人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换第2课时学案

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换第2课时学案，共15页。

2．能够利用三角恒等变换解决几何中的问题以及生活中的实际问题．(数学建模)
你从等式12sin 20°－32cs 20°＝ sin 20°cs 60°－cs 20°sin 60°＝sin (20°－60°)＝－sin 40°的变形化简中发现了什么？
知识点 辅助角公式
a sin x＋b cs x＝a2+b2sin (x＋φ)(ab≠0)，其中tan φ＝ba，φ所在象限由a和b的符号确定．
若3sin x－cs x＝2sin (x＋φ)，φ∈(－π，π)，则φ＝________．
－π6 [因为3sin x－cs x＝232sinx-12csx＝2sin x-π6，又φ∈(－π，π)，所以φ＝－π6．]
类型1 辅助角公式
【例1】 化简下列各式：
(1)y＝3sin x－3cs x；
(2)y＝cs 2x(sin 2x＋cs 2x)；
(3)y＝sin x2+π3 ＋sin x2．
[解] (1)y＝3sin x－3cs x＝23sinx·32-csx·12
＝23sinx·cs π6-csx·sin π6＝23sin x-π6．
(2)y＝cs 2x(sin 2x＋cs 2x)＝sin 2x cs 2x＋cs22x
＝12sin 4x＋1+cs4x2＝12sin 4x＋12cs 4x＋12
＝22sin4x·22+cs4x·22＋12
＝22sin4xcs π4+cs4xsin π4＋12＝22sin 4x+π4＋12．
(3)y＝sin x2+π3＋sin x2＝sin x2cs π3＋cs x2sin π3＋sin x2
＝32sin x2＋32cs x2＝3sin x2·32+cs x2·12＝3sin x2+π6．
将三角函数y＝f (x)化为f (x)＝A sin (ωx＋φ)＋m的步骤
(1)将sin x cs x运用二倍角公式化为12sin 2x，对sin2x，cs2x运用降幂公式，对sin(x±α)，cs(x±α)运用两角和与差的公式展开．
(2)将(1)中得到的式子利用a sin α＋b cs α＝a2+b2·sin (α＋φ)化为f (x)＝A sin (ωx＋φ)＋m的形式．
[跟进训练]
1．化简：(1)2(cs x－sin x)；
(2)315sin x＋35cs x．
[解] (1)2(cs x－sin x)＝2×222csx-22sinx＝2cs π4csx-sin π4sinx＝2cs π4+x．
(2)315sin x＋35cs x＝6532sinx+12csx
＝65sin π3sinx+cs π3csx＝65cs x-π3．
类型2 恒等变换与三角函数的性质
【例2】 已知函数f (x)＝2sin x cs x－23cs2x＋3．
(1)求f (x)的最小正周期和对称中心；
(2)求f (x)的单调递减区间；
(3)当x∈π2，π时，求函数f (x)的最大值及取得最大值时x的值．
思路导引：f (x) 恒等变换 f (x)＝A sin (ωx＋φ)＋k 类比y=sinx 研究其性质．
[解] (1)f (x)＝2sin x cs x－23cs2x＋3＝sin 2x－3cs 2x＝2sin 2x-π3，
∴f (x)的最小正周期为2π2＝π．
由2x－π3＝kπ(k∈Z)，可得x＝kπ2＋π6(k∈Z)，
∴函数f (x)的对称中心为kπ2+π6，0(k∈Z)．
(2)由2x－π3∈2kπ+π2，2kπ+3π2(k∈Z)，
可得x∈kπ+5π12，kπ+11π12(k∈Z)，
∴f (x)的单调递减区间为kπ+5π12，kπ+11π12(k∈Z)．
(3)当x∈π2，π时，2x－π3∈2π3，5π3，
∴2x－π3＝2π3，即x＝π2时，函数f (x)取得最大值，最大值为3．
应用公式解决三角函数综合问题的步骤
(1)降幂将解析式化为f (x)＝a sin ωx＋b cs ωx＋k的形式：如将sin x cs x运用二倍角公式化为12sin 2x，利用降幂公式sin2x＝1-cs2x2，cs2x＝1+cs2x2将解析式化为一次式．
(2)利用辅助角公式a sin α＋b cs α＝a2+b2·sin (α＋φ)化成f (x)＝A sin (ωx＋φ)＋k的形式．
(3)将“ωx＋φ”看作一个整体研究函数的性质．
[跟进训练]
2．(源自湘教版教材)已知函数f (x)＝2sin x4cs x4＋3cs x2，求函数f (x)的周期、最大值和最小值．
[解] 因为f (x)＝sin x2＋3cs x2
＝12+3212sin x2+32cs x2＝2sin x2+π3．
所以f (x)的周期T＝2π12＝4π．
当sin x2+π3＝1时，f (x)取得最大值2；
当sin x2+π3＝－1时，f (x)取得最小值－2．
类型3 三角函数在实际问题中的应用
【例3】 在扇形OPQ中，OP＝R，圆心角∠POQ＝π3，若将此木料截成如图所示的矩形，试求此矩形面积的最大值．
[解] 如图，作∠POQ的平分线分别交EF，GH于点M，N，连接OE，设∠MOE＝α，α∈0，π6，
在Rt△MOE中，ME＝R sin α，OM＝R cs α，
在Rt△ONH中，NHON＝tan π6，得ON＝3NH＝3R sin α，
则MN＝OM－ON＝R(cs α－3sin α)．
设矩形EFGH的面积为S，
则S＝2ME·MN＝2R2sin α(cs α－3sin α)
＝R2(sin 2α＋3cs 2α－3)＝2R2sin 2α+π3－3R2，
由α∈0，π6，则π3＜2α＋π3＜2π3，
所以当2α＋π3＝π2，
即α＝π12时，Smax＝(2－3)R2．
所以矩形面积的最大值为(2－3)R2．
用三角函数解实际问题应注意以下三点
(1)充分借助平面几何性质，寻找数量关系；
(2)注意实际问题中变量的范围；
(3)重视三角函数有界性的影响．
[跟进训练]
3．如图所示，要把半径为R的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，才能使△OAB的周长最大？
[解] 如图，设∠AOB＝α，△OAB的周长为l，则AB＝R sin α，OB＝R cs α，
∴l＝OA＋AB＋OB＝R＋R sin α＋R cs α
＝R(sin α＋cs α)＋R＝2R sin α+π4＋R．
∵0<α<π2，∴π4<α＋π4<3π4，
∴l的最大值为2R＋R＝(2＋1)R，此时，α＋π4＝π2，即α＝π4．
∴当∠AOB＝π4时，△OAB的周长最大．
1．(多选)cs α－sin α的化简结果是( )
A．2sin π4-αB．2cs α-π4
C．2sin α+π4D．2cs α+π4
AD [cs α－sin α＝222csα-22sinα＝2cs α+π4＝2sin π4-α．故选AD．]
2．函数f (x)＝cs2x+π4，x∈R，则f (x)( )
A．是奇函数
B．是偶函数
C．既是奇函数，也是偶函数
D．既不是奇函数，也不是偶函数
D [原式＝121+cs 2x+π2＝12(1－sin 2x)＝12－12sin 2x，
此函数既不是奇函数也不是偶函数．故选D．]
3．函数f (x)＝sin2x的最小正周期为________．
π [因为f (x)＝sin2x＝1-cs2x2，
所以f (x)的最小正周期T＝2π2＝π．]
4．在北京召开的国际数学家大会的会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示)．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，则cs 2θ＝________．
725 [由题意得5cs θ－5sin θ＝1，θ∈0，π4，
所以cs θ－sin θ＝15，
又(cs θ＋sin θ)2＋(cs θ－sin θ)2＝2，
所以cs θ＋sin θ＝75，
所以cs 2θ＝cs2θ－sin2θ＝(csθ＋sin θ)(cs θ－sin θ)＝725．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．试总结解决三角函数综合问题的步骤．
[提示] 应用公式解决三角函数综合问题的三个步骤：
运用和、差、倍角公式化简
↓
统一化成fx=asinωx+csωx+k的形式
↓
利用辅助角公式化为f (x)＝A sin (ωx＋φ)＋k的形式，研究其性质
2．用三角函数解决实际问题时，通常选什么作为自变量？求定义域时应注意什么？
[提示] 通常选角作为自变量，求定义域时要注意实际意义和正弦、余弦函数有界性的影响．
课时分层作业(五十七) 三角恒等变换的应用
一、选择题
1．cs 15°＋3sin 15°的值等于( )
A．62 B．－62 C．－2 D．2
D [cs 15°＋3sin 15°＝212·cs15°+sin15°·32 ＝2(cs 60°cs 15°＋sin 60°sin 15°)
＝2cs (60°－15°)°＝2cs 45°＝2．]
2．已知3sin x＋cs x＝22，则cs x-π3等于( )
A．12 B．24 C．23 D．34
B [∵3sin x＋cs x＝2sin x+π6＝22，
∴sin x+π6＝24，
则cs x-π3＝sin x+π6＝24．]
3．设a＝12cs 7°＋32sin 7°，b＝2tan19°1-tan219°，c＝1-cs72°2，则有( )
A．b＞a＞cB．a＞b＞c
C．a＞c＞bD．c＞b＞a
A [∵a＝sin 37°，b＝tan 38°，c＝sin 36°，
∴b＞a＞c．故选A．]
4．(2021·全国乙卷)函数f (x)＝sin x3＋cs x3的最小正周期和最大值分别是( )
A．3π和2B．3π和2
C．6π和2D．6π和2
C [因为函数f (x)＝sin x3＋cs x3＝222sin x3+22cs x3＝2sin x3cs π4+cs x3sin π4＝2sin x3+π4，
所以函数f (x)的最小正周期T＝2π13＝6π，最大值为2．故选C．]
5．(多选)(2022·河北省文安县第一中学月考)已知θ是锐角，那么下列各值中sin θ＋cs θ可能取得的值是( )
A．12 B．1 C．43 D．2
CD [因为θ∈0，π2，
所以θ＋π4∈π4，3π4，
从而sin θ＋cs θ＝2sin θ+π4∈(1，2]．
故选CD．]
二、填空题
6．若3sin x－3cs x＝23sin (x＋φ)，φ∈(－π，π)，则φ＝________．
－π6 [因为3sin x－3cs x＝2332sinx-12csx＝23sin x-π6，
因为φ∈(－π，π)，所以φ＝－π6．]
7．函数f (x)＝3sin x＋5sin x+π3的最大值是________．
7 [f (x)＝3sin x＋512sinx+32csx＝112sin x＋532cs x＝1122+5322sin (x＋φ)＝7sin (x＋φ)，所以f (x)max＝7．]
8．求值：sin10°-3cs10°cs40°＝________．
－2 [sin10°-3cs10°cs40°＝212sin10°-32cs10°cs40°
＝2sin 10°-60°cs40°＝-2sin50°cs40°＝－2．]
三、解答题
9．已知函数f (x)＝sin2x－cs2x－23sin x cs x(x∈R)，求f (x)的最小正周期及函数f (x)取得最大值时x的集合．
[解] 因为f (x)＝sin2x－cs2x－23sin x cs x
＝－cs 2x－3sin 2x＝－2sin 2x+π6，
所以f (x)的最小正周期为π．
当f (x)取得最大值时，sin 2x+π6＝－1，
有2x＋π6＝2kπ－π2(k∈Z)，即x＝kπ－π3(k∈Z)，
所以所求x的集合为xx=kπ-π3k∈Z．
10．若f (x)＝cs x－sin x在[0，a]是减函数，则a的最大值是( )
A．π4B．π2
C．3π4D．π
C [f (x)＝cs x－sin x＝2cs x+π4．
当x∈[0，a]时，x＋π4∈π4，a+π4，所以结合题意可知，a＋π4≤π，即a≤3π4，故所求a的最大值是3π4．故选C．]
11．已知cs α-π6＋sin α＝45 3，则sin α+7π6的值是( )
A．－235B．235
C．－45D．45
C [因为cs α-π6＋sin α＝435，
所以32cs α＋32sin α＝453，即sin α+π6＝45．所以sin α+7π6＝－sin α+π6＝－45．故选C．]
12．当y＝2cs x－3sin x取得最大值时，tan x的值是( )
A．32B．－32
C．13D．4
B [y＝2cs x－3sin x＝13213cs x-313sin x＝13(sin φcs x－cs φsin x)＝13sin (φ－x)，其中sin φ＝213，cs φ＝313．当sin (φ－x)＝1，即φ－x＝2kπ＋π2(k∈Z)时，y取到最大值．∴φ＝2kπ＋π2＋x(k∈Z)，∴sin φ＝cs x，cs φ＝－sin x，∴cs x＝sin φ＝213，sin x＝－cs φ＝－313．∴tan x＝－32．]
13．如图所示，有一块正方形的钢板ABCD，其中一个角有部分损坏，现要把它截成一块正方形的钢板EFGH，其面积是原正方形钢板面积的三分之二，则应按角度x＝________来截．
π12或5π12 [设原正方形钢板的边长为a，截后正方形的边长为b，则a2b2＝32，∴ab＝62，
又a＝GC＋CF＝b sin x＋b cs x，
∴sin x＋cs x＝62，
∴sin x+π4＝32，
∵0∴π4∴x＋π4＝π3或2π3．
∴x＝π12或5π12．]
14．已知函数f (x)＝4cs ωx·sin ωx+π4(ω>0)的最小正周期为π．
(1)求ω的值；
(2)讨论f (x)在区间0，π2上的单调性．
[解] (1)f (x)＝4cs ωx·sin ωx+π4
＝22sin ωx·cs ωx＋22cs2ωx
＝2(sin 2ωx＋cs 2ωx)＋2
＝2sin 2ωx+π4＋2．
因为f (x)的最小正周期为π，且ω>0，
从而有2π2ω＝π，故ω＝1．
(2)由(1)知，f (x)＝2sin 2x+π4＋2．
若0≤x≤π2，则π4≤2x＋π4≤5π4．
当π4≤2x＋π4≤π2，
即0≤x≤π8时，f (x)单调递增；
当π2≤2x＋π4≤5π4，
即π8≤x≤π2时，f (x)单调递减．
综上可知，f (x)在区间0，π8上单调递增，在区间π8，π2上单调递减．
15．(2022·广东红岭中学月考)已知OPQ是半径为1，圆心角为π4的扇形，C是扇形弧上的动点．ABCD是扇形的内接矩形，记∠COP＝θ，矩形ABCD的面积为S．
(1)求S关于角θ的解析式，并求S的最大值；
(2)当矩形ABCD的面积为6-24时，求角θ的值．
[解] (1)在Rt△OBC中：OB＝cs θ，BC＝sin θ，
在Rt△OAD中：ADOA＝tan π4＝1，
所以OA＝AD＝BC＝sin θ，
所以AB＝OB－OA＝cs θ－sin θ，
所以矩形ABCD的面积S＝AB·BC＝(cs θ－sin θ)sin θ
＝cs θsin θ－sin2θ＝12sin 2θ－1-cs2θ2
＝12(sin 2θ＋cs 2θ)－12＝2222sin2θ+22cs2θ－12＝22sin 2θ+π4－12．
由0<θ<π4，得π4<2θ＋π4<3π4，
所以当2θ＋π4＝π2，即θ＝π8时，Smax＝22－12．
(2)当S＝22sin 2θ+π4－12＝6-24时，
即sin 2θ+π4＝32．
又因为π4<2θ＋π4<3π4，
所以2θ＋π4＝2π3，或2θ＋π4＝π3，
即θ＝5π24或π24．