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北师大版七年级数学上册同步精品讲义 第25讲+规律探究
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第25讲 规律探究目标导航知识清单知识点01 规律探究常见的数字规律知识点02 规律探究方法总结 1.规律探究的核心是找出每个数与对应的位次（即n）之间的关系；2.若数列为分数数列，则分子分母分开找规律； 3.若数列是正负交替排列，则在答案前加上；若数列是负正交替排列，则在答案前加上； 4.若是选择题，则可以用代值法，再利用排除法选出正确答案即可.知识点03 高斯求和定理.考点精析考点一 数字类规律探究类型一 数字类规律探究（1）例1观察这些数的规律，3，-8，15，-24，35，…则第10个数是______．例2观察下列关于x的单项式，探究其规律，x，3x2，5x3，7x4，9x5，11x6，…按照上述规律，第2019个单项式是（ ）变1按一定规律排列的一列数依次为2，﹣5，10，﹣17，26，﹣37，…，按此规律排列下去，这列数中的第20个数是______．变2按一定规律排列的单项式：，，，，，……，第n个单项式是（ ）例3观察下面一列数，根据规律写出横线上的数，-；；-；；______；______；……；第2021个数是______．例4有一列数按如下规律排列：，…则第2017个数是______．例5观察下列一组数：﹣，，﹣，，﹣，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第8个数是______．变3给定一列按规律排列的数：-1，，，，…，则第9个数为______．变4观察下面一列数：1，，，，，……，按照这个规律，第10个数应该是______．变5察下列一组数：，，，，，…，它们是按照一定规律排列的，那么这组数的第n个数是（ ）类型二 数字类规律探究（2）例1若=2，=4，=8，=16，=32…，则的末位数字是（ ）例2观察式子：…，请你判断的结果的个位数是（ ）例3观察下列等式：…，那么的末位数字是（ ）变1观察下列等式：3=3， 3=9 ，3=27， 3=81， 3=243， 3=729，3=2187……，则第2018个等式幂的结果的末位数字是______．变2观察下列等式：70=1，71=7，72=49，73=343，74=2401，75=16807，…，根据其中的规律可得，7＋71＋72＋…＋72019＋72020的结果的个位数是（ ）类型三 数字类规律探究（3）例1已知一列数：1，-2，3，-4，5，-6，7，……将这列数如下排列，第10行从左边数第5个数等于______．第1行 1第2行 -2 3第3行 -4 5 -6第4行 7 -8 9 -10第5行 11 12 13 -14 15…例2将1，，，，，，…，按一定规律排列如下：第1行 1第2行 第3行 第4行 第5行 …请你写出第20行从左至右第10个数是______．例3观察下列两行数：0，2，4，6，8，10，12，14，16，…0，3，6，9，12，15，18，21，24，…探究发现：第1个相同的数是0，第2个相同的数是6，…，若第n个相同的数是102，则n等于（ ）变1如图，将正整数按此规律排列成数表，则2022是表中第_____行第_____列． 变2观察下面的数：按着上述的规律排下去，那么第12行从左边数第4个数是（ ）变3把正整数1，2，3，4，5，……，按如下规律排列：根据排列规律，回答下列问题． （1）第7行第1个数是 ，第20行第1个数是 ；（2）数“180”是第几行第几个数？考点二 等式类规律探究类型一 等式类规律探究（1）例1已知：，，，……那么（ ）例2已知整数a1，a2，a3，a4，…满足下列条件：a1=0，a2=-|a1+1|，a3=-|a2+2|，a4=-|a3+3|，…，依此类推，则a2022的值为（ ）例3已知：，，，根据此规律______．变1下列式子：32＋42=52，82＋62=102，152＋82=172，242＋102=262……请你利用发现的规律写出第五个等式______．故答案为：．变2观察下列式子：；；；；…根据上述规律，计算：______．变3通过计算发现：，，……，则______．例4如图，观察所给算式，找出规律：，，，，……根据规律计算______．变4观察下列各式的计算结果：；；；…（1）用你发现的规律填写下列式子的结果：1﹣= × ；1﹣= × .（2）用你发现的规律计算：（1-）×（1-）×（1-）×…×（1-）×（1-）×.变5研究下列算式，你会发现什么规律？；；；．（1）请写出第9个式子______；（2）请用含n的式子表示第n个式子：______；（3）计算的值时可以这样做：解：原式 ．请你用发现的规律解决下面的问题：计算：类型二 等式类规律探究（2）例1观察式子=，=， ，……由此可知……+______．例2观察下列等式：将以上三个等式的两边分别相加得.（1）猜想并写出= ．（不必写出计算结果）（2）直接写出下列各式的计算结果：①______；②______；（3）填空：=______．变1观察下列等式：第1个等式：； 第2个等式：；第3个等式：； 第4个等式：；……请解答下列问题：（1）按以上规律列出第5个等式：a5= = ；（2）按以上规律列出第2015个等式：a2015= = ；（3）求a1+a2+a3+a4+…+a2016的值．变2（1）请观察下列算式：，，，，…，则第10个算式为 = ，第n个算式为 = ；（2）运用以上规律计算：．变3观察下列各式：，，，……请利用你所发现的规律，计算，其结果为______．考点三 图形类规律探究类型一 图形规律探究（1）例1搭一个正方形需要4根火柴棒，按照如图的方式搭个正方形需要（ ）根火柴棒． 例2如图，将一个正三角形纸片剪成四个全等的小正三角形，再将其中的一个按同样的方法剪成四个更小的正三角形，……如此继续下去，剪的次数记为n，得到的正三角形的个数记为，如则（ ） 例3如图，图（1）是由6块完全相同的正三角形地砖铺成，图（2）是由10块完全相同的正三角形地砖铺成，图（3）是由14块完全相同的正三角形地砖铺成，……，按图中所示规律，则图（8）所需地砖数量为（ ）……例4按如图的方式摆放餐桌和椅子，n张餐桌可以摆放多少把椅子？（ ） 例5观察下列图形及图形所对应的等式，根据你发现的规律，写出第n幅图形对应的等式______． 例6如图，第个图形需要的棋子数量是______．（用含有的代数式表示） 变1下面图案是用长度相同的火柴棒按一定规律拼搭而成，若第个图案需要根火柴棒，则与的函数关系式为（ ） 变2下列图形都是由圆和几个黑色围棋子按一定规律组成，图（1）中有4个黑色棋子，图（2）中有7个黑色棋子，图（3）中有10个黑色棋子，…，依次规律，图（2022）中黑色棋子的个数是（ ） 变3用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，此规律排列下去，则第⑧个图案中正方形的个数为（ ） 变4用大小相同的棋子按如下规律摆放图形，第2022个图形的棋子数为（ ） 变5如图，第1个图案是由灰白两种颜色的六边形地面砖组成的，第2个，第3个图案可以看成是由第1个图案经过平移而得，那么第个图案中有白色六边形地面砖的块数是（ ） 变6植物园内，月季花按正方形种植，在它的周围种植牵牛花，如图反映了月季花的列数（n）和牵牛花的数量规律，那么当n=2021时，牵牛花的数量为（ ） 变7在庆祝建党“100周年”的活动上，某学校用围棋棋子按照某种规律摆成如图所示的“100”字样，按照这种规律，第2022个“100”字样的棋子个数是______． 变8将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，第 10个图形有______个小圆． 类型二 图形规律探究（2）例1如图所示，甲、乙两动点分别从正方形的顶点，同时沿正方形的边开始移动，甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行，若乙的速度是甲的速度的4倍，则它们第2021次相遇在边（ ）上． 例2桌面上有一个正方体，每个面均有一个不同的编号（1，2，3，…，6），且每组相对面上的编号和为7．将其按顺时针方向滚动（如图），每滚动算一次，则滚动第2022次后，正方体朝下一面的数字是（ ） 例3如图，将一列有理数-1，2，-3，4，-5，6，．．．，有序排列，根据图中的排列规律可知，“峰1”中峰顶的位置（C的位置）是有理数4，那么，“峰5”中C的位置是有理数_ _，-2021应排在A、B、C、D、E中的___位置．其中两个填空依次为（ ） 变1有一个正六面体骰子放在桌面上，将骰子按如图所示顺时针方向滚动，每滚动90°算一次，则滚动第2021次后，骰子朝下一面的数字是（ ） 变2将正整数按如图所示的位置顺序排列： 根据排列规律，则2022应在（ ）变3如图，在直角三角形中，，，，且在直线上，将绕点顺时针旋转到位置①得到点，将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②得到点，…，按此规律继续旋转，直到得到点为止（，，…在直线上）．则（ ） 类型三 图形规律探究（3）例1将边长为1的正方形纸片按如图所示方法进行对折，记第1次对折后得到的图形面积为，第2次对折后得到的图形面积为，…，第n次对折后得到的图形面积为，请根据图2化简，（ ） 例2如图，将一个正方形纸片剪成四个正方形纸片，然后将其中的一个正方形纸片再剪成四个正方形纸片，再将其中的一个正方形纸片剪成四个正方形纸片，如此继续下去…，请你根据以上操作方法得到的正方形的个数的规律完成下列各题． （1）将下表填写完整．（2）=______．（用含n的代数式表示）（3）按照上述操作方法，能否得到2 022个正方形？如果能，请求出n；如果不能，请简述理由．变1如图，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分①是边长为1的正方形纸片面积的一半，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依次类推。 （1）图中阴影部分面积为_________；（2）受此启发，你能求出的值吗？（3）的值为多少？（用含n的式子表示）变2如图，第①个图形中有1个正方形，按照如图所示的方式连接对边中点得到第②个图形，图中共有5个正方形；连接第②个图形中右下角正方形的对边中点得到第③个图形，图中共有9个正方形；按照同样的规律得到第④个图形、第⑤个图形……，则第⑥个图形中正方形的个数是（ ） 类型四 图形规律探究（4）例1利用如图①的二维码可以进行身份识别．某校建立了一个身份识别系统，图②是某个学生的识别图案，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0，将第一行小正方形表示的数字从左到右依次记为a，b，c，d，那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为，如图②第一行小正方形表示的数字从左到右依次为0，1，0，1，序号为，表示该生为5班学生．表示3班学生的识别图案是（ ） 例2如图是一组密码的一部分，为了保密，不同的情况下可以采用不同的密码．若输入数字密码，，对应中转口令是“数学”，最后输出口令为“文化”；按此方法，若输入数字密码，，则最后输出口令为（ ） 变1八一中学利用二维码进行学生学号统一编排．黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0，将每一行数字从左到右依次记为a，b，c，d，那么利用公式计算出每一行的数据．第一行表示年级，第二行表示班级，如图1所示，第一行数字从左往右依次是1，0，0，1，则表示的数据为，计作09，第二行数字从左往右依次是1，0，1，0，则表示的数据为，计作10，以此类推，图1代表的统一学号为091034，表示9年级10班34号．小明所对应的二维码如图2所示，则他的编号是______． 变2用一本书作密码本，首先你要保证常用汉字这本书全都有，然后要保证电码和汉字的双向翻译便捷，为了保密，许多情况下会采用不同的密码，如图是一组密码的一部分，请你运用所学知识找到破译的“密钥"．目前已破译出“守初心”的对应口令是“担使命”．根据你发现的“密钥"，破译出“勤洗手"的对应口令是______． 课后强化1.一列有规律的数：，，，，，，，，···．这列数的第 个数为______．2.观察下面三行数：-2，4，-8，16，-32，64，…；①1，7，﹣5，19，﹣29，67，…；②4，﹣8，16，﹣32，64，﹣128，…．③（1）第①行按什么规律排列？（2）第②③行与第①行分别有什么关系；（3）取每行的第10个数，求这三个数的和．3.按一定规律排列的一组数据：，，，，，，…．则按此规律排列的第10个数是（ ）4.按一定规律排列的单项式：，，，，，……，第n个单项式是（ ）5.观察下列算式，21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256，用你所发现的规律得出22001的末位数字是（ ）6.请观察下列等式：，，，，，，，，…，【观察发现】（1）你发现等式右边数字的个位有什么变化规律？【问题解决】（2）的个位数是______，的个位数是______．【拓展运用】（3）根据其中的规律求的结果的个位数字．7.如图数表是由从1开始的连续自然数组成：则第行的第一个数是（ ） 8.右边是一个按某种规律排列的数阵：根据规律，自然数2021应该排在从上向下数的第m行，是该行中的从左向右数的第n个数，那么m+n的值是（ ） 9.观察下列等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；……按照以上规律，解决下列问题：（1）填空：______=10；（2）填空：________=n（且n为正整数），并证明这个等式．10.观察下面算式：；；；……根据以上算式，解答下列问题：（1）1+3+5+7+9+11的结果为______；1+3+5+7+9+…+29的结果为______；（2）若n表示正整数，请用含n的代数式表示1+3+5+7+9+…+(2n-1)+(2n+1)的值．11.有这样一个问题：经过研究，这个问题的一般性结论是，其中n是正整数．现在我们来研究一个类似的问题：观察下面三个特殊的等式：；；将这三个等式的两边相加，可以得到，读完这段材料，请你思考后回答：（1）______；（2）______．12.原题再现：我们在计算该题时，从左向右，两个数为一组，和为，100个数，应该有50个，结果为．解答：（1）______；（2）______．（3）计算：．（n为正整数）13.观察下面的变化规律：．．．…解答下面的问题：（1）第4个等式是 ．（2）第n个等式是 ．（3）利用上面的规律计算：．14.阅读下面的文字，完成后面的问题，我们知道：1，，，，…，那么：（1）_______﹣_______；（2）计算：；（3）计算：．15.请观察下列算式，找出规律并填空：．（1）则第10个算式是 = ．（2）第n个算式为 = ．（3）根据以上规律解答下题：①；②．16.如图是一组有规律的图案，第1个图案有4个三角形，第2个图案有7个三角形……按此规律下去，第k个图案有_____个三角形．（结果用含k的代数式表示） 17.观察下列图形的构成规律，根据此规律，第10个图形中有_____个圆． 18.数学兴趣小组活动上，宇阳同学用围棋棋子按照某种规律摆成如图所示的“100”字样． （1）按照这种规律，第5个“100”字样的棋子个数是______，第n个“100”字样的棋子个数是______；（2）若有2022个这样的棋子，按这种摆法是否正好摆成一个“100”，若能，求摆出是第几个“100”？若不能，说明理由．19.下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律组成的，按此规律排列下去，则第10个图形中的小圆圈的个数为______． 20.学生在操场进行排队形，根据下图的排列方式（每个点代表一位学生），用字母表示第n个图形中学生的个数是______． 21.有一个正方体骰子，放在桌面上，将骰子沿如图所示的顺时针方向滚动，每滚动90°算一次，则滚动第2022次后，骰子朝下一面的点数是（ ） 22.观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知数2022应标在（ ） 课程标准1.掌握数字类规律探究问题的几类题型的方法；2.掌握等式类规律探究问题的几类题型的方法；3.掌握图形类规律探究问题的几类题型的方法.规律总结数列形式1，3，5，7，9，···，2，4，6，8，10，···，4，7，10，13，16，···，2，5，8，11，14，···，2，4，8，16，32，···，3，5，9，17，33，···，2，5，10，17，26，···，0，3，8，15，24，···，，，，，，，···，，，，，，，···，1，3，6，10，15，21，···，斐波那契数列1，1，2，3，5，8，13，…，从第三个数开始每个数等于与它相邻的前两个数之和A．2019x2019B．4037x2018C．4037x2019D．4039x2019A．B．C．D．A．B． C．D．A．2B．4C．8D．6A．1B．3C．7D．9A．1B．3C．7D．0A．0B．1C．7D．8A．20B．19C．18D．17A．-121B．-123C．-125D．-127A．B．C．D．A．-1010B．-1011C．-1012D．-2022A．B．C．D．A．6058B．6059C．6060D．6061A．26块B．30块C．34块D．38块A．4n+2B．4n+1C．5n+2D．5n-2A．B．C．D．A．6067B．6066C．6065D．6064A．30B．33C．37D．41A．6069个B．6066个C．6072个D．6063个A．B．C．D．A．8076株B．8080株C．8084株D．8088株A．B．C．D．A．5B．4C．3D．2A．24，EB．-25，EC．-24，BD．24，CA．5B．4C．3D．2A．点处B．点处C．点处D．点处A．674B．8081C．8085D．8088A．B．C．D．操作次数12345…n正方形的个数4710…A．17B．21C．25D．29A．B．C．D．A．垂直B．平行C．素养D．相交A．B．C．D．A．B．C．D．A．2B．4C．6D．8A．B．C．D．A．131B．130C．129D．128A．5B．3C．4D．2A．第506个正方形的右上角B．第506个正方形的左下角C．第505个正方形的右上角D．第505个正方形的左下角
第25讲 规律探究目标导航知识清单知识点01 规律探究常见的数字规律知识点02 规律探究方法总结 1.规律探究的核心是找出每个数与对应的位次（即n）之间的关系；2.若数列为分数数列，则分子分母分开找规律； 3.若数列是正负交替排列，则在答案前加上；若数列是负正交替排列，则在答案前加上； 4.若是选择题，则可以用代值法，再利用排除法选出正确答案即可.知识点03 高斯求和定理.考点精析考点一 数字类规律探究类型一 数字类规律探究（1）例1观察这些数的规律，3，-8，15，-24，35，…则第10个数是______．例2观察下列关于x的单项式，探究其规律，x，3x2，5x3，7x4，9x5，11x6，…按照上述规律，第2019个单项式是（ ）变1按一定规律排列的一列数依次为2，﹣5，10，﹣17，26，﹣37，…，按此规律排列下去，这列数中的第20个数是______．变2按一定规律排列的单项式：，，，，，……，第n个单项式是（ ）例3观察下面一列数，根据规律写出横线上的数，-；；-；；______；______；……；第2021个数是______．例4有一列数按如下规律排列：，…则第2017个数是______．例5观察下列一组数：﹣，，﹣，，﹣，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第8个数是______．变3给定一列按规律排列的数：-1，，，，…，则第9个数为______．变4观察下面一列数：1，，，，，……，按照这个规律，第10个数应该是______．变5察下列一组数：，，，，，…，它们是按照一定规律排列的，那么这组数的第n个数是（ ）类型二 数字类规律探究（2）例1若=2，=4，=8，=16，=32…，则的末位数字是（ ）例2观察式子：…，请你判断的结果的个位数是（ ）例3观察下列等式：…，那么的末位数字是（ ）变1观察下列等式：3=3， 3=9 ，3=27， 3=81， 3=243， 3=729，3=2187……，则第2018个等式幂的结果的末位数字是______．变2观察下列等式：70=1，71=7，72=49，73=343，74=2401，75=16807，…，根据其中的规律可得，7＋71＋72＋…＋72019＋72020的结果的个位数是（ ）类型三 数字类规律探究（3）例1已知一列数：1，-2，3，-4，5，-6，7，……将这列数如下排列，第10行从左边数第5个数等于______．第1行 1第2行 -2 3第3行 -4 5 -6第4行 7 -8 9 -10第5行 11 12 13 -14 15…例2将1，，，，，，…，按一定规律排列如下：第1行 1第2行 第3行 第4行 第5行 …请你写出第20行从左至右第10个数是______．例3观察下列两行数：0，2，4，6，8，10，12，14，16，…0，3，6，9，12，15，18，21，24，…探究发现：第1个相同的数是0，第2个相同的数是6，…，若第n个相同的数是102，则n等于（ ）变1如图，将正整数按此规律排列成数表，则2022是表中第_____行第_____列． 变2观察下面的数：按着上述的规律排下去，那么第12行从左边数第4个数是（ ）变3把正整数1，2，3，4，5，……，按如下规律排列：根据排列规律，回答下列问题． （1）第7行第1个数是 ，第20行第1个数是 ；（2）数“180”是第几行第几个数？考点二 等式类规律探究类型一 等式类规律探究（1）例1已知：，，，……那么（ ）例2已知整数a1，a2，a3，a4，…满足下列条件：a1=0，a2=-|a1+1|，a3=-|a2+2|，a4=-|a3+3|，…，依此类推，则a2022的值为（ ）例3已知：，，，根据此规律______．变1下列式子：32＋42=52，82＋62=102，152＋82=172，242＋102=262……请你利用发现的规律写出第五个等式______．故答案为：．变2观察下列式子：；；；；…根据上述规律，计算：______．变3通过计算发现：，，……，则______．例4如图，观察所给算式，找出规律：，，，，……根据规律计算______．变4观察下列各式的计算结果：；；；…（1）用你发现的规律填写下列式子的结果：1﹣= × ；1﹣= × .（2）用你发现的规律计算：（1-）×（1-）×（1-）×…×（1-）×（1-）×.变5研究下列算式，你会发现什么规律？；；；．（1）请写出第9个式子______；（2）请用含n的式子表示第n个式子：______；（3）计算的值时可以这样做：解：原式 ．请你用发现的规律解决下面的问题：计算：类型二 等式类规律探究（2）例1观察式子=，=， ，……由此可知……+______．例2观察下列等式：将以上三个等式的两边分别相加得.（1）猜想并写出= ．（不必写出计算结果）（2）直接写出下列各式的计算结果：①______；②______；（3）填空：=______．变1观察下列等式：第1个等式：； 第2个等式：；第3个等式：； 第4个等式：；……请解答下列问题：（1）按以上规律列出第5个等式：a5= = ；（2）按以上规律列出第2015个等式：a2015= = ；（3）求a1+a2+a3+a4+…+a2016的值．变2（1）请观察下列算式：，，，，…，则第10个算式为 = ，第n个算式为 = ；（2）运用以上规律计算：．变3观察下列各式：，，，……请利用你所发现的规律，计算，其结果为______．考点三 图形类规律探究类型一 图形规律探究（1）例1搭一个正方形需要4根火柴棒，按照如图的方式搭个正方形需要（ ）根火柴棒． 例2如图，将一个正三角形纸片剪成四个全等的小正三角形，再将其中的一个按同样的方法剪成四个更小的正三角形，……如此继续下去，剪的次数记为n，得到的正三角形的个数记为，如则（ ） 例3如图，图（1）是由6块完全相同的正三角形地砖铺成，图（2）是由10块完全相同的正三角形地砖铺成，图（3）是由14块完全相同的正三角形地砖铺成，……，按图中所示规律，则图（8）所需地砖数量为（ ）……例4按如图的方式摆放餐桌和椅子，n张餐桌可以摆放多少把椅子？（ ） 例5观察下列图形及图形所对应的等式，根据你发现的规律，写出第n幅图形对应的等式______． 例6如图，第个图形需要的棋子数量是______．（用含有的代数式表示） 变1下面图案是用长度相同的火柴棒按一定规律拼搭而成，若第个图案需要根火柴棒，则与的函数关系式为（ ） 变2下列图形都是由圆和几个黑色围棋子按一定规律组成，图（1）中有4个黑色棋子，图（2）中有7个黑色棋子，图（3）中有10个黑色棋子，…，依次规律，图（2022）中黑色棋子的个数是（ ） 变3用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，此规律排列下去，则第⑧个图案中正方形的个数为（ ） 变4用大小相同的棋子按如下规律摆放图形，第2022个图形的棋子数为（ ） 变5如图，第1个图案是由灰白两种颜色的六边形地面砖组成的，第2个，第3个图案可以看成是由第1个图案经过平移而得，那么第个图案中有白色六边形地面砖的块数是（ ） 变6植物园内，月季花按正方形种植，在它的周围种植牵牛花，如图反映了月季花的列数（n）和牵牛花的数量规律，那么当n=2021时，牵牛花的数量为（ ） 变7在庆祝建党“100周年”的活动上，某学校用围棋棋子按照某种规律摆成如图所示的“100”字样，按照这种规律，第2022个“100”字样的棋子个数是______． 变8将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，第 10个图形有______个小圆． 类型二 图形规律探究（2）例1如图所示，甲、乙两动点分别从正方形的顶点，同时沿正方形的边开始移动，甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行，若乙的速度是甲的速度的4倍，则它们第2021次相遇在边（ ）上． 例2桌面上有一个正方体，每个面均有一个不同的编号（1，2，3，…，6），且每组相对面上的编号和为7．将其按顺时针方向滚动（如图），每滚动算一次，则滚动第2022次后，正方体朝下一面的数字是（ ） 例3如图，将一列有理数-1，2，-3，4，-5，6，．．．，有序排列，根据图中的排列规律可知，“峰1”中峰顶的位置（C的位置）是有理数4，那么，“峰5”中C的位置是有理数_ _，-2021应排在A、B、C、D、E中的___位置．其中两个填空依次为（ ） 变1有一个正六面体骰子放在桌面上，将骰子按如图所示顺时针方向滚动，每滚动90°算一次，则滚动第2021次后，骰子朝下一面的数字是（ ） 变2将正整数按如图所示的位置顺序排列： 根据排列规律，则2022应在（ ）变3如图，在直角三角形中，，，，且在直线上，将绕点顺时针旋转到位置①得到点，将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②得到点，…，按此规律继续旋转，直到得到点为止（，，…在直线上）．则（ ） 类型三 图形规律探究（3）例1将边长为1的正方形纸片按如图所示方法进行对折，记第1次对折后得到的图形面积为，第2次对折后得到的图形面积为，…，第n次对折后得到的图形面积为，请根据图2化简，（ ） 例2如图，将一个正方形纸片剪成四个正方形纸片，然后将其中的一个正方形纸片再剪成四个正方形纸片，再将其中的一个正方形纸片剪成四个正方形纸片，如此继续下去…，请你根据以上操作方法得到的正方形的个数的规律完成下列各题． （1）将下表填写完整．（2）=______．（用含n的代数式表示）（3）按照上述操作方法，能否得到2 022个正方形？如果能，请求出n；如果不能，请简述理由．变1如图，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分①是边长为1的正方形纸片面积的一半，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依次类推。 （1）图中阴影部分面积为_________；（2）受此启发，你能求出的值吗？（3）的值为多少？（用含n的式子表示）变2如图，第①个图形中有1个正方形，按照如图所示的方式连接对边中点得到第②个图形，图中共有5个正方形；连接第②个图形中右下角正方形的对边中点得到第③个图形，图中共有9个正方形；按照同样的规律得到第④个图形、第⑤个图形……，则第⑥个图形中正方形的个数是（ ） 类型四 图形规律探究（4）例1利用如图①的二维码可以进行身份识别．某校建立了一个身份识别系统，图②是某个学生的识别图案，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0，将第一行小正方形表示的数字从左到右依次记为a，b，c，d，那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为，如图②第一行小正方形表示的数字从左到右依次为0，1，0，1，序号为，表示该生为5班学生．表示3班学生的识别图案是（ ） 例2如图是一组密码的一部分，为了保密，不同的情况下可以采用不同的密码．若输入数字密码，，对应中转口令是“数学”，最后输出口令为“文化”；按此方法，若输入数字密码，，则最后输出口令为（ ） 变1八一中学利用二维码进行学生学号统一编排．黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0，将每一行数字从左到右依次记为a，b，c，d，那么利用公式计算出每一行的数据．第一行表示年级，第二行表示班级，如图1所示，第一行数字从左往右依次是1，0，0，1，则表示的数据为，计作09，第二行数字从左往右依次是1，0，1，0，则表示的数据为，计作10，以此类推，图1代表的统一学号为091034，表示9年级10班34号．小明所对应的二维码如图2所示，则他的编号是______． 变2用一本书作密码本，首先你要保证常用汉字这本书全都有，然后要保证电码和汉字的双向翻译便捷，为了保密，许多情况下会采用不同的密码，如图是一组密码的一部分，请你运用所学知识找到破译的“密钥"．目前已破译出“守初心”的对应口令是“担使命”．根据你发现的“密钥"，破译出“勤洗手"的对应口令是______． 课后强化1.一列有规律的数：，，，，，，，，···．这列数的第 个数为______．2.观察下面三行数：-2，4，-8，16，-32，64，…；①1，7，﹣5，19，﹣29，67，…；②4，﹣8，16，﹣32，64，﹣128，…．③（1）第①行按什么规律排列？（2）第②③行与第①行分别有什么关系；（3）取每行的第10个数，求这三个数的和．3.按一定规律排列的一组数据：，，，，，，…．则按此规律排列的第10个数是（ ）4.按一定规律排列的单项式：，，，，，……，第n个单项式是（ ）5.观察下列算式，21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256，用你所发现的规律得出22001的末位数字是（ ）6.请观察下列等式：，，，，，，，，…，【观察发现】（1）你发现等式右边数字的个位有什么变化规律？【问题解决】（2）的个位数是______，的个位数是______．【拓展运用】（3）根据其中的规律求的结果的个位数字．7.如图数表是由从1开始的连续自然数组成：则第行的第一个数是（ ） 8.右边是一个按某种规律排列的数阵：根据规律，自然数2021应该排在从上向下数的第m行，是该行中的从左向右数的第n个数，那么m+n的值是（ ） 9.观察下列等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；……按照以上规律，解决下列问题：（1）填空：______=10；（2）填空：________=n（且n为正整数），并证明这个等式．10.观察下面算式：；；；……根据以上算式，解答下列问题：（1）1+3+5+7+9+11的结果为______；1+3+5+7+9+…+29的结果为______；（2）若n表示正整数，请用含n的代数式表示1+3+5+7+9+…+(2n-1)+(2n+1)的值．11.有这样一个问题：经过研究，这个问题的一般性结论是，其中n是正整数．现在我们来研究一个类似的问题：观察下面三个特殊的等式：；；将这三个等式的两边相加，可以得到，读完这段材料，请你思考后回答：（1）______；（2）______．12.原题再现：我们在计算该题时，从左向右，两个数为一组，和为，100个数，应该有50个，结果为．解答：（1）______；（2）______．（3）计算：．（n为正整数）13.观察下面的变化规律：．．．…解答下面的问题：（1）第4个等式是 ．（2）第n个等式是 ．（3）利用上面的规律计算：．14.阅读下面的文字，完成后面的问题，我们知道：1，，，，…，那么：（1）_______﹣_______；（2）计算：；（3）计算：．15.请观察下列算式，找出规律并填空：．（1）则第10个算式是 = ．（2）第n个算式为 = ．（3）根据以上规律解答下题：①；②．16.如图是一组有规律的图案，第1个图案有4个三角形，第2个图案有7个三角形……按此规律下去，第k个图案有_____个三角形．（结果用含k的代数式表示） 17.观察下列图形的构成规律，根据此规律，第10个图形中有_____个圆． 18.数学兴趣小组活动上，宇阳同学用围棋棋子按照某种规律摆成如图所示的“100”字样． （1）按照这种规律，第5个“100”字样的棋子个数是______，第n个“100”字样的棋子个数是______；（2）若有2022个这样的棋子，按这种摆法是否正好摆成一个“100”，若能，求摆出是第几个“100”？若不能，说明理由．19.下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律组成的，按此规律排列下去，则第10个图形中的小圆圈的个数为______． 20.学生在操场进行排队形，根据下图的排列方式（每个点代表一位学生），用字母表示第n个图形中学生的个数是______． 21.有一个正方体骰子，放在桌面上，将骰子沿如图所示的顺时针方向滚动，每滚动90°算一次，则滚动第2022次后，骰子朝下一面的点数是（ ） 22.观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知数2022应标在（ ） 课程标准1.掌握数字类规律探究问题的几类题型的方法；2.掌握等式类规律探究问题的几类题型的方法；3.掌握图形类规律探究问题的几类题型的方法.规律总结数列形式1，3，5，7，9，···，2，4，6，8，10，···，4，7，10，13，16，···，2，5，8，11，14，···，2，4，8，16，32，···，3，5，9，17，33，···，2，5，10，17，26，···，0，3，8，15，24，···，，，，，，，···，，，，，，，···，1，3，6，10，15，21，···，斐波那契数列1，1，2，3，5，8，13，…，从第三个数开始每个数等于与它相邻的前两个数之和A．2019x2019B．4037x2018C．4037x2019D．4039x2019A．B．C．D．A．B． C．D．A．2B．4C．8D．6A．1B．3C．7D．9A．1B．3C．7D．0A．0B．1C．7D．8A．20B．19C．18D．17A．-121B．-123C．-125D．-127A．B．C．D．A．-1010B．-1011C．-1012D．-2022A．B．C．D．A．6058B．6059C．6060D．6061A．26块B．30块C．34块D．38块A．4n+2B．4n+1C．5n+2D．5n-2A．B．C．D．A．6067B．6066C．6065D．6064A．30B．33C．37D．41A．6069个B．6066个C．6072个D．6063个A．B．C．D．A．8076株B．8080株C．8084株D．8088株A．B．C．D．A．5B．4C．3D．2A．24，EB．-25，EC．-24，BD．24，CA．5B．4C．3D．2A．点处B．点处C．点处D．点处A．674B．8081C．8085D．8088A．B．C．D．操作次数12345…n正方形的个数4710…A．17B．21C．25D．29A．B．C．D．A．垂直B．平行C．素养D．相交A．B．C．D．A．B．C．D．A．2B．4C．6D．8A．B．C．D．A．131B．130C．129D．128A．5B．3C．4D．2A．第506个正方形的右上角B．第506个正方形的左下角C．第505个正方形的右上角D．第505个正方形的左下角
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