人教A版高中数学必修第一册要点速记

第一章　集合与常用逻辑用语1．常用数集2．集合中元素的三个特性：确定性、互异性和无序性．3．元素与集合的关系：属于，记作a∈A， 不属于，记作a∉A．4．集合的表示方法：列举法(如1，2，3) 描述法(如xx2=8) 图示法如 5．集合间的基本关系[重要结论]　(1)若集合A中含有n个元素，则有2n个子集，有2n－1个非空子集，有2n－1个真子集，有2n－2个非空真子集．(2)子集关系的传递性，即A⊆B，B⊆C⇒A⊆C．[易错警示]　空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解．6．集合的基本运算(1)并集：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}；(2)交集：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}；(3)补集：∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}．[重要结论]　A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B．7．充分条件与必要条件8．全称量词命题与存在量词命题的否定含有一个量词的命题的否定，既要否定量词，又要否定结论．全称量词命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定为p：∃x∈M,p(x)；存在量词命题p：∃x∈M，p(x)，它的否定为p：∀x∈M,p(x)．9．根据集合间的关系判断充分、必要条件第二章　一元二次函数、方程和不等式1．作差法比较两个实数的大小a－b>0⇔a>b；a－b＝0⇔a＝b；a－b<0⇔ab⇔bb，b>c⇒a>c；性质3(可加性)：a>b⇒a＋c>b＋c；性质4：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒acb，c>d⇒a＋c>b＋d；性质6：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd；性质7：a>b>0，n∈N，n≥2⇒an>bn；性质8：a>b>0，n∈N，n≥2⇒na>nb．3．基本不等式：ab≤a+b2(1)不等式成立的条件：a>0，b>0．(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．(3)基本不等式的变形：ab≤a+b22(a，b∈R)．(4)重要不等式： a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．(5)最值定理：已知x>0，y>0，则①如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值2p．(简记：积定和最小)②如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值p24．(简记：和定积最大)[易错警示]　应用基本不等式求最值的前提条件：“一正、二定、三相等”．4．解一元二次不等式的一般步骤[记忆口诀]　大于取两边，小于取中间．5．不等式恒成立问题的解法(1)a≠0时，ax2＋bx＋c>0(<0)对任意实数x恒成立的条件是a>0，Δ<0 (a<0，Δ<0 )．(2)对于较易分离且分离后函数最值易求的问题都可以采用分离参数法，其常用的结论是：g(a)>f (x)(g(a)f (x)max(g(a)0⇔fx1-fx2x1-x2>0⇔f (x)在[a，b]上是增函数；(2)(x1－x2)[f (x1)－f (x2)]<0⇔fx1-fx2x1-x2<0⇔f (x)在[a，b]上是减函数．[拓展]　复合函数的单调性满足同增异减的原则．3．最值的定义：设函数y＝f (x)的定义域为D，如果存在实数M满足：(1)①∀x∈D，都有f (x)≤M；②∃x0∈D，使得f (x0)＝M，则M是函数y＝f (x)的最大值．(2)①∀x∈D，都有f (x)≥M；②∃x0∈D，使得f (x0)＝M，则M是函数y＝f (x)的最小值．4．函数的奇偶性(1)f (x)是奇函数⇔对定义域内任意x，都有f (－x)＝－f (x)⇔f (x)图象关于原点对称；(2)f (x)是偶函数⇔对定义域内任意x，都有f (－x)＝f (x)⇔f (x)图象关于y轴对称．[重要结论]　若奇函数f (x)在原点处有意义，则f (0)＝0．5．五个常见幂函数的图象第四章　指数函数与对数函数1．根式的性质(1)(na)n＝a．(2)当n为奇数时，nan＝a；当n为偶数时，nan＝|a|＝a，a≥0，-a，a<0．2．分数指数幂 (1)amn＝nam(a>0，m，n∈N*，且n>1)．(2)a-mn＝1amn ＝1nam(a>0，m，n∈N*，且n>1)．(3)0的正分数指数幂为0，0的负分数指数幂没有意义．3．有理指数幂的运算性质(1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．4．指数式与对数式的关系(1)互化式：若a>0，且a≠1，则ax＝N⇔logaN＝x．(2)对数的基本性质①零和负数没有对数，即真数N>0；②1的对数为0，即loga1＝0(a>0，且a≠1)；③底数的对数等于1，即logaa＝1(a>0，且a≠1)．(3)两个重要的对数恒等式①alogaN＝N(a>0，且a≠1，N>0)；②logaaN＝N(a>0，且a≠1)．5．对数的四则运算法则如果a>0，且a≠1，M >0，N>0，那么：(1)loga(MN)＝logaM＋logaN；(2)logaMN＝logaM－logaN；(3)logaM n＝nlogaM(n∈R)．6．对数的换底公式及推论(1)换底公式：logab＝logcblogcaa>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0．(2)常用推论： ①logab·logba＝1；②logab·logbc·logca＝1；③logambn ＝nmlogab(a>0，a≠1，b>0，m≠0)．7．指数、对数函数的图象及性质 [说明]　(1)研究指数、对数函数的性质时，要首先考虑底数a的取值范围，分a>1和00．(3)如果单调函数y＝f (x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f (a)f (b)<0，那么函数y＝f (x)在区间(a，b)内有唯一的零点，即存在唯一的c∈(a，b)，使得f (c)＝0，这个c也就是方程f (x)＝0的实数解．(4)二分法：对于在区间[a，b]上图象连续不断且f (a)f (b)<0的函数y＝f (x)，通过不断地把函数f (x)的零点所在的区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法，叫做二分法．第五章　三角函数1．任意角和弧度制(1)终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．(2)角度与弧度的互化(3)弧度制下的弧长与扇形面积公式设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则①弧长公式：l＝αR．②扇形面积公式：S＝12lR＝12αR2．2．任意角的三角函数的定义设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y)，(1)点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作sin α，即y＝sin α；(2)点P的横坐标x叫做α的余弦函数，记作cos α，即x＝cos α；(3)把点P的纵坐标与横坐标的比值yx叫做α的正切，记作tan α，即yx＝tan α(x≠0)．[拓展]　(1)若点P(x，y)是角α终边上的任意一点，点P到原点的距离为r(r>0)，则sin α＝yr，cos α＝xr，tan α＝yx．(2)三角函数值在各象限内符号为正的口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦．3．同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1；(2)商数关系：tanα＝sinαcosα．4．三角函数的诱导公式5．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)[重要结论]　函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)为偶函数的充要条件是φ＝π2＋kπ(k∈Z); f (x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z)．6．三角恒等变换(1)两角和与差的余弦、正弦、正切公式cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β(C(α－β))；cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β(C(α＋β))；sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β(S(α－β))；sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β(S(α＋β))；tan (α－β)＝tanα-tanβ1+tanαtanβ(T(α－β))；tan (α＋β)＝tanα+tanβ1-tanαtanβ(T(α＋β))．(2)二倍角公式sin 2α＝2sin αcos α；cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；tan 2α＝2tanα1-tan2α．(3)半角公式Sin α2＝±1-cosα2；cos α2＝±1+cosα2；tan α2＝±1-cosα1+cosα；tan α2＝sin α2cos α2＝sin α2·2cos α2cos α2·2cos α2＝sinα1+cosα；tan α2＝sin α2cos α2＝sin α2·2sin α2cos α2·2sin α2＝1-cosαsinα．(4)辅助角公式a sin α＋b cos α＝a2+b2sin (α＋φ)，其中sin φ＝ba2+b2，cos φ＝aa2+b2，tan φ＝ba．[重要结论]　(1)公式的常用变式tan α±tan β＝tan (α±β)(1∓tan αtan β)；sin 2α＝2sinαcosαsin2α+cos2α＝2tanα1+tan2α；cos2α＝cos2α-sin2αcos2α+sin2α＝1-tan2α1+tan2α．(2)降幂公式：sin2α＝1-cos2α2；cos2α＝1+cos2α2；sin αcos α＝12sin 2α．7．函数y＝A sin (ωx＋φ)(1)函数y＝A sin (ωx＋φ)，A＞0，ω＞0中参数的物理意义(2)用五点法画y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，x∈R)一个周期内的简图时，要找五个特征点，如表所示：(3)函数y＝sin x的图象经变换得到y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种途径方法一(先平移后伸缩)　 方法二(先伸缩后平移)[易错警示]　左右平移是相对于自变量x而言的，与其系数无关．8．三角恒等变换与三角函数图象性质的综合问题的解题策略利用三角恒等变换把函数化为f (x)＝A sin (ωx＋φ)＋b的形式．(1)求周期：在ω＞0，A>0的前提下，利用周期公式T＝2πω即可计算出函数f (x)的最小正周期．(2)求单调区间：在ω＞0的前提下，－π2＋2kπ≤ωx＋φ≤π2＋2kπ(k∈Z)的解集即为函数f (x)的单调递增区间，π2＋2kπ≤ωx＋φ≤3π2＋2kπ(k∈Z)的解集即为函数f (x)的单调递减区间．(3)求最值：①代换法：若A＞0，ω＞0，把ωx＋φ看作一个整体，由x的范围计算出u＝ωx＋φ的取值范围，然后结合函数y＝sin u的图象确定函数f (x)的最小值和最大值．②转化法：形如y＝a sin2x＋b sinx＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)．③换元法：形如y＝a sin x cos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值)．④图象法：画出三角函数图象，利用图象求函数的最值．模块综合测评(时间：120分钟　满分：150分)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合A＝{x|－23}，则A∩B＝(　　)A．{x|－21，0＝log51a2b＋ab2B．若a，b，m为正实数，且abc2，则a>bD．当x>0时，x＋2x的最小值为2AC　[对于A，若a，b为正实数，且a≠b，则a3＋b3－a2b+ab2＝(A＋B)a2-ab+b2－ab(A＋B)＝(A＋B)(a－b)2>0，所以a3＋b3>a2b＋ab2，故A正确；对于B，若a，b，m为正实数，且a0，所以a+mb+m>ab，故B错误；对于C，因为ac2>bc2，又c2>0，故a>b，故C正确；对于D，当x>0时，x＋2x≥2x·2x＝22，当且仅当x＝2时取等号，故D错误．故选AC．]10．(2020·新高考Ⅰ卷)如图是函数y＝sin (ωx＋φ)的部分图象，则sin (ωx＋φ)＝(　　)A．sin x+π3 B．sin π3-2xC．cos 2x+π6 D．cos 5π6-2xBC　[由题图可知，函数的最小正周期T＝22π3-π6＝π，∴2πω＝π，ω＝±2．当ω＝2时，y＝sin (2x＋φ)，将点π6，0代入得，sin 2×π6+φ＝0，∴2×π6＋φ＝2kπ＋π，k∈Z，即φ＝2kπ＋2π3，k∈Z，故y＝sin 2x+2π3．由于y＝sin 2x+2π3＝sin π-2x+2π3＝sin π3-2x，故选项B正确；y＝sin π3-2x＝cos π2-π3-2x＝cos 2x+π6，选项C正确；对于选项A，当x＝π6时，sin π6+π3＝1≠0，错误；对于选项D，当x＝π6+2π32＝5π12时，cos 5π6-2×5π12＝1≠－1，错误．当ω＝－2时，y＝sin (－2x＋φ)，将π6，0代入，得sin -2×π6+φ＝0，结合函数图象，知－2×π6＋φ＝π＋2kπ，k∈Z，得φ＝4π3＋2kπ，k∈Z，∴y＝sin -2x+4π3，但当x＝0时，y＝sin 4π3＝－32<0，与图象不符合，舍去．综上，选BC．]11．(2022·浙江省杭州七中期末)已知函数f (x)＝sin x+π4，则f x+π4(　　)A．是奇函数B．是偶函数C．关于点(π，0)成中心对称D．关于点3π2，0成中心对称BD　[因为f x+π4＝sin x+π4+π4＝sin x+π2＝cos x，故函数f x+π4为偶函数，因为函数f x+π4的对称中心坐标为π2+kπ，0k∈Z，所以函数f x+π4的图象关于点3π2，0成中心对称．故选BD．]12．(2022·山东泰安期末)已知f (x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0)上单调递增，则下列结论正确的是(　　)A．f (x)在(0，＋∞)上单调递减B．f (x)最多有两个零点C．f log0.53>f (log25)D．若实数a满足f (2a)>f -2，则a<12ACD　[因为f (x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0)上单调递增，所以f (x)在(0，＋∞)上单调递减，故A正确；函数零点个数无法确定，故B错误；f log0.53＝f (log23)，因为log23f (log25)，故C正确；若实数a满足f (2a)>f -2，即f (2a)>f 2，则2a<2＝212，解得a<12，故D正确．故选ACD．]三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若2a＝3b＝6，则1a＋1b的值为________．2　[因为2a＝3b＝6，所以a＝log26，b＝log36，所以1a＋1b＝1log2 6＋1log3 6＝lg2lg 6＋lg3lg 6＝lg612lg6＝2．]14．1+2sin20°sin110°cos20°+1-cos2160°的值为________．1　[原式＝1+2sin20°cos20°cos20°+sin160°＝sin20°+cos20°2sin20°+cos20°＝sin20°+cos20°sin20°+cos20°＝1．]15．(2022·山东青岛期末)已知函数f (x)＝ax2＋bx＋c，满足不等式f (x)<0的解集为(－∞，－2)∪(t，＋∞)，且f (x－1)为偶函数，则实数t＝________．0　[根据解集易知：a<0 ，由f (x－1)为偶函数，可得f (x)关于直线x＝－1对称，即b－2a＝0．易知ax2＋bx＋c＝0的两根为t，－2，则根据根与系数的关系可得t－2＝－ba＝－2，解得t＝0．]16．某化工厂产生的废气必须经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过原污染物总量的0.25%．已知在过滤过程中的污染物的残留数量P(单位：毫克/升)与过滤时间t(单位：时)之间的函数关系为P＝P0·et ln k(其中e是自然对数的底数，k为常数，P0为原污染物总量)．若前4个小时废气中的污染物被过滤掉了96%，则k＝________；要能够按规定排放废气，还需要过滤n小时，则正整数n的最小值为______(参考数据：log52≈0.43)．55　4　[显然，当t＝0时，P＝P0，当t＝4时，P＝4%P0，则有125P0＝P0·e4ln k，于是得k4＝125，而k>0，解得k＝55，设经过m小时后能够按规定排放废气，则有P0·em ln k≤0.25%P0⇔km≤1400，即55m≤1400⇔512m≥400⇔12m≥log5400⇔m≥4＋8log52≈4＋8×0.43＝7.44，于是得还需要过滤时间n＝m－4≥3.44，则正整数n的最小值为4．所以k＝55，正整数n的最小值为4．]四、解答题：本题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)(2022·浙江大学附属中学期末)(1)计算：278－13＋log23·log34＋lg 2＋lg 50；(2)已知tan α＝2，求cos 3π2+α·cos (π－α)的值．[解]　(1)278－13＋log23·log34＋lg 2＋lg 50＝323－13＋log23×2log32＋lg 100＝23＋2＋2＝143．(2)cos 3π2+α·cos (π－α)＝sin α·(－cos α)＝-sinαcosαsin2α+cos2α＝-tanαtan2α+1＝－25．18．(本小题满分12分)(2022·山东临沂期末)已知集合A＝{x|log2(x－1)<2}，B＝{x|x2－2ax＋a2－1<0}．(1)若a＝1，求A∪B；(2)求实数a的取值范围，使________成立．从①A⊆∁RB，②B⊆∁RA，③(∁RA)∩B＝∅中选择一个填入横线处求解．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．[解]　(1) A＝{x|log2(x－1)<2}＝{x|0π2，ωπ+π3≤5π2 或ωπ2+π3≥π2，ωπ2+π3<5π2，ωπ+π3>5π2， 解得16<ω<13或136<ω<133．又0<ω<3，故ω的取值范围为16，13∪136，3．21．(本小题满分12分)(2022·湖北沙市中学期末)某地某路无人驾驶公交车发车时间间隔t(单位：分钟)满足5≤t≤20，t∈N．经测算，该路无人驾驶公交车载客量p(t)与发车时间间隔t满足：p(t)＝60-t-102，5≤t<10，60，10≤t≤20， 其中t∈N．(1)求p(5)，并说明p(5)的实际意义；(2)若该路公交车每分钟的净收益y＝6pt+24t－10(元)，问当发车时间间隔为多少时，该路公交车每分钟的净收益最大？并求每分钟的最大净收益．[解]　(1)p(5)＝60－(5－10)2＝35，实际意义为：发车时间间隔为5分钟时，载客量为35．(2)∵y＝6pt+24t－10，∴当5≤t<10时，y＝360-6t-102+24t－10＝110－6t+216t，任取5≤t10，257成立，求实数m的取值范围．[解]　(1)当x∈(1，＋∞)时，log2x>0，所以4log2x＋1log2x≥ 24log2x·1log2x＝4，当且仅当4log2x＝1log2x，即x＝2时，等号成立，所以，函数f (x)在区间(1，＋∞)上的最小值为4．(2)g(x)＝m·4x＋2x+1－m＝m(2x)2＋2·2x－m，x∈[1，2]，令2x＝t，则上述函数化为y(t)＝mt2＋2t－m，t∈[2，4]．因为m<0，所以对称轴t＝－1m>0，当－1m≤2，即m≤－12时，函数y(t)在[2，4]上单调递减，所以当t＝2时，ymax＝3m＋4；当2<－1m<4，即－127成立，等价于g(x2)>7－f (x1)成立，即g(x)max>[7－f (x)]max，由(1)可知，当x∈(1，＋∞)时，[7－f (x)]max＝7－f (x)min，因此，只需要g(x)max>3．所以当－14≤m<0时，15m＋8>3，解得m>－13，所以－14≤m<0；当－123，解得m<-3-52或-3+523，解得m>－13，此时解集为空集．综上，实数m的取值范围为-3+520)有两个不等的实数根x 1，x 2有两个相等的实数根x 1，x 2无实数根y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x＜x1或x＞x2}xx≠-b2aRax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1