
解答题参考答案
19.解：（1）∵3x（x+1）＝2（x+1），
∴3x（x+1）﹣2（x+1）＝0，
则（x+1）（3x﹣2）＝0，
∴x+1＝0或3x﹣2＝0，
解得x1＝﹣1，x2=23.
（2）∵2x2﹣4x﹣1＝0，
∴2x2﹣4x＝1，
∴x2﹣2x=12，
则x2﹣2x+1＝1+12，即（x﹣1）2=32，
∴x﹣1＝±62，
∴x1＝1+62，x2＝1−62．
20.解：（1）如图，△A1B1C1即为所求.
（2）4S＝S1 由以O点为位似中心，位似比为2，将△ABC放大为△A1B1C1，△ABC，△A1B1C1的面积为S，S1，则S，S1的数量关系为4S＝S1．
21.（1）证明：在正方形ABCD中，AB＝AD＝4，∠A＝∠B＝90°，
∵AM＝1，∴BM＝AB﹣AM＝4﹣1＝3，
在△ADM和△BMN中，ADBM=43，AMBN=134=43，
∴ADBM=AMBN，
又∵∠A＝∠B＝90°，
∴△ADM∽△BMN.
（2）解：DM=43MN，理由如下：
∵△ADM∽△BMN，
∴DMMN=DAMB=43；
（3）解：DM⊥MN，理由如下：
∵△ADM∽△BMN，
∴∠ADM＝∠BMN.
∵∠A＝90°，
∴∠ADM+∠DMA＝90°，
∴∠BMN+∠DMA＝90°，
∴∠DMN＝90°，
∴DM⊥MN．
22.解：设CD长为x米，
∵AM⊥EC，CD⊥EC，BN⊥EC，EA＝MA，
∴MA∥CD∥BN，
∴EC＝CD＝x米，
∴△ABN∽△ACD，
∴BNCD=ABAC，即1.75x=1.25x−1.75，
解得x＝6.125≈6.1．
经检验，x＝6.125是原方程的解，且符合题意，
∴路灯高CD约为6.1米
23.解：（1）若方程有实数根，则Δ＝4（m+1）2﹣4（m2+3）≥0，
解得m≥1．所以当m≥1时，方程有实数根.
（2）设方程的两实根分别为x1，x2，且x12+x22=22，
则（x1+x2）2﹣2x1x2＝22，所以4（m+1）2﹣2（m2+3）＝22，
解得m1＝2，m2＝﹣6（不合题意，舍去），
所以m的值是2．
24．解：（1）40 当每件小商品的售价为50元时，日销售量为20+2×（60﹣50）＝20+20＝40（件）.
（2）设每件售价应定为x元，则每件的销售利润为（x﹣40）元，
日销售量为20+（60﹣x）×2＝140﹣2x（件），
依题意得（x﹣40）（140﹣2x）＝448，
解得x1＝54，x2＝56，
又∵商家想尽快销售完该款商品，
∴x＝54.
答：每件售价应定为54元．
25．（1）解：在▱ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，
又∵∠DFC＝∠AFE，
∴△AFE∽△CFD，
∴AFFC=AECD=AEAB=13.
（2）①证明：∵AB：AC=3：2，
∴设AC＝2a，AB=3a.
由（1）知AFAC=14，AEAB=13，
∴AF=12a，AE=3a3，
∴AFAB=12a3a=36，AEAC=3a32a=36，
∴AFAB=AEAC，
又∵∠BAC＝∠FAE，
∴△FAE∽△BAC，
∴∠AEF＝∠ACB；
②证明：∵FG∥AB，
∴∠GFD＝∠AED＝∠ACB.
又∵AD∥BC，
∴∠ACB＝∠FAD，
∴∠FAD＝∠GFD.
又∵∠GDF＝∠FDA，
∴△GDF∽△FDA，
∴DGDF=DFDA，
∴DF2＝DG•DA．
26.解：（1）将点A（﹣1，3）代入y=kx，得k＝﹣3，
∴反比例函数的表达式为y=−3x.
（2）把B（b，1）代入y＝x+4得b+4＝1，
解得b＝﹣3，∴点B的坐标为（﹣3，1）.
如图，作点B关于x轴的对称点B1，连接AB1，交x轴于点P，此时PA+PB的值最小.
∵点B的坐标为（﹣3，1），∴点B1的坐标为（﹣3，﹣1）.
设直线AB1的函数表达式为y＝mx+n，
将点A（﹣1，3），B1（﹣3，﹣1）代入y＝mx+n，得−m+n=3−3m+n=−1，
解得m=2n=5，∴直线AB1的函数表达式为y＝2x+5，
当y＝0时，2x+5＝0，解得x=−52，
∴点P的坐标为(−52，0).
（3）在y＝x+4中，令x＝0，则y＝4，令y＝0，则x＝﹣4，
∴C（0，4），D（﹣4，0），
∴△OCD是等腰直角三角形.
∵以Q，A，B为顶点的三角形与△COD相似，
∴△QAB是等腰直角三角形，
如图，以线段AB为边构造等腰直角三角形，共有6种情况，
其中各点坐标分别为（﹣1，1），（﹣3，3），（1，1），（﹣3，5），（﹣1，﹣1），（﹣5，3）．
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
C
A
A
B
D
C
C
B
A
B
11. k>1 12. 3 13. 83 14.25−2
15. 10 16. 3 17. 2 18.y=4x（x＞0）