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2020年高中数学新教材同步必修第一册 章末检测试卷(三)
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这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册全册综合精品同步训练题，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．函数f(x)＝eq \f(\r(x－1),x－2)的定义域为( )
A．(1，＋∞) B．[1，＋∞)
C．[1,2) D．[1,2)∪(2，＋∞)
答案 D
解析 根据题意有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－1≥0，,x－2≠0，))解得x≥1且x≠2.
2．已知f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)－1))＝2x＋3，则f(6)的值为( )
A．15 B．7 C．31 D．17
答案 C
解析 令eq \f(x,2)－1＝t，则x＝2t＋2.
将x＝2t＋2代入f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)－1))＝2x＋3，
得f(t)＝2(2t＋2)＋3＝4t＋7.
所以f(x)＝4x＋7，所以f(6)＝4×6＋7＝31.
3．下列函数中，既是奇函数又是增函数的是( )
A．y＝x＋1 B．y＝－x3 C．y＝eq \f(1,x) D．y＝x|x|
考点 单调性与奇偶性的综合应用
题点 判断函数的单调性、奇偶性
答案 D
4．若函数f(x)＝x2＋4x＋6，x∈[－3,0)，则f(x)的值域为( )
A．[2,6] B．[2,6) C．[2,3] D．[3,6]
答案 B
解析 f(x)＝(x＋2)2＋2，
当x＝－2时，f(x)min＝2，
又f(－3)＝3，f(0)＝6，
所以f(x)在[－3,0)上的值域为[2,6)．
5．已知函数f(x)＝ax3＋bx(a≠0)满足f(－3)＝3，则f(3)等于( )
A．2 B．－2 C．－3 D．3
考点 函数奇偶性的应用
题点 利用奇偶性求函数值
答案 C
解析 ∵f(－x)＝a(－x)3＋b(－x)＝－(ax3＋bx)＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数，
∴f(3)＝－f(－3)＝－3.
6．函数y＝eq \r(3－aa＋6)(－6≤a≤3)的最大值为( )
A．9 B.eq \f(9,2) C．3 D.eq \f(3\r(2),2)
答案 B
解析 因为eq \r(3－aa＋6)＝eq \r(18－3a－a2)
＝eq \r(－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋\f(3,2)))2＋\f(81,4))(－6≤a≤3)，
所以当a＝－eq \f(3,2)时，eq \r(3－aa＋6)的值最大，最大值为eq \f(9,2).故选B.
7．已知正方形的周长为x，它的外接圆的半径为y，则y关于x的解析式为( )
A．y＝eq \f(1,2)x B．y＝eq \f(\r(2),4)x
C．y＝eq \f(\r(2),8)x D．y＝eq \f(\r(2),16)x
答案 C
解析 正方形边长为eq \f(x,4)，
而(2y)2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,4)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,4)))2，
所以y2＝eq \f(x2,32).
所以y＝eq \f(x,4\r(2))＝eq \f(\r(2),8)x.
8．函数f(x)是定义在R上的奇函数，下列说法：
①f(0)＝0；
②若f(x)在[0，＋∞)上有最小值－1，则f(x)在(－∞，0]上有最大值1；
③若f(x)在[1，＋∞)上为增函数，则f(x)在(－∞，－1]上为减函数．
其中正确的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 C
解析 ①f(0)＝0正确；②正确；③不正确；奇函数在关于原点的对称区间上具有相同的单调性．
9．若幂函数y＝(m2－3m＋3)xm－2的图象不过原点，则m的取值范围为( )
A．1≤m≤2 B．m＝1或m＝2
C．m＝2 D．m＝1
答案 B
解析 由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m－2≤0，,m2－3m＋3＝1，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m≤2，,m＝1或m＝2，))∴m＝1或m＝2.
10．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，x≥0时，f(x)＝x2－2x，则函数f(x)在R上的解析式是( )
A．f(x)＝－x(x－2) B．f(x)＝x(|x|－2)
C．f(x)＝|x|(x－2) D．f(x)＝|x|(|x|－2)
答案 D
解析 设x<0，则－x>0，
f(x)＝f(－x)＝x2－2(－x)＝x2＋2x.
故f(x)＝|x|(|x|－2)．
11．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋2x，x<0，,x2－2x，x≥0，))若f(－a)＋f(a)≤0，则实数a的取值范围是( )
A．[－1,1] B．[－2,0]
C．[0,2] D．[－2,2]
答案 D
解析 方法一 依题意，可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>0，,－a2＋2－a＋a2－2a≤0))
或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a<0,－a2－2－a＋a2＋2a≤0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝0，,202－2×0≤0，))
解得－2≤a≤2.
方法二 f(x)是偶函数，其图象如图所示．
f(－a)＋f(a)＝2f(a)≤0，即f(a)≤0.
由图知－2≤a≤2.
12．二次函数f(x)＝ax2＋2a是区间[－a，a2]上的偶函数，又g(x)＝f(x－1)，则g(0)，geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))，g(3)的大小关系为( )
A．geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))
C．geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))
答案 A
解析 由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a≠0，,－a＝－a2，))解得a＝1，
所以f(x)＝x2＋2，
所以g(x)＝f(x－1)＝(x－1)2＋2.
因为函数g(x)的图象关于直线x＝1对称，
所以g(0)＝g(2)．
又因为函数g(x)＝(x－1)2＋2在区间[1，＋∞)上单调递增，
所以geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))
所以geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．若幂函数y＝f(x)的图象过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(1,3)))，则f(2)的值为________．
答案 eq \f(1,2)
解析 设幂函数为y＝xα，过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(1,3)))，
则eq \f(1,3)＝3α，所以α＝－1，
所以y＝x－1，
则f(2)＝2－1＝eq \f(1,2).
14．设f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x，x
考点 分段函数
题点 分段函数求参数值
答案 (－∞，2]
解析 若2∈(－∞，a)，则f(2)＝2不合题意．
∴2∈[a，＋∞)，∴a≤2.
15．已知f(x)＝ax3＋bx－4，其中a，b为常数，若f(－2)＝2，则f(2)＝________.
答案 －10
解析 设g(x)＝ax3＋bx，显然g(x)为奇函数，
则f(x)＝ax3＋bx－4＝g(x)－4，
于是f(－2)＝g(－2)－4＝－g(2)－4＝2，
所以g(2)＝－6，所以f(2)＝g(2)－4＝－6－4＝－10.
16．若函数f(x)同时满足：①对于定义域上的任意x，恒有f(x)＋f(－x)＝0；②对于定义域上的任意x1，x2，当x1≠x2时，恒有eq \f(fx1－fx2,x1－x2)<0，则称函数f(x)为“理想函数”．给出下列三个函数中：(1)f(x)＝eq \f(1,x)；(2)f(x)＝x2；(3)f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x2，x≥0，,x2，x<0.))能被称为“理想函数”的有________．(填相应的序号)
答案 (3)
解析 ①要求函数f(x)为奇函数，②要求函数f(x)为减函数．函数(1)是奇函数但在整个定义域上不是减函数，函数(2)是偶函数而且也不是减函数，只有函数(3)既是奇函数又是减函数．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知函数f(x)＝ax＋b，且f(1)＝2，f(2)＝－1.
(1)求f(m＋1)的值；
(2)判断函数f(x)的单调性，并用定义证明．
解 (1)由f(1)＝2，f(2)＝－1，
得a＋b＝2,2a＋b＝－1，
即a＝－3，b＝5，故f(x)＝－3x＋5，
f(m＋1)＝－3(m＋1)＋5＝－3m＋2.
(2)函数f(x)在R上单调递减，证明如下：
任取x1
则f(x2)－f(x1)＝(－3x2＋5)－(－3x1＋5)
＝3x1－3x2＝3(x1－x2)，
因为x1
所以f(x2)－f(x1)<0，
即f(x2)
所以函数f(x)在R上单调递减．
18．(12分)已知f(x)＝2x2＋mx＋n(m，n为常数)是偶函数，且f(1)＝4.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若关于x的方程f(x)＝kx有两个不相等的实数根，求实数k的取值范围．
解 (1)因为f(x)是偶函数，
所以f(－x)＝f(x)(x∈R)，
即2(－x)2－mx＋n＝2x2＋mx＋n(x∈R)，
解得m＝0.
又f(1)＝4，所以2×12＋n＝4，解得n＝2.
所以f(x)＝2x2＋2.
(2)由(1)知f(x)＝2x2＋2，方程f(x)＝kx有两个不相等的实数根，
转化为方程2x2－kx＋2＝0有两个不相等的实数根，
由Δ＝k2－16>0，解得k<－4或k>4.
所以实数k的取值范围为(－∞，－4)∪(4，＋∞)．
19．(12分)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,x)，x>1，,x2＋1，－1≤x≤1，,2x＋3，x<－1.))
(1)求f(f(－2))的值；
(2)若f(a)＝eq \f(3,2)，求a.
解 (1)因为－2<－1，所以f(－2)＝2×(－2)＋3＝－1，
所以f(f(－2))＝f(－1)＝2.
(2)当a>1时，f(a)＝1＋eq \f(1,a)＝eq \f(3,2)，所以a＝2>1；
当－1≤a≤1时，f(a)＝a2＋1＝eq \f(3,2)，
所以a＝±eq \f(\r(2),2)∈[－1,1]；
当a<－1时，f(a)＝2a＋3＝eq \f(3,2)，
所以a＝－eq \f(3,4)>－1(舍去)．
综上，a＝2或a＝±eq \f(\r(2),2).
20．(12分)已知幂函数y＝f(x)＝，其中m∈{x|－2
(1)在区间(0，＋∞)上是增函数；
(2)对任意的x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0.
求同时满足条件(1)(2)的幂函数f(x)的解析式，并求当x∈[0,3]时，f(x)的值域．
解 因为m∈{x|－2
所以m＝－1,0,1.
因为对任意的x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0，
即f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．
当m＝－1时，f(x)＝x2只满足条件(1)而不满足条件(2)；
当m＝1时，f(x)＝x0，条件(1)(2)都不满足；
当m＝0时，f(x)＝x3，条件(1)(2)都满足．
因此m＝0，且f(x)＝x3在区间[0,3]上是增函数，
所以0≤f(x)≤27，故f(x)的值域为[0,27]．
21．(12分)某商场经销一批进价为每件30元的商品，在市场试销中发现，此商品的销售单价x(元)与日销售量y(件)之间有如下表所示的关系(其中30≤x≤50，且x∈N*)：
(1)在所给的坐标图纸中，根据表中提供的数据，描出实数对(x，y)的对应点，并确定y与x的一个函数关系式；
(2)设经营此商品的日销售利润为P元，根据上述关系，写出P关于x的函数关系式，并指出销售单价为多少元时，才能获得最大日销售利润．
解 (1)由题表作出(30,60)，(40,30)，(45,15)，(50,0)的对应点，它们分布在一条直线上．
设它们所在直线为y＝kx＋b(k≠0)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(50k＋b＝0，,45k＋b＝15，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k＝－3，,b＝150，))
所以y＝－3x＋150(30≤x≤50，且x∈N*)，
经检验(30,60)，(40,30)也在此直线上，
所以所求函数解析式为y＝－3x＋150(30≤x≤50，且x∈N*)．
(2)依题意P＝y(x－30)＝(－3x＋150)(x－30)
＝－3(x－40)2＋300(30≤x≤50，且x∈N*)．
所以当x＝40时，P有最大值300，即销售单价为40元时，才能获得最大日销售利润．
22．(12分)已知函数y＝x＋eq \f(t,x)有如下性质：
如果常数t>0，那么该函数在(0，eq \r(t)]上是减函数，在[eq \r(t)，＋∞)上是增函数．
(1)已知f(x)＝eq \f(4x2－12x－3,2x＋1)，x∈[0,1]，利用上述性质，求函数f(x)的单调区间和值域；
(2)对于(1)中的函数f(x)和函数g(x)＝－x－2a，若对任意x1∈[0,1]，总存在x2∈[0,1]，使得g(x2)＝f(x1)成立，求实数a的值．
考点 函数的单调性、最值的综合应用
题点 单调性及最值的综合问题
解 (1)y＝f(x)＝eq \f(4x2－12x－3,2x＋1)＝2x＋1＋eq \f(4,2x＋1)－8，
设u＝2x＋1，x∈[0,1]，则1≤u≤3，
则y＝u＋eq \f(4,u)－8，u∈[1,3]．
由已知性质得，当1≤u≤2，即0≤x≤eq \f(1,2)时，f(x)单调递减；
当2≤u≤3，即eq \f(1,2)≤x≤1时，f(x)单调递增，
所以f(x)的单调递减区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))，
单调递增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))；
由f(0)＝－3，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝－4，f(1)＝－eq \f(11,3)，
得f(x)的值域为[－4，－3]．
(2)g(x)＝－x－2a为减函数，
故g(x)∈[－1－2a，－2a]，x∈[0,1]．
由题意得，当x∈[0,1]时，f(x)的值域是g(x)的值域的子集，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1－2a≤－4，,－2a≥－3，))
所以a＝eq \f(3,2).x
30
40
45
50
y
60
30
15
0
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．函数f(x)＝eq \f(\r(x－1),x－2)的定义域为( )
A．(1，＋∞) B．[1，＋∞)
C．[1,2) D．[1,2)∪(2，＋∞)
答案 D
解析 根据题意有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－1≥0，,x－2≠0，))解得x≥1且x≠2.
2．已知f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)－1))＝2x＋3，则f(6)的值为( )
A．15 B．7 C．31 D．17
答案 C
解析 令eq \f(x,2)－1＝t，则x＝2t＋2.
将x＝2t＋2代入f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)－1))＝2x＋3，
得f(t)＝2(2t＋2)＋3＝4t＋7.
所以f(x)＝4x＋7，所以f(6)＝4×6＋7＝31.
3．下列函数中，既是奇函数又是增函数的是( )
A．y＝x＋1 B．y＝－x3 C．y＝eq \f(1,x) D．y＝x|x|
考点 单调性与奇偶性的综合应用
题点 判断函数的单调性、奇偶性
答案 D
4．若函数f(x)＝x2＋4x＋6，x∈[－3,0)，则f(x)的值域为( )
A．[2,6] B．[2,6) C．[2,3] D．[3,6]
答案 B
解析 f(x)＝(x＋2)2＋2，
当x＝－2时，f(x)min＝2，
又f(－3)＝3，f(0)＝6，
所以f(x)在[－3,0)上的值域为[2,6)．
5．已知函数f(x)＝ax3＋bx(a≠0)满足f(－3)＝3，则f(3)等于( )
A．2 B．－2 C．－3 D．3
考点 函数奇偶性的应用
题点 利用奇偶性求函数值
答案 C
解析 ∵f(－x)＝a(－x)3＋b(－x)＝－(ax3＋bx)＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数，
∴f(3)＝－f(－3)＝－3.
6．函数y＝eq \r(3－aa＋6)(－6≤a≤3)的最大值为( )
A．9 B.eq \f(9,2) C．3 D.eq \f(3\r(2),2)
答案 B
解析 因为eq \r(3－aa＋6)＝eq \r(18－3a－a2)
＝eq \r(－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋\f(3,2)))2＋\f(81,4))(－6≤a≤3)，
所以当a＝－eq \f(3,2)时，eq \r(3－aa＋6)的值最大，最大值为eq \f(9,2).故选B.
7．已知正方形的周长为x，它的外接圆的半径为y，则y关于x的解析式为( )
A．y＝eq \f(1,2)x B．y＝eq \f(\r(2),4)x
C．y＝eq \f(\r(2),8)x D．y＝eq \f(\r(2),16)x
答案 C
解析 正方形边长为eq \f(x,4)，
而(2y)2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,4)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,4)))2，
所以y2＝eq \f(x2,32).
所以y＝eq \f(x,4\r(2))＝eq \f(\r(2),8)x.
8．函数f(x)是定义在R上的奇函数，下列说法：
①f(0)＝0；
②若f(x)在[0，＋∞)上有最小值－1，则f(x)在(－∞，0]上有最大值1；
③若f(x)在[1，＋∞)上为增函数，则f(x)在(－∞，－1]上为减函数．
其中正确的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 C
解析 ①f(0)＝0正确；②正确；③不正确；奇函数在关于原点的对称区间上具有相同的单调性．
9．若幂函数y＝(m2－3m＋3)xm－2的图象不过原点，则m的取值范围为( )
A．1≤m≤2 B．m＝1或m＝2
C．m＝2 D．m＝1
答案 B
解析 由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m－2≤0，,m2－3m＋3＝1，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m≤2，,m＝1或m＝2，))∴m＝1或m＝2.
10．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，x≥0时，f(x)＝x2－2x，则函数f(x)在R上的解析式是( )
A．f(x)＝－x(x－2) B．f(x)＝x(|x|－2)
C．f(x)＝|x|(x－2) D．f(x)＝|x|(|x|－2)
答案 D
解析 设x<0，则－x>0，
f(x)＝f(－x)＝x2－2(－x)＝x2＋2x.
故f(x)＝|x|(|x|－2)．
11．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋2x，x<0，,x2－2x，x≥0，))若f(－a)＋f(a)≤0，则实数a的取值范围是( )
A．[－1,1] B．[－2,0]
C．[0,2] D．[－2,2]
答案 D
解析 方法一 依题意，可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>0，,－a2＋2－a＋a2－2a≤0))
或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a<0,－a2－2－a＋a2＋2a≤0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝0，,202－2×0≤0，))
解得－2≤a≤2.
方法二 f(x)是偶函数，其图象如图所示．
f(－a)＋f(a)＝2f(a)≤0，即f(a)≤0.
由图知－2≤a≤2.
12．二次函数f(x)＝ax2＋2a是区间[－a，a2]上的偶函数，又g(x)＝f(x－1)，则g(0)，geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))，g(3)的大小关系为( )
A．geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))
C．geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))
答案 A
解析 由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a≠0，,－a＝－a2，))解得a＝1，
所以f(x)＝x2＋2，
所以g(x)＝f(x－1)＝(x－1)2＋2.
因为函数g(x)的图象关于直线x＝1对称，
所以g(0)＝g(2)．
又因为函数g(x)＝(x－1)2＋2在区间[1，＋∞)上单调递增，
所以geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))
所以geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．若幂函数y＝f(x)的图象过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(1,3)))，则f(2)的值为________．
答案 eq \f(1,2)
解析 设幂函数为y＝xα，过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(1,3)))，
则eq \f(1,3)＝3α，所以α＝－1，
所以y＝x－1，
则f(2)＝2－1＝eq \f(1,2).
14．设f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x，x
考点 分段函数
题点 分段函数求参数值
答案 (－∞，2]
解析 若2∈(－∞，a)，则f(2)＝2不合题意．
∴2∈[a，＋∞)，∴a≤2.
15．已知f(x)＝ax3＋bx－4，其中a，b为常数，若f(－2)＝2，则f(2)＝________.
答案 －10
解析 设g(x)＝ax3＋bx，显然g(x)为奇函数，
则f(x)＝ax3＋bx－4＝g(x)－4，
于是f(－2)＝g(－2)－4＝－g(2)－4＝2，
所以g(2)＝－6，所以f(2)＝g(2)－4＝－6－4＝－10.
16．若函数f(x)同时满足：①对于定义域上的任意x，恒有f(x)＋f(－x)＝0；②对于定义域上的任意x1，x2，当x1≠x2时，恒有eq \f(fx1－fx2,x1－x2)<0，则称函数f(x)为“理想函数”．给出下列三个函数中：(1)f(x)＝eq \f(1,x)；(2)f(x)＝x2；(3)f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x2，x≥0，,x2，x<0.))能被称为“理想函数”的有________．(填相应的序号)
答案 (3)
解析 ①要求函数f(x)为奇函数，②要求函数f(x)为减函数．函数(1)是奇函数但在整个定义域上不是减函数，函数(2)是偶函数而且也不是减函数，只有函数(3)既是奇函数又是减函数．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知函数f(x)＝ax＋b，且f(1)＝2，f(2)＝－1.
(1)求f(m＋1)的值；
(2)判断函数f(x)的单调性，并用定义证明．
解 (1)由f(1)＝2，f(2)＝－1，
得a＋b＝2,2a＋b＝－1，
即a＝－3，b＝5，故f(x)＝－3x＋5，
f(m＋1)＝－3(m＋1)＋5＝－3m＋2.
(2)函数f(x)在R上单调递减，证明如下：
任取x1
则f(x2)－f(x1)＝(－3x2＋5)－(－3x1＋5)
＝3x1－3x2＝3(x1－x2)，
因为x1
所以f(x2)－f(x1)<0，
即f(x2)
所以函数f(x)在R上单调递减．
18．(12分)已知f(x)＝2x2＋mx＋n(m，n为常数)是偶函数，且f(1)＝4.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若关于x的方程f(x)＝kx有两个不相等的实数根，求实数k的取值范围．
解 (1)因为f(x)是偶函数，
所以f(－x)＝f(x)(x∈R)，
即2(－x)2－mx＋n＝2x2＋mx＋n(x∈R)，
解得m＝0.
又f(1)＝4，所以2×12＋n＝4，解得n＝2.
所以f(x)＝2x2＋2.
(2)由(1)知f(x)＝2x2＋2，方程f(x)＝kx有两个不相等的实数根，
转化为方程2x2－kx＋2＝0有两个不相等的实数根，
由Δ＝k2－16>0，解得k<－4或k>4.
所以实数k的取值范围为(－∞，－4)∪(4，＋∞)．
19．(12分)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,x)，x>1，,x2＋1，－1≤x≤1，,2x＋3，x<－1.))
(1)求f(f(－2))的值；
(2)若f(a)＝eq \f(3,2)，求a.
解 (1)因为－2<－1，所以f(－2)＝2×(－2)＋3＝－1，
所以f(f(－2))＝f(－1)＝2.
(2)当a>1时，f(a)＝1＋eq \f(1,a)＝eq \f(3,2)，所以a＝2>1；
当－1≤a≤1时，f(a)＝a2＋1＝eq \f(3,2)，
所以a＝±eq \f(\r(2),2)∈[－1,1]；
当a<－1时，f(a)＝2a＋3＝eq \f(3,2)，
所以a＝－eq \f(3,4)>－1(舍去)．
综上，a＝2或a＝±eq \f(\r(2),2).
20．(12分)已知幂函数y＝f(x)＝，其中m∈{x|－2
(1)在区间(0，＋∞)上是增函数；
(2)对任意的x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0.
求同时满足条件(1)(2)的幂函数f(x)的解析式，并求当x∈[0,3]时，f(x)的值域．
解 因为m∈{x|－2
所以m＝－1,0,1.
因为对任意的x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0，
即f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．
当m＝－1时，f(x)＝x2只满足条件(1)而不满足条件(2)；
当m＝1时，f(x)＝x0，条件(1)(2)都不满足；
当m＝0时，f(x)＝x3，条件(1)(2)都满足．
因此m＝0，且f(x)＝x3在区间[0,3]上是增函数，
所以0≤f(x)≤27，故f(x)的值域为[0,27]．
21．(12分)某商场经销一批进价为每件30元的商品，在市场试销中发现，此商品的销售单价x(元)与日销售量y(件)之间有如下表所示的关系(其中30≤x≤50，且x∈N*)：
(1)在所给的坐标图纸中，根据表中提供的数据，描出实数对(x，y)的对应点，并确定y与x的一个函数关系式；
(2)设经营此商品的日销售利润为P元，根据上述关系，写出P关于x的函数关系式，并指出销售单价为多少元时，才能获得最大日销售利润．
解 (1)由题表作出(30,60)，(40,30)，(45,15)，(50,0)的对应点，它们分布在一条直线上．
设它们所在直线为y＝kx＋b(k≠0)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(50k＋b＝0，,45k＋b＝15，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k＝－3，,b＝150，))
所以y＝－3x＋150(30≤x≤50，且x∈N*)，
经检验(30,60)，(40,30)也在此直线上，
所以所求函数解析式为y＝－3x＋150(30≤x≤50，且x∈N*)．
(2)依题意P＝y(x－30)＝(－3x＋150)(x－30)
＝－3(x－40)2＋300(30≤x≤50，且x∈N*)．
所以当x＝40时，P有最大值300，即销售单价为40元时，才能获得最大日销售利润．
22．(12分)已知函数y＝x＋eq \f(t,x)有如下性质：
如果常数t>0，那么该函数在(0，eq \r(t)]上是减函数，在[eq \r(t)，＋∞)上是增函数．
(1)已知f(x)＝eq \f(4x2－12x－3,2x＋1)，x∈[0,1]，利用上述性质，求函数f(x)的单调区间和值域；
(2)对于(1)中的函数f(x)和函数g(x)＝－x－2a，若对任意x1∈[0,1]，总存在x2∈[0,1]，使得g(x2)＝f(x1)成立，求实数a的值．
考点 函数的单调性、最值的综合应用
题点 单调性及最值的综合问题
解 (1)y＝f(x)＝eq \f(4x2－12x－3,2x＋1)＝2x＋1＋eq \f(4,2x＋1)－8，
设u＝2x＋1，x∈[0,1]，则1≤u≤3，
则y＝u＋eq \f(4,u)－8，u∈[1,3]．
由已知性质得，当1≤u≤2，即0≤x≤eq \f(1,2)时，f(x)单调递减；
当2≤u≤3，即eq \f(1,2)≤x≤1时，f(x)单调递增，
所以f(x)的单调递减区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))，
单调递增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))；
由f(0)＝－3，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝－4，f(1)＝－eq \f(11,3)，
得f(x)的值域为[－4，－3]．
(2)g(x)＝－x－2a为减函数，
故g(x)∈[－1－2a，－2a]，x∈[0,1]．
由题意得，当x∈[0,1]时，f(x)的值域是g(x)的值域的子集，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1－2a≤－4，,－2a≥－3，))
所以a＝eq \f(3,2).x
30
40
45
50
y
60
30
15
0
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