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初中数学人教版八年级下册17.2 勾股定理的逆定理背景图课件ppt
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这是一份初中数学人教版八年级下册17.2 勾股定理的逆定理背景图课件ppt，文件包含第1课时勾股定理的逆定理pptx、互逆命题mp4、勾股定理逆定理导入mp4等3份课件配套教学资源，其中PPT共21页， 欢迎下载使用。
据说，古埃及人用右图的方法画直角：把一根长绳打上等距离的 13 个结，然后以 3 个结间距、4 个结间距、5 个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角.
你知道为什么吗？今天我们就来学习其中的原因.
探究点 1 勾股定理的逆定理
类似古埃及人画直角的故事，我们准备三根绳子来模仿操作，看看能否得到和古埃及人相同的结果.
（1）让一根绳子的一端与 0 刻度线重合，分别在 3 cm，7 cm，12 cm 处做标记，得到长度分别为 3 cm，4 cm，5 cm 的三段，然后以这三段为边围成一个三角形，量量看是不是直角三角形.
（2）类似（1）的操作，以 2.5 cm，6 cm，6.5 cm 和 4 cm，7.5 cm，8.5 cm 的三段为边分别围成一个三角形，量量看是不是直角三角形.
（3）结合上面的操作，想想学过的勾股定理，猜想一个三角形的三边满足什么关系时，这个三角形就是直角三角形，用命题形式表述.
如果三角形的三边长 a，b，c 满足a2 +b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形.
3 cm，4 cm，5 cm
2.5 cm，6 cm，6.5 cm
4 cm，7.5 cm，8.5 cm
这两个命题的题设、结论分别是什么？
命题2 如果三角形 ABC 的三边长 a，b，c 满足 a2 + b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形．
探究点 2 互逆命题和互逆定理
命题1 如果直角三角形两直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么 a2+b2 = c2．
我们把像这样，题设和结论正好相反的两个命题叫做互逆命题. 如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.
如图①，已知：在△ABC 中，AB = c，BC = a，CA = b，并且 a2 + b2 = c2，怎么证明△ABC 是直角三角形呢？
如图②，画一个 Rt△A′B′C′ 中，使B′C′ = a，A′C′ = b，∠C′ = 90°. △ABC 与△ A′B′C′ 全等吗？可以说明△ABC是直角三角形吗？
根据勾股定理，A′B′2 = B′C′2 + A′C′2 = a2 + b2 = c2.∴ A′B′ = c .在△ABC 和△A′B′C′ 中，BC = a = B′C′，AC = b = A′C′，AB = c = A′B′，∴△ABC ≌△ A′B′C′（SSS）.∴∠C=∠C′=90°，即△ABC 是直角三角形.
如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理.
定理：内错角相等，两直线平行；
逆定理：两直线平行，内错角相等；
勾股定理是正确的，其逆命题也是正确的，是不是说明原命题成立，其逆命题一定成立呢？有没有反例说明？
不一定.比如命题“对顶角相等”成立，而它的逆命题“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”却不成立.
例 1 判断由线段 a，b，c 组成的三角形是不是直角三角形：（1）a = 15，b = 8，c = 17；（2）a = 13，b = 14，c = 15.
解：（1）因为 152 + 82 = 225 + 64 = 289， 172 = 289，所以 152 + 82 = 172，根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形.
（2）因为 132 + 142 = 169 + 196 = 365， 152 = 225，所以 132 + 142 ≠ 152，根据勾股定理，这个三角形不是直角三角形.
像 15，8，17 这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数.
1. 以下列各组数为三边长的三角形中，是直角三角形 的有（ ） ① 5，12，13； ② 1，2，4； ③ 32，42，52； ④ 0.3，0.4，0.5. A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
2. 有下列 4 组数：① 7，24，25；② 8，15，19；③ 0.6， 0.8，1.0；④ 30，40，50. 其中，勾股数有（ ） A. 1 组 B. 2 组 C. 3 组 D. 4 组
3. 如果三条线段长 a，b，c 满足 a2 = c2-b2，这三条线段 组成的三角形是不是直角三角形？为什么？
解: 这三条线段组成的三角形是直角三角形.∵ a2 = c2-b2，∴ a2 + b2 = c2，由勾股定理的逆定理知这个三角形是直角三角形.
4. 说出下列命题的逆命题，这些逆命题成立吗？（1）两条直线平行，内错角相等；（2）如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；
其逆命题为“内错角相等，两直线平行”；这个命题成立.
其逆命题为“如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等”；这个命题不成立.如 |-3| = |3|，但 -3 ≠ 3.
（3）全等三角形的对应角相等；（4）在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
其逆命题为“对应角相等的两个三角形全等”；这个命题不成立.
其逆命题为“角平分线上的点到角两边的距离相等”；这个命题成立.
活动三：重点突破，提升探究
例 2 四边形 ABCD 的各边长如图所示，对角线 BD = 10， 求四边形 ABCD 的面积.
据说，古埃及人用右图的方法画直角：把一根长绳打上等距离的 13 个结，然后以 3 个结间距、4 个结间距、5 个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角.
你知道为什么吗？今天我们就来学习其中的原因.
探究点 1 勾股定理的逆定理
类似古埃及人画直角的故事，我们准备三根绳子来模仿操作，看看能否得到和古埃及人相同的结果.
（1）让一根绳子的一端与 0 刻度线重合，分别在 3 cm，7 cm，12 cm 处做标记，得到长度分别为 3 cm，4 cm，5 cm 的三段，然后以这三段为边围成一个三角形，量量看是不是直角三角形.
（2）类似（1）的操作，以 2.5 cm，6 cm，6.5 cm 和 4 cm，7.5 cm，8.5 cm 的三段为边分别围成一个三角形，量量看是不是直角三角形.
（3）结合上面的操作，想想学过的勾股定理，猜想一个三角形的三边满足什么关系时，这个三角形就是直角三角形，用命题形式表述.
如果三角形的三边长 a，b，c 满足a2 +b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形.
3 cm，4 cm，5 cm
2.5 cm，6 cm，6.5 cm
4 cm，7.5 cm，8.5 cm
这两个命题的题设、结论分别是什么？
命题2 如果三角形 ABC 的三边长 a，b，c 满足 a2 + b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形．
探究点 2 互逆命题和互逆定理
命题1 如果直角三角形两直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么 a2+b2 = c2．
我们把像这样，题设和结论正好相反的两个命题叫做互逆命题. 如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.
如图①，已知：在△ABC 中，AB = c，BC = a，CA = b，并且 a2 + b2 = c2，怎么证明△ABC 是直角三角形呢？
如图②，画一个 Rt△A′B′C′ 中，使B′C′ = a，A′C′ = b，∠C′ = 90°. △ABC 与△ A′B′C′ 全等吗？可以说明△ABC是直角三角形吗？
根据勾股定理，A′B′2 = B′C′2 + A′C′2 = a2 + b2 = c2.∴ A′B′ = c .在△ABC 和△A′B′C′ 中，BC = a = B′C′，AC = b = A′C′，AB = c = A′B′，∴△ABC ≌△ A′B′C′（SSS）.∴∠C=∠C′=90°，即△ABC 是直角三角形.
如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理.
定理：内错角相等，两直线平行；
逆定理：两直线平行，内错角相等；
勾股定理是正确的，其逆命题也是正确的，是不是说明原命题成立，其逆命题一定成立呢？有没有反例说明？
不一定.比如命题“对顶角相等”成立，而它的逆命题“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”却不成立.
例 1 判断由线段 a，b，c 组成的三角形是不是直角三角形：（1）a = 15，b = 8，c = 17；（2）a = 13，b = 14，c = 15.
解：（1）因为 152 + 82 = 225 + 64 = 289， 172 = 289，所以 152 + 82 = 172，根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形.
（2）因为 132 + 142 = 169 + 196 = 365， 152 = 225，所以 132 + 142 ≠ 152，根据勾股定理，这个三角形不是直角三角形.
像 15，8，17 这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数.
1. 以下列各组数为三边长的三角形中，是直角三角形 的有（ ） ① 5，12，13； ② 1，2，4； ③ 32，42，52； ④ 0.3，0.4，0.5. A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
2. 有下列 4 组数：① 7，24，25；② 8，15，19；③ 0.6， 0.8，1.0；④ 30，40，50. 其中，勾股数有（ ） A. 1 组 B. 2 组 C. 3 组 D. 4 组
3. 如果三条线段长 a，b，c 满足 a2 = c2-b2，这三条线段 组成的三角形是不是直角三角形？为什么？
解: 这三条线段组成的三角形是直角三角形.∵ a2 = c2-b2，∴ a2 + b2 = c2，由勾股定理的逆定理知这个三角形是直角三角形.
4. 说出下列命题的逆命题，这些逆命题成立吗？（1）两条直线平行，内错角相等；（2）如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；
其逆命题为“内错角相等，两直线平行”；这个命题成立.
其逆命题为“如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等”；这个命题不成立.如 |-3| = |3|，但 -3 ≠ 3.
（3）全等三角形的对应角相等；（4）在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
其逆命题为“对应角相等的两个三角形全等”；这个命题不成立.
其逆命题为“角平分线上的点到角两边的距离相等”；这个命题成立.
活动三：重点突破，提升探究
例 2 四边形 ABCD 的各边长如图所示，对角线 BD = 10， 求四边形 ABCD 的面积.
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