高中物理人教版 (2019)必修 第一册2 匀变速直线运动的速度与时间的关系学案

这是一份高中物理人教版 (2019)必修 第一册2 匀变速直线运动的速度与时间的关系学案，共18页。

匀变速直线运动
1．定义：沿着一条直线，且加速度不变的运动。
2．分类
(1)匀加速直线运动：物体的速度随时间均匀增加的直线运动。
(2)匀减速直线运动：物体的速度随时间均匀减小的直线运动。
3．v-t图像：匀变速直线运动的v-t图像是一条倾斜的直线。
济青高铁通车后，一位旅客从青岛乘坐动车到达济南用了1小时54分钟，大大节约了行程时间。假设动车运动过程中不同阶段的v-t图像如图所示。
问题1 上图中动车运动过程中不同阶段分别做什么运动？
提示：甲做匀速直线运动；乙做匀加速直线运动；丙做匀减速直线运动；丁做变加速直线运动。
问题2 在乙、丙、丁图中，加速度不变的物体是哪个？
提示：乙、丙。
问题3 在乙和丁图中，物体的运动有什么不同？
提示：物体乙的v-t图线斜率不变，加速度不变，速度随时间均匀增加，物体丁的v-t图线斜率变大，加速度变大，速度增加得越来越快。
问题4 匀变速直线运动有哪些特点？
提示：任意相等的时间内，速度的变化量相同。
1．匀变速直线运动的特点
(1)加速度a恒定不变。
(2)v-t图像是一条倾斜直线。
2．v-t图像与物体的运动
(1)匀速直线运动的v-t图像是一条平行于时间轴的直线。
(2)匀变速直线运动的v-t图像是一条倾斜的直线，如图所示，a表示匀加速直线运动，b表示匀减速直线运动。
①v-t图线的斜率的绝对值等于物体的加速度的大小，斜率的正、负表示加速度的方向。
②v-t图线与纵轴的交点的纵坐标表示物体的初速度。
(3)非匀变速直线运动的v-t图像是一条曲线，曲线上某点切线的斜率等于该时刻物体的加速度。
图甲、乙中，速度v随时间t的增加都增大。甲图中，在相等的时间Δt内Δv2>Δv1，加速度增大；乙图中，在相等的时间Δt′内Δv2′<Δv1′，加速度减小。
3．v-t图像的两点提醒
(1)v-t图像与时间轴的交点表示速度方向的改变(如图线a中t4时刻和图线b中t3时刻)，折点表示加速度方向的改变(如图线a中t2时刻所示)。
(2)v-t图像中两图像相交，只是说明两物体在此时刻的速度相同，不能说明两物体相遇(如图所示的t1时刻)。
【典例1】 如图所示为A、B两个物体做匀变速直线运动的v-t图像。
(1)A、B各做什么运动？求其加速度；
(2)两图线的交点的意义是什么？
(3)求1 s末A、B的速度；
(4)求6 s末A、B的速度。
[解析] (1)A物体沿规定的正方向做匀加速直线运动，加速度a1＝v-v0t＝8-26 m/s2＝1 m/s2，加速度的方向与规定的正方向相同；B物体前4 s沿规定的正方向做匀减速直线运动，4 s后沿反方向做匀加速直线运动，加速度a2＝v-v0t＝0-84 m/s2＝－2 m/s2，加速度的方向与规定的正方向相反。
(2)两图线的交点表示此时刻两个物体的速度相同。
(3)A的初速度vA0＝2 m/s，1 s末A物体的速度为vA＝vA0＋a1t1＝3 m/s，方向与规定的正方向相同；B物体的初速度vB0＝8 m/s，1 s末B物体的速度vB＝vB0＋a2t1＝6 m/s，方向与规定的正方向相同。
(4)6 s末A物体的速度为vA＝vA0＋a1t6＝8 m/s，方向与规定的正方向相同；B物体的速度为vB＝vB0＋a2t6＝－4 m/s，方向与规定的正方向相反。
[答案] 见解析
应用v-t图像的三点注意事项
(1)正确认识v-t图像，从图像中读出需要的信息是解题的关键。其中图线斜率k＞0，加速度为正，图线斜率k＜0，加速度为负。
(2)物体的速度变为负值，表示物体运动方向发生了变化，负号不表示速度的大小。
(3)v-t图线为直线且跨过t轴，可分段分析也可全程分析；v-t图线是折线一般采用分段分析。
[跟进训练]
1．如图所示的是一个质点在水平面上运动的v-t图像，以下判断正确的是( )
A．在0～1 s的时间内，质点在做匀加速直线运动
B．在0～3 s的时间内，质点的加速度方向发生了变化
C．第6 s末，质点的加速度为零
D．第6 s内质点速度变化量为－4 m/s
D [由题图像可知，在0～1 s的时间内，质点在做匀减速直线运动，A错误；图像的斜率表示加速度，由图像可知，在0～3 s的时间内，质点的加速度方向没有发生变化，B错误；因5～6.5 s的时间内，直线的斜率不变，加速度不变，可知第6 s末质点的加速度不为零，C错误；第6 s内质点速度变化量为：0－4 m/s＝－4 m/s，D正确。]
2．(多选)(2022·青岛二中高一月考)亚丁湾索马里海盗的几艘快艇试图靠近中国海军护航编队保护的商船，中国海军发射爆震弹成功将其驱逐。假如其中一艘海盗快艇在海面上的速度—时间图像如图所示，则下列说法中正确的是( )
A．海盗快艇行驶的最大速度为15 m/s
B．海盗快艇在66 s末开始调头逃离
C．海盗快艇在0～66 s做的是加速度逐渐减小的加速运动
D．海盗快艇在96～116 s内做匀减速直线运动
AC [从v-t图像上得知海盗快艇行驶的最大速度为15 m/s，在0～66 s内v-t图线的斜率逐渐减小，故加速度逐渐减小，选项A、C正确；在66 s末海盗快艇速度方向没变，速度大小减小，选项B错误；在96～116 s内海盗快艇调头做匀加速直线运动，选项D错误。]
匀变速直线运动速度与时间的关系
1．速度公式：v＝v0＋at。
2．对公式的理解：做匀变速直线运动的物体，在t时刻的速度v等于物体在开始时刻的速度v0加上在整个过程中速度的变化量at。
如图所示，同学们探究了小车在槽码牵引下的运动，并且用v-t图像直观地描述了小车的速度随时间变化的规律。从纯数学角度看，一次函数的表达式为y＝b＋kx，结合v-t图像。

问题1 结合v-t图像，函数y＝b＋kx中的y、x分别表示哪个物理量？
提示：y、x分别表示速度和时间。
问题2 由v-t图像可知，小车的初速度是多大？加速度是多大？
提示：小车的初速度是0.3 m/s，加速度是1.0 m/s2。
问题3 结合v-t图像，函数y＝b＋kx中的k、b分别表示哪个物理量？
提示：k、b分别表示加速度和初速度。
问题4 这个v-t图像反映出小车的速度随时间的关系式是怎样的？
提示：由函数y＝b＋kx得v＝v0＋at，小车的速度随时间的关系式是v＝0.3＋t。
1．公式v＝v0＋at中各量的物理意义
v0是开始时刻的速度，称为初速度；v是经时间t后的瞬时速度，称为末速度；at是在时间t内速度的变化量，即Δv＝at。
2．公式v＝v0＋at只适用于匀变速直线运动。
3．公式的矢量性：
公式v＝v0＋at中的v0、v、a均为矢量，应用公式解题时，首先应选取正方向。一般以v0的方向为正方向，若为匀加速直线运动，a＞0；若为匀减速直线运动，a＜0。若v＞0，说明v与v0方向相同，若v＜0，说明v与v0方向相反。
4．两种特殊情况：
(1)当v0＝0时，v＝at。
即由静止开始的匀加速直线运动的速度大小与其运动时间成正比。
(2)当a＝0时，v＝v0。
即加速度为零的运动是匀速直线运动。
【典例2】 (2022·山东济南高一阶段检测)火车正常行驶的速度是54 km/h，关闭发动机后，开始做匀减速直线运动，6 s末的速度是43.2 km/h，求：
(1)火车的加速度；
(2)15 s末的速度大小；
[解析] 以火车运动的方向为正方向，v0＝54 km/h＝15 m/s，v1＝43.2 km/h＝12 m/s。
(1)由加速度定义式可知：
a＝ΔvΔt＝12-156 m/s2＝－0.5 m/s2
负号表示方向与火车运动方向相反。
(2)火车从开始减速到停止行驶所用的时间
t＝0-v0a＝0-15-0.5 s＝30 s，
所以15 s末的速度大小为：
v1＝v0＋at1＝[15＋(－0.5)×15] m/s＝7.5 m/s。
[答案] (1)0.5 m/s2，方向与火车运动方向相反 (2)7.5 m/s
[母题变式]
上例中关闭发动机后，开始做匀减速直线运动，45 s末的速度大小为多少？
[解析] 由(2)分析可知，火车从开始减速到停止行驶所用的时间为30 s，所以火车在45 s末的速度为零。
[答案] 0
机车“刹车”运动问题的常规思路：
(1)先确定刹车时间。若车辆从刹车到速度减为零所用的时间为T，则刹车时间为T＝v0a。
(2)将题中所给出的已知时间t与T比较。若Tt，则在利用以上公式进行计算时，公式中的时间应为t。
[跟进训练]
3．关于两个做匀变速直线运动的质点，下列说法中正确的是( )
A．经过相同的时间，速度大的质点加速度必定大
B．若初速度相同，速度变化大的质点加速度必定大
C．若加速度相同，初速度大的质点的末速度一定大
D．相同时间内，加速度大的质点速度变化必定大
D [由v＝v0＋at可知，a的大小除与t、v有关之外，还与v0有关，所以经过相同时间t，v大的其加速度a未必一定大，故A错误；速度的变化Δv＝v－v0＝at，由于不知道时间的关系，所以无法判断加速度的大小，故B错误；若a相同，由于时间t未知，所以也无法判断v的大小，故C错误；若t相同，则Δv＝v－v0＝at，a大时，Δv一定大，故D正确。]
4．一辆以72 km/h的速度沿平直公路行驶的汽车，因发现前方有险情而紧急刹车，刹车后获得大小为2 m/s2的加速度，汽车刹车后12 s末的速度为( )
A．48 m/s，向东 B．4 m/s，向东 C．4 m/s，向西 D．0
D [72 km/h＝20 m/s，汽车减速到停止的时间为t＝v-v0a＝0-20-2 s＝10 s，12 s>10 s，汽车在12 s末时已经停止，速度为零，故D正确。]
1．物体在做直线运动，则下列对物体运动的描述正确的是( )
A．加速度为负值的直线运动，一定是匀减速直线运动
B．加速度大小不变的运动，一定是匀变速直线运动
C．加速度恒定(不为零)的直线运动一定是匀变速直线运动
D．若物体在运动的过程中，速度的方向发生改变，则一定不是匀变速直线运动
C [物体速度为负值，加速度为负值且保持不变时是匀加速直线运动，A错误；加速度是矢量，加速度大小不变，若方向改变，则加速度是变化的，不是匀变速直线运动，B错误，C正确；速度的方向发生改变，加速度可能保持不变，即可能为匀变速直线运动，例如，物体在做匀减速直线运动时，当速度减小到零后，运动的方向会发生改变，变为反向匀加速直线运动，D错误。]
2．一个做匀变速直线运动的质点的v-t图像如图所示，由图线可知其速度与时间的关系为( )
A．v＝(4＋2t) m/s B．v＝(－4＋2t) m/s
C．v＝(－4－2t) m/s D．v＝(4－2t) m/s
B [由v-t图像可知v0＝－4 m/s，a＝2 m/s2，所以由v＝v0＋at可知，v＝(－4＋2t) m/s，故B对。]
3．将某汽车的刹车过程视为匀变速直线运动。该汽车在紧急刹车时加速度的大小为6 m/s2，恰好在2 s内停下来，则选项图中能正确表示该汽车刹车过程的是( )
A B
C D
A [汽车在紧急刹车时加速度的大小为6 m/s2，在2 s内停下来，则a＝－6 m/s2，由匀变速直线运动的速度公式得0＝v0＋at，解得v0＝12 m/s，即在2 s内汽车速度从12 m/s变成0，能正确表示该汽车刹车过程的v-t图像是A项。]
4．一质点做匀变速直线运动的速度随时间变化的关系为v＝(40－10t) m/s。下列说法正确的是( )
A．质点在前4 s内做匀加速运动
B．质点的初速度是20 m/s
C．质点的加速度大小是5 m/s2
D．t＝4 s时，质点的加速度不为零
D [质点做匀变速直线运动的速度随时间变化的关系为v＝(40－10t) m/s，结合公式v＝v0＋at，可得质点的初速度v0＝40 m/s，质点的加速度a＝－10 m/s2，则质点的加速度大小是10 m/s2，故B、C错误；由题给出的表达式得，经过4 s后质点的速度减小为零，质点的加速度不变，则质点在前4 s内做匀减速运动，4 s后做反方向的匀加速运动，t＝4 s时，质点的加速度仍为－10 m/s2，故D正确，A错误。]
回归本节知识，自我完成以下问题：
1．如果物体运动的v-t图像是一条倾斜的直线，物体做什么运动？
提示：物体做匀变速直线运动。
2．计时开始时(t0＝0)物体做匀变速直线运动的速度是v0，加速度是a，它在t时刻的速度v是多少？
提示：v＝v0＋at。
3．如果物体做匀减速直线运动，公式v＝v0＋at还适用于求任意时刻的速度吗？
提示：适用。
4．在“刹车”类问题中要关注什么？
提示：关注实际停止的时间。
课时分层作业(六) 匀变速直线运动的速度与时间的关系
◎题组一 匀变速直线运动的特点及v-t图像
1．对匀变速直线运动的理解，下列说法正确的是( )
A．匀变速直线运动是速度越来越大的运动
B．匀变速直线运动是在任意相等的时间内速度变化量相等的运动
C．匀变速直线运动是速度保持不变的运动
D．匀变速直线运动的v-t图像是一条过原点倾斜的直线
B [匀变速直线运动速度均匀变化，匀加速直线运动的速度越来越大，匀减速直线运动的速度越来越小，故A错误；匀变速直线运动的速度均匀变化，在任意相等时间内速度变化量相等，故B正确；匀变速直线运动是速度均匀变化的运动，故C错误；根据匀变速直线运动的速度公式v＝v0＋at，v与t是线性关系，根据数学知识可知v-t图像是一条倾斜的直线，不一定过原点，故D错误。]
2．(多选)甲、乙两个物体沿同一直线向同一方向运动时，取物体的初速度方向为正方向，甲的加速度恒为2 m/s2，乙的加速度恒为－3 m/s2，则下列说法正确的是( )
A．两物体都做匀加速直线运动，乙的速度变化快
B．甲做匀加速直线运动，它的速度变化慢
C．乙做匀减速直线运动，它的单位时间内速度变化量大
D．甲的加速度比乙的加速度大
BC [由于甲、乙两个物体沿同一直线向同一方向运动且取物体的初速度方向为正方向，甲的加速度恒为 2 m/s2>0，乙的加速度恒为－3 m/s2<0，即甲的加速度与初速度方向相同、乙的加速度与初速度方向相反，所以甲做匀加速直线运动，乙做匀减速直线运动，A错误；加速度是矢量，正负是表示其方向的，比较大小时需看绝对值，故乙的加速度大于甲的加速度，乙的速度变化快，B正确，D错误；加速度数值上等于单位时间内速度的变化量即速度变化率，故乙单位时间内速度变化量大，C正确。]
3．一物体沿竖直方向运动，以竖直向上为正方向，其运动的v-t图像如图所示。下列说法正确的是( )
A．物体0～1 s内做匀加速直线运动
B．物体2～3 s内向下运动
C．物体0～1 s内的加速度方向与2～3 s内的加速度方向相反
D．物体0～1 s内的平均速度与2～3 s内的平均速度相等
C [根据v-t图像的切线斜率表示加速度，知物体0～1 s内做加速度减小的变加速直线运动，故A错误；物体的速度一直为正，说明物体一直向上运动，故B错误；v-t图像的切线斜率的正负表示加速度方向，可知，物体0～1 s内的加速度方向与2～3 s内的加速度方向相反，故C正确；根据v-t图像与t轴围成图形的面积表示位移，知物体在0～1 s内的位移大于它在2～3 s内的位移，所用时间相等，则物体在0～1 s内的平均速度大于2～3 s内的平均速度，故D错误。]
4．一物体静止在光滑的水平桌面上，现对其施加一水平外力，使它沿水平桌面做直线运动，该物体的v-t图像如图所示，根据图像，下列说法正确的是( )
A．0～6 s内物体运动的加速度始终没有改变
B．2～3 s内物体做减速运动
C．第1 s末物体的速度改变方向
D．1.5 s末和2.5 s末两个时刻物体的加速度相同
D [在v-t图像中，图线的斜率表示物体运动的加速度，由图像可知，0～6 s内图线的斜率发生了变化，则物体加速度发生变化，选项A错误；2～3 s内，速度沿负方向逐渐增大，物体做加速运动，选项B错误；0～2 s内速度一直为正，第1 s末物体的速度方向没有发生改变，选项C错误；物体在1～3 s内做匀变速直线运动，加速度不变，所以1.5 s末和2.5 s末两个时刻物体的加速度相同，选项D正确。]
◎题组二 匀变速直线运动速度与时间关系
5．(多选)某质点从静止开始做匀加速直线运动，5 s末质点的速度为9 m/s，则9 s末质点的( )
A．加速度为0.9 m/s2
B．加速度为1.8 m/s2
C．速度为15.8 m/s
D．速度为16.2 m/s
BD [由速度公式v1＝at1，解得a＝1.8 m/s2，A错误，B正确；由速度公式得v2＝at2＝1.8×9 m/s＝16.2 m/s，C错误，D正确。]
6．如图所示，纯电动汽车不排放污染空气的有害气体，具有较好的发展前景。某辆电动汽车在一次刹车测试中，初速度为18 m/s，经过3 s汽车停止运动。若将该过程视为匀减速直线运动，则这段时间内电动汽车加速度的大小为( )
A．3 m/s2 B．6 m/s2
C．15 m/s2 D．18 m/s2
B [根据匀变速直线运动的速度公式有：v＝v0＋at，所以电动汽车的加速度a＝v-v0t＝0-183 m/s2＝－6 m/s2，大小为6 m/s2，选项B正确。]
7．汽车原来以10 m/s的速度在平直公路上匀速行驶，因为路口出现红灯，司机从较远的地方开始刹车，使汽车匀减速前进，当车速减到2 m/s时，交通灯转为绿色，司机当即放开刹车，并且只用了减速过程的一半时间，汽车加速到原来的速度，从刹车开始到恢复原来速度的过程用了12 s。求：
(1)减速与加速过程中的加速度大小；
(2)开始刹车后2 s末及10 s末的瞬时速度大小。
[解析] (1)汽车先做匀减速运动，再做匀加速运动，其运动简图如图所示，设汽车从A点开始减速，其运动的初速度vA＝10 m/s，用t1表示从A点到达B点经过的时间，汽车从B点又开始加速，用时间t2到达C点，则vB＝2 m/s，vC＝10 m/s，且t2＝12t1，t1＋t2＝12 s，可得t1＝8 s，t2＝4 s
在AB段，vB＝vA－a1t1
在BC段，vC＝vB＋a2t2
代入数据得a1＝1 m/s2，a2＝2 m/s2。
(2)2 s末的速度
v2＝vA－a1t1′＝10 m/s－1×2 m/s＝8 m/s
10 s末的速度
v10＝vB＋a2t2′＝2 m/s＋2×(10－8) m/s＝6 m/s。
[答案] (1)1 m/s2 2 m/s2 (2)8 m/s 6 m/s
8．一物体由静止开始沿直线运动，其加速度随时间变化的规律如图所示。取物体开始运动的方向为正方向，则下列关于物体运动的v-t图像正确的是( )
A B
C D
C [根据加速度随时间变化的图像可得，0～1 s为匀加速直线运动，速度v＝at＝t，速度为正方向，选项D错。第1 s末的速度v＝1 m/s，1～2 s加速度变为负值，而速度为正方向，因此为减速运动，v′＝1 m/s－a(t－1)，到2 s末，速度减小为0，选项B错。2～3 s，加速度为正方向，初速度为0，物体做正方向的匀加速直线运动v＝a(t－2)＝t－2，即从第2 s开始又重复前面的运动，选项C正确，A错误。]
9．爬竿运动员从竖直竿上端由静止开始先匀加速下滑2t时间，然后再匀减速下滑t时间恰好到达竿底且速度为0，则前后两段匀变速运动过程中加速度大小之比为( )
A．1∶2 B．2∶1
C．1∶4 D．4∶1
A [根据匀变速直线运动的速度时间公式求出匀加速和匀减速运动的加速度大小，从而得出加速度大小之比。设匀加速运动的末速度为v，则匀加速运动的加速度大小a1＝v2t，匀减速运动的加速度大小a2＝vt，则a1∶a2＝1∶2，故A正确。]
10．一辆汽车在地面上从静止开始运动，从t＝0时刻起8 s 内，加速度a随时间t变化的规律如图甲所示，最后阶段汽车刹车时加速度大小为2 m/s2。求：
(1)4 s末的速度大小v1；
(2)5 s末的速度大小v2；
(3)在图乙的坐标系中画出汽车在8 s内的v-t图像。(要求计算出相应数值)
[解析] (1)由题图甲可知，在0～4 s内，汽车的加速度为a1＝3 m/s2，则4 s末汽车的速度为v1＝a1t＝3×4 m/s＝12 m/s。
(2)由题图甲可知，4～5 s内汽车的加速度为a2＝－7 m/s2，汽车做匀减速运动，5 s末的速度v2＝v1＋a2t′＝12 m/s－7×1 m/s＝5 m/s。
(3)由题图甲可知，最后阶段汽车刹车的加速度为a3＝－2 m/s2，汽车做匀减速运动，速度减为零需要的时间t0＝v-v2a3＝0-5-2 s＝2.5 s，
则在5 s＋2.5 s＝7.5 s时，汽车速度为零，
描点作出汽车的v-t图像如图所示。
[答案] (1)12 m/s (2)5 m/s (3)见解析
11．某质点在一段时间内的速度—时间图像如图中曲线所示，图中斜虚线为速度—时间图像在t＝2 s时的切线。由图可知( )
A．该质点做曲线运动
B．该质点在t＝2 s时的加速度为10 m/s2
C．该质点在t＝2 s时的加速度为2.5 m/s2
D．该质点在0～3 s内加速度逐渐增大，3 s 后加速度逐渐减小
C [v-t图像反映了质点的速度随时间变化的规律，不是质点运动轨迹，选项A错误；t＝2 s时的加速度等于该时刻图线切线的斜率大小，a＝ΔvΔt＝20-152 m/s2＝2.5 m/s2，选项C正确，B错误；0～3 s，图像斜率减小，加速度减小，3 s后图像斜率绝对值增大，加速度增大，选项D错误。]
学习任务
1．根据实验得到的v-t图像是一条倾斜的直线，建构匀变速直线运动的模型，了解匀变速直线运动的特点。
2．能根据v-t图像得出匀变速直线运动的速度与时间的关系式，理解公式的含义。
3．能应用匀变速直线运动的速度与时间的关系式或v-t图像分析和解决生产、生活中的实际问题。