人教A版 (2019)必修 第一册2.1 等式性质与不等式性质精品同步测试题

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1．两个实数大小的比较
如果a－b是正数，那么a>b；如果a－b等于零，那么a＝b；如果a－b是负数，那么ab⇔a－b>0，a＝b⇔a－b＝0，ac，那么a>c.即a>b，b>c⇒a>c.
(3)如果a>b，那么a＋c>b＋c.
(4)如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，cd，那么a＋c>b＋d.
(6)如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.
(7)如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)．
【题型1 不等关系的建立】
【方法点拨】
在用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时，先通过审题，设出未知量，找出其中的不等关系，再将不等关系用不等式表示出来，即得不等式或不等式组．
【例1】（2021秋•石鼓区校级月考）铁路乘车行李规定如下：乘动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过Mcm．设携带品外部尺寸长、宽、高分别为a、b、c（单位：cm），这个规定用数学关系式可表示为（ ）
A．a+b+c≤MB．a+b+c＞MC．a+b+c≥MD．a+b+c＜M
【解题思路】根据题意列出不等式即可．
【解答过程】解：∵长、宽、高之和不超过Mcm，长、宽、高分别为a、b、c，
∴a+b+c≤M，
故选：A．
【变式1-1】（2021秋•龙岩期中）为安全燃放某种烟花，现收集到以下信息：
①此烟花导火索燃烧的速度是每秒0.6厘米；
②人跑开的速度为每秒4米；
③距离此烟花燃放点50米以外（含50米）为安全区．
为了使导火索燃尽时人能够跑到安全区，导火索的长度x（厘米）应满足的不等式为（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】直接由题意可列出不等关系式即可．
【解答过程】解：由题意可得450．
故选：B．
【变式1-2】（2021秋•龙岗区期中）在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒0.5cm，人跑开的速度为每秒4m，为了使点燃导火索的人能够在爆破时跑到100m以外的安全区，导火索的长度x（cm）应满足的不等式为（ ）
A．4100B．4100C．4100D．4100
【解题思路】为了安全，则人跑开的距离应大于100米，路程＝速度×时间，其中时间即导火索燃烧的时间，是s．
【解答过程】解：根据题意得4100，
故选：C．
【变式1-3】（2021秋•龙江县校级月考）下列结论不正确的是（ ）
①用不等式表示某厂最低月生活费a元不低于300元为a≥300；
②完成﹣项装修工程，请木工需付工资每人500元，请瓦工需付工资每人400元，现有工资预算20000元，设木工x人，瓦工y人，则满足的关系式是5x+4y＜200；
③设M＝x2+3，N＝3x，则M与N的大小关系为M＞N；
④若x≠﹣2且y≠1，则M＝x2+y2+4x﹣2y的值与一5的大小关系是M＞﹣5．
A．①B．②C．③D．④
【解题思路】由题意列出不等式，可判断①②；由作差比较和不等式的性质，可判断③④．
【解答过程】解：对于①，可得a≥300，故①正确；
对于②，可得500x+400y≤20000，化为5x+4y≤200，故②错误；
对于③，M﹣N＝x2+3﹣3x＝（x）20，可得M＞N，故③正确；
对于④，因为x≠﹣2且y≠1，
所以M﹣（﹣5）＝x2+y2+4x﹣2y+5＝（x+2）2+（y﹣1）2＞0，即M＞﹣5，故④正确．
故选：B．
【题型2 利用不等式的性质判断正误】
【方法点拨】
(1)直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质证明；对于说法错误的只需举出一个反例即可．
(2)特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性．
【例2】（2022春•大名县校级期末）如果a，b，c，d∈R，则正确的是（ ）
A．若a＞b，则B．若a＞b，则ac2＞bc2
C．若a＞b，c＞d，则a+c＞b+dD．若a＞b，c＞d，则ac＞bd
【解题思路】根据已知条件，结合不等式的性质，以及特殊值法，即可求解．
【解答过程】解：对于A，令a＝1，b＝﹣1，满足a＞b，但，故A错误，
对于B，当c＝0时，ac2＝bc2，故B错误，
对于C，a＞b，c＞d，
由不等式的可加性可得，a+c＞b+d，故C正确，
对于D，令a＝1，b＝﹣1，c＝1，d＝﹣1，满足a＞b，c＞d，但ac＝bd，故D错误．
故选：C．
【变式2-1】（2022•孝义市开学）已知，则下列结论正确的是（ ）
A．a＜bB．a+b＜abC．|a|＞|b|D．ab＞b2
【解题思路】由得b＜a＜0，从而对四个选项依次判断即可．
【解答过程】解：∵，
∴b＜a＜0，
∴b＜a，a+b＜ab，|a|＜|b|，ab＜b2，
故选项B正确，
故选：B．
【变式2-2】（2022春•包头期末）a，b∈R，下列命题正确的是（ ）
A．若a＞b，则a2＞b2
B．c∈R，若a＞b，则ac2＞bc2
C．若﹣3a＞﹣3b，则a＜b
D．a≠0，b≠0，若a＞b，则
【解题思路】根据不等式的性质直接判断．
【解答过程】解：选项A，如a＝0，b＝﹣1，不等式不成立，选项A错误，
选项B，如c＝0，不等式不成立，选项B错误，
选项C，根据不等式两边同除以﹣3，不等号改变，∴选项C正确，
选项D，如a＝1，b＝﹣1，不等式不成立，选项D错误，
故选：C．
【变式2-3】（2021秋•贺州期末）如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（ ）
A．B．ab＜b2C．ab＞a2D．
【解题思路】根据不等式的基本性质，结合题意，判断选项中的命题是否正确即可．
【解答过程】解：因为a＜b＜0，所以ab＞0，所以0，即，选项A错误；
因为a＜b＜0，所以ab＞b2＞0，选项B错误；
因为a＜b＜0，所以a2＞ab＞0，即ab＜a2，选项C错误；
因为a＜b＜0，所以0，所以，即，选项D正确．
故选：D．
【题型3 利用作差法比较大小】
【方法点拨】
(1)作差法比较的步骤：作差―→变形―→定号―→结论．
(2)变形的方法：①因式分解；②配方；③通分；④分母或分子有理化；⑤分类讨论．
【例3】（2022春•九江期末）已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＞b＞cB．a＞c＞bC．c＞a＞bD．c＞b＞a
【解题思路】运用不等式的基本性质直接比较两数的大小．
【解答过程】解：∵，，，
∴由，且，故a＞b，
由且，故a＞c，
由且，故c＞b，∴a＞c＞b，
故选：B．
【变式3-1】（2022春•安徽期中）已知a＜b，x＝a3﹣b，y＝a2b﹣a，则x，y的大小关系为（ ）
A．x＞yB．x＜yC．x＝yD．无法确定
【解题思路】利用作差法直接化简判断即可．
【解答过程】解：x﹣y＝a3﹣b﹣a2b+a＝a2（a﹣b）+（a﹣b）＝（a﹣b）（a2+1），
又a＜b，则a﹣b＜0，
又a2+1＞0，则x﹣y＝（a﹣b）（a2+1）＜0，故x＜y．
故选：B．
【变式3-2】（2021秋•靖远县期末）已知P＝x2+xy+y2，Q＝3xy﹣1，则（ ）
A．P＞QB．P＝Q
C．P＜QD．P，Q的大小关系不确定
【解题思路】直接利用作差法和关系式的变换的应用求出结果．
【解答过程】解：P﹣Q＝x2+xy+y2﹣3xy+1＝（x﹣y）2+1＞0．
故P＞Q．
故选：A．
【变式3-3】（2021秋•滦南县校级月考）设m＞1，P＝m，Q＝5，则P，Q的大小关系为（ ）
A．P＜QB．P＝QC．P≥QD．P≤Q
【解题思路】利用作差法即可判断大小．
【解答过程】解：P﹣Q＝m5，
因为m＞1，所以（m﹣3）²≥0，m﹣1＞0，
所以0，所以P≥Q．
故选：C．
【题型4 利用作差法比较大小的应用】
【例4】（2022春•芜湖期末）甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，则（ ）
A．甲先到教室B．乙先到教室
C．两人同时到教室D．谁先到教室不确定
【解题思路】比较走完路程所用时间大小来确定谁先到教室，故应把两人到教室的时间用所给的量表示出来，作差比较
【解答过程】解：设步行速度与跑步速度分别为v1，v2，
显然v1＜v2，总路程为2s，
则甲用时间为，乙用时间为，
而
0，
故，故乙先到教室，
故选：B．
【变式4-1】（2021秋•金华期末）某次全程马拉松比赛中，选手甲前半程以速度a匀速跑，后半程以速度b速跑；选手乙前一半时间以速度a匀速跑，后半时间以速度b匀速跑（注：速度单位m/s），若a≠b，则（ ）
A．甲先到达终点B．乙先到达终点
C．甲乙同时到达终点D．无法确定谁先到达终点
【解题思路】根据题意，设全程的距离为2s，用s、a、b表示甲、乙的时间，用作差法分析可得答案．
【解答过程】解：根据题意，设全程的距离为2s，
对于甲，前半程s的时间为，后半程的时间为，则甲的时间t1，
对于乙，前一半时间以速度a匀速跑，后半时间以速度b匀速跑，则有ab2s，
变形可得t2，
则有t1﹣t2[（a+b）2﹣4ab]（a﹣b）2，
又由a≠b，则t1﹣t2＞0，
故乙先到达终点，
故选：B．
【变式4-2】（2021秋•杨浦区校级期中）现有A，B，C，D四个长方体容器，A，B的底面积均为x2，高分别为x，y；C，D的底面积均为y2，高分别为x，y（其中x≠y）．现规定一种两人的游戏规则：每人从四种容器中取两个盛水，盛水多者为胜．问先取者在未能确定x与y大小的情况下有没有必胜的方案？若有的话，有几种？
【解题思路】当x＞y时，利用不等式的性质可得：x3＞x2y＞xy2＞y3，即A＞B＞C＞D；当x＜y时，同理可得：y3＞y2x＞yx2＞x3，即D＞C＞B＞A；又x3+y3﹣（xy2+x2y）＞0．即可得出．
【解答过程】解：①当x＞y时，则x3＞x2y＞xy2＞y3，即A＞B＞C＞D；在此种条件下取A，B能够稳操胜券．
②当x＜y时，则y3＞y2x＞yx2＞x3，即D＞C＞B＞A；在此种条件下取D，C能够稳操胜券．
③又x3+y3﹣（xy2+x2y）＝（x3﹣x2y）+（y3﹣xy2）＝（x﹣y）2（x+y）＞0．
∴在不知道x，y的大小的情况下，取A，D能够稳操胜券，其他的都没有必胜的把握．
故可能有1种，就是取A，D．
【变式4-3】（2021秋•怀仁市校级月考）某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说：“如领队买全票一张，其余人可享受7.5折优惠”．乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠”．这两车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数，比较两车队的收费哪家更优惠．
【解题思路】根据两家的政策，求出坐甲车需花y1元，坐乙车需花y2元，作差，即可得出结论．
【解答过程】解：设该单位有职工n人（n∈N*），全票价为x元，坐甲车需花y1元，坐乙车需花y2元，
则y1＝xx（n﹣1）xxn，y2nx．
所以y1﹣y2
xxnnx
xnx
x（1）．
当n＝5时，y1＝y2；
当n＞5时，y1＜y2；
当0＜n＜5时，y1＞y2．
因此当单位去的人数为5时，两车队收费相同；多于5人时，选甲车队更优惠；少于5人时，选乙车队更优惠．
【题型5 利用不等式的性质证明不等式】
【方法点拨】
(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用．
(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．
【例5】（2021春•迎泽区校级月考）证明：．
【解题思路】利用分析法，先证明，即可证得原式．
【解答过程】证明：要证，
只需证
即证
即证
即证，即
该式显然成立，所以．
【变式5-1】（2022春•库尔勒市校级期末）已知a＞1，求证：2．
【解题思路】利用分析法即可证明结论
【解答过程】解：要证2，
只要证a+1+a﹣1+24a，
只要证a，
只要证a2﹣1＜a2，
只要证明﹣1＜0，显然成立，
故求证：2．
【变式5-2】（2021秋•故城县校级月考）求证：
（1）a2+b2+c2≥ab+bc+ac
（2）（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）
【解题思路】（1）利用做差法证明不等式的大小即可；
（2）利用做差法和平方差公式即可证明不等式成立．
【解答过程】证明：（1）∵a2+b2+c2﹣（ab+bc+ac）
[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2]≥0，
∴a2+b2+c2≥ab+bc+ac；
（2）∵（a2+b2）（c2+d2）﹣（ac+bd）2
＝a2c2+a2d2+b2c2+b2d2﹣a2c2﹣2acbd﹣b2d2
＝（ad﹣bc）2≥0，
∴（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）．
【变式5-3】用比较法证明以下各题：
（1）已知a＞0，b＞0．求证：．
（2）已知a＞0，b＞0．求证：．
【解题思路】（1）作差可得，由完全平方的性质可得；
（2）作差变形可得（b﹣a），可证不等式．
【解答过程】证明：（1）∵a＞0，b＞0，
∴
2•
0，
∴；
（2）∵a＞0，b＞0，
∴


＝（b﹣a）（）
＝（b﹣a）0，
∴.
【题型6 利用不等式的性质求取值范围】
【方法点拨】
同向不等式具有可加性与可乘性，但是不能相减或相除，应用时，要充分利用所给条件进行适当变形来求范围，注意变形的等价性．
【例6】（2021秋•武昌区校级月考）已知1≤a+b≤4，﹣1≤a﹣b≤2，求4a﹣2b的取值范围．
【解题思路】根据题意需要配凑出4a﹣2b，所以结合题意，就用设未知数的方法求解即可．
【解答过程】解：令4a﹣2b＝x（a+b）+y（a﹣b），
所以4a﹣2b＝（x+y）a+（x﹣y）b．
所以
解得
因为1≤a+b≤4，﹣3≤3（a﹣b）≤6，两式相加，
所以﹣2≤4a﹣2b≤10．
【变式6-1】（2022春•鸡冠区校级期末）已知α＜β，求α﹣2β的取值范围．
【解题思路】利用不等式的基本性质即可得出．
【解答过程】解：∵β，∴﹣π＜﹣2β＜π，
又α，
∴．
又∵α﹣β＜0，∴．
∴．
【变式6-2】（2022春•宁江区校级期中）已知12＜a＜60，15＜b＜36，求a﹣b及的取值范围．
【解题思路】利用不等式的基本性质即可得出．
【解答过程】解：∵15＜b＜36，∴﹣36＜﹣b＜﹣15．
∴12﹣36＜a﹣b＜60﹣15，
∴﹣24＜a﹣b＜45．
又，∴，
∴4．
∴﹣24＜a﹣b＜45，4．
【变式6-3】（2021秋•普宁市校级月考）已知﹣2＜a≤3，1≤b＜2，试求下列各式的取值范围．
（1）|a|；
（2）a+b；
（3）a﹣b；
（4）2a﹣3b．
【解题思路】根据绝对值运算可解决（1）；
根据不等式性质可解决（2）（3）（4）．
【解答过程】解：（1）0≤|a|≤3；
（2）﹣1＜a+b＜5；
（3）依题意得﹣2＜﹣b≤﹣1，又﹣2＜a≤3，相加得﹣4＜a﹣b≤2；
（4）由﹣2＜a≤3得﹣4＜2a≤6①，
由1≤b＜2得﹣6＜﹣3b≤﹣3②，
①+②得，﹣10＜2a﹣3b≤3．