新教材人教A版步步高学习笔记【学案+同步课件】章末检测试卷(三)

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章末检测试卷(三)
(时间：120分钟 满分：150分)
第三章　函数的概念与性质
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A.7 　　 B.2 　　 C.10 　　D.12
√
∵3>1，∴f(3)＝32＋3＝12.
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
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2.下列四组函数中，表示同一个函数的一组是
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对于A选项，f(x)和g(x)的定义域均为R，且g(x)＝ ＝|x|＝f(x)，所以A选项符合题意；对于B选项，f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为{x|x≥0}，所以B选项不符合题意；对于C选项，f(x)的定义域为{x|x≠1}，g(x)的定义域为R，所以C选项不符合题意；对于D选项，f(x)的定义域为{x|x≤0}，g(x)的定义域为R，所以D选项不符合题意.
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3.若函数y＝f(3x－1)的定义域是[1,3]，则y＝f(x)的定义域是A.[1,3] B.[2,4]C.[2,8] D.[3,9]
√
因为函数y＝f(3x－1)的定义域是[1,3]，所以1≤x≤3,2≤3x－1≤8，则函数y＝f(x)的定义域是[2,8].
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所以f(x)＝ ，所以f(2)＝ .
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5.若函数f(x)在(－∞，－1]上单调递增，则下列关系式中成立的是
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6.若f(x)是偶函数且在[0，＋∞)上单调递增，又f(－2)＝1，则不等式f(x－1)<1的解集为A.{x|－13}C.{x|x<－1或01或－3√
由于函数y＝f(x)为偶函数，则f(2)＝f(－2)＝1，且函数y＝f(x)在[0，＋∞)上单调递增，由f(x－1)<1，可得f(|x－1|)1
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7.若函数f(x)＝ 是R上的减函数，则a的取值范围是A.[－3，－1] B.(－∞，－1]C.[－1,0) D.[－2,0)
√
解得－3≤a≤－1.
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A.(4，＋∞) B.(0,4)C.(0,2) D.(2，＋∞)
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由题意，设g(x)＝xf(x)，
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因为x∈(0，＋∞)，所以不等式等价于xf(x)－8>0，即xf(x)>8，又f(2)＝4，则g(2)＝2·f(2)＝8，所以不等式xf(x)>8的解集为(0,2).
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9.下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是A.y＝x B.y＝|x|＋1C.y＝ D.y＝－
√
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
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对于A，y＝x是奇函数，故不符合题意；对于B，y＝|x|＋1是偶函数，在(0，＋∞)上单调递增，符合题意；对于C，y＝ 是偶函数，在(0，＋∞)上单调递增，符合题意；
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10.函数f(x)是定义在R上的奇函数，下列命题中正确的有A.f(0)＝0B.若f(x)在[0，＋∞)上有最小值－1，则f(x)在(－∞，0]上有最大值1C.若f(x)在[1，＋∞)上单调递增，则f(x)在(－∞，－1]上单调递减D.若x>0，f(x)＝x2－2x，则当x<0时，f(x)＝－x2－2x
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根据题意，依次分析选项：对于A，函数f(x)是定义在R上的奇函数，则f(－x)＝－f(x)，当x＝0时，有f(0)＝－f(0)，变形可得f(0)＝0，A正确；对于B，若f(x)在[0，＋∞)上有最小值－1，即x≥0时，f(x)≥－1，则有－x≤0，f(－x)＝－f(x)≤1，即f(x)在(－∞，0]上有最大值1，B正确；对于C，奇函数在对应的区间上单调性相同，则若f(x)在[1，＋∞)上单调递增，则f(x)在(－∞，－1]上单调递增，C错误；对于D，设x<0，则－x>0，则f(－x)＝(－x)2－2(－x)＝x2＋2x，则f(x)＝－f(－x)＝－(x2＋2x)＝－x2－2x，D正确.
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11.某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似表示为y＝ x2－200x＋80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.以下判断正确的是A.该单位每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低B.该单位每月最低可获利20 000元C.该单位每月不获利也不亏损D.每月需要国家至少补贴40 000元才能使该单位不亏损
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由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为
设该单位每月获利为S，
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因为400≤x≤600，所以当x＝400时，S有最大值－40 000元.故该单位不获利，需要国家每月至少补贴40 000元，才能不亏损.
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12.对于定义域为D的函数y＝f(x)，若同时满足下列条件：①f(x)在D内单调递增或单调递减；②存在区间[a，b]⊆D，使f(x)在[a，b]上的值域为[a，b]，那么把y＝f(x)(x∈D)称为闭函数.下列结论正确的是A.函数y＝x是闭函数B.函数y＝x2＋1是闭函数C.函数y＝－x2(x≤0)是闭函数D.函数f(x)＝ (x＞－1)是闭函数
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选项A，因为y＝x是R上的单调递增的一次函数，且在R上任意子区间都满足新定义，所以A正确；
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选项C，函数是开口向下的二次函数，且在区间(－∞,0]上单调递增，令f(x)＝－x2，
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三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
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因为函数f(x)是奇函数，所以f(－3)＝g(－3)＝－f(3)＝－6，所以f(g(－3))＝f(－6)＝－f(6)＝－33.
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15.已知函数f(x)是R上的奇函数，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，f(－5)＝0，则不等式(x－3)f(x)>0的解集是_____________.
(－5,0)∪(3,5)
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根据题意，得函数f(x)是R上的奇函数，且f(－5)＝0，则f(5)＝－f(－5)＝0，又函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，则在区间(0,5)上，f(x)>0，在区间(5，＋∞)上，f(x)<0，又函数为奇函数，则在区间(－5,0)上，f(x)<0，在区间(－∞，－5)上，f(x)>0，
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则－51
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16.某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物：①如不超过200元，则不予优惠；②如超过200元但不超过500元的按标价给予9折优惠；③如超过500元，其中500元按第②条给予优惠，超过500元的部分，给予8折优惠.某人两次去购物，分别付款168元和423元，若他只去一次购买同样的商品，则应付款________元.
560.4
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由题意可知，设消费金额为x元，应付款为y元，
由168＜200，得第一次购物的消费金额为168元.
所以x＝168＋470＝638＞500，则y＝0.8×(638－500)＋450＝560.4.
四、解答题(本大题共6小题，共70分)
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(1)求f(－3)，f(a2＋1)；
(2)求函数f(x)的定义域.
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解得x≥－3且x≠－2.
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(1)求a的值；
由f(1)＝5得1＋a＝5，解得a＝4.
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(2)判断f(x)在区间(0,2)上的单调性，并用单调性的定义证明你的判断.
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f(x)在区间(0,2)内单调递减，
对任意x1，x2∈(0,2)，且x1＜x2，
由x1，x2∈(0,2)，得0＜x1x2＜4，x1x2－4＜0，又由x1＜x2，得x1－x2＜0，
19.(12分)已知函数f(x)是一次函数，且满足f(x－1)＋f(x)＝2x－1.(1)求f(x)的解析式；
设一次函数f(x)＝ax＋b(a≠0)，由f(x－1)＋f(x)＝2x－1，可得a(x－1)＋b＋ax＋b＝2x－1，
所以f(x)＝x.
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任取x1，x2∈(1，＋∞)且x1>x2，则
因为x1>x2>1，所以x2－x1<0，x1－1>0，x2－1>0，所以g(x1)－g(x2)<0，即g(x1)1
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20.(12分)某商场经销一批进价为每件30元的商品，在市场试销中发现，此商品的销售单价x(元)与日销售量y(件)之间有如下表所示的关系(其中30≤x≤50，且x∈N*)：
(1)在所给的坐标图纸中，根据表中提供的数据，描出实数对(x，y)的对应点，并确定y与x的一个函数关系式；
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由题表作出(30,60)，(40,30)，(45,15)，(50,0)的对应点，它们分布在一条直线上.设它们所在直线为y＝kx＋b(k≠0)，
所以y＝－3x＋150(30≤x≤50，且x∈N*)，经检验(30,60)，(40,30)也在此直线上，所以所求函数解析式为y＝－3x＋150(30≤x≤50，且x∈N*).
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依题意得，P＝y(x－30)＝(－3x＋150)(x－30)＝－3(x－40)2＋300(30≤x≤50，且x∈N*).所以当x＝40时，P有最大值300，即销售单价为40元时，才能获得最大日销售利润.
(2)设经营此商品的日销售利润为P元，根据上述关系，写出P关于x的函数关系式，并指出销售单价为多少元时，才能获得最大日销售利润.
21.(12分)已知函数f(x)是对任意的x∈R都满足f(x)＋f(－x)＝0，且当x<0时f(x)＝x2＋2x.(1)求f(x)的解析式；
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∵f(x)＋f(－x)＝0，∴f(－x)＝－f(x)，令x>0，则－x<0，依题意知f(－x)＝(－x)2＋2(－x)＝x2－2x，即－f(x)＝x2－2x，故f(x)＝－x2＋2x；当x＝0时，f(0)＋f(0)＝0，故f(0)＝0，
(2)现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示，请补出函数f(x)的完整图象，并根据图象直接写出函数f(x)的单调区间及x∈[－2,2]时y＝f(x)的值域.
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由f(－x)＝－f(x)，知f(x)是奇函数，图象关于原点对称，故函数f(x)的完整图象如图所示，由图象可知，函数f(x)的单调递减区间是(－∞，－1]和[1，＋∞)，单调递增区间是(－1,1).x∈[－2,2]时y＝f(x)的值域为[－1,1].
22.(12分)已知二次函数f(x)的最小值为1，且f(0)＝f(2)＝3.(1)求f(x)的解析式；
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由题意，得函数f(x)是二次函数，且f(0)＝f(2)，可得函数f(x)的对称轴为x＝1，又由最小值为1，可设f(x)＝a(x－1)2＋1，又f(0)＝3，即a×(0－1)2＋1＝3，解得a＝2，所以函数的解析式为f(x)＝2(x－1)2＋1＝2x2－4x＋3.
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由(1)得函数f(x)＝2x2－4x＋3的对称轴为x＝1，
(2)若f(x)在区间[2a，a＋1]上不单调，求实数a的取值范围；
(3)在区间[－1,1]上，y＝f(x)的图象恒在y＝2x＋2m＋1的图象上方，试确定实数m的取值范围.
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由在区间[－1,1]上，y＝f(x)的图象恒在y＝2x＋2m＋1的图象上方，可得2x2－4x＋3>2x＋2m＋1在区间[－1,1]上恒成立，化简得m